Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.
|
|
- Arne Olof Lundqvist
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Vårterminen 2008 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder Fysikaliska modeller Kontinuitetesekvationen: q t + div j = k kommer från ökning + utöde = nyproduktion. Här är q = densitet (mängd/m 3 ), j = strömtäthet (mängd/m 2 s) och k = källtäthet (mängd/m 3 s) Diusionsekvationen: q t D q = k fås ur kontinuitetsekvationen och Fick's lag j = D grad q. D kallas diusionskonstanten. Värmeledningsekvationen: ρcu t λ u = k fås på samma sätt som diusionsekvationen. Energidensiteten q och temperaturen u kopplas ihop genom q t = ρcu t. Motsvarigheten till Fick's lag är Fouriers lag j = λ grad u (λ är värmeledningsförmågan). Vågekvationen: u tt c 2 u = f/ρ, där f = kraftfördelning, ρ = massdensitet och u = utböjningen. För ljudvågor är u = relativa tryckstörningen (= (p p 0 )/p 0 ). Laplaces ekvation u = 0 och Poissons ekvation u = f kan tolkas som stationär diusion, stationär värmeledning, stationär svängning, stationär potentialströmning eller elektrostatisk potential. Randvillkor kan vara av typ Dirichlet (u given), Neumann ( u n given) eller blandade. Homogena randvillkor innebär u = 0 eller u u n = 0 eller αu + β n = 0. För värmeledning och diusion gäller j n = λ grad u n = λ u n Ett Neumann-villkor betyder alltså att ödets normalkomponent är given. I en dimension har de homogena randvillkoren följande tolkningar. Värmeledning (diusion) u(a, t) = 0 temperaturen (koncentrationen) i a är 0 u (a, t) = 0 inget utöde i a, isolerad (sluten) ände αu(a, t) + β u (a, t) = 0 Newtons avsvalningslag gäller i a (omgivningens temp = 0) Transversella och longitudinella svängningar. u(a, t) = 0 utböjningen i a är 0 fast ände u (a, t) = 0 kraften i a är 0 lös ände αu(a, t) + β u (a, t) = 0 fjäderkraft verkar i änden Ljudvågor u(a, t) = 0 tryckstörningen i a är 0 öppen ände u (a, t) = 0 hastigheten i a är 0 sluten ände Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar. Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem: u t au xx = 0 i 0 < x < L, t > 0 med homogena randvillkor och givna begynnelsevillkor. ut au Sök först icke-triviala lösningar av typ u(x, t) = T (t)x(x) xx = 0 till hom. randvillkor T X at X = 0 hom. randvillkor 1 a T = X X = λ hom. randvillkor T T + aλt = 0 X = λx hom. randvillkor
2 Dierentialekvationerna för X resp T kan nu lösas var för sig. Ekvationen för X tillsammans med randvillkoren ger diskreta värden på λ, egenvärdena λ k och tillhörande egenfunktioner X k (x) = ϕ k (x). Totalt får man u k (x, t) = c k e aλ kt ϕ k (x). För homogena Dirichletvillkor är λ k = k 2 π 2 /L 2 och ϕ k (x) = sin(kπx/l), k = 1, 2,... För homogena Neumannvillkor är λ k = k 2 π 2 /L 2 och ϕ k (x) = cos(kπx/l), k = 0, 1,... Med superposition nner vi er lösningar u(x, t) = k c ke aλ kt ϕ k (x). Konstanterna c k bestäms av begynnelsevillkoren. (Oftast med lämplig Fourierserieutveckling.) Värmeledning i en begränsad stav med ansatsmetod Detta är en förkortad variant av föregående och används om man vet vilka egenfunktionerna ϕ k är. Problem: u t au xx = 0 i 0 < x < L, t > 0 med homogena Dirichlet- eller Neumannvillkor och givna begynnelsevillkor. Ansätt då direkt u = u k (t) sin(kπx/l) (Dirichlet) eller u = k=1 u k (t) cos(kπx/l) (Neumann) Derivera termvis och sätt in i dierentialekvationen. Detta leder till dierentialekvationerna u k (t) + aλ ku k (t) = 0 med lösningarna u k (t) = c k e aλ kt. Koecienterna c k bestäms av begynnelsevillkoret. Kommentar: En fördel med denna metod är att den också fungerar för inhomogena dierentialekvationer (u t au xx = f(x, t)). Skillnaden är att man får en inhomogen dierentialekvation för u k (t), se nedan. Samma ansatser fungerar ockå för den endimensionella vågekvation (odämpad u tt c 2 u xx = f(x, t) eller dämpad u tt au t c 2 u xx = f(x, t)) med homogena Dirichlet- eller Neumannvillkor, och för Laplace/Poissons ekvation ( u = f) på en rektangel med homogena Dirichlet- eller Neumannvillkor i x-led. k=0 Diusion och värmeledning med homogena randvillkor i operatorform. Detta är en vidarutveckling av föregående och kan användas på allmännare dierentialekvationer med allmännare homogena randvillkor. Med A = (eller en allmännare dierentialoperator av Sturm-Liouvilletyp) och D A = u C 2 (Ω) αu + β u = 0} kan värmeledningsproblemet formuleras n ut + aau = f u(x, 0) = g Bestäm först egenfunktioner och egenvärden till A genom att lösa Au = λu, u 0 u D A (Om problemet är välbekant och man redan vet vilka egenfunktionerna är behöver man naturligtvis inte räkna ut dem.) Ansätt en lösning u(x, t) = k u k (t)ϕ k (x). Utveckla f och g i egenfunktioner till A. Här utnyttjas att dessa är en ortogonal bas i L 2. f(x, t) = k f k ϕ k (x), g(x) = k g k ϕ k (x) 2
3 Koecienterna f k och g k beräknas med projektionsformeln t ex f k = (ϕ k f)/(ϕ k ϕ k ). (I fallet med sinus- eller cosinusserier är detta de vanliga formlerna för beräkning av Fourierkoecienter.) Derivera u termvis (använd Aϕ k = λ k ϕ k ), sätt in i värmeledningsekvationen och begynnelsevillkoret. Detta leder till följande dierentialekvation för u k (t) u k (t) + aλ ku k (t) = f k (t), u k (0) = g k. Lösningen kan skrivas som summan av en partikulärlösning u k,part och allmänna homogena lösningen c k e aλkt. Konstanterna c k bestäms av begynnelsevärdet (u k (0) = g k ). Alternativ om f inte beror på t. Låt u stat vara en stationär (= tidsoberoende) lösning till diffekvationen och randvillkoren. v = u u stat uppfyller då ekvationen t + aav = 0 v. v(x, 0) = g u stat Denna löses som ovan, med ansatsen v(x, t) = k v k(t)ϕ k (x), och ger en homogen dierentialekvation för v k. Totala lösningen är av formen u = u stat + k c ke aλkt ϕ k (x). Här ses att om alla λ k > 0 så u u stat, t (ungefär som e aλ1t, där λ 1 är det minsta egenvärdet). I detta alternativet kan man alltså direkt utläsa den asymptotiska (= stationära) lösningen u stat. I lösningen till det förra alternativet kan man se den stationära lösningen i form av en serie. Vågekvationen med homogena randvillkor, begränsat område Med A =, D A = u C 2 (Ω), homogena randvillkor} kan problemet formuleras utt + c 2 Au = 0 u(x, 0) = g(x), u t (x, 0) = h(x) Problemet löses analogt med värmeledningsekvationen. Starta med att bestämma egenfunktioner till A. Utveckla i dessa u(x, t) = k u k (t)ϕ k (x), g(x) = k g k ϕ k (x), h(x) = k h k ϕ k (x). Insättning i vågekvationen leder till med lösningar av typ u k (t) + c2 λ k u k (t) = 0, u k (0) = g k, u k (0) = h k u k (t) = a k cos c λ k t + b k sin c λ k t om λ k > 0 och u k (t) = a + bt om λ k = 0. a k och b k bestäms av begynnelsevärdena. Lösningen blir en överlagring av stående vågor med egenvinkelfrekvenserna ω k = c λ k. Svängningen är odämpad och 'behåller sin form'. Inhomogena randvillkor Starta med att homogenisera randvillkoren genom att sätta v = u ũ där ũ uppfyller randvillkoren. Välj ũ så enkel som möjligt. Ofta går det bra med en konstant eller ett första- eller andragradspolynom. Dirichlets problem u = f i Ω, u = 0 på Ω kan för vissa Ω lösas analogt med variabelseparation och egenfunktionsutveckling. För en rektangel separerar man i variablerna x och y. (Lösningsmetoden är mycket lik motsvarande för den endimensionella vågekvationen på ett begränsat intervall.) För icke-homogena Dirichletvillkor kan det vara bra att dela upp i delproblem och använda superposition (se ex 3.9 i boken). För Ω = enhetscirkeln används polära koordinater variabelseparation (ex 3.17 i boken). För detta problem, med g(θ) = δ(θ), går serien att summera och man kommer fram till Poissons formel för enhetscirkeln (kap 5.2.2). 3
4 Hilbertrum, operatorer, egenfunktioner Ett linjärt rum H är en mängd med addition och multiplikation med skalärer, som följer de vanliga räknelagarna. Tex R n och C 2 (Ω). (u v) är skalärprodukt i H om (u λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 (u v 1 ) + λ 2 (u v 2 ) (u v) = (v u) (u u) 0 med likhet u = 0 Speciellt gäller att (u λv) = λ(u v) och (λu v) = λ(u v). Normen av u är u = (u u). Linjära rum med skalärprodukt kallas prehilbertrum. Ett fullständigt prehilbertrum kallas Hilbertrum. Ett viktigt exempel på Hilbertrum är L 2 (w, Ω) med skalärprodukten och normen (u v) = Ω ( 1/2 u(x)v(x)w(x) dx resp u = u(x) 2 w(x) dx). Ω Funktionen w(x) > 0 kallas viktfunktion. I prehilbertrum gäller Pythagoras sats: u v = u + v 2 = u 2 + v 2 Schwarz olikhet: (u v) u v med likhet då och endast då u och v är proportionella. Triangelolikheten: u + v u + v. Ortogonalitet: Funktionerna ϕ k } 1 är parvis ortogonala i pre-hilbertrummet H om (ϕ k ϕ l ) = 0 då k l. Om dessutom ϕ k 2 = (ϕ k ϕ k ) = 1 är systemet ortonormerat. Projektioner Låt ϕ 1,, ϕ n vara parvis ortogonala och låt M = [ϕ 1,, ϕ n ] vara det linjära höljet av ϕ 1,, ϕ n. Projektionen på M av ett godtyckligt u H denieras av P M u = n 1 1 ρ k (ϕ k u)ϕ k där ρ k = ϕ k 2 = (ϕ k ϕ k ) Minsta-kvadrat-metoden är en följd av projektionssatsen som säger att inf u v M v 2 = u P M u 2, dvs att P M u är det element i M som bäst approximerar u om avvikelsen mäts i norm. Med hjälp av Pythagoras sats ses att avvikelsen u P M u 2 = u 2 P M u 2 = u 2 n (ϕ k u) 2. k=1 ρ k Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess: Ur en linjärt oberoende följd skapas ett ortogonalt system som har samma linjära hölje som den ursprungliga följden. Om 1, x, x 2,... ortogonaliseras med skalärprodukten i L 2 (w, Ω) fås olika ortogonalpolynom. Med viktsfunktionen w(x) = 1 och intervallet Ω = [ 1, 1] fås Legendrepolynomen P n. Konvergens i norm: u n u i H u n u 0. Generaliserade Fourierserier Låt u vara ett element i ett pre-hilbertrum H och ϕ k } 1 parvis ortogonala i H, då är c k = 1 ρ k (ϕ k u) de generaliserade Fourierkoecienterna för u och 1 c kϕ k är den generaliserade Fourierserien för u. Det är inte säkert att serien konvergerar mot u. Om varje u H kan skrivas u = 1 c ku k (konvergens i norm), så säger man att ϕ k } 1 är en ortogonal bas för H. 4
5 Exempel: e ikπx } är en ortogonal bas i L 2 ([ 1, 1]) sin kπx} 1 är en ortogonal bas i L 2 ([0, 1]) cos kπx} 0 är en ortogonal bas i L 2 ([0, 1]) Legendrepolynomen P k (x)} 0 är en ortogonal bas i L 2 ([ 1, 1]) sin kπx sin jπy} j,k=1 är en ortogonal bas i L 2 (Ω), Ω : 0 x 1, 0 y 1 Jn (α n,k r) cos nθ, J n (α n,k ) sin nθ är en ortogonal bas i L 2 (r, Ω), J 0 (α 0,k r), n, k = 1, 2,... Ω : 0 r 1, 0 θ < 2π Parsvals formel: Om ϕ k } 1 c k 2 ϕ k 2. är en ortogonal bas för H och u = 1 c kϕ k så är u 2 = k En operator A har egenfunktionen ϕ med egenvärdet λ om Aϕ = λϕ, ϕ 0 och ϕ D A. En operator A är symmetrisk om (Au v) = (u Av) för alla u, v D A. En symmetrisk operator har reella egenvärden och egenfunktioner hörande till olika egenvärden är ortogonala. A är positivt semidenit om (Au u) 0 för alla u D A, då är alla egenvärden 0. Sturm-Liouvilleoperatorerna Au = 1 w ( (pu ) + qu) (w, p > 0, q 0) med homogena randvillkor, av typ αu + β u = 0 (α, β 0, ej båda = 0) på randen Ω, är symmetriska och positivt n semidenita. Dess egenfunktioner bildar en ortogonal bas i L 2 (w, Ω). (Observera viktfunktionen.) För att nna en ortogonal bas av egenfunktioner till en operator i era variabler kan man göra en variabelseparation och ett täthetsresonemang som visar att varje u L 2 (w, Ω) kan approximeras godtyckligt bra med linjärkombinationer av de separerade egenfunktionerna. (Se ex H.27, S.4 och S.6 ( Ex 28 i kap H, Ex 3 och Ex 6 i kap S i gamla kompendiet)). Härvid uppkommer några endimensionella dierentialekvationer som man måste behärska. Variabelseparation i u = λu i polära koordinater (2 dimensioner) Separationen u(r, θ) = R(r)Θ(θ) i u = λu ger upphov till (Se ex S4): Θ-ekvationen: Θ + cθ = 0. Har man 2π-periodiska randvillkor (Θ(π) = Θ( π), Θ (π) = Θ ( π)) nns icketriviala lösningar om och endast om c = n 2 där n = 0, 1, 2,.... Dessa är cos nθ, sin nθ} 0 eller einθ }. I detta fall är egenvärdena dubbla om n 0. (Se ex H.25.) R-ekvationen: R + 1 r R + (λ ν2 )R = 0 R(r) = r2 aj ν (r λ) + by ν (r λ) om λ > 0 ar ν + br ν om λ = 0, ν 0 a ln r + b om ν = λ = 0. I Sturm-Liouvilleform kan R-ekvationen skrivas 1 r ( (rr ) + ν2 R) = λr (obs w = r). r (För λ 0 nns lösningen på formelbladet. För λ = 0 är diekvationen Eulerhomogen och kan i de esta fall lösas med ansatsen R = r p. Fallet λ = ν = 0 behandlas speciellt, se lemma S.1) Variabelseparation i u = λu i sfäriska koordinater (3 dimensioner) Separationen u(r, s, φ) = R(r)S(s)Φ(φ), där s = cos θ i u = λu ger upphov till (se ex S.6): Φ-ekvationen: Φ + dφ = 0. S-ekvationen: ((1 s 2 )S ) + (l(l + 1) m2 )S = 0 1 s2 S(s) = apl m (s) + bqm l (s), l = 0, 1, 2,..., m = 0... l 5
6 Se formelbladet. ( I kvantmekaniken, där man använder exponentiell framställning av φ-funktionerna används m = l... l.) R-ekvationen: R + 2 l(l + 1) r R + (λ r 2 )R = 0 ar l + br l 1 om λ = 0, l = 0, 1, 2,... R(r) = aj l (r λ) + by l (r λ) om λ > 0, l = 0, 1, 2,... I Sturm-Liouvilleform kan R-ekvationen skrivas 1 r 2 ( (r2 R ) + l(l + 1)R) = λr (obs w = r 2 ). (För λ 0 nns lösningen på formelbladet. För λ = 0 är dierentialekvationen Eulerhomogen, pröva anatsen R = r p. I fallet l = 0 kan ekvationen lösas med elementära metoder, se ex S.5.) Integraltransformer, intgralformler, Greenfunktioner Värmeledning, diusion på R. Kan lösas med Fouriertransform (eller Laplacetransform) i x-led. För problemet ut au xx = 0, x R, t > 0 u(x, 0) = g(x) kan lösningen direkt skrivas med formeln u(x, t) = G(x α, t)g(α) dα = G g(x, t) där G(x, t) = e x2 /4at / 4πat (se formelblad) är Greenfunktionen för värmeledning. Lösningarna innehåller ofta erf(x) = 2 x π 0 e y2 dy (spec är erf( ) = 1), se formelblad. Alltså 2 är erf(x) en primitiv funktion till π e x2 och således är b a e y2 dy = π 2 (erf(b) erf(a)). Halvoändliga områden Problem på halvoändliga områden (x 0) kan utvidgas till hela R med hjälp av speglingar. Gör en udda spegling om u(0, t) är given (Dirichletvillkor) och jämn spegling om u x (0, t) är given (Neumannvillkor). För beräkning av derivator med avseende på x används (se avsnitt D.11 i boken) (u ) xx = (u xx ) + 2u(0, t)δ respektive (u + ) xx = (u xx ) + + 2u x (0, t)δ. Dessa regler blir speciellt enkla om randvillkoren vid x = 0 är homogena (u(0, t) = 0 resp u x (0, t) = 0). För icke-homogena randvillkor är det därför ofta bra att först homogenisera. För problem på ändliga intervall (0 x L) använder man vanligen egenfunktionsutvecklingar, men vissa problem kan också lösas med upprepade speglingar. Vågekvationen Den homogena endimensionella vågekvationen u tt c 2 u xx = 0 har alltid den allmänna lösningen u(x, t) = ϕ(x ct)+ψ(x+ct). Svårigheten är att hitta lösningar som uppfyller givna begynnelseoch randvillkor. Vågekvationen på R kan lösas med Laplace- eller Fouriertransformation i x-led. Till problemet u tt c 2 u xx = 0, x R, t > 0 u(x, 0) = g(x) u t(x, 0) = h(x) 6
7 kan lösningen direkt skrivas med d'alemberts formel (se formelblad). u(x, t) = 1 2 (g(x ct) + g(x + ct)) + 1 2c x+ct x ct h(y) dy. Problem på halvoändliga områden (x 0), t ex svängande halvoändlig sträng, kan utvidgas till hela R med hjälp av speglingar. Udda spegling om u(0, t) = 0 (fast inspänd ände) och jämn spegling om u x (0, t) = 0 (lös ände). Lösningarna kan också (i enkla fall) konstrueras med geometriska resonemang, fortskridande vågor, reektion i ändpunkter (speglingar). För problem på ändliga intervall (0 x L) använder man vanligen egenfunktionsutvecklingar, men man kan också använda med upprepade speglingar. Poissons/Laplaces ekvation u = f Problem i ett halvplan (x R, y 0) kan lösas med Fourier(Laplace)transform i x-led. För Dirichlets problem i ett halvplan (med f = 0): uxx + u yy = 0, x R, y > 0 u(x, 0) = g(x) kan lösningen direkt skrivas med Poissons integralformel, u(x, y) = P (x α, y)g(α) dα = P g(x, y), där P (x, y) = y/(π(x 2 + y 2 )) är Poissonkärnan för halvplan (se formelblad). För motsvarande problem i enhetscirkeln (Ω : x 2 + y 2 < 1) är lösningen π u(r, θ) = P (r, θ α)g(α) dα = P g(r, θ) π där P (r, θ) = (1 r 2 )/(2π(1 + r 2 2r cos θ)) är Poissonkärnan för enhetscirkeln (se formelblad). Liknande problem i kvartsplan eller halvcirkel (x > 0) kan utvidgas till halvplan respektive cirkel med hjälp av spegling (av g och u), udda om u(0, y) är given och jämn om u x (0, y) är given. För det allmännare problemet (Dirichlets problem för Laplaceoperatorn på Ω), u = f i Ω u = g på Ω kan lösningen skrivas (se formelblad) med hjälp av Greenfunktionen G(x; α) för Dirichlets problem på Ω (denition se formelblad) G u(x) = G(x; α)f(α) dα (x; α)g(α) ds α. n α Ω Svårigheten är att bestämma Greenfunktionen G(x; α) Beräkning av Greenfunktionen G(x, a) för några enkla områden Ω. 1. För Ω = R n är Greenfunktionen G(x; α) = K(x α), där K(x) är fundamentallösning till Laplaceoperatorn ( K = δ). För Ω = R 2 eller R 3 nns fundamentallösningarna på formelbladet. 2. För Ω = halvplan eller halvrum spegla udda och använd punkt 1. Greenfunktionen är G(x; α) = K(x α) K(x α), där α är spegelpunkt till α. För kvartsplan spegla först i ena axeln sen i den andra (totalt 4 punkter). Ω 7
8 3. Om Ω är cirkelskivan eller klotet x < ρ spegla udda i cirkeln och använd fundamentallösningar. Greenfunktionen är G(x; α) = K(x α) K(C(x α)), där α är konjugerad punkt (se boken kap 5.5) till α och konstanten C = α /ρ är vald så att G = 0 på randen Ω. Kommentarer: För begränsade områden kan Greenfunktioner bestämmas med egenfunktionsutvecklingar. För halvplan/halvrum med homogena Neumannvillkor kan man använda jämna speglingar. 8
Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.
Vårterminen 2002 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder i kap 3 och H (partiellt) Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem:
Läs merSammanfattning. Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar. Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation
Sammanfattning Kontinuerliga system vt 2017 Fysikaliska modeller Kontinuitetesekvationen: q t +div j = k kommer från ökning + utflöde = nyproduktion. Här är q = densitet (mängd/m 3 ), j = strömtäthet (mängd/m
Läs merKONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder. Fysikaliska modeller. Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.
Vårterminen 00 KONTINUERLIGA SYSTEM, några vitiga begrepp och metoder Fysialisa modeller Kontinuitetesevationen: q t divj ommer från öning + utflöde = nyprodution. Här är q densitet (mängd/m 3 ), j strömtäthet
Läs merHt Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra
Ht-2010 Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer Del 1 Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra 10.1-10.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 3-5-6, kl. 14. 19.. 5B1/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg
Läs merLösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.
Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 16, 2018 9. Lösningar av Poissons ekvation Vi vet att Poissons
Läs merÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål
ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Komplexa vektorrum U och underrum V U. Linjära höljet: V = span(v 1, v 2,..., v N
Läs merEdwin Langmann (Epost: x u(x, t); f (x) = df(x)
KTH Teoretisk Fysik Omtentamen i Fysikens matematiska metoder SI12; SI114 Del 2; SI1143 Lördagen den 9 juni 218 kl 9. 14. Anteckna på varje blad: namn, personnummer, och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merKontsys F7 Skalärprodukt och normer
Repetition Skalärprodukt Norm Kontsys F7 Skalärprodukt och normer Pelle 11 februari 2019 Linjära rum Repetition Skalärprodukt Norm Linjära rum Linjärt underrum Ett linjärt rum över R är en mängd H där
Läs merIntroduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier
KAPITEL 5 Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier Vi inleder med några förberedande exempel. 5.. Cauchys ekvation Den homogena Euler-Cauchys ekvation (Leonhard Euler och
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll
ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Partiella differentialekvationer Separation av variabler Operatorer A definierade
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merDel I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 24 oktober 2016 kl 8:00-13:00 För godkänt (betyg E) krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merFör startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs mer1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).
. (3 poäng) Antag att en partikel rör sig i ett medium där friktionskraften är proportionell mot kvadraten av hastigheten v(t) R så att dv(t) = k ( v(t) ), t > för en konstant k >. Bestäm v(t) som funktion
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2
Chalmers tekniska högskola Datum: 7--8 kl. 8.. Tentamen Telefonvakt: Milo Viviani MVE5, TKSAM- Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper.
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs mer} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),
Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 9
Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd
Läs merTentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs merOändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl
Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1)
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 1 a). Lös ekvationen 3p. 3y 2 y +16x = 2xy 3. b). Finn en lösning som är begränsad
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merOm ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merInnehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1
SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 5 KARL JONSSON Innehåll. Kapitel 6: Separation of Variables.. Upp. 6.2: Dirichlets problem på enhetsskivan med randdata polära koordinater) u,
Läs merKTH Fysik Tentamen i 5A1301/5A1304 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 24 augusti 2004 kl
KTH Fysik Tentamen i 5A131/5A134 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 24 augusti 24 kl 14. 19. Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första tentabladet
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merPartiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem
Partiella differentialekvationer och randvärdesroblem. 12.1. Searabla PDE 12.2. Klassiska ekvationer och randvärdesroblem. 12.3. Värmeledningsekvationen. 12.4. Vågekvationen. 12.5. alace ekvation. Variabelsearation.
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 2, 2017 10. Värmeledning, diffusionsekvation Betrakta ett temperaturfält
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF169, Differentialekvationer och Transformer II (del ) 8 januari 18 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Läs mery(0) = e + C e 1 = 1
KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs
Läs merMVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 07-08-4 kl. 4.00 8.00 Tentamen MVE500, TKSAM- Telefonvakt: Anders Hildeman 03 77 535 Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merEgenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs mer1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, y) till Laplaces ekvation u = 0 inom rektangeln 0 < x < a och 0 < y < b med följande randvillkor 1
KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A131/5A135 Fysikens matematiska metoder Fredagen den 2 oktober 26, kl 8:-13: Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs problemnummer. Notera på första tentabladet
Läs merNotera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs
Fysik KTH TENTAMEN Fysikens matematiska metoder 5A1301/5A1304 Onsdag 003-03-1, kl. 08.00-13.00 Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merFEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel.
MVE255/TMV191 Matematisk analys i flera variabler M/TD FEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel. 1 Inledning Vi ska lösa partiella differentialekvationer PDE, dvs ekvationer som
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs mer1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0
KTH Fysik Tentamen i 5A1306 Fysikens matematiska metoder: PDE-tentamen Fredagen den 8 juni 2007 kl 08.00 13.00 Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs mer1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y
1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs mer2. För ljudvågor i en gas, innesluten i ett sfärisk skal, gäller vågekvationen. u tt = c 2 u
KTH Fysik Tentamen i 5A3/5A35 Fysikens matematiska metoder Fredagen den 4 januari 25, kl 4. 9. Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första tentabladet om
Läs merHjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
TENTAMEN I EKTORANALY I46 och I40 Del, T8 Torsdagen 3 maj 4:00-9:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa ej
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merDatorövning 2. - Tag med lärobok och övningshäfte till övningen. - Fyll före övningenen i svaren på frågorna på sidan 5 i denna handledning.
Kontinuerliga system vt 2015 Datorövning 2 Inledning Syftet med denna datorövning är att du med hjälp av Maple skall få ökad förståelse av vissa begrepp presenterade i kapitel H. Exempelvis behandlas skalärprodukt,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merAB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer
AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merTentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Läs mer(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I. Torsdagen den 3 maj, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merEdwin Langmann (tel: Epost: DEL 1
KTH Teoretisk Fysik Tentamen i Fysikens matematiska metoder (PDE tentamen, F variant) SI114 och SI1143 Del 2; SI1141; 5A136, 5A135 och 5A131 PDE tentamen Onsdagen 29 maj 213 kl 8. 13. OBS: Det finns två
Läs merSvar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
Läs merÚÚ dxdy = ( 4 - x 2 - y 2 È Î
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Matematik IV, 5B0 Måndagen den 0 oktober 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merTentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl
Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206) Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656 Torsdagen den 8 januari 2009, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merDatorövning 2. För att få tillgång till några mer avancerade ritkommandon kör
Kontinuerliga system vt 2019 Datorövning 2 Inledning Detta är en textversion av det ett maple worksheet som heter Datorovning_2.mw och som kan laddas ner från hemsidan. Den ska öppnas inifrån maple. Då
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merHjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0
LÖSNINGAR TILL Deltentamen i kvantformalism, atom och kärnfysik med tillämpningar för F3 9-1-15 Tid: kl 8.-1. (MA9A. Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. Poäng: Vid varje uppgift
Läs mer