TENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

Transkript

1 TENTAMEN I EKTORANALY I46 och I40 Del, T8 Torsdagen 3 maj 4:00-9:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa ej tillåten! Examinator: Edwin Langmann (Epost: langmann@kth.se Bonuspoängen från kursomgången T8 adderas till första uppgiften, dock max 6 poäng totalt. Lösningar: Kommer att finnas på KTH canvas (Extentor. Poäng: arje uppgift kan ge 6 poäng. Betygsgränserna finns på KTH social (kurs-pm. Motivera utförligt! Otillräckliga motiveringar kan medföra poängavdrag. Notation: (x, y, z är kartesiska koordinater, och r = xe x + ye y + ze z är ortsvektorn. (ρ, θ, z är cylinderkoordinater definierade genom x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z. (r, θ, ϕ är sfäriska koordinater definierade genom x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.. (a Beräkna uttrycket [(a r (a r] med hjälp av indexräkning (a=konstant vektorfält. (3p (b Förenkla vektoruttrycket u ( v+v ( u med hjälp av indexräkning. Ledning: Resultatet som skall härledas är c (u v + c (u v + c 3 (v u med vissa konstanter c, c, c 3. u och v är deriverbara vektorfält. (3p. (a Beräkna integralen Ud (d = ˆnd där är randytan till cylindern x + y R, 0 z R där ˆn pekar utåt, och U = x 3y + 5z är ett sklärfält; R > 0 är en konstant. Ledning: Använd en integralsats. (4p (b isa att epsilon-symbolen ɛ ijk definierar en isotrop tensor, en tensor som har samma komponenter, ɛ ijk = ɛ ijk, i alla högersystem. (p 3. (a Transformera vektorfältet u = (x+ye x +(y xe y +ze z till sfäriska koordinater r, θ, ϕ! Ledning: Du kan använda att e r = r/r, e ϕ = ( ye x + xe y /ρ. (p (b isa att vektorfältet B = B 0 re ϕ har en vektorpotential A (B 0 > 0 är en konstant. Beräkna en vektorpotential A till B som uppfyller e r A = e ϕ A = 0. (p (c För vilka värden på konstanten n uppfyller skalärfältet U(r = r n den biharmoniska ekvationen U = 0? (p r = x + y + z

2 4. A och B är godtyckliga vektorfält. Är följande påståenden korrekt? Om ja, bevisa det. Om inte, rätta till och bevisa det. (++p (a div(a B är lika med B rot A A rot B (b Om rot A = 0 så är (A A lika med grad(a A. (c Om A = k rot B, B = k rot A och div B = 0, så gäller B = 0 (k konstant. 5. Maxwell-ekvationerna lyder E = ρ, B = 0, E = B c t, B = c J + E c t där E är elektriska fältet, B magnetfältet, J strömtätheten, ρ laddningstätheten, c ljusets hastighet, och t tiden. om vi diskuterade i föreläsningen kan två av Maxwells ekvationer lösas genom att introducera en vektorpotential A och en skalärpotential Φ så att B = A, E = c (a isa att, om man väljer A och Φ så att t A Φ. Φ c t + A = 0, så uppfyller Φ och A en inhomogen vågekvation. Ledning: Fältet U uppfyller inhomogena vågekvationen betyder att U c U = k där k är ett fält av t samma typ (skalär eller vektor som U. (b Betrakta speciallfallet ρ = 0, J = 0, och anta att Φ(r, t = f(u, v cos(ωt oberoende av z, där (u, v, z är paraboliska koordinater x = (u v, y = uv, z = z (denna ansats motiveras t.ex. med vissa symmetriargument som vi inte bryr oss om här. Härled partiella differentialekvationerna som funktionen f(u, v måste uppfyllar om Φ skall uppfyllar vågekvationen i (a! Ledning: Paraboliska koordinater är ortogonala och h u = h v = u + v. (6p 6. Du skall ställa upp och lösa en modell för stationära temperaturen T (r inom ett sfäriskt område R r R (R > 0 och R > R är konstanter; modellen beskriver, t.ex., temperaturen inom jordklotet utanför jordens inre kärna. ärmeströmmen j är proportionell mot gradienten av temperaturen (Fouriers lag, och det finns inga värmekällor ( j är divergensfritt. Temperaturen T (r vid inre randen r = R (som kallas randtemperaturen och betecknas med T r=r är fixerad och lika med T. id randen r = R gäller Newtons avkylningslag,, normalkomponenten av värmeströmmen är proportionellt mot skillnaden mellan randtemperaturen T r=r och den konstanta omgivningstemperaturen T. Ledningar: täll upp ekvationerna och beräkna T (r. Inför själv konstanter du behöver! Temperaturen beror bara på r. (6p LYCKA TILL!

3 Formelblad ektoranalys Följande formler gäller i ett ortogonalt, kroklinjigt koordinatsystem med koordinaterna u, u, u 3, basvektorerna e, e, e 3 och skalfaktorerna h, h, h 3 : dr = h du e + h du e + h 3 du 3 e 3 grad φ = h div A = h h h 3 e + u h u e + h 3 [ u ( h h 3 A + h e h e h 3 e 3 rot A = h h h 3 u u u 3 h A h A h 3 A 3 div grad φ = h h h 3 [ u ( h h 3 h u 3 e 3 u ( h3 h A + + ( h3 h u u h ] ( h h A 3 u 3 + ( h h u u 3 h 3 där A, A och A 3 är de kroklinjiga komponenterna av vektorfältet A, pecialfall A = A e + A e + A 3 e 3. Cylinderkoordinater: h ρ =, h ϕ = ρ, h z =. färiska koordinater: h r =, h θ = r, h ϕ = r sin θ. ɛ-δ-relationen (tensornotation ] u 3 ɛ ijk ɛ klm = δ il δ jm δ im δ jl tokes sats (tensornotation A jk... ɛ rst d s = x t C A jk... dx r Gauss sats (tensornotation A jk... d = A jk... d i x i 3

4 Lösningsföreslag tentamen I46 och I40 Del, 3 maj 08. (a Hemtal 3, Uppgift 3b. (b Hemtal 3, Uppgift 3.(b (Lösningsföreslag till Hemtal 3 finns på canvas.. (a Gauss sats ger (e i är enhetsvektorer i ett kartesisk koordinatsystem e i Ud = e i Ud = e i Ud = ( e i Ud = e i Ud, Ud = Ud = (e x 3e y + 5e z d = (e x 3e y + 5e z där = R πr = R 3 π är cylinders volymen. var: (e x 3e y + 5e z R 3 π (b Anta att ɛ ijk är komponenter av tensorn i koordinatsystemet K, och L ij = e i e j är transformationsmatrisen till ett annat högersystem. Transformationsregeln för tensorer ger då komponenterna ɛ ijk av tensorn i koordinatsystemet K, Detta och definitionen av ɛ ijk ger ɛ ijk = L il L jm L kn ɛ lmn. ( ɛ 3 = L l L m L 3n ɛ lmn = det(l = = ɛ 3 där L = (L ij (3 3 matris. (det(l = följer från LL T = I det(ll T = = det(l det(l = (+ därför att K är ett högersystem. ( och ɛ lmn = ɛ nlm = ɛ mln ger ɛ ijk = ɛ jki = ɛ jik, som visar att ɛ ijk = ɛ ijk. v.s.v. 3. (a u = xe x + ye y + ze }{{} z ( ye x + xe y = re }{{} r r sin θe ϕ, =r =ρe ϕ u r = r, u θ = 0, u ϕ = r sin θ. (b B har ett vektorpotential A = A θ e θ om B = rot A. i beräkna e r re θ r sin θe ϕ rot A = r sin θ r θ ϕ 0 ra θ 0 som ger = r sin θ ( e r ϕ (ra θ + r sin(θe ϕ r (ra θ = B = B 0 re ϕ r r(ra θ = B 0 r A θ = 3 B 0r + f(θ, ϕ ϕ (raθ = r ϕ f(θ, ϕ = 0 f = 0 (t.ex.. 4

5 Detta visa att A = 3 B 0r e θ är ett vector potential till B. (c U = r r(r r r r(r r r n = r r(r r r rnr n+ = r r(r r n(n+r n = r rn(n+(n r n = n(n+(n (n r n 4 = 0 ger lösningar n =, n =, n = 0, n =. 4. (a Ja. Bevis: div(a B = i ɛ ijk A j B k = ɛ ijk ( i A j B k + ɛ ijk A j i B k = B k ɛ kij i A j = A j ɛ jik i B k = B rot A A rot B v.s.v. (b Nej. ant är att (A A = grad(a A om rot A = 0. Bevis: rot A = 0 i A j = j A i. Detta ger v.s.v. [(A A] i = A j j A i = A j i A j = i(a j A j = [ grad(a A] i (c Nej. Rätt är att B = k B. Bevis: v.s.v. B = grad div B rot rot B = rot rot B = k rot A = k B. 5. (a Fjärde Maxwell-ekvation ger B c te = ( A ( }{{} c t c ta Φ ( A A }{{} (c t A+c ( tφ Första Maxwell-ekvation ger = c t A A + (c t Φ + A = }{{} c J =0 t A c A = cj. E = ( c t A Φ = c t ( A + c t Φ c }{{} t Φ = ρ =0 t Φ c Φ = c ρ. ( 5

6 (b ρ = 0 och Φ = f(u, v cos(ωt, och ( ovan ger ( ω c f(u, v cos(ωt = 0, f(u, v + (ω/c f(u, v = 0. i transformerar till paraboliska koordinater (enl. formelbladet: ( ( ( ( hv h z hz h u hu h v f = div grad f = u u f + v v f + z z f h u h v h z h u h v h z lika med u +v ( u + vf (OB att h z = och z f = 0. var: ( ω f(u, v + u v f(u, v + (u + v f(u, v = 0. (3 c Anmärkning: PDEen i (3 som kan lösas ganska enkelt. Uppgiften ger ett typisk exempel om hur kunskap från kursen används i praktiken. 6. j = λ T (Fouriers lag och div j = 0 (kontinuitetsekvation om T/ t = 0 ger T = 0. ymmetri av problemet T = T (r, j = λ grad T = λt (re r. Randvillor vid r = R : T (R = T. Rankvillkor vid randen ρ = R : ˆn j r=r = α(t T (R där normalderivatan ˆn j r=r är lika med e r j r=r = λt (R. Problemet lyder alltså (vi användar i sfäriska koordinater enligt formelbladet ( r r r T (r = 0, T (R = T, λt (R = α(t T (R. r Lösning av ODE: r ( rr r T (r = 0 ( T (r = c + c r med integrationskonstanter c, c. Randvillkoret vid r = R ger c + c /R = T c = T c /R. Randvillkoret vid r = R ger λc R T T = α (T T + c /R c /R c = λ/αr + /R /R var: T T T (r = T + λ/αr + /R /R ( R r 6