för t > 0 och 0 x L med följande rand- och begynnelsevillkor

Transkript

1 KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A131/5A135 Fysikens matematiska metoder Tisdagen den 16 januari 27, kl 8:-13: Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs, och vilken termin kursen gick! Tillåtna hjälpmedel: Examinator: Lösningsföreslag: Motivera utförligt! 1) Teoretisk fysiks formelsamling 2) BETA 3) NBS Handbook of Mathematical Functions 4) Josefsson, Formel- och tabellsamling i matematik 5) Tefyma 6) Spiegel, Mathematical Handbook 7) Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae Obs! Miniräknare är ej tillåten. Edwin Langmann (tel: epost: langmann@kth.se) Kommer att finnas på kurshemsidan, Otillräckliga motiveringar medför poängavdrag. Inför och förklara själv konstanter och symboler du behöver! 1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, t) till ekvationen u t au xx βu = för t > och x L med följande rand- och begynnelsevillkor u x (, t) = u x (L, t) =, u(x, ) = U δ(x L/2), där a >, β > och U > är konstanter, och β < a(π/l) 2. (2p). (b) Kompletera i detalj följande tolkningen av modellen i (a): Problemet i (a) kan tolkas som en modell för en bakteriepopulation i...som växer och sprider sig... Tolkningen skall till större delen vara formulerad i ord och så detaljerad att modellen är entydigt specificerad, dvs., alla matematiska symboler skall förklaras, och alla termer i differentialekvationen och alla villkor skall tolkas (1p). 2. (a) Bestäm en funktion f = f(x, t), < x < L och t >, som uppfyller och f tt (x, t) c 2 f xx (x, t) = A sin(ωt) f(, t) = f(l, t) = ; L, c, A och Ω < cπ/l är positiva konstanter. (2p). (b) Ange en rimlig fysikalisk tolkning av problemet i (a). Ditt svar skall vara till större delen formulerat i ord och så detaljerad att den matematiska modellen är fullständig specificerad. (1p).

2 3. Ett homogent klot med radie R och konstant temperatur T flyttas vid tiden t = till en omgivning med konstant temperatur T 1 > T (t.ex. ett köttbulle tas ut från frysen). Beräkna temperaturens tidsutveckling inom klotet efter flyttningen först i en enkel modell enligt (a) nedan, och sedan enligt en förfinat modell enligt (b): (a) Anta att klotets randtemperatur är lika med omgivningens temperatur. (b) Anta att Newtons avsvalningslag gäller vid klotets rand. Jämför lösningar och diskutera när modellen i (a) är en bra approximation till modellen i (b). 4. (a) Beräkna den stationära temperaturfördelningen i en cylindrisk, homogen, mycket lång stav som ligger i z >, med konstant temperatur T vid randytorna z = (=bottenskivan) och r = R (mantelytan), och som värms av en värmekälla h(z) = ρ e αz, z ; r, ϕ, z är cylinderkoordinater, och ρ > och α > är konstanter. (2p) (b) Definiera Greensfunktionen till problemet i (a) (1p). 5. Begränsningsytan S : z = p(x, y) av en homogen vätska med totalvolymen V i en behållare som omsluter regionen z >, (x, y) Ω (= område i xy-planet) kan beräknas från följande variationsprincip: potentiella energin E hos vätskan är minimal, med vätskans totalvolymen Vol fixerad till V. Vi antar att V är tillräklig stor att p(x, y) > (x, y) Ω. Potentiella energin är E = ρg zdv + γ ds V där V är volymen z p(x, y), (x, y) Ω som intas av vätskan, ρ > är massdensiteten, γ är ytspänningskoefficienten, g är tyngdaccelerationen, och Vol = dv = V. V (a) Ange en fysikalisk tolkning av E ovan. Anta att Ω är ett rektangel x L, y a, där a är så liten att p är oberoende av y: p = p(x). Visa att E och Vol ovan då blir ( ρg E[p] = a dx 2 p(x)2 + γ ) 1 + p (x) 2, Vol[p] = a dxp(x). (b) Bestäm en enkel appoximationslösning till variationsprincipen ovan på följande sätt: Gör en ansats p(x) = p + α x och bestäm variationsparameterna p > och α så att E[p] är ett extremum med Vol[p] fixerad till V. Visa att din lösning är ett minimum. (c) Bestäm den exakta lösningen p(x) till variationspricipen ovan. Ledning: Härled Euler-Lagrange ekvationen och randvillkor från variationsprincipen och beräkna lösningen. Du kan anta att p(x) = p( x). Det är möjligt att härleda en integralframställning x = p(x) p() S dx(...), och du behöver inte beräkna integralen. Om din lösning har denna form så ange också ekvationerna som definierar p() och andra konstanter du behöver. LYCKA TILL!

3 Lösningsföreslag till FYSMAT Tentamen den 16 januari (a) Vi utvecklar funktionen u i egenfunktioner f = f n som löser problemet f (x) = k 2 f(x), f () = f (a) =, i.e., f n (x) = cos(k n x), k n = n π, n =, 1, 2, a Detta ger u(x, t) = RV är då uppfyllda, och PDE och BV ger och n= c n (t) cos(k n x). n= ( c n (t) + akn 2 c n(t) βc n (t) ) cos(k n x) = n= c n () cos(k n x) = U δ(x L/2) c n () cos 2 (k n x)dx = U δ(x L/2) cos(k n x)dx = U cos(k n L/2) = U ( 1) n. Detta är ekvivalent med ODE problemet (pga. att funktionerna f n utgör ett fullständigt ortogonalsystem) c n(t) + ak 2 nc n (t) βc n (t) =, c () = U /L, c n> () = 2U ( 1) n /L som har lösningen c (t) = U e βt /L, c n> (t) = 2U e (ak2 n β)t /L. Obs. att u(x, t) = U L ( e βt + 2 ) ( 1) n cos(k n x)e (ak2 n β)t, k n = n π L. U(t) = u(x, t)dx = U e βt. (b) Problemet i (a) kan modellera bakterier som växer och förflyttar sig i ett näringsmedel som befinner sig i en rektangulär behållare x L och y a, där a är så liten att bakteriens täthet u (= antal per längdenhet) vid tiden t och i positionen (x, y) är oberoende av y: u = u(x, t). Bakterierna uppfyller kontinuitetsekvationen u t + j = h(t, x) där bakterieströmmen är j = a u med diffusionskonstanten a, och källtätheten är h = βu: ju mer bakterier det finns desto mer bakterier produceras. Totala mängden U(t) av bakterier i behållaren växer som U(t) = U()e βt, och ln(2)β är därför tiden så bakteriemängden fördubblats.

4 Detta ger u t a u βu = och PDE i (a) ovan om u = u(x, t). Bakterieströmmen vid behållarens rand är noll: j(t, ) = j(t, L) = där j(x, t) = au x (x, t). Detta ger RV. u(x, ) = U δ(x L/) betyder att vid tiden t = är totala bakteriemängden U koncentrerad i punkten x = L/2. 2. (a) Ansatsen ger ODE med Almänna lösningen till ODE är f(x, t) = sin(ωt)g(x) Ω 2 g c 2 g = A g() = g(l) =. g(x) = A Ω 2 + c 1 sin(kx) + c 2 cos(kx), k = Ω/c, och randvillkoren ger A Ω 2 + c 2 =, A Ω 2 + c 1 sin(kl) + c 2 cos(kl) =. f(x, t) = A ( 1 + cos(kx) + 1 cos(kl) ) sin(kx) sin(ωt). Ω 2 sin(kl) [ Alternativ lösning: Ansatsen f(x, t) = c n (t) sin(k n x), k n = nπ/l uppfyller RV, och PDE ger c n(t) + (ck n ) 2 c n (t) = b n sin(ωt), b n = 2 L A sin(k n x)dx = 2A [1 cos(k n L) Lk n } {{ } =( 1) n ]. Ansatsen c n (t) = a n sin(ωt) ger en partikulärlösning till ODE ovan: ] c n (t) = f(x, t) = sin(ωt) b n (ck n ) 2 Ω 2 sin(ωt).,3,5... 4A Lk n ((k n c) 2 Ω 2 ) sin(k nx). (b) Exempel 3.7 i kursboken. Vi har inga begynnelsevillkor, och därför är lösningen inte entydig: lösningen ovan är en partikulärlösning.

5 3. (a) Låt T = T(r, t) vara klotets temperatur vid tiden t och vid avståndet r från klotets medelpunkt: t > och r < R. Vi antar att väreledningsekvationen gäller: T t = a T, dvs. i sfäriska koordinater (obs. att T är oberoende av vinklarna θ och ϕ) T t = ar 2 r (r 2 r T) där r = / r och a > är klotets värmediffusivitet. Vi har följande rand- och begynnelsevillkor: T(R, t) = T 1, T(r, ) = T. Randvillkoren kan göras homogena genom ansatsen T(r, t) = u(r, t) + T 1. Detta ger u t = ar 2 r (r 2 r u), u(r, t) =, u(r, ) = (T 1 T ). Vi skall beräkna egenvärden λ n och egenfunktioner ϕ n till operatorn 1 d r 2 dr (r2 d ) dr med de givna RV i hilbertrummet L 2 (r 2, [, R]). Obs. viktfunktionen: skalärprodukten är (f g) = r2 f(r)g(r). Egenfunktionerna är (jämför med Exempel 3.16 i kursboken) ϕ n (r) = j (k n r) = sin(k nr), n = 1, 2,... k n r där ϕ n (R) = ger Ansatsen PDE, och BV ger k n = nπ R. u(r, t) = c n (t)ϕ n (r), c n(t) + ak 2 nc n (t) =, c n () = (ϕ n T T 1 ) (ϕ n, ϕ n ) = (T T 1 ) drr2 sin(k n r)/(k n r) drr2 (sin(k n r)/(k n r)) 2 dvs., = (T T 1 ) 2k n R drr sin(k n r), c n (t) = c n ()e ak2 n t, c n () = (T T 1 )2( 1) n+1. T(r, t) = T 1 (T 1 T ) 2( 1) n+1 sin(k n r) e ak2 nt, k n = n π k n r L. (b) Modellen är samma som i (a), bara RV generaliseras till λt r (R, t) = α(t 1 T(R, t)) med värmeövergångskoefficienten α och värmeledningsförmågan λ (sid. 27 och 8 i kursboken). Med T(r, t) = T 1 + u(r, t) får vi problemet u t = ar 2 r (r 2 r u), u(r, t) βu r (R, t) =, u(r, ) = (T 1 T ), där β = λ α.

6 Problemet i (a) motsvarar gränsfallet β =. Lösningen är samma som i (a), med skillnaden att egenfunktionerna u n (r) = j (kr) nu skall uppfylla RV j (k n R) βk n j (k nr) =, dvs. (efter enkla räkningar) tan(k n r) = βk nr r + β, som nu bestämmar värderna på k n : Enligt Sturm-Liouville satsen finns där lösningar k 1 < k 2 <.... Lösningen till våra PDE problem blir då T(r, t) = T 1 (T 1 T ) sin(k n r) a n e ak2 nt k n r där a n = k drr sin(k nr) n dr sin2 (k n r) = = 2 cos(k n R)R R + β β cos(k n R). 4. (a) Stavens temperatur T = T(r, z) i cylinderkoordinater, r R och < z <, är oberoende av vinkeln ϕ, och u(r, z) = T(r, z) T uppfyller u = h och u r=r = u z= =, dvs., u rr (r, z) + r 1 u r (r, z) + u zz (r, z) = ρ e αz2, u(r, z) = u(r, ) =, u(r, t) <. Vi beräkna egenvärden λ n och egenfunktioner ϕ n till operatorn 1 d (r d ) = d2 r dr dr d2 + 1 d r dr r med de givna RV i hilbertrummet L 2 (r, [, R]). Obs. viktfunktionen: skalärprodukten är (f g) = rf(r)g(r). Detta ger ϕ n (r) = J (k n r), k n = α,n R och λ n = k 2 n med nollställena α,n till Besselfunktionen J, n = 1, 2,... (jfm. Exempel 3.2 i kursboken). Utvecklingen ger u(r, z) = c n (z)ϕ n (r) där k 2 n c n(z) + c n (z) = a n(z) = (ϕ n h) (ϕ n, ϕ n ) = drrj (k n r)ρ e αz2 drrj (k n r) 2 = a n e αz, c n () = a n = ρ drrj (k n r) drrj (k n r) 2. ODE problemet ovan kan lösas med Laplaces transform och spegling, men jag tycker det är enklare att lösa problemet direkt: allmäna homogena lösningen till ODE ovan är c hom n (z) = A n e knz + B n e knz,

7 och en partikulärlösning kan beräknas med ansatsen c part n (z) = konst. e αz. Detta ger allmänna lösningen c n (z) = A n e knz + B n e knz a n k 2 n α2e αz. Villkoren c n (z) < och c n () = ger B n = och A n = a n /(k 2 n α2 ), dvs., c n (z) = a n k 2 n α2 ( e k nz e αz) = a n k n + α e knz e αz. k n α OBS att lösningen är väldefinierad även om k n = α (med l Hospitals regel). a n e knz e αz u n (r, z) = J n (k n r) k n + α k n α med a n ovan och k n = α,n /R. Anmärkning: a n kan beräknas: a n = 2ρ k n RJ 1 (k n R). (b) Greensfunktionen G = G(r,r ), r,r Ω(=cylindern), är definierad genom r G(r,r ) = δ 3 (r r ), G(r,r ) r Ω I cylinderkoordinater blir detta G = G(r, ϕ, z, r, ϕ, z ) och G rr + r 1 G r + G zz = 1 r δ(r r )δ(ϕ ϕ )δ(z z ) där G r=r = G z= =, G <, G ϕ ϕ+2π = G = G ϕ ϕ +2π r, r, < R, ϕ, ϕ R, z, z < (med G ϕ ϕ+2π menas G(r, ϕ + 2π, z, r, ϕ, z )). 5. (a) och S Ω ds = ger funktionalen E[p]. zdv = Vol = Vi skall därför extremera dx a dx a dx dy p(x) dzz = 1 2 a p(x) 2 dy 1 + p 2x + p2y = a dx 1 + p (x) 2 a dy E λ(vol V ) = a p(x) dz = a dxp(x). dxf(p(x), p (x)) J[p]

8 där F(p, p ) = 1 2 ρgp2 + γ 1 + (p ) 2 λ(p h); λ är en Lagrangemultiplikator och h = V /(2La) en parameter som bestämmer totala volymen (så att V = dx a dyh). Ansatsen p(x) = p + α x ger och E = 2a ( ρg dx 2 (p + αx) 2 + γ ) 1 + α 2 ( ρg ) = 2aL 6αL ((p + αl) 3 p 3 ) + γl 1 + α 2 λ(p h + αl/2) Villkoret Vol V = ger Vol V =... = 2aL(p + αl/2 h). p = h αl/2. Obs att vi antar att h är så stor att p >. Vi skall därför minimera funktionen G(α) := E/(2aL) p =h αl/2 = ρg( h2 2 + (αl)2 24 ) + γ 1 + α 2 som bara beror på α 2. Vi skriver G(α) = G() + ρgl 2 g(a 2 ), g(ξ) = α γ 1 + ξ, γ = γ ρgl 2. Det är enkelt att se att g(ξ) har sitt absoluta minimum i ξ = om γ > 1 12 och i ξ = γ 2 1 om γ < Om γ ρgh2 12 så är p(x) = h (konstant) lösningen som ger lägsta energin. Om γ < ρgh2 12 så är p(x) = h αl/2 + αx, α = ± γ 2 /(12ρgh) 2 1 lösningen som ger lägsta energin; h > α L/2. (c) Euler-Lagrange ekvationen är dvs., p(±l) är inte fixerade, och därför E p(x) = d dx E p (x) ρgp(x) λ = γ d p (x) dx 1 + p (x) 2. F p (x) = x=±l dvs., p (±L) =.

9 Euler-Lagrange ekvationen ekv. har första integralen C = F p F = ρgp(x)2 p 2 Obs. att detta är consistent med p( x) = p(x). Villkoret p (±L) = ger p(l) = p() p 1 och 1 + γ λp(x). ( ) 1 + p (x) 2 C = ρgp γ λp 1. Ekv. (*) ovan kan separeras p γ (x) = ± 2 (C + λp(x) ρgp(x) 2 /2) 1. 2 och ger x = p(x) p dp. γ 2 1 (C+λp ρgp 2 /2) 2 Konstanten p bestäms genom att sätta x = L ovan, L = p1 p dp, γ 2 1 (C+λp ρgp 2 /2) 2 och λ genom a p(x)dx = V.