ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll

Transkript

1 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Partiella differentialekvationer Separation av variabler Operatorer A definierade på D A V Reguljära Sturm-Liouville problem och fullständiga ortogonala system Inofficiella mål Det är bra om du (MB1) vet att inre produkten i rummet L 2 (I, w) definieras av integralen ˆ (u v) u(x)v(x)w(x) dx, (1) I där I R är ett intervall och w : I R en positiv kontinuerlig reellvärd funktion. (MB2) vet att ett typiskt parboliskt problem (alternativt hyperboliskt) inom området partiella differentialekvationer (PDE) har formen (PDE): u t u xx = f(x, t), (hyperboliskt: u tt u xx = f(x, t)), (RV): u(, t) = A(t), u(π, t) + 5u x (π, t) = B(t), t >, (IV): u(x, ) = g(x), (hyperboliskt även: u t (x, ) = h(x)), < x < π. där f(x, t), g(x), A(t), B(t) är givna funktioner; och det är bra om du har följande intuitiva förståelse för följande delar Funktionen u: har att u = u(x, t) uppfyller den partiella differentialekvationen i området D. Om x har en dimension, och t också, så kan u åskådliggöras som en tältduk som ligger över xt-planet.. Ekvationen (PDE): en partiell differentialekvation; en differentialekvation som innehåller mer än en oberoende variabel. Uttrycket u y symboliserar en derivata med avseende på variabeln y. Domänen (D): vi jobbar över, oftast för oss i denna kurs en delmängd av space-time (xtplanet), där x ligger i R n och t i R. Randvärdena (RV): givna funktionsvärdena(t) och B(t) till u på randen till området D. Initialvärdena (IV): värden för u = u(x, t) (och även för u t (x, t) i fallet då u tt förekommer i PDE n) specificerat för alla x då starttiden är fixerad, t = t. (MB3) kan genomföra stegen som hänger ihop med separation av variabler för att försöka lösa PDEer: (a) i (PDE) n ansätta produktansatsen u(x, t) = X(x)T (t) och separera variabler mha konstanten λ (förutsatt att PDEn är homogen, f(x, t) = ) (b) får ett system av ODE er för både T och X (c) härleder randvärden för X (förutsatt att (RV) är homogena A(t) = B(t) = ) (d) betraktar och löser Sturm-Liouville problemet som uppstår! Se (MB7) samt (MB8) (e) får fram diskreta egenvärden λ n och motsvarande egenfunktioner X n = X n (x). Se (MB9) (f) löser ODEn för T n mha uttrycket för λ n (g) får fram atomära lösningar u n (x, t) = X n (x)t n (t) vilka uppfyller (PDE) samt (RV) men ej nödvändigtvis (IV) Institutionen för matematik, KTH, SE-1 44, Stockholm, Sweden address: karljo@kth.se. Date: 16 november

2 2 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF (h) skapar en formell linjärkombination av de atomära lösningarna u(x, t) = n b n X n (x)t n (t). (i) anpassar b n till (IV) dvs för tidpunkten t = t finn b n så att u(x, t ) = n (b n T n (t )) }{{} X n (x) }{{} Fourierkoefficienter egenfunktioner = g(x) }{{} given funktion Alltså Fourierkoefficienter! Är {X n } n är ett fullständigt ortogonalt system? Se (MB11). (MB4) vet hur man homogeniserar partiella differentialekvationer med avseende på (RV). (MB5) vet att en linjär avbildning A, definierad på ett underrum D A i ett vektorrum V med inre produkt, kallas för en operator. Samt att om man söker λ C och u V (där u ) så att så kallas λ för ett egenvärde och u för en egenvektor. (MB6) vet att symmetriska operatorer A, dvs sådana som uppfyller Au = λu (2) (v Au) = (Av u), för u, v D A, har reella egenvärden λ samt att egenvektorer med olika egenvärden är ortogonala. (MB7) känner igen att ett reguljärt Sturm-Liouville i en dimension problem kan skrivas (där?=okänd, = känd storhet) ( p (x)u? (x)) + ( q (x) + λ w(x))u (x) =, för x I = (a, b) (3)?? där w(x), q(x) C(I) med w(x) > samt p(x) C 1 (I), med p(a) p(b) tillsammans med randvärden för u som t.ex. u() = u (1) = eller u () 2u() = u(1) =. (MB8) vet att Sturm-Liouville problemet ovan kan uttryckas som ett egenvärdesproblem för den symmetriska operatorn Au := 1 ( (p(x)u (x)) + q(x)u(x) ) (4) w(x) där definitionsmängden är underrummet som ges av, I = (a, b), där < a < b <, D A = {u C 2 (I) : Au L 2 (I, w) och A u(a) + A 1 u (a) = = B u(b) + B 1 u (b)}. (5) (MB9) vet att reguljära Sturm-Liouville problem har uppräkneligt oändligt många egenvärden λ 1 < λ 2 <... där λ n då n. (MB1) vet att egenrummet som hör ihop med λ n har dimension 1. (MB11) vet att om ϕ n är en egenvektor till Sturm-Liouvilleproblemer ovan som hör ihop med egenvärdet λ n så är {ϕ n } ett fullständigt ortogonalt system i L2 (I, w). Obs! Detta är ett försök att bryta ned kursmålen i mindre och mer konkreta bitar. Målen ovan är inte officiella för kursen, utan ett förslag till hur man kan tänka. Exempel och uppgifter (U1) Rita upp de olika delarna för (PDE): u xx = u t, (RV): u x (, t) = u x (π, t) =, t >, (IV): u(x, ) = 1 2 (1 + cos 3x), < x < π. Gör en tolkning i termer av temperatur u(x, t) i en stav. Lös för u(x, t) genom separation av variabler.

3 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Homogen PDE och homogena RV. Här kommer separation av variabler att fungera rakt av. Börja med att antag att vi har en lösning på formen u(x, t) = X(x)T (t). Insatt i ekvationen Dividera med X(x)T (t), och få X (x)t (t) = X(x)T (t) (6) X (x) X(x) = T (t) T (t) Antag att vi varierar x, då kanske VL ändras, men HL kan inte ändras (det är ju oberoende av x) alltså kan inte heller VL ändras eftersom VL=HL, alltså måste VL vara oberoende av x, alltså måste VL vara en konstant, λ, men då måste även HL = λ. Vi får X (x) + λx(x) = (8) T (t) + λt (t) =. (9) Vi har alltså särkopplat PDEn u xx = u t till två stycken ODEr. Nu vill vi använda randvärdena u x (, t) = = u x (π, t) vilket för vår ansats tar formen X ()T (t) = = X (π)t (t) (1) vilket vi vill ska gälla för alla t >. Vi gör ett VAL och sätter X () = X (π) = och hoppas att detta kommer ge oss något bra i slutändan (vilket det kommer att göra). Vi har nu alltså för ekvationen i x-led att X (x) + λx(x) =, X () =, X (π) =. (11) Detta är ett så kallat Sturm-Liouville problem. Se (MB7) ovan där vi har att p(x) = 1, w(x) = 1 samt q(x) =. Den abstrakta teorin säger att problemet ovan kommer att ha en lösning för uppräkneligt många λ k, samt att de funktioner som löser detta problem ϕ k kommer att utgöra ett fullständigt ortogonalt system i rummet L 2 (I, w), i vårt fall L 2 ((, π), w(x) = 1). Vi försöker finna dessa lösningar! Vi bör egentligen gå igenom fallen λ <, λ = samt λ > och se vad vi kan få ut 1. Om λ = k 2 < för något k R så kommer allmänna lösningen till problemet ovan att vara på formen X(x) = A cosh(kx) + B sinh(kx) (12) X (x) = Ak sinh(kx) + Bk cosh(kx) (13) med randvärden får vi X () = ger att Bk =, alltså B =, och X (π) = ger att Ak sinh(kπ) = (14) men sinh(kπ) för alla k. Alltså A =. Alltså X(x) =, inte en så intressant lösning som vi kan använda som byggsten senare. Om λ = så blir lösningen X(x) = kx + m. Med randvärdena så får vi att k =, alltså är X(x) = m = en konstant är alltså en lösning. Om λ = k 2 > för något k R då blir den allmänna lösningen X(x) = A cos(kx) + B sin(kx) (15) X (x) = Ak sin(kx) + Bk cos(kx). (16) Randvärdet X () = ger att Bk =, och eftersom k, så måste B =. Det andra villkoret X (π) = ger att Ak sin(kπ) =, (17) (7) 1 Varför behöver vi inte undersöka komplexa värden på parametern λ? Se (MB6).

4 4 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF vill att A, så att vi får kvar några lösningar att jobba med. Detta villkor är uppfyllt om k är ett heltal! Så välj k Z. Vilket ger oss Nu går vi över till ekvationen i t-led, denna är vilken har lösningar Alltså har vi fått fram att X k (x) = A k cos(kx), (18) λ k = k 2, k Z. (19) T (t) + k 2 T (t) =, (2) T k (t) = C k e k2t, k Z. (21) u k (x, t) = X k (x)t k (t) = A k C k cos(kx)e k2t = b k cos(kx)e k2 t för k Z är lösningar till (PDE) och (RV). Notera att fallet k = ger lösningen (22) u (x, t) = b, (23) en konstant, vilket precis var fallet då λ = ovan. Vidare så blir det ingen ny lösning om man använder k istället för k u k (x, t) = b k cos( kx)e ( k)2t = b k cos(kx)e k2t, (24) vilket gör att vi kan begränsa oss till k =, 1, 2, 3, etc. Enligt superpositionsprincipen (våra lösningar u k är lösningar till en homogen PDE u xx = u t med homogena randvillkor) så kommer även summan av dessa lösningar att vara en lösning till PDE och RV, alltså u(x, t) = b k cos(kx)e k2t. (25) k= löser PDE och RV. Kvar att fixa till är en funktion som även löser IV. Alltså vi vill ha u(x, ) = b k cos(kx) = 1 (1 + cos(3x)) (26) 2 k= vilket vi ser uppfyll som b = 1/2 och b 3 = 1/2, detta ger oss lösningen till vårt problem u(x, t) = 1 2 (1 + cos(3x)e 9t ). (27) (U2) Nästan samma problem som ovan: (PDE): u xx = u t, (RV): u x (, t) = u x (π, t) =, t >, (IV): u(x, ) = π/2 för x (, 1) annars för x (1, π). Gör en tolkning i termer av temperatur u(x, t) i en stav. Lös för u(x, t) genom separation av variabler. Vi får som innan att lösningen till (PDE) och (RV) kan representeras som u(x, t) = b k cos(kx)e k2t. (28) k=

5 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Vi vill nu anpassa b k så att vi får korrekt (IV). Vi tänker så här, för t = så får vi utseendet u(x, ) = b k cos(kx). (29) k= vilket är en cosinus-serie. Vi tar funktionen u(x, ) = π/2 för x (, 1) annars för x (1, π) och utvidgar denna till intervallet ( π, π) så att det blir en jämn funktion. Detta innebär att denna funktion kommer att kunna representeras som en cosinusserie, vi använder formlerna för Fourierkoefficienter för att beräkna b k b k = 2 2π π f jämn (x) cos(kt) dx = 2 π om k, och b = 1, alltså har vi samt så får vi u(x, ) = u(x, t) = f jämn (x) cos(kt) dx = 2 π sin(k) k e k2 t sin(k) k ˆ 1 π sin(k) cos(kt) dx = 2 k (3) cos(kx), (31) cos(kx). (32) (U3) Rita upp problemet och lös (PDE): u xx = tu t, (D): < x < π, t > 1, (RV): u(, t) = u(π, t) =, t > 1, (IV): u(x, 1) = sin x + 2 sin 3x, < x < π. Homogen PDE och homogena RV. Här kommer separation av variabler att fungera rakt av. Ledning: (a) Ansätt u(x, t) = X(x)T (t) och antag att u är icke-trivial. Varför? (b) Härled X (x) + λx(x) = och tt (t) + λt (t) =. Alltså separera variabler. (c) Visa att X() = X(π) =, från RV. Verifiera att du fått fram ett Sturm-Liouville problem. (d) Visa att λ = n 2, n 1, ger icke-triviala lösningar X n (x) = sin nx. (e) Med λ = n 2 visa att T n (t) = B n t n2. (f) Ger atomära lösningar u n (x, t) = t n2 sin nx. Visa att dessa uppfyller (PDE) och (RV). (g) Summera formellt, med nya koefficienter, Bestäm b n med hjälp av (IV). u(x, t) = b n t n2 sin nx. (U4) Lös

6 6 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF (PDE): u xx (1) = u t + sin(x), (RV): u(, t) =, u(π, t) =, t >, (IV): u(x, ) = sin(x) + 2 sin 3x, < x < π. I detta fall är ekvationen ej homogen, vi har en drivande term sin(x) med. I dessa fall så är det bra att börja att lösa motsvarande homogena problem för PDE och RV. Alltså (PDE): (2) u xx = u t, (RV): u(, t) =, u(π, t) =, t >, (IV): ej nu. Separation av variabler ger X k (x) = sin(kx), k heltal. Med λ k = k 2. Ekvationen för T ger T k (t) = e k2t. Alltså blir den allmänna lösningen till detta modifierade problem. u(x, t) = b k sin(kx)e k2t. (33). Säg nu att vi igen betraktar original-problemet: (3) (PDE): u xx = u t + sin(x), (RV): u(, t) =, u(π, t) =, t >, (IV): u(x, ) = sin(x) + 2 sin 3x, < x < π. I detta fall så gör vi ANSATSEN (som garanterat kommer att uppfylla RV) u(x, t) = b k (t) sin(kx) (34) där b k (t) nu är funktioner av t som vi vill bestämma. Insatt i ekvationen k 2 b k (t) sin(kx) = b k (t) sin(kx) + sin(x) (35) vilket ger oss (om vi identifierar koefficienter för de olika sin-funktionerna) vilket ger oss k = 1 : b 1 (t) = b 1(t) + 1 (36) k > 1 : k 2 b k (t) = b k (t) (37) k = 1 : b 1 (t) = b 1(t) + 1 (38) k > 1 : k 2 b k (t) = b k (t) (39) Så fö k = 1 så kan vi skriva b 1 (t) + b 1(t) = 1, integrerande faktor e t ger d dt (et b 1 (t)) = e t alltså e t b 1 (t) = e t + C alltså och för de övriga alltså lösning till PDE och RV i detta fall blir u(x, t) = ( 1 + Ce t ) + b 1 (t) = 1 + Ce t. (4) b k (t) = c k e k2t, (41) c k sin(kx)e k2t. (42)

7 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Försöker uppfylla IV, får att u(x, ) = ( 1 + C) sin(x) + c k sin(kx) = sin(x) + 2 sin 3x (43) alltså, efter identifikation av koefficienter, C = 2 samt c 3 = 2 och övriga c k = alltså Svar: u(x, t) = (2e t 1) sin(x) + e 9t sin 3x. (U5) Lös (PDE): u xx (4) = u tt + 2u t, (RV): u(, t) =, u(π, t) =, t >, (IV): u(x, ) =, u t (x, ) = sin 3 x, < x < π. Homogen PDE och homogena RV. Här kommer separation av variabler att fungera rakt av. Här kommer problemet som dyker upp i t-led att vara ett andra ordningens problem, med lösning för k > 1 och om k = 1 så har vi så lösning till PDE och RV ges av vi får u(x, t) = (c 1 t + c 2 )e t sin(x) + T (t) + 2T (t) + k 2 T (t) =. T k (t) = e t (a k cos( k 2 1t) + b k sin( k 2 1t)) (44) T 1 (t) = (c 1 t + c 2 )e t. (45) e t (a k cos( k 2 1t) + b k sin( k 2 1t) sin(kx) (46) ger att alla a k = samt c 2 =. Alltså u(x, t) = c 1 te t sin(x) + Deriverar map på t och får u t (x, t) = c 1 (1 t)e t sin(x) + u(x, ) = (47) e t b k sin( k 2 1t) sin(kx) (48) b k e t ( k 2 1 cos( k 2 1t) sin( k 2 1t)) sin(kx) (49)

8 8 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF sätt in t = och få (efter lite formeltrollande) 2 u t (x, ) = c 1 sin(x) + b k k 2 1 sin(kx) (5) = sin 3 x = 1 (2i) 3 (eix e ix ) 3 = i (e3ix 3e ix + 3e ix e 3ix ) (51) 1 4 (sin(3x) 3 sin(x)) = 3 4 sin(x) 1 sin(3x) 4 (52) Detta ger oss alltså från koefficienten framför sin(x) att c 1 = 3 4 vilket ger att lösningen blir: b = 1 4 = b 3 = = samt att (53) u(x, t) = 3 4 e t t sin x e t sin(t 8) sin(3x). (54) (U6) Lös (PDE): u xx = u tt, (D): < x < 1, t >, (RV): u(, t) = u(1, t) =, t >, (IV): u(x, ) = sin(3πx), u t (x, ) = sin(πx) cos 2 (πx) < x < 1. (U7) Lös (PDE): u xx u = u t, (RV): u(, t) =, u(π, t) (5) = 1, t >, (IV): u(x, ) =, < x < π. Homogen PDE och men INHOMOGENA RV. Här bör vi göra ett mellansteg innan separation av variabler. Ledning: (a) Rita! Skapa en visuell representation av problemet. (b) Prova att separera variabler direkt, u(x, t) = X(x)T (t). Du bör stöta på ett problem som hänger ihop med villkoret u(π, t) = 1, ett problem som inte uppstår för villkoret u(, t) =. (c) Ansätt där u(x, t) (6) = ϕ(x) + v(x, t) (55) Varför? (d) Sätt in i (PDE) och (RV) och visa att ϕ() =, ϕ(π) = 1. v(, t) = v(π, t) =. (56) 2 potenser av sin(x) och cos(x) kan man alltid skriva om som linjärkombinationer av sin(x), sin(2x),... alternativt 1, cos(x), cos(2x),... genom att använda Eulers-formler samt binomialsatsen.

9 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF (e) Lägg till villkoret Du bestämmer alltså att göra detta val. Finn ϕ(x). (f) Visa att vi har följande villkor på v = v(x, t) ϕ (x) + 1 (7) 4ϕ(x) =. (57) (PDE): v xx v = v t, (RV): v(, t) =, v(π, t) (8) =, t >, (IV): v(x, ) = sin 1 2x, < x < π. Homogen PDE och homogena RV. Här kommer separation av variabler att fungera rakt av. (g) Ansätt v(x, t) = X(x)T (t) och härled X (x) + ( λ)x(x) =, X() = X(π) = samt T (t) + λt (t) =. (h) Kom fram till att vi måste ha λ n = n för n = 1,... för icke-triviala lösningar. Får att X n (x) = sin nx. (i) Dra slutsatsen att T n (t) = A n e ( 1 4 n2 )t. Atomära lösningar är således (j) Summera: (k) Dra slutsatsen att v n (x, t) = e ( 1 4 n2 )t sin nx. v(x, t) (9) = b n e ( 1 4 n2 )t sin nx. b n sin nx = sin 1 2x. (58) (l) Låt f(x) vara 2π-periodisk och udda samt f(x) = sin 1 2x, för x [, π]. Funktionen f kan då utvecklas i en sinusserie. Koefficienterna blir b n = 2 period ˆ period f(x) sin n 2π (1) x dx = 2 period π sin 1 2x sin nx dx (59) (11) = 2 n π ( 1)n n 2 1. (6) 4 (m) Ett annat sätt att få fram formeln för koefficienterna b n är att använda teorin för reguljära Sturm-Liouville problem. Enligt denna kommer mängden {sin(nx} att utgöra ett fullständigt ortogonalt system i L 2 ((, π), w(x) = 1). Detta innebär att, ortogonalitet, om n m. Eller med mer abstrakt notation sin(nx) sin(mx) dx = (61) (sin(nx) sin(mx)) = (62) om n m. Ta därför inre produkten av ekvation 58 med sin(mx) och få ( b n sin(nx) sin(mx)) = (sin 1 2x sin(mx)), (63) vilket är ekvivalent med b n (sin(nx) sin(mx)) = (sin 1 2x sin(mx)), (64)

10 1 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF ekvivalent med (använder ortogonalitet) och vi har att (sin(mx) sin(mx)) = alltså formeln för b m blir b m (sin(mx) sin(mx)) = (sin 1 2x sin(mx)), (65) sin 2 (mx) dx = 1 cos 2 (mx) dx = cos(2mx) dx = π 2, (66) b m = 2 sin(mx) sin( 1 x) dx, (67) π 2 precis som samma sätt som innan. Detta är alltså en alternativ metod för att slippa tänka på hur utseendet för Fourier-koefficienterna, det enda man behöver komma ihåg är att sin(nx) utgör en ortogonal bas och projektions-tanke, så faller formlerna ut automatiskt från dessa idéer. (n) Alltså: u(x, t) = sin 1 2 x + 2 n π ( 1)n n 2 1 e ( 1 4 n2 )t sin nx. 4 (U8) Bestäm ett fullständigt ortogonalt system i L 2 ((, π), w(x) = 1) bestående av lösningar till < x < π med u() = u (π) =. u (x) + λu(x) =, För att förstå Sturm-Liouville teorin så kan vi göra lite småövningar: (a) Låt A vara operatorn A = d dx 2 med D A = {u C 2 (I) : u() = u (π) = }. (b) Ett element i D A är u(x) = x 2 2πx. Varför då? Skriv upp ett annat element v(x) i D A. (c) Låt u(x) = x 2 2πx och v(x) = sin 1 2x. Vad blir Au och Av? Beräkna talen och (v Au) L 2 ((,π),w(x)=1) (Av u) L 2 ((,π),w(x)=1), visa att de är lika. (d) I detta fall kan man göra det mer generellt, för alla u, v D A, (förklara likheterna) (v Au) (12) = (14) = [v (x)u(x)] π v(x)u (x) dx (13) = [v(x)u (x)] π + v (x)u(x) dx (15) = (Av u). v (x)u (x) dx (e) Om A är symmetrisk och vi har ett u så att Au = λu, (förklara likheterna) λ(u u) (16) = (λu u) (17) = (Au u) (18) = (u Au) (19) = (u λu) (2) = (λu u) (21) = λ (u u) (22) = λ (u u), alltså måste λ = λ dvs. λ är reellt. (f) Koppla ihop detta med (MB8),(MB9),(MB1) och (MB11). (g) Visa att för λ = κ 2 där κ så får vi bara u(x) =. (h) Visa att för λ = κ 2, där κ >, så får u(x) = A cos(κx) + B sin(κx).

11 ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF (i) Använd (RV): A = samt κ n = n + 1 2, med n Z. (j) Vad blir λ n? Stämmer påståendet i (MB9)? Svar: {u n (x) = sin (( n) x ) } n= (U9) Bestäm ett fullständigt ortogonalt system i L 2 ((, π), w(x) = 1) bestående av lösningar till < x < π med u() = u(π) + u (π) =. u (x) + λu(x) =, Detta är ett reguljärt Sturm-Liouville problem, se (MB7) med p(x) = 1, och q(x) = och w(x) = 1. Det är därför vi betraktar L 2 ((, π), w(x) = 1). I detta fall så har vi andra typer av randvillkor. Vi testar olika värden på λ. (I princip så skulle dessa värden på λ vara komplexa egenvärden, men eftersom detta Sturm-Liouville kan betraktas som ett egenvärdesproblem för operatorn A[u] = d2 u med D dx 2 A = {u C 2 (, π) : u() =, u(π) + u (π) = }, och eftersom den operatorn är symmetrisk så måste potentiella egenvärden vara reella. Om λ =, så blir u =, alltså måste u (x) = k, en konstant och u(x) = kx + m vara en linje. Eftersom u() = så måste m =. Vi får sedan att u(π) + u (π) = vilket ger kπ + k =, alltså k(π + 1) =, alltså måste k =. Ger endast u(x) =. Om λ = k 2, där k R så måste u(x) = A cosh(kx) + B sinh(kx), eftersom u() = så måste A =. Det andra villkoret ger att, mha u (x) = Bk cosh(kx), så får vi B(sinh(kπ) + k cosh(kπ)) =. (68) men eftersom sinh och cosh är positiva för positiv input, så måste uttrycket i parantesen vara strikt positivt om k >, alltså måste B =. Vi får alltså endast u(x) = i detta fall också. Sista fallet är u(x) = k 2, med k R. Då får vi allmänna lösningen u(x) = A cos(kx) + B sin(kx), och pss som innan får vi att A =. Vidare så får vi för det andra randvärdet att B sin(kπ) + Bk cos(kπ) =, (69) där vi ser att om k = n+1/2 för n Z så blir cos((n+1/2)π) = och sin((n+1/2)π) = ±1, vilket endast är en lösning till ekvationen ovan om B = (vilket inte ger några intressanta lösningar), alltså kan vi anta att cos(kπ) och skriva om ekvationen som B cos(kπ)(tan(kπ) + k) =. (7) Kan vi lösa ekvationen tan(kπ)+k =? Om du ritar graferna för tan(πx) och x i samma graf så ser vi att det finns oändligt många positiva lösningar till denna ekvation. Kalla dessa lösning ω n för n = 1, 2,.... Vi har alltså ingen exakt formel för dessa ω n, men det är klart från grafens utseende att dessa ω n är väldefinierade. Alltså λ = ω 2 n är egenvärdena och motsvarande egenfunktioner är u n (x) = sin(kx) = sin(ω n x) för n 1. Enligt teorin för reguljära Sturm-Liuovulle problem så kommer λ n då n. Vidare så utgör {sin(ω n x)} ett fullständigt ortogonalt system i rummet L 2 ((, π), w(x) = 1). Svar: {sin ω n x} där ω n är de positiva lösningarna till tan(ωπ) = ω, n 1.