Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier"

Transkript

1 KAPITEL 5 Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier Vi inleder med några förberedande exempel. 5.. Cauchys ekvation Den homogena Euler-Cauchys ekvation (Leonhard Euler och Augustin-Louis Cauchy är en linjär homogen ODE som kan skrivas på formen (* x 2 y + axy + by =. Exempel 5.. Lös ekvationen (*. Lösning: Ansätt y(x = x r. Då blir y (x = rx r och y (x = r(r x r 2, och insatt i (* får vi vilket ger oss ekvationen r(r x r + arx r + bx r =, (** r(r + ar + b = den Karakteristiska ekvationen som motsvarar (*. Antag att lösningarna till (** är r och r 2. Vi har tre olika fall:. Om r och r 2 är reella och skilda, r r 2 så blir y(x = Ax r + Bx r Om r och r 2 är reella och lika, r = r 2 = r så blir y(x = Ax r + Bx r lnx. 3. Om r och r 2 är komplexkonjugerade, r = α + iβ, r 2 = α iβ så blir ANMÄRKNING 6. Observera att y(x = Ax α+iβ + Bx α iβ. x α+iβ = x α e iβlnx = x α (cos(βlnx + isin(βlnx och x α iβ = x α (cos(βlnx isin(βlnx, och vi kan skriva om lösningen i fall 3 i exemplet ovan som y(x = x α ((A + Bcos(βlnx + i(a Bsin(βlnx. Betraktar vi enbart konstanter A och B sådana att C = A + B och D = i(a B är reella tal så kommer y(x = x α (C cos(βlnx + Dsin(βlnx 27

2 28 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER att vara en reell lösning till (*. Exempel 5.2. Lös differentialekvationen dvs x 2 y + 2xy 6y =. Lösning: Den karakteristiska ekvationen är vilken har lösningarna r(r + 2r 6 =, r 2 + r 6 = r = 2, r 2 = 3. Eftersom vi har två skilda reella lösningar hamnar vi i fall ovan, och lösningarna till ekvationen ges av y(x = Ax 2 + Bx 3. Exempel 5.3. Lös ekvationen x 2 y + 2xy + λy =, λ > 4. Lösning: Den karakteristiska ekvationen är r 2 + r + λ =, vilket har lösningarna r = λ 2 ± 4 λ = 2 ± i 4. Eftersom vi nu har fallet med komplexa lösningar r = α + iβ och r = α iβ befinner vi oss i fall 3 ovan, och lösningarna ges av ( y(x = Ax 2 sin ( λ 4 lnx + Bcos ( λ 4 lnx Exempel på Sturm-Liouville problem I nästa avsnitt kommer vi beskriva mer i detalj vad som menas med ett Sturm-Liouvilleproblem (Charles- Fran cois Sturm och Joseph Liouville, men först ska vi studera några exempel. Exempel 5.4. Lös y + λy =, y( = y(l =.

3 5.2. EXEMPEL PÅ STURM-LIOUVILLE PROBLEM 29 Lösning: Vi såg tidigare (avsnitt 4.8, sid. 23 att detta problem kan lösas om och endast om ( nπ 2 λ = λ n =, n =,2,3,...(egenvärden l med de motsvarande lösningarna ( nπ y n = a n sin l x (egenfunktioner. Exempel 5.5. Lös Lösning: Vi har tre olika fall: X (x λx(x =, x, X( =, X ( = 3X(. λ = X(x = Ax + B, X( = B =, och X ( = 3X( A = 3A A =. Vi får alltså enbart den triviala lösningen X(x. λ > Med λ = p 2 blir lösningen X(x = Ae px + Be px. Randvillkoren X( = och X ( = 3X( ger X( = A + B = X ( + 3X( = A ( pe p + pe p + 3A ( e p e p =, dvs B = A och A = eller e p (p e p (p 3 =, men detta uttryck är aldrig för p (visa detta! och vi måste alltså ha A = B =, och även i detta fall får vi endast den triviala lösningen X. λ < Med λ = p 2 får vi lösningen X(x = Acos px + Bsin px, och randvillkoren ger X( = A =, och X ( = 3X( ger pbcos px = 3Bsin px B(pcospx + 3sin px =, vilket ger att antingen är B =, och vi får den triviala lösningen, eller så är (pcospx + 3sin px =, dvs p måste uppfylla ekvationen tan p = p 3. Vi ser alltså att det endast finns icke-triviala lösningar då λ är ett egenvärde λ = λ n = p 2 n, n =,2,..., där p n är en lösning till tan p = p (se Fig , och vi har då motsvarande egenfunktioner 3 Exempel 5.6. Lös Lösning: Den karakteristiska ekvationen blir X n (x = a n sin p n x. x 2 X (x + 2xX (x + λx =, X( =, X(e =. r(r + 2r + λ = r 2 + r + λ =

4 3 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER FIGUR Lösningar till tan p = p 3 y y = tan p p p2 p3 p y = p 3 som har lösningarna r = 2 ± 4 λ = 2 ± i λ 4, och vi ser att de fall vi måste undersöka är λ < 4, λ = 4 och λ > (jfr. Exempel λ < 4 λ = 4 λ > 4 Med r,2 = 2 ± 4 λ (skilda reella får vi lösningarna X(x = Axr + Bx r 2 och randvillkoren ger X( =, X(e =, A + B =, Ae r + Be r 2 =, A = B, A(e r e r 2 =, dvs eftersom e r e r 2 måste A = och vi får endast den triviala lösningen X. Nu får vi en dubbelrot r = 2 och lösningarna blir X(x = Ax 2 +Bx 2 lnx. Randvillkoren ger X( = A = och X(e = Be 2 =, dvs A = B = och vi får endast den triviala lösningen X. De två komplexa rötterna r = λ 2 ± i ger lösningarna 4 ( λ ( λ 4 lnx 4 lnx X(x = A x sin + B x cos, ( och vi får X( = B =, och X(e = A sin e λ 4 = vilket ger att λ måste uppfylla λ 4 = nπ, för något positivt heltal n. Vi får alltså egenvärden λ n = 4 + (nπ2, n Z +,

5 5.2. EXEMPEL PÅ STURM-LIOUVILLE PROBLEM 3 y FIGUR Besselfunktionen J (x J (x α α2 α3 α4 α5 x med motsvarande egenfunktioner X n (x = A n x sin(nπlnx. Exempel 5.7. (Bessels ekvation En viktig ordinär differentialekvation inom matematisk fysik är Bessels ekvation (Wilhelm Bessel av ordning m: r 2 w + rw + (r 2 m 2 w =. Lösningarna (det finns två linjärt oberoende till denna ekvation kallas Besselfunktioner av ordning m. (För mer information se t.ex. Besselfunktioner hos engineering fundamentals. Vi ska betrakta ett specialfall. Lös följande problem innehållande Bessels ekvation av ordning : d 2 w dr 2 + dw r dr + k2 w =, w(r =, w (r <. Lösning: En allmän lösning är w(r = C J (kr +C 2 Y (kr, där J och Y är Besselfunktionerna av första och andra sorten av ordning. Man vet att Y ej är begränsad och om w (r ska vara begränsad måste C 2 =. Randvillkoret ger sedan att w(r = C J (kr =, och om vi inte bara ska få den triviala lösningen (C = så måste k och R uppfylla J (kr =. Det är välkänt att J har oändligt många nollställen α n (α = , α 2 = , α 3 = etc, se Fig , och det finns bara icke-triviala lösningar för egenvärden med motsvarande egenfunktioner k n = α n R, n Z+, w n (r = J ( αn R r, n Z +.

6 32 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER 5.3. Inre produkt och norm För att kunna tillverka en ortonormerad bas i ett vektorrum måste vi kunna mäta längder och vinklar. Detta innebär att vi måste införa en inre produkt (en skalärprodukt. Med hjälp av en inre produkt kan vi enkelt avgöra vilka element som är ortogonala mot varandra. Det är framför allt två exempel på vektorrum som vi ska betrakta här, först det bekanta exemplet med vektorer i R 2 tillsammans den vanliga skalärprodukten, och sedan det som intresserar oss mest här, ett rum bestående av funktioner på ett intervall. Vektorer i R 2 Om vi har två vektorer x = (x,x 2 och y = (y,y 2 så definierar vi den inre produkten av x och y som x y = x y + x 2 y 2. Normen av x, x, definieras av x 2 = x x = x 2 + x2, 2 och avståndet mellan x och y, x y, ges av x y 2 = (x y 2 + (x 2 y 2 2. Vinkeln θ mellan x och y kan nu beräknas från relationen x y = x y cosθ, och vi säger att två vektorer är ortogonala (vinkelräta mot varandra, x y, om θ = π, dvs om 2 Ett funktionsrum x y =. Vi betraktar nu funktioner f (x och g(x på intervallet [, l], tillsammans med en positiv viktfunktion r(x. Generaliseringarna av begreppen ovan är f,g = f 2 = f g 2 = f (xg(xr(xdx, f (x 2 r(xdx, (norm (inre produkt f (x g(x 2 r(xdx, (avstånd f,g = f g cosθ, (vinkel f g f,g = (ortogonalitet f (xg(xr(xdx = Sturm-Liouvilleproblem Ett allmänt Sturm-Liouvilleproblem kan skrivas som ( P (xy + ( q(x + λr(xy =, < x < l, c y( + c 2 y ( =, c 3 y(l + c 4 y (l =. Här är r(x, q(x och P (x givna funktioner, c,...,c 4 givna konstanter och λ en konstant som kan anta vissa värden vilka ska bestämmas (egenvärden. r(x brukar kallas för en viktfunktion. Oftast gör man antagandet att r(x >.

7 5.4. STURM-LIOUVILLEPROBLEM 33 Om P (x > och c,...,c 4 säger vi att problemet är reguljärt, och om P eller r är i någon ändpunkt säger vi att det är singulärt (det finns dock även andra fall av både reguljära och singulära SL-problem, t.ex. är nedanstående exempel reguljärt. Exempel 5.8. r(x =, P (x =, q(x =, c = c 3 =, c 4 = c 2 =. y + λy =, y( =, y(l =. (Jämför med Exempel 5.4. I detta fall har vi ( nπ 2 λ n =, n =,2,3,..., (egenvärden l ( nπ y n = sin l x, (egenfunktioner och y n,y m = y n 2 = ( nπ sin sin l x sin ( nπ l x 2 dx = ( mπ x dx =, om n m, l ( ( nπ cos 2 l x dx = l 2. Om f är en funktion på intervallet [,l] kan vi definiera Fourierserien av f, S(x, genom (se avsnitt 6. : S(x = c n = ( nπ c n sin l x, där y n 2 f,y n = 2 ( nπ f (xsin l l x dx. ANMÄRKNING 7. Exempel är också Sturm-Liouvilleproblem. För ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem gäller: (i (ii Egenvärdena är reella och till varje egenvärde hör det en egenfunktion som är unik upp till en konstant multipel. Egenvärdena bildar en oändlig följd λ,λ 2,... och kan ordnas som λ < λ 2 < λ 3 <, (iii med lim λ n =. n Om y och y 2 är två egenfunktioner som svarar mot två skilda egenvärden, λ i λ i2, så är de ortogonala, dvs y,y 2 = y (xy 2 (xr(xdx =.

8 34 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER 5.5. Generaliserad Fourierserieutveckling Vi ska nu se hur det går att generalisera begreppet Fourierserier från trigonometriska basfunktioner till en ON-bas bestående av egenfunktioner till Sturm-Liouville problem. Antag att vi har en oändlig linjärkombination där y n y m för n m. Då är f,y m = f (x = c n y n (x, c n y n,y m = = c m y m,y m = c m y m 2. c n y n,y m Låt f vara en godtycklig funktion på [,l]. Då definierar vi den generaliserade Fourierserien för f som där S(x = c n y n (x, c n = y m 2 f,y n, är de generaliserade Fourierkoefficienterna. Låt y,y 2,... vara en mängd av ortogonala egenfunktioner för ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem, och låt f vara en styckvis glatt funktion i [,l]. Då gäller för varje x i [,l] att (a S(x = f (x om f är kontinuerlig i x, och (b S(x = ( f (x+ + f (x om f har ett språng i x Några tillämpningar Exempel 5.9. Betrakta en stav av längd l, med konstant densitet, specifik värme och termisk ledning, ρ, c v respektive κ. Placera staven mellan x = och x = l. Antag att stavens temperatur i ändpunkterna ges av u(,t = u(l,t =, t >, (* och att temperaturfördelningen i staven vid begynnelsetidpunkten t = ges av u(x, = f (x, x l. Bestäm temperaturen u(x,t i punkten x, x l, och vid tiden t, t. Lösning: Vi har sett (se Kapitel att den matematiska formuleringen av det här problemet är u t(x,t ku xx(x,t =, x l, t, k = κ c V ρ, u(,t = u(l,t =, t >, u(x, = f (x, x l. Först gör vi följande naturliga skalning av problemet (se Kapitel : (5.6. t = k l 2 t, x = x l.

9 5.6. NÅGRA TILLÄMPNINGAR 35 (A (B Då får vi följande standardproblem att lösa: ( (2 (3 ũ t (x,t ũ xx (x,t =, x, t, ũ(,t = ũ(,t =, t >, ũ(x, = f (x, x, där f (x = f (xl. Vi kan nu använda Fouriers metod för att lösa detta problem (se avsnitt 4.8. Steg : Försök hitta lösningar av typen Sätter vi in detta i ekvationen ( ovan får vi dvs ũ(x,t = X(xT (t. T (t T (t = X (x X(x = λ, X (x + λx(x =,och T (t + λt (t =. Vi måste också försöka uppfylla randvillkoren (2: X(T (t = X(T (t =, och om vi inte ska få den triviala lösningen T drar vi slutsatsen att X( = X( =. Detta randvillkor tillsammans med (A leder till Sturm-Liouvilleproblemet X (x + λx(x =, (** X( = X( =. Steg 2: Vi får tre fall beroende på λ : λ <, λ =, λ >. λ < Ger endast den triviala lösningen X(x. λ = Ger endast den triviala lösningen X(x. λ > Då får vi ( ( X(x = Asin λx + Bcos λx, ( och X( = B =, och X( = Asin λ n Z +. Alltså har SL-problemet (** följande egenvärden och motsvarande egenfunktioner λ n = (nπ 2, n Z +, X n (x = sin(nπx. Dessutom, för dessa värden på λ = λ n, har (B lösningen T (t = T n (t = e (nπ2t, och vi drar slutsatsen att alla lösningar som uppfyller ( och (2 är på formen ũ n (x,t = sin(nπxe (nπ2t. = A = eller λ = nπ,

10 36 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER Steg 3: Superpositionsprincipen (se avsnitt 4.5 säger att funktionen ũ(x,t = b n sin(nπxe (nπ2 t också uppfyller ( och (2. Vi ska nu se till att även få begynnelsevillkoret (3 uppfyllt med denna funktion genom att välja lämpliga konstanter b n. Det är klart att ũ(x, = b n sin(nπx, och om vi väljer b n som Fourierkoefficienterna för f, dvs får vi faktiskt Slutsatsen är att funktionen b n = 2 ũ(x, = ũ(x,t = Z f (xsin(nπxdx, b n sin(nπx = f (x. b n sin(nπxe (nπ2t, med b n som ovan uppfyller (, (2 och (3. Slutligt steg: Genom att använda skalningen från (5.6. ser vi att lösningen till det ursprungliga problemet ges av där u(x,t = b n = 2 l ( nπ b n sin l x e ( nπ l 2 kt, ( nπ f (xsin l x dx. Exempel 5.. Betrakta en stav mellan x = och x = e, som i ändpunkterna har den konstanta temperaturen. Antag att vid begynnelsetiden t = har staven en värmefördelning som ges av u(x, = f (x, < x < e, att ingen värme tillförs, att staven har konstant densitet ρ och specifik värme c v, samt att värmeledningsförmågan K varierar som K(x = x 2. Ekvationen som bestämmer temperaturen u(x,t är då ( (2 c v ρu t = x ( x 2 u x, < x < e, t >. Bestäm temperaturfördelningen u(x,t i punkten x, x e, vid tidpunkten t >. Lösning: Vi tillämpar Fouriers metod för att separera variablerna och ansätter u(x, t = X(xT (t. Sätter vi in detta uttryck i ( ovan får vi c v ρ T T = d ( x 2 X = λ, X dx där λ är konstant och X uppfyller randvillkoret X( = X(e =.

11 5.6. NÅGRA TILLÄMPNINGAR 37 (3 (4 T uppfyller alltså ekvationen och X uppfyller T = λ c v ρ T, d ( x 2 X + λx =, < x < e dx x 2 X + 2xX + λx =, < x < e. Ekvationen (4 tillsammans med randvillkoret (2 ger ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem på [,e]. Den karakteristiska ekvationen är med rötterna r(r + 2r + λ =, r,2 = 2 ± 4 λ. Som tidigare (Exempel 5.6 får vi tre olika fall för λ: λ = 4 λ < 4 Då får vi en dubbelrot r = 2, och lösningarna ges av X(x = Ax 2 +Bx 2 lnx. Randvillkoret (2 ger X( = A = och X(e = Be 2 =, dvs vi får bara den triviala lösningen X. Rötterna blir nu reella och skilda, r r 2, och lösningarna blir X(x = Ax r + Bx r 2. Randvillkoren ger X( = A + B = X(e = Ae r + Be r 2 = A = B, A(e r e r 2 =, och eftersom r r 2 så måste A =, och vi får den triviala lösningen X. λ > 4 Vi får två komplexa rötter r = λ 2 ± i, och den allmänna lösningen blir 4 X(x = A sin ( λ 4 lnx + B cos ( λ 4 lnx. x x ( Randvillkoren ger X( = B = och X(e = Ae 2 sin λ 4 =, vilket ger att λ 4 = nπ, n Z+. Observera att fallet n = är samma sak som λ =. Egenvärdena till Sturm-Liouvilleproblemet (4 och 4 (2 är alltså och motsvarande egenfunktioner är λ n = 4 + n2 π 2, n Z +, X n (x = x sin(nπlnx, n Z +.

12 38 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER För varje fixt n blir ekvationen (3 med lösningarna Vi drar slutsatsen att funktionerna T n = λ n c v ρ T n, T n (t = e λn cvρ t, n Z +. u n (x,t = T n (tx n (x = x sin(nπlnxe λn cvρ t, n Z +, är lösningar till den ursprungliga ekvationen, vilka dessutom uppfyller randvillkoren. Superpositionsprincipen ger att funktionen x sin(nπlnxe cvρ λn t u(x,t = a n också löser ekvationen samt uppfyller randvillkoren. Slutligen måste vi även ta hänsyn till begynnelsevillkoret: u(x, = x sin(nπlnx = f (x, vilket blir uppfyllt om vi väljer konstanterna a n som Z e a n = X n 2 f (xx n (xdx a n Z e = 2 f (x sin(nπlnxdx. x Z e (Notera att X n 2 = x sin2 (nπlnxdx =. Den sökta temperaturfördelningen ges alltså av 2 där Exempel 5.. Lös problemet: u(x,t = a n x sin(nπlnxe λn cvρ t, Z e f (x a n = 2 sin(nπlnxdx. x ( u u t = 2 x 2, (2 u(,t =, (3 (4 (5 (6 u x(,t = 3u(,t, u(x, = f (x. Lösning: Vi använder Fouriers metod (variabelseparation. Steg : Gör ansatsen u(x,t = X(xT (t och sätt in i (. På samma sätt som tidigare får vi då ekvationen T (t T (t = X (x X(x = λ, vilket ger de två ekvationerna T (t λt (t =, X (x λx(x =.

13 5.6. NÅGRA TILLÄMPNINGAR 39 Steg 2: Vi har tre fall för λ att studera. λ = Lösningarna till (5 och (6 blir då T =konstant, och X = Ax + B, dvs lösningen blir u(x,t = Ax + B för några konstanter A och B. Randvärdet (2 ger u(,t = B =, och (3 ger u x(,t = A = 3u(,t = 3A, dvs A = och vi får endast den triviala lösningen u(x, t. λ > Lösningen till (5 blir nu T (t = Ae λt och lösningen till (6 blir X(x = λx Be +Ce λx. Randvärdet (2 ger u(,t = T (tx( = Ae λt (B +C =, dvs antingen är A = (som ger u eller så är B = C. Villkoret (3 är nu ekvivalent med Ae λt ( λb λ e ( + e λ = 3AB λ e e λ, ( ABe 2 λ 3 + λ = AB ( 3 λ, λ < vilket endast är uppfyllt om AB = (visa detta, och i detta fall får vi bara den triviala lösningen, u. Om vi sätter λ = p 2 får vi (på samma sätt som i Exempel 5.5 lösningarna (* u n (x,t = B n e p2 nt sin p n x, n =,2,3,..., där p n är lösningar till ekvationen tan p = p 3. Steg 3: Alla funktioner definierade av (* uppfyller (, (2 och (3. Enligt superpositionsprincipen uppfyller även u(x,t = B n e p2 nt sin p n x (, (2 och (3. Dessutom så är (6 med tillhörande randvillkor ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem och teorin för generaliserade Fourierserier ger att u(x,t kommer uppfylla (4: om vi väljer konstanterna B n som u(x, = B n sin p n x = f (t (** B n = f (x,sin p R nx sin p n x 2 = f (xsin p nxdx R sin2 p n xdx. Svaret till problemet är alltså u(x,t = B n e p2 nt sin p n x, där p n är de positiva lösningarna till tan p = p 3, p < p 2 < (se Fig. 5.2., och B n definieras av (**.

14 4 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER Exempel 5.2. (Vågekvationen Ett vibrerande cirkulärt membran med radie R beskrivs av följande ekvation, med tillhörande rand och begynnelsevillkor: ( (2 (3 (4 u tt = c 2 ( u xx + u yy,t >, r = x 2 + y 2 R, u(r,t =,t >, (fixerad rand u(r, = f (r,r R, (begynnelseposition u (r, = g(r,r R.(begynnelsehastighet t Observera att begynnelsevillkoren endast beror av r = x 2 + y 2 =avståndet från membranets centrum till punkten (x,y, och om vi inför polära koordinater x = r cosθ, y = r sinθ, ser vi att ( kan skrivas som 2 ( u 2 t 2 = u c2 r 2 + u r r + 2 u r 2 θ 2, eller, om vi dessutom gör antagandet att u(r,θ,t är radiellt symmetrisk (dvs att u(r,θ,t är oberoende av vinkeln θ kan vi skriva om ( som 2 ( u 2 ( t 2 = u c2 r 2 + u. r r För att lösa problemet fortsätter vi som tidigare och använder Fouriers metod för att separera variablerna. Med ansatsen u(r,t = W(rG(t insatt i ( så får vi ekvationerna (5 W + r W + k 2 W =, r R, (6 Dessutom får vi följande randvillkor från (2: G + (ck 2 G =, t >. (7 W(R =, och (5 tillsammans med (7 är ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem vilket ger oss egenfunktionerna ( αn W n (r = J R r, där α n = k n R är lösningarna till J (kr = (se Exempel 5.7. Observera att om vi skriver om (5 på den allmänna formen ser vi att vi får en viktfunktion = r, dvs den inre produkten ges av f,g = Z R f (rg(rrdr. Genom att lösa (6 för dessa värden på k och använda superpositionsprincipen får vi att ( (* u(r,t = A n cos ( cαn R t + B n sin ( cαn R t J ( αn R r är en lösning till ( och (2. Dessutom kan vi välja konstanterna A n så att (3 blir uppfylld, dvs ( αn u(r, = A n J R r = f (r, om Z R ( αn (** A n = R R J ( αn R r f (rj 2 rdr R r rdr.

15 5.7. ÖVNINGSUPPGIFTER 4 På samma sätt ser vi att (4 blir uppfyllt om vi väljer B n så att cα n (*** B n R = R R J ( αn R r 2 rdr Z R g(rj ( αn R r rdr. Svaret till problemet ges alltså av (* där A n och B n väljs som i (** och (*** Övningsuppgifter 5.. [S] Lös följande S-L problem genom att bestämma egenvärden och egenfunktioner: ( (a x 2 u (x + λu(x =, < x < e L, u( = u ( e L =, ( (b x 2 u (x + λu(x =, < x < e L, u( = u (e = * Lös följande S-L problem genom att bestämma egenvärden och egenfunktioner: (a u (x + λu(x =, < x < l, u ( = u (l =, (b u (x + λu(x =, < x < l, u ( = u(l = [S] Använd Fouriers metod för att lösa problemet u t = u xx, x l, t >, u x(,t = u x(l,t =, t >, u(x, = f (x, < x < l * En stav mellan x = och x = e har konstant temperatur i ändpunkterna, och vid tiden t = ges värmefördelningen av x, < x < e. Staven har konstant densitet ρ och konstant specifik värme C, men dess termiska ledningsförmåga varierar som K = x 2, < x < e. Formulera ett initial- och randvärdesproblem för stavens temperatur u(x,t och lös problemet med hjälp av Fouriers metod * (a Lös problemet u t = 4u xx, x, t >, u(,t = t >, u x(,t = cu(,t, t >, u(x, = x, x, x < 2, x 2. (b Ge en fysikalisk tolkning av problemet i (a [S] Betrakta en ideal vätska som strömmar ortogonalt mot en oändligt lång cylinder med radien a. Då problemet är likformigt i den axiala koordinaten kan vi betrakta problemet i polära koordinater i planet.

16 42 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER a x Vätskans hastighet v(r,θ ges då av ekvationen där ψ är en lösning till Laplaces ekvation Vid cylinderns yta har vi randvillkoret v(r,θ = gradψ, ψ =. ψ r r=a =, och då r har vi följande asymptotiska randvillkor: ψ lim r x = lim ψ r r cosθ = v, där v är en konstant. a Visa med hjälp av variabelseparation att ansatsen ψ(r, θ = R(rΘ(θ transformerar Laplaces ekvation till följande två ekvationer Θ (θ + m 2 Θ(θ =, R (r + r R (r m2 R(r r2 =, där m är ett heltal. b Använd a för att hitta ψ och v.

Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar. Vårterminen 2002 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder i kap 3 och H (partiellt) Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem:

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 24 oktober 2016 kl 8:00-13:00 För godkänt (betyg E) krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För

Läs mer

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T. Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 3-5-6, kl. 14. 19.. 5B1/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg

Läs mer

Partiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem

Partiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem Partiella differentialekvationer och randvärdesroblem. 12.1. Searabla PDE 12.2. Klassiska ekvationer och randvärdesroblem. 12.3. Värmeledningsekvationen. 12.4. Vågekvationen. 12.5. alace ekvation. Variabelsearation.

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/ Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att

Läs mer

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int, Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan

Läs mer

ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll

ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Partiella differentialekvationer Separation av variabler Operatorer A definierade

Läs mer

Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen

Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen Produktlösningar Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen u( u( u( u( u( A B C D E 0 (ekv 0) y y y som är definierad på ett (ändligt eller oändlig rektangulär område

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs

Läs mer

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära

Läs mer

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007 Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y

Läs mer

1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, y) till Laplaces ekvation u = 0 inom rektangeln 0 < x < a och 0 < y < b med följande randvillkor 1

1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, y) till Laplaces ekvation u = 0 inom rektangeln 0 < x < a och 0 < y < b med följande randvillkor 1 KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A131/5A135 Fysikens matematiska metoder Fredagen den 2 oktober 26, kl 8:-13: Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs problemnummer. Notera på första tentabladet

Läs mer

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är

Läs mer

För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.

För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.

Läs mer

Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer

Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.

Läs mer

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer

Läs mer

Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.

Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. 401. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 0 b. y 2y 3y = 0 c. y 2y = 0 d. y 4y +

Läs mer

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t), Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan

Läs mer

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2 Chalmers tekniska högskola Datum: 7--8 kl. 8.. Tentamen Telefonvakt: Milo Viviani MVE5, TKSAM- Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper.

Läs mer

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ). . (3 poäng) Antag att en partikel rör sig i ett medium där friktionskraften är proportionell mot kvadraten av hastigheten v(t) R så att dv(t) = k ( v(t) ), t > för en konstant k >. Bestäm v(t) som funktion

Läs mer

ÚÚ dxdy = ( 4 - x 2 - y 2 È Î

ÚÚ dxdy = ( 4 - x 2 - y 2 È Î Lösningsförslag till tentamensskrivning i Matematik IV, 5B0 Måndagen den 0 oktober 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang

Läs mer

Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra

Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra Ht-2010 Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer Del 1 Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra 10.1-10.

Läs mer

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl. Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.

Läs mer

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska

Läs mer

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook

Läs mer

DEL I 15 poäng totalt inklusive bonus poäng.

DEL I 15 poäng totalt inklusive bonus poäng. Matematiska Institutionen KTH TENTAMEN i Linjär algebra, SF604, den 5 december, 2009. Kursexaminator: Sandra Di Rocco Svaret skall motiveras och lösningen skrivas ordentligt och klart. Inga hjälpmedel

Läs mer

Oändligtdimensionella vektorrum

Oändligtdimensionella vektorrum Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.

Läs mer

= = i K = 0, K =

= = i K = 0, K = ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet 2 december 21 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 1 / 39 1 Ekvationssytem och matrisräkning

Läs mer

u(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen

u(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från

Läs mer

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t), Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-53 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet december Ekvationssytem och matrisräkning 3 Gauss metod, LU-uppdelning 3 Egenvärden 4 Projektioner 9 Principalkomponenter Differentialekvationssystem

Läs mer

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00 KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära

Läs mer

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet

Läs mer

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y 1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I. Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4

Läs mer

1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0

1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0 KTH Fysik Tentamen i 5A1306 Fysikens matematiska metoder: PDE-tentamen Fredagen den 8 juni 2007 kl 08.00 13.00 Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1: Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a

Läs mer

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018 KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF169, Differentialekvationer och Transformer II (del ) 8 januari 18 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra

Läs mer

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1 KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:

Läs mer

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs. MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full

Läs mer

Edwin Langmann (Epost: x u(x, t); f (x) = df(x)

Edwin Langmann (Epost:   x u(x, t); f (x) = df(x) KTH Teoretisk Fysik Omtentamen i Fysikens matematiska metoder SI12; SI114 Del 2; SI1143 Lördagen den 9 juni 218 kl 9. 14. Anteckna på varje blad: namn, personnummer, och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande

Läs mer

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1. Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x

Läs mer

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018 Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel

Läs mer

= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1

= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1 Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

Innehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1

Innehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1 SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 5 KARL JONSSON Innehåll. Kapitel 6: Separation of Variables.. Upp. 6.2: Dirichlets problem på enhetsskivan med randdata polära koordinater) u,

Läs mer

Andragradspolynom Några vektorrum P 2

Andragradspolynom Några vektorrum P 2 Låt beteckna mängden av polynom av grad högst 2. Det betyder att p tillhör om p(x) = ax 2 + bx + c där a, b och c är reella tal. Några exempel: x 2 + 3x 7, 2x 2 3, 5x + π, 0 Man kan addera två polynom

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden. Optimering, exempel Exempel 1 (optimering över kompakt mängd) Bestäm största och minsta värdet till funktionen f(x,y) = x 4 + y 4 + 4x 2 + 16 i cirkelskivan {x 2 + y 2 4}. Lösning: Cirkelskivan är kompakt

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

y(0) = e + C e 1 = 1

y(0) = e + C e 1 = 1 KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

Egenfunktionsutvecklingar

Egenfunktionsutvecklingar Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Egenfunktionsutvecklingar Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Egenfunktionsutvecklingar 1 (15) 1 Introduktion I det här kapitlet

Läs mer

ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål

ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Komplexa vektorrum U och underrum V U. Linjära höljet: V = span(v 1, v 2,..., v N

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004.

Lösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004. Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik II, B1116, B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004. 1. Välj en punkt i planet 3x + 3y z = 4, exempelvis

Läs mer

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,

Läs mer

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den

Läs mer

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1, Institutionen för Matematik, KTH Tentamen del 2 Analytiska och numeriska metoder för differentialekvationer SF1523 8.-11. 18/8 217 Formelsamlingen BETA är tillåtet hjälpmedel men ej miniräknare. Råd för

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX

Läs mer

Partiella differentialekvationer (TATA27)

Partiella differentialekvationer (TATA27) Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat

Läs mer

Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationer av första ordningen Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General

Läs mer

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

Kurs 5B1200, Sammanfattningar av lektioner för M2 läsåret 1998/99. Björn Gustafsson

Kurs 5B1200, Sammanfattningar av lektioner för M2 läsåret 1998/99. Björn Gustafsson Kurs 5B1200, Sammanfattningar av lektioner för M2 läsåret 1998/99. Björn Gustafsson Lektion 1 En separabel differentialekvation är en som kan skrivas på formen f(x)dx = g(y)dy. Lösningar på implicit form

Läs mer

A dt = 5 2 da dt + A 100 =

A dt = 5 2 da dt + A 100 = Tentamensskrivning i Matematik IV, F1636(5B11,5B13) Tisdagen den 13 november 7, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är

Läs mer

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.

Läs mer

= ( 1) xy 1. x 2y. y e

= ( 1) xy 1. x 2y. y e Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Den sista raden är nästan lika med den första raden med omvänt tecken Om vi därför adderar den första raden till den sista raden får vi en rad

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet

Läs mer

Ordinära differentialekvationer

Ordinära differentialekvationer Elementärt om Ordinära differentialekvationer Anders Källström 2002 01 15 Innehåll 1 Introduktion 4 2 Första ordningens differentialekvationer 8 2.1 Separabla ekvationer....................................

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 6, 977 Årgång 6, 977 Första häftet 36. Lös ekvationssystemet { x y = 8 y log x + x log y = 2 (Svar: x = y = 8) 36. lös ekvationen 6sin x 6sin2x + 5sin3x =. (Svar: x = n 8, 84,26 + n 36,

Läs mer

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna

Läs mer

Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum

Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella

Läs mer

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje

Läs mer

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=

Lösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >= KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra

Läs mer

A = x

A = x Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,

Läs mer

Partiella differentialekvationer av första ordningen

Partiella differentialekvationer av första ordningen Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,

Läs mer

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är

Läs mer