KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder. Fysikaliska modeller. Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

Transkript

1 Vårterminen 00 KONTINUERLIGA SYSTEM, några vitiga begrepp och metoder Fysialisa modeller Kontinuitetesevationen: q t divj ommer från öning + utflöde = nyprodution. Här är q densitet (mängd/m 3 ), j strömtäthet (mängd/m s) och = älltäthet (mängd/m 3 s) Diffusionsevationen: q t D q fås ur ontinuitetsevationen och Fic s lag j D grad q. D allas diffusionsonstanten. Värmeledningsevationen: ρcu t λ u fås på samma sätt som diffusionsevationen. Energidensiteten q och temperaturen u opplas ihop genom q t ρcu t. Motsvarigheten till Fic s lag är Fouriers lag j λgrad u (λ är värmeledningsförmågan). Vågevationen: u tt c u f ρ, där f raftfördelning, ρ massdensitet och u = utböjningen. För ljudvågor är u relativa trycstörningen ( p p 0 p 0 ). Laplaces evation u 0 och Poissons evation u f an tolas som stationär diffusion, stationär värmeledning, stationär svängning, stationär potentialströmning eller eletrostatis potential. Randvillor an vara av typ Dirichlet (u given), Neumann ( u n given) eller blandade. Homogena randvillor innebär u 0 eller u u n 0 eller αu β n 0. För värmeledning och diffusion gäller j n λgradu n λ u n Ett Neumann-villor betyder alltså att flödets normalomponent är given. I en dimension har de homogena randvilloren följande tolningar. Värmeledning (diffusion) u a t 0 temperaturen (oncentrationen) i a är 0 u x a t 0 inget utflöde i a, isolerad (sluten) ände αu a t Transversella och longitudinella svängningar. u a t 0 utböjningen i a är 0 fast ände u x a t 0 raften i a är 0 lös ände β u x a t 0 Newtons avsvalningslag gäller i a (omgivningens temp = 0) αu a t β u x a t 0 fjäderraft verar i änden Ljudvågor u a t 0 trycstörningen i a är 0 öppen ände u x a t 0 hastigheten i a är 0 sluten ände Fouriers metod, egenfuntionsutveclingar. Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem: u t au xx 0 i 0 x L t 0 med homogena randvillor och givna begynnelsevillor, u x 0 g x. u Sö först ice-triviala lösningar av typ u x t T t X x till t au xx 0 hom. randvillor T T X atx 0 hom. randvillor a T X X λ hom. randvillor T aλt 0 X λx hom. randvillor

2 Differentialevationerna för X resp T an nu lösas var för sig. Evationen för X tillsammans med randvilloren har icetrivial lösning för vissa disreta värden på λ, egenvärdena λ. Tillhörande icetriviala lösningar är egenfuntionerna X x ϕ x. Efter att ha löst T-evationen får man u x t c e aλ t ϕ x, För homogena Dirichletvillor är λ π L och ϕ x sin πx L För homogena Neumannvillor är λ π L och ϕ x cos πx L 0 Med superposition finner vi fler lösningar u x t c e aλ t ϕ x. Konstanterna c bestäms av begynnelsevilloren, u x 0 g x c ϕ x. (Utvecla g i lämplig Fourierserie.) Värmeledning i en begränsad stav med ansatsmetod Detta är en förortad variant av föregående och används om man vet vila egenfuntionerna ϕ är. Problem: u t au xx 0 i 0 x L t 0 med homogena Dirichlet- eller Neumannvillor och givna begynnelsevillor, u x 0 g x. Ansätt då diret u u t sin πx L (Dirichlet) eller u u t cos πx L 0 (Neumann) Derivera termvis och sätt in i differentialevationen. Detta leder till differentialevationerna u t aλ u t 0 med lösningarna u t c e aλ t. Koefficienterna c bestäms av begynnelsevilloret, som ovan. Kommentar: En fördel med denna metod är att den ocså fungerar för inhomogena differentialevationer (u t au xx f x t ). Sillnaden är att man får en inhomogen differentialevation för u t, se nedan. Samma ansatser fungerar ocå för den endimensionella vågevation (odämpad u tt c u xx f x t eller dämpad u tt au t c u xx f x t ) med homogena Dirichlet- eller Neumannvillor, och för Laplace/Poissons evation ( u f ) på en axelparallell retangel med homogena Dirichlet- eller Neumannvillor i x-led. Diffusion och värmeledning med homogena randvillor i operatorform. Detta är en generalisering av föregående som an användas på allmännare differentialevationer med allmännare homogena randvillor. Med A (eller en allmännare differentialoperator av Sturm-Liouvilletyp) och 0 an värmeledningsproblemet formuleras D A u C Ω αu β u n u t aau f u x 0 g Bestäm först egenfuntioner och egenvärden till A genom att lösa 0 Au λu u u D A (Om problemet är välbeant och man redan vet vila egenfuntionerna är behöver man naturligtvis inte räna ut dem.) Ansätt en lösning u x t u t ϕ x Utvecla f och g i egenfuntioner till A. Här utnyttjas att dessa är en ortogonal bas i L. f x t Koefficienterna f och g beränas med projetionsformeln t ex f ϕ f ϕ ϕ. (I fallet med sinus- eller cosinusserier är detta de vanliga formlerna för beräning av Fourieroefficienter.) Derivera f ϕ x g x g ϕ x

3 u termvis (använd Aϕ λ ϕ ), sätt in i värmeledningsevationen och begynnelsevilloret. Detta leder till följande differentialevation för u t u t aλ u t f t u 0 g Lösningen an srivas som summan av en partiulärlösning u part och allmänna homogena lösningen c e aλ t. Konstanterna c bestäms av begynnelsevärdet (u 0 g ). Alternativ om f inte beror på t. Låt u stat vara en stationär (= tidsoberoende) lösning till diffevationen vt aav 0 och randvilloren. v u u stat uppfyller då evationen. v x 0 g u stat Denna löses som ovan, med ansatsen v x t v t ϕ x, och ger en homogen differentialevation för v. Totala lösningen är av formen u u stat c e aλ t ϕ x. Här ses att om alla λ 0 så u u stat t (ungefär som e aλ t, där λ är det minsta egenvärdet). I detta alternativet an man alltså diret utläsa den asymptotisa (= stationära) lösningen u stat. I lösningen till det förra alternativet an man se den stationära lösningen i form av en serie. Vågevationen med homogena randvillor, begränsat område Med A D A u C Ω homogena randvillor an problemet formuleras u tt c Au 0 u x 0 g x u t x 0 h x Problemet löses analogt med värmeledningsevationen. Starta med att bestämma egenfuntioner till A. Utvecla i dessa u x t u t ϕ x g x g ϕ x h x h ϕ x Insättning i vågevationen leder till med lösningar av typ u t c λ u t 0 u 0 g u 0 h u t a cosc λ t b sinc λ t om λ 0 och u t a bt om λ 0 a och b bestäms av begynnelsevärdena. Lösningen blir en överlagring av stående vågor med egenvinelfrevenserna ω c λ. Svängningen är odämpad och behåller sin form. Inhomogena randvillor Starta med att homogenisera randvilloren genom att sätta v u ũ där ũ uppfyller randvilloren. Välj ũ så enel som möjligt. Ofta går det bra med en onstant eller ett första- eller andragradspolynom. Dirichlets problem Problemet u f i Ω u g på Ω an i vissa fall lösas analogt med med variabelseparation och egenfuntionsutvecling. För Ω retangel och randvilloren homogena i x-led ansätt lösningen som en sinusserie i x. (Lösningsmetoden är mycet li motsvarande för den endimensionella vågevationen på ett begränsat intervall.) För ice-homogena Dirichletvillor an det vara bra att dela upp i delproblem och använda superposition (se ex 3.9 i boen). Alternativt an man homogenisera randvilloren. 3

4 För Ω enhetscireln och f 0 använd polära oordinater och variabelseparation (ex 3.7 i boen). För detta problem, med g θ δ θ och f 0, går serien att summera och man ommer fram till Poissons formel för enhetscireln (ap 5..). För Ω lot ( f 0) använd sfärisa oordinater, byt s cos θ och separera variabler. För Ω cylinder ( f 0) separera i cylindrisa oordinater. Metoder med Poissonärnor och Greenfuntioner se sid 7. Hilbertrum, operatorer, egenfuntioner Ett linjärt rum H är en mängd med addition och multipliation med salärer, som följer de vanliga ränelagarna. Tex n och C Ω. u v är salärprodut i H om u λ v λ v λ u v λ u v u v v u u u 0 med lihet Speciellt gäller att u λv λ u v och λu v λ u v. Normen av u är u u u. u 0 Linjära rum med salärprodut allas prehilbertrum eller Hilbertrum om de är fullständiga. Ett vitigt exempel på Hilbertrum är L w Ω med salärproduten och normen u v u x v x w x dx resp u Ω Funtionen w x 0 allas vitfuntion. I prehilbertrum gäller Pythagoras sats: u v u v u v u x Ω w x dx Schwarz olihet: u v u v med lihet då och endast då u och v är proportionella. Triangeloliheten: u v u v. Ortogonalitet: Funtionerna ϕ är parvis ortogonala i pre-hilbertrummet H om ϕ ϕ l 0 då l. Om dessutom ϕ ϕ ϕ är systemet ortonormerat. Projetioner Låt ϕ ϕ n vara parvis ortogonala och låt M ϕ ϕ n vara det linjära höljet av ϕ ϕ n. Projetionen på M av ett godtycligt u H definieras av P M u n ϕ ρ u ϕ där ρ ϕ ϕ ϕ Minsta-vadrat-metoden är en följd av projetionssatsen som säger att inf v u v u P M u M dvs att P M u är det element i M som bäst approximerar u om avvielsen mäts i norm. Med hjälp av Pythagoras sats ses att avvielsen u P M u u P M u u n ϕ u. ρ Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess: Ur en linjärt oberoende följd sapas ett ortogonalt system som har samma linjära hölje som den ursprungliga följden. Om x x ortogonaliseras med salärproduten i L w Ω fås olia ortogonalpolynom. Med vitsfuntionen w x och intervallet Ω fås Legendrepolynomen P n. 4

5 Konvergens i norm: u n u i H u n u 0. Generaliserade Fourierserier Låt u vara ett element i ett pre-hilbertrum H och ϕ parvis ortogonala i H, då är c ρ ϕ u de generaliserade Fourieroefficienterna för u och c ϕ är den generaliserade Fourierserien för u. Det är inte säert att serien onvergerar mot u. Om varje u H an srivas u c u (onvergens i norm), så säger man att ϕ är en ortogonal bas för H. Exempel: iπx e är en ortogonal bas i L sinπx är en ortogonal bas i L 0 cos πx 0 är en ortogonal bas i L 0 Legendrepolynomen P x sinπxsin jπy j J n α n r cos nθ J n α n sin nθ är en ortogonal bas i L J 0 α 0 r n r Ω Ω : 0 r 0 θ π Parsvals formel: Om ϕ 0 är en ortogonal bas i L är en ortogonal bas i L Ω Ω : 0 x 0 y är en ortogonal bas för H och u c ϕ så är u c ϕ. En operator A har egenfuntionen ϕ med egenvärdet λ om Aϕ λϕ ϕ 0. En operator A är symmetris om Au v u Av för alla u v D A. En symmetris operator har reella egenvärden och egenfuntioner hörande till olia egenvärden är ortogonala. A är positivt semidefinit om Au u 0 för alla u D A, då är alla egenvärden 0. Sturm-Liouvilleoperatorerna Au w pu qu (w p 0 q 0) med homogena randvillor, av typ αu β u n 0 (α β 0, ej båda 0) på randen Ω, är symmetrisa och positivt semidefinita. Dess egenfuntioner bildar en ortogonal bas i L w Ω. (Observera vitfuntionen.) För att finna en ortogonal bas av egenfuntioner till en operator i flera variabler an man göra en variabelseparation och ett täthetsresonemang som visar att varje u L w Ω an approximeras godtycligt bra med linjärombinationer av de separerade egenfuntionerna. (Se ex H.7, S.4 och S.6 ( Ex 8 i ap H, Ex 3 och Ex 6 i ap S i gamla ompendiet)). Härvid uppommer några endimensionella differentialevationer som man måste behärsa. Variabelseparation i u λu i polära oordinater ( dimensioner) Separationen u r θ R r Θ θ i u λu ger upphov till (Se ex S4): Θ-evationen: Θ cθ 0. Har man π-periodisa randvillor (Θ π Θ π Θ π Θ π ) finns icetriviala lösningar om och endast om c n där n 0. Dessa är cos nθ sinnθ inθ 0 eller e. I detta fall är egenvärdena dubbla om n 0. (Se ex H.5.) R-evationen: R r R λ ν aj ν r λ by ν r λ om λ 0 r R 0 R r ar ν br ν om λ 0 ν 0 aln r b om ν λ 0 I Sturm-Liouvilleform an R-evationen srivas r ν rr r R λr (obs w r). (För λ 0 finns lösningen på formelbladet. För λ 0 är diffevationen Eulerhomogen och an i de flesta fall lösas med ansatsen R r p. Fallet λ ν 0 behandlas speciellt, se lemma S.) 5

6 Variabelseparation i u λu i sfärisa oordinater (3 dimensioner) Separationen u r s φ R r S s Φ φ, där s cosθ i u λu ger upphov till (se ex S.6): Φ-evationen: Φ dφ 0. S-evationen: m s S s S 0 S s ap m s bq m s 0 m 0 Se formelbladet. ( I vantmeanien, där man använder exponentiell framställning av φ-funtionerna.) R-evationen: används m R r r R λ r R 0 R ar br om λ 0 0 a j r λ by r λ om λ 0 0 I Sturm-Liouvilleform an R-evationen srivas r r R R λr (obs w r ). (För λ 0 finns lösningen på formelbladet. För λ 0 är differentialevationen Eulerhomogen, pröva anatsen R r p. I fallet 0 an evationen lösas med elementära metoder, se ex S.5.) Integraltransformer, intgralformler, Greenfuntioner Värmeledning, diffusion på. Kan lösas med Fouriertransform (eller Laplacetransform) i x-led. För problemet an lösningen diret srivas med formeln u t au xx 0 x u x 0 g x t 0 u x t G x α t g α dα G g x t där G x t e x 4at 4πat (se formelblad) är Greenfuntionen för värmeledning. x Lösningarna innehåller ofta erf x π 0 e y dy (spec är erf ), se formelblad. Alltså är erf x π en primitiv funtion till e x och således är b a e y π dy erf b erf a. Halvoändliga områden Problem på halvoändliga områden (x 0) an utvidgas till hela med hjälp av speglingar. Gör en udda spegling om u 0 t är given (Dirichletvillor) och jämn spegling om u x 0 t är given (Neumannvillor). För beräning av derivator med avseende på x används (se avsnitt D. i boen) u xx u xx u 0 t δ respetive u xx u xx u x 0 t δ. Dessa regler blir speciellt enla om randvilloren vid x 0 är homogena (u 0 t 0 resp u x 0 t 0). För ice-homogena randvillor är det därför ofta bra att först homogenisera. För problem på ändliga intervall (0 x L) använder man vanligen egenfuntionsutveclingar, men vissa problem an ocså lösas med upprepade speglingar. 6

7 Vågevationen Den homogena endimensionella vågevationen u tt c u xx 0 har alltid den allmänna lösningen u x t ϕ x ct ψ x ct. Svårigheten är att hitta lösningar som uppfyller givna begynnelse- och randvillor. Vågevationen på Till problemet an lösas med Laplace- eller Fouriertransformation i x-led. u tt c u xx 0 x u x 0 g x ut x 0 h x t 0 an lösningen diret srivas med d Alemberts formel (se formelblad). u x t g x ct g x ct c x ct x ct h y dy Problem på halvoändliga områden (x 0), t ex svängande halvoändlig sträng, an utvidgas till hela med hjälp av speglingar. Udda spegling om u 0 t 0 (fast inspänd ände) och jämn spegling om u x 0 t 0 (lös ände). Lösningarna an ocså (i enla fall) onstrueras med geometrisa resonemang, fortsridande vågor, refletion i ändpunter (speglingar). För problem på ändliga intervall (0 x L) använder man vanligen egenfuntionsutveclingar, men man an ocså använda med upprepade speglingar. Poissons/Laplaces evation u f Problem i ett halvplan (x y 0) an lösas med Fourier(Laplace)transform i x-led. För Dirichlets problem i ett halvplan (med f 0): u xx u yy 0 x y 0 u x 0 g x an lösningen diret srivas med Poissons integralformel, u x y P x α y g α dα P g x y där P x y y π x y är Poissonärnan för halvplan (se formelblad). För motsvarande problem i enhetscireln (Ω : x y ) är lösningen u r θ π π P r θ α g α dα P g r θ där P r θ r π r r cosθ är Poissonärnan för enhetscireln (se formelblad). 7

8 Linande problem i vartsplan eller halvcirel (x 0) an utvidgas till halvplan respetive cirel med hjälp av spegling (av g och u), udda om u 0 y är given och jämn om u x 0 y är given. För det allmännare problemet (Dirichlets problem för Laplaceoperatorn på Ω), u f i Ω u g på Ω an lösningen srivas (se formelblad) med hjälp av Greenfuntionen G x; α för Dirichlets problem på Ω (definition se formelblad) u x G x;α f α dα Ω Svårigheten är att bestämma Greenfuntionen G x; α Beräning av Greenfuntionen G x a för några enla områden Ω. Ω G x;α g α ds n α α. För Ω n är Greenfuntionen G x;α K x α, där K x är fundamentallösning till Laplaceoperatorn ( K δ. För Ω eller 3 finns fundamentallösningarna på formelbladet.. För Ω halvplan eller halvrum spegla udda och använd punt. Greenfuntionen är G x;α K x α K x α, där α är spegelpunt till α. För vartsplan spegla först i ena axeln sen i den andra (totalt 4 punter). 3. Om Ω är cirelsivan eller lotet x ρ spegla udda i cireln och använd fundamentallösningar. Greenfuntionen är G x;α K x α K C x α, där α är onjugerad punt (se boen ap 5.5) till α och onstanten C α ρ är vald så att G 0 på randen Ω. Kommentarer: För begränsade områden an Greenfuntioner bestämmas med egenfuntionsutveclingar. För halvplan/halvrum med homogena Neumannvillor an man använda jämna speglingar. 8