KTH Fysik Tentamen i 5A1301/5A1305 Fysikens matematiska metoder Tisdagen den 23 augusti 2005, kl

Transkript

1 KTH Fysik Tentamen i 5A3/5A35 Fysikens matematiska metoder Tisdagen den 23 augusti 25, kl Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs, och vilken termin kursen gick! Tillåtna hjälpmedel: ) Teoretisk fysiks formelsamling 2) BETA 3) NBS Handbook of Mathematical Functions 4) Josefsson, Formel- och tabellsamling i matematik 5) Tefyma 6) Spiegel, Mathematical Handbook Obs! Miniräknare ej tillåten. Examinator: Edwin Langmann (tel: Epost: langmann@kth.se) esultat: Anslås på institutionens studentexpedition, oslagstullsbacken 2 Lösningar: Kommer att finnas på kurshemsidan, Motivera utförligt! Otillräckliga motiveringar medför poängavdrag. Inför och förklara själv yttligare matematiska symboler du behöver.. En homogen, plan platta av tjocklek L > är uppvärmd till en konstant temperatur T. Efter tiden t = hålls plattans båda plana ytor, x = och x = L, vid temperaturen T < T. Beräkna plattans temperaturutveckling för tiden t >. Ledning: Plattan är så stor att man kan modellera avkylningsförloppet genom den endimensionella värmeledningsekvationen. 2. Beräkna den stationära temperaturfördelningen inuti en homogen stålcylinder med radien och höjden h. Cylindern är isolerad vid den buktiga mantelytan, har konstant temperatur T vid toppskivan, och bottenskivans temperatur är T + b( r) 2, beroende på avstådet r från cylinders symmetriaxel, r ; b > är en konstant. Temperaturen lyder Laplaces ekvation. 3. Formulera och beräkna lösningen till en modell för rörelsen av trumskinnet i en cirkulär trumma som blir slagen med en trumpinne. Trumskinnet kan modelleras som ett cirkulärt membran, vilket är fast inspänt på randen och som uppfyller vågekvationen. Trumpinnens verkan kan beskrivas som en extern kraft lokaliserad i membranets centrum med amplituden F(t) = A δ(t nt) vid tiden t, A, T > är konstanter och δ är deltafunktionen. Ledningar: (i) äkningen blir enklast om man antar att kraften är lokaliserad i en skiva av radien r omkring membranets centrum och tar gränsen r i lösningen. (ii) En lösning till f (t) + ω 2 f(t) = g(t)

2 är f(t) = t ds sin(ω(t s))g(s). ω 4. Betrakta den endimensionella Schrödingerekvationen ψ xx (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x), x V (x) = 9x 4. Det är omöjligt att beräkna grundtillståndent (= lösningen ψ = ψ till Schrödinger ekvationen med minsta egenvärd E = E ) för denna potential V analytisk exakt, men man kan få en bra approximation genom att använda följande varationsprincip: Grundtillståndet till Schrödingerekvationen ovan är den reella funktion ψ (x) som minimerar funktionalen K[ψ] = dx (ψ x(x) 2 + V (x)ψ(x) 2 ) dxψ(x)2. (a) Bevisa variationsprincipen ovan. (b) Använda variationsprincipen för att beräkna konstanten a > så att funktionen ϕ(x) = e ax2 /2 ger den bästa approximationen till grundtillståndet ψ, dvs., så att K[ϕ] är minst. Beräkna också motsvarande approximation till minsta egenvärdet E. Ledning: dxx 2k e ax2 /2 = (2k )!! 2π a k a, a >, k =,, 2,..., och (2k )!! = 3 5 (2k ). 5. Vi studerar en enkel modell för akustiken i Globen (= sportarenan i Stockholm). (a) En ljudvåg genereras av en pulskälla i en punkt r = r vid tiden t = t inom en sfär med radie (detta modellerar ett klapp med händerna, t.ex.). Antag att sfären är ljudisolerad så att ljudet reflekteras av sfärens rand r =, och att ljudamplituden uppfyller vågekvationen med en inhomogen term som modellerar ljudkällan. Beräkna ljudamplituden som funktion av tiden t och positionen r inom sfären. (b) Förklara hur din lösning till problemet ovan kan tolkas som en Greensfunktion. Använd denna Greensfunktion för att skriva ljudamplituden som genereras av en godtycklig ljudkälla inom sfären som en integral. Ledning: (a) kan lösas med produktmetoden, t.ex. LYCKA TILL! t.ex. Bob Dylans band i Globen

3 Lösningsföreslag till FYSMAT Tentamen den 23 augusti 25. Problemet lyder u t = au xx u(, t) = u(l, t) = u(x, ) = T T T(x, t) är temperaturen och u(x, t) = T(x, t) T ; t > är tiden, och x normalavståndet från den plana ytan x =, < x < L. Separation och standard räkning ger (se t.ex. Kap i kursboken) a n = 2 L u(x, t) = L a n sin(k n x)e ak2 n t, Svar: Plattans temperature är lika med T(x, t) = T + 4(T T ) k n = n π L dx sin(k n x)(t T ) = 2(T T )( ( ) n ). k n L n= k 2n+ L sin(k 2n+x)e ak2 2n+ t, k 2n+ = (2n + )π. L 2. Eftersom problemet är rotationssymmetriskt så beror temperaturen T = T(r, z) bara på r och normalavståndet z från bottenskivan. Problemet lyder r (ru r) r + u zz = (PDE) u r (, z) = (V) u(r, ) = (V2) u(r, h) = b( r) 2 (V2) T(r, z) = u(r, z) + T, r, z h. Ansatsen u(r, z) = f(r)g(z), (PDE), (V) och (V2) ger och r (rf r(r)) r + λf(r) =, f r () =, f() < g zz (z) λg(z) =, g(h) =, som bara har nollskilda lösningar om λ = k 2 > : u s (r, z) = J (k s r) sinh(k s (z h)), k s = η,s η,s är nollställena till derivatan avbesselfunktionen J : J (η,s ) =, s =, 2,.... Allmäna lösningen till (PDE), (V) och (V2) är alltså u(r, z) = A s J (k s r) sinh(k s (z h)), s=

4 och koefficienterna A s fixeras av (V3): A s J (k s r) = b( r) 2 A s = s= drr b( r)2 J (k s r) drr J =.... (k s r) 2 3. Om u = u(r, ϕ, t) är membranens amplitud som funktion av tiden t och positionen (r, ϕ) i polära koordinater, r och ϕ 2π, > är trummans radie, so lyder modellen ρu tt S[ r (ru r) r + r 2u ϕϕ] = f f(r, ϕ, t) = F(t) r 2 π Θ(r r), u(, ϕ, t) = F(t) = Aδ(t nt); ρ > är masstätheten och S > spänningen av membranen; Θ är Heavisidefunktionen. f är oberoende av ϕ u är oberoende av ϕ: u = u(r, t). Vi utveckler lösningen i egenfunktioner av motsvarande Helmholtzekvation, r (ru r) r + r 2U ϕϕ = k 2 U, U r= = U = U(r, ϕ) med (r, ϕ) som ovan. Egenfunktioner oberoende av ϕ är J (k s r), k s = j,s, s =, 2, 3,... j,s är nollställena till Besselfunktionen J. Ansatsen ger u(r, t) = A s (t)j (k s r) s= Ä s (t) + (ck s ) 2 A s (t) = B s (r )F(t), c 2 = S/ρ B s (r ) = ρ r r 2π drrj (k s r) drr J (k s r). 2 Integralen i nämnaren ovan är lika med 2 2 J (j,s ) 2, och täljaren i gränsen r kan beräknas med l Hospitals regel. Detta ger B s := lim r B s(r ) = ρ 2 πj (k s ) 2. Lösningen till Ä s (t) + (ck s ) 2 A s (t) = B s F(t) är (enligt ledningen) A s (t) = t dr AB s sin(ck s (t r))b s F(r) = ck s }{{} ck A P s n δ(r nt) Θ(t nt) sin(ck s (t nt));

5 OBS att t dr f(r)δ(r nt) = f(nt)θ(t nt). Svar: u(r, t) = s= A ρck s 2 πj (k s ) 2J (k s t)θ(t nt) sin(ck s (t nt)). 4. (a) Vi skall visa att δk[ψ ] := d dɛ K[ψ + ɛη] =. ɛ= Vi skriver K = S /S 2 S [ψ] = dx ( ψ x (x) 2 + V (x)ψ(x) 2), S 2 [ψ] = och beräknar δs [ψ ] = δk = S 2δS S δs 2 S 2 2 = S 2 (δs KδS 2 ) dx (2η (x)ψ (x) + 2V (x)η(x)ψ (x)) = 2 dxη(x) ( ψ (x) + V (x)ψ (x)) ( vi använd oss av partiell integration) och δs [ψ ] = 2 dxη(x)ψ (x). Detta ger δk[ψ ] = dxψ(x) 2 S 2 (ψ ) 2 dxη(x) ( ψ (x) + (V (x) K[ψ ])ψ (x)), som visar att δk[ψ ] = för alla funktioner η om och bara om ψ är en lösning till Schrödingerekvationen ovan med E = K[ψ ]. Lösningen ψ = ψ till Schrödinger ekvationen med minsta möjliga värdet E = E maåste före vara ett globalt minimum till funktionalen K, och E = K[ψ ]. (b) Vi beräknar och får k(a) := K[ϕ] = k(a) = dx (ϕ (x) 2 + V (x)ϕ(x) 2 ) dxϕ(x)2 dx e ax2 ((ax) 2 + 9x 4 ) dx e ax2 = 2 a a 2. Bästa approximationen kan beräknas genom att minimera k: k (a) = a 3 =, och det finns bara en lösning > till k (a) = : a = 3. lim a k() = lim a + k( ) = + visar att detta är ett globalt minimum.

6 Svar: Bästa approximationen till grundtillståndet är ϕ(x) = e 3x2 /2, och motsvarande approximation till grundtillståndsenergin är E k(3) = 9/4 = Låt u = u(r, t) vara ljudamplituden inom sfären i punkten r vid tiden t r = är sfärens centrum. Modellen är κ motsvarer ljudkällan och n = r/ r. (a) Pulskällan motsvarar u tt (r, t) c 2 u(r, t) = κ(r, t) n u r = = u t= = u t t= = () κ(r, t) = Qδ 3 (r r )δ(t t ), Q >. I sfäriska koordinater r = (r, θ, ϕ), r <, θ π, ϕ 2π blir modellen i () då ( 2 t 2 c2 ( r 2 r r2 r + )) r 2Λ u(r, θ, ϕ, t) = Q r 2 sin(θ ) δ(t t )δ(r r )δ(θ θ )δ(ϕ ϕ ) u r (, θ, ϕ, t) = u(r, θ, ϕ, ) = u t (r, θ, ϕ, ) = Λ är vinkeldelen av i sfäriska koordinater, som ges, t.ex., i kursboken Kap Vi utveckler u i egenfunktioner av motsvarande Helmholtzekvation, ( r 2 r r2 r + ) r2λ + k2 U(r, θ, ϕ) =, dvs., U l,m,s (r, θ, ϕ) = N l,s j l (k l,s r)y lm (θ, ϕ) l =,, 2,..., m =, ±, ±2,..., ±l, s =, 2,..., k l,s = ξ l,s, j s(ξ l,s ) = ; j s är sfäriska Besselfunktioner av första slaget och Y lm är klotfunktioner som är definierade t.ex. i kursboken Kap ; N l,s är normaliseringen så att π 2π (U l,m,s, U l,m,s ) = drr 2 dθ sin(θ) dϕ U l,m,s (r, θ, ϕ) U l,m,s (r, θ, ϕ) = δ l,l δ m,m δ s,s, dvs., ( ) /2 ( N l,s = drr 2 j l (k l,s r) 2 = 2 (l + ) 2 )2 j 2 kl,s 2 l (k l,s ) /2. Ansatsen u(r, θ, ϕ, t) = l A l,m,s (t)u l,m,s (r, θ, ϕ) l= m= l s=

7 ger Ä l,m,s (t) + (k l,s c) 2 A l,m,s (t) = B l,s δ(t t ), A l,m,s () = Ȧl,m,s() = π 2π B l,s = drr 2 dθ sin(θ) dϕ U l,m,s (r, θ, ϕ) Q r 2 sin(θ ) δ(t t )δ(r r )δ(θ θ )δ(ϕ ϕ ) = QU l,m,s (r, θ, ϕ ). Lösningen till detta är A l,m,s (t) = B l,s Θ(t t ) k l,s c sin(k l,sc(t t )) (enligt ledningen till problem 3, t.ex.). esultatet blir då u(r, θ, ϕ, t) = l l= m= l s= U l,m,s (r, θ, ϕ ) U l,m,s (r, θ, ϕ)θ(t t ) k l,s c sin(k l,sc(t t )). (2) Greensfunktionen till problemet i () är funktionen G(r, t,r, t ) som uppfyller ( ) 2 t 2 c2 r G(r, t,r, t ) = δ 3 (r r )δ(t t ) n r G(r, t,r, t ) = G(r,,r, t ) = G t (r,,r, t ) = t >. Om vi jämföra med (a) så ser vi att funktionen u i (2) för Q = är identisk med Greensfunktionen G(r, t,r, t ). Lösningen till problemet i () för en godtycklig ljudkälla κ kan skrivas som u(r, t) = eller i sfäriska koordinater, u(r, θ, ϕ, t) = dr (r ) 2 π r t d 3 r dt G(r, t,r, t )κ(r, t ), G(r, θ, ϕ, t, r, θ, ϕ, t ) är funktionen i (2) för Q =. 2π dθ sin(θ ) dϕ G(r, θ, ϕ, t, r, θ, ϕ, t )κ(r, θ.ϕ, t )