Edwin Langmann (tel: Epost: DEL 1

Transkript

1 KTH Teoretisk Fysik Tentamen i Fysikens matematiska metoder (PDE tentamen, F variant) SI114 och SI1143 Del 2; SI1141; 5A136, 5A135 och 5A131 PDE tentamen Onsdagen 29 maj 213 kl OBS: Det finns två varianter av tentamen: F och CL. F-tentamen skall göras av F-studenter (SI114 Del 2). Alla andra (SI1141, SI1143, 5A135, 5A136, 5A131) skall göra CL-tentamen! Om du har fel tentamen: Vänd! Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: bara formelsamlingen som delas ut Obs! Miniräknare ej tillåten. Examinator: Lösningar: Motivera utförligt! Edwin Langmann (tel: Epost: langmann@kth.se) Kommer att finnas på kurshemsidan, Otillräckliga motiveringar kan medföra poängavdrag. Inför och förklara konstanter och symboler du behöver! DEL 1 1. Bestäm funktionen u(x, y), x π och y 1, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = ( < x < π, < y < 1) u(, y) = u x (π, y) = ( < y < 1) u y (x, ) =, u(x, 1) = sin(3x/2) 2 sin(7x/2) ( < x < π). Svaret skall ges utan integraler. (u x u x osv.) (3p) 2. En bred, hög och homogen vägg med tjocklek L har från början samma temperatur T som omgivningen. Från tiden t = börjar värme produceras med källtätheten q, likformigt över hela väggen och oberoende av tiden för t >. Vid begränsningsytorna är värmeövergångskoefficienterna α respektive α 1. Ange en matematisk modell som bestämmer väggens temperatur för tider t > entydigt. Du behöver inte lösa modellen. (3p) 3. Bestäm en funktion f(y, t), y 1 och t, som uppfyller f tt (y, t) f yy (y, t) = ( < y < 1, t > ) f(, t) =, f(1, t) = sin(t) (t > ). Är lösningen f(y, t) till problemet ovan entydig? Varför? (3p) 4. (a) Bestäm funktionen f(x), x 2, som uppfyller f (x) = δ(x 1), f() =, och f (2) = 1. (1.5p) (b) Anta att k = k 1 och k = k 2 är olika reella lösningar till sin(k) + k cos(k) =. Visa att sin(k 1x) sin(k 2 x)dx =. Ledning: OBS att sin(k 1 x) och sin(k 2 x) är lösningar till problemet f (x) + λf(x) =, f() = f(1) + f (1) =. (1.5p)

2 DEL 2 5. Mark (som är två år) leker med pappas gitarr som ligger på golvet. Med pekfingret tar han en av strängarna i mitten och drar ut den en bra bit från viloläget. Vid tiden t = släpper han strängen. Beräkna tidsutvecklingen av strängens form för t >. Du kan anta att strängen inte påverkas för t > (strax efter t = lyfte pappa bort Mark från gitarren). (6p) 6. Ett kvadratiskt och ett cirkulärt membran med samma area, förspänning och densitet, är båda plant inspända. Bestäm förhållandet mellan deras grundfrekvenser. (6p) 7. En ideal inkompressibel vätska strömmer inom området x <, < y <. Strömmningen genereras av en källa med styrkan k i punkten (x, y) = (a, ), a >, dvs., hastighetsfältet v(x, y) uppfyller v(x, y) = kδ(x a)δ(y). Hastighetsfältet har en potential Φ, dvs., v = Φ. Obs. att vätskan inte kan strömma igenom randen vid x =. Beräkna vätskans hastighet v = v 2 vid randen x = som funktion av y. Ledningar: Obs att = (, ) och v = (v x y 1, v 2 ). Lösningen till problemet f (x) k 2 f(x) = δ(x), lim x f(x) =, är f(x) = exp( k x )/(2 k ) (det finns ett enklare sätt att lösa uppgiften där detta inte behövs). (6p) 8. Marillenknödel är en österrikisk maträtt där en deg av potatis formas runt en aprikos så att det ser ut som en rund boll och sedan kokas i vatten. En marillenknödel tas från frysen (där den varit en lång tid) och läggs i kokande vatten vid tiden t =. Beräkna temperaturutvecklingen i marillenknödelns potatisdeg för tider t > som är tillräckligt liten så att aprikosens temperatur inte ändras. Ledning: Anta att potatisdegen är homogen och begränsas av två sfärytor r = R > och r = 2R som har konstant temperatur lika med frysens temperatur och vattnets temperatur för t >. (6p) LYCKA TILL!

3 Suggested solution of the FYSMAT exam (May 29, 213) NOTE THAT I TYPED THIS IN QUICKLY, and typos are therefore likely. Please let me know my if you find any mistake. Note that I sometimes only give a sketch of the solution (indicating some essential steps) this is not pedagogicial material, and to prepare for some exam I recommend that you rather do other problems suggested on the course homepage. 1. Ansatsen u(x, y) = f(x)g(x) ger och f (x) + λf(x) =, f(x) = f (x) = g (y) λg(y) =. f-problemet har bara lösningar om λ = k 2 > : f n (x) = sin(k n x), k n = (n 1/2), λ n = k 2 n, n = 1, 2,..., och motsvarande lösning till g-problemet är med godtyckliga konstanter a n, b n. Superposition ger Svar: u(x, 1) = u(x, y) = g n (y) = a n cosh(k n y) + b n sinh(k n y) [a n cosh(k n y) + b n sinh(k n y)] sin(k n x). u y (x, ) = b n k n sin(k n x) = b n =. a n cosh(k n ) sin(k n x) = sin(3x/2) 2 sin(7x/2) a n u(x, y) = sin(3x/2) cosh(3y/2)/ cosh(3/2) 2 sin(7x/2) cosh(7x/2)/ cosh(7/2) 2. T (x, t)=temperatur vid tiden t och i avståndet x från randytan vid x = ( x L). j(x, t) = λt x (x, t)= x-komponenten av värmeströmmen (Fouriers lag) Kontinuitetsekvationen Q t (x, t) + j x (x, t) = q med värmetätheten Q så att Q t = cρt t ρct t λt xx = q Newton s avkylningslag ger n j(, t) = j x (, t) = α (T (, t) T ), n j(l, t) = j x (L, t) = α 1 (T (L, t) T ) (p.g.a. n = e x och +e x i x = och x = L). För t = : T (x, ) = T

4 Svar: T t at xx = aq/λ ( < x < L, t > ) λt x (, t) + α T (, t) = α T, λt x (L, t) + α 1 T (L, t) = α 1 T (t > ) där a = λ/(ρc). 3. Ansatsen f(y, t) = F (y) sin(t) ger F (y) + F (y) =, F () =, F (1) = 1 T (x, ) = T ( < x < L) som har lösningen F (y) = sin(y)/ sin(1). Detta ger en partikulärlösning f(y, t) = sin(t) sin(y)/ sin(1). Lösningen är inte entydigt p.g.a. att inga begynnelsevillkor ges. Problemet blir entydig med begynnelsevillkor f(y, ) = F (y), f t (y, ) = G(y) med givna funktioner F och G. 4. (a) f (x) = δ(x 1) f (x) = θ(x 1) + c 1 f(x) = (x 1)θ(x 1) + c 1 x + c 2. f() = c 2 =, f (2) = 1 + c 1 = 1 c 1 = c 2 =. Svar: f(x) = (x 1)θ(x 1) med Heavisidefunktionen θ. (b) Ett sätt att svara: Enligt Sturm-Liuvillesatsen har problemet f (x) + λf(x) =, f() =, f(1) + f (1) = lösningar f n (x) och λ n, n = 1, 2,..., och Problemet ovan har lösningar f n (x)f m (x)dx = om λ n λ m. f(x) = sin(kx) där sin(k) + k cos(k) = och λ = k 2. Funktionerna sin(k 1 x) och sin(k 2 x) är därför lösningar till problemet med olika värden av λ, och f n(x)f m (x)dx = ger det som skall visas. Alternativsvar: (k 2 1 k 2 2) sin(k 1 x) sin(k 2 x)dx = och k 1 k 2 ger resultatet. (sin(k 1 x)(sin(k 2 x)) ((sin(k 1 x)) sin(k 2 x))dx = d dx ( (sin(k 1x)) sin(k 2 x) + sin(k 1 x)(sin(k 2 x) )dx = k 1 cos(k 1 ) sin(k 2 ) + k 2 sin(k 1 ) cos(k 2 ) =

5 5. u(x, t)=form av gitarrsträngen vid tiden t (där u(x, t) =, x L, motsvarar viloläget) (PDE): u tt c 2 u xx =, c = S/ρ ( x < L, t > ) med strängens massdensitet ρ, spännkraft S, och längd L. (RV): u(, t) = u(l, t) = (t > ) (fast inspänt i randpunkterna) { 2Ax/L ( < x < L/2) (BV1) u(x, ) = U(x) = 2A(L x)/l (L/2 < x < L) med amplituden A >, och (BV2) u t (x, ) =. Separation, PDE, RV, och superposition ger allmänna lösningen till PDE och RV u(x, t) = [A n cos(k n ct) + B n sin(k n ct)] sin(k n x), k n = nπ/l med godtyckliga konstanter A n och B n. BV1 ger BV2 ger B n =. U(x) = A n sin(k n x) A n = 2 L L sin(k n x)u(x)dx. 6. Låt Ω vara området x a, y a (kvadrat med sidolängd a) i fall (i), och x 2 + y 2 R (skiva med radie R) i fall (ii). I båda fallen är modellen u tt c 2 u = i Ω, u = på randen Ω till Ω. Grundfrekvensen ω G är minsta värdet av ω > där det finns en icketrivial lösning u(r, t) = A sin(ωt + α )f(r). Fall (i) u = u(x, y, t), x a och y a. Fall (ii) u = u(r, ϕ, t), r R och ϕ 2π (i polära koordinater). Produktlösningar i fall (i) är u(x, y, t) = A sin(ω n,m t+α ) sin(nπx/a) sin(mπy/a), ω n,m = c (nπ/a) 2 + (mπ/a) 2 där n, m = 1, 2,.... Grundfrekvensen motsvarar minsta värdet av ω n,m, dvs. Produktlösningar i fall (ii) är ω G,(i) = ω 1,1 = cπ 2/a. u(r, ϕ, t) = A sin( ω m,s t + α )e imϕ J m (k m,s r), ω m,s = ck m,s där m =, ±1, ±2,... och k m,s = α m,s /R med nollställarna α m,s > till Besselfunktionen J m (z). Grundfrekvensen motsvara m =, s = 1: Enligt formelsamlingen, α, ω G,(ii) = ω,1 = cα,1 /R. Samma area a 2 = R 2 π och (G.f.=grundfrekvens) (G.f. för kvadratiskt membran) (G.f. för cylindriskt membran) = ω G,(i) = cπ 2 ω G,(ii) a a πcα,1 2π

6 7. Modellen är och lim x 2 +y 2 Φ(x, y) <. Spegling ger Φ xx + Φ yy = kδ(x a)δ(y) (x >, y R) Φ x (, y) = (y R) Φ(x, y) = k(k(x a, y) + K(x + a, y)) där K(x, y) = 1/(2π) log x 2 + y 2 är fundamentallösningen till tvådimensionella Poissonekvationen. Detta ger och v 1 (, y) = k(k x (a, y) + K x ( a, y)) = ky v 2 (, y) = k(k y (a, y) + K y ( a, y)) = π(a 2 + y 2 ) Svar: v(, y) = k y /[π(a 2 + y 2 )]. 8. T (r, t) = T + u(r, t)=temperaturen vid avståndet r från Marillenknödelns centrum (beror bara på r p.g.a. rotationssymmetri) PDE: u t (r, t) a u(r, t) = (R < r < 2R, t > ) RV: u(r, t) =, u(2r, t) = T 1 T (t > ) BV: u(r, t) = där T är frysens temperatur och T 1 vattens temperatur. En partikulärlösning u(r, t) = U(r) uppfyller och U(R) =, U(2R) = T 1 T 2, dvs., 1 r 2 (r2 U (r)) = U(r) = c 1 + c 2 r U(r) = 2(T 1 T )(1 R/r). Ansatsen u(r, t) = U(r) + v(r, t) ger problemet v t (r, t) a v(r, t) =, v(r, t) = v(2r, t) =, v(r, ) = U(r). Allmäna lösningen till PDE och RV är där f n (r) är lösningar till v(r, t) = e ak2 n t f n (r) ( f)(r) = 1 r 2 (r2 f (r)) = λf(r), f(r) = f(2r) =, dvs. f n (r) = A n j (k n r) + B n y (k n r) med A n, B n och k n så att f n (R) = f n (2R) =. Sfäriska Besselfunktionerna j, y ges av j (z) = sin(z)/z och y (z) = cos(z)/z, och därför kan f n (r) kan skrivas som C n sin(k n r + α n ). RV ger sin(k n (r R)) f n (r) = C n, k n = nπ/r. k n r

7 Konstanterna C n bestäms av BV: U(r) = C n fn (r), fn (r) sin(k n(r R)) k n r C n = 2R R 2R R f n (r)u(r)r 2 dr f n (r) 2 r 2 dr Svar: T (r, t) = T + U(r) + sin(k n (r R)) C n e ak2 n t, k n r k n = nπ/r med C n och U(r) ovan.