Bilaga B. B.1 Lösningar till uppgifter i kapitel 1
|
|
- Monica Lundgren
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Bilaga B ösningar B.1 ösningar till uppgifter i kapitel 1 Uppgift 1.1 a) Det gäller att aa T = 1, där 1 är enhetsmatrisen, samt att det(a) = 1. åledes är a en rotation. Q.E.D. b) Transformationsegenskapen T ik = a ijt jl a kl ger matrisformeln (T ik) = (a ij )(T jl )(a kl ) T. Genom att utföra matrismultiplikationen i högerledet erhålls (T ik) = Uppgift 1.2 a) Tensorn A ij är en tensor av andra ordningen och dess komponenter transformeras därför enligt A ij = a ir a js A rs. Eftersom den enda nollskilda komponenten i K är A 11, så erhålls A ij = a i1a j1. Transformationskoefficienterna ges av cosα sinα 0 (a ij ) = sin α cosα Ur detta erhålls a 11 = cosα, a 21 = sinα samt a 31 = 0. Komponenterna A ij ges därför av cos 2 α cosαsin α 0 (A ij ) = cosαsin α sin 2 α
2 94 BIAGA B. ÖNINGAR b) Genom att använda = e i i erhålls Q.E.D. (ΦA) = i ΦA i = Φ i A i + A i i Φ = Φ A + A Φ. Uppgift 1.3 Transformationskoefficienterna ges av cosα sinα 0 (a ij ) = sin α cosα Genom att utnyttja att den enda nollskilda komponenten A ik i koordinatsystemet K är A 11 = 1 erhålls A ik = a i1a j1. De nollskilda komponenterna i koordinatsystemet K blir således A 11 = cos 2 α, A 22 = sin 2 α samt A 12 = A 21 = cosα sin α. Uppgift 1.4 Komponenterna A ij ges av (A ij ) = och transformationskoefficienterna av (a ij ) = cosα sin α. 0 sinα cosα Använder vi oss av transformationsrelationen (A ij ) = (a ik)(a kl )(a jl ) T erhålls 0 sin α cosα (A ij) = sin α cos 2 α sinαcosα. cosα sinαcosα sin 2 α Uppgift 1.5 Uppgiften löses genom att använda kända samband för partiella derivator, symmetrier och antisymmetrier samt relationen ǫ ijk ǫ klm = δ il δ jm δ im δ jl. a) b) (ΦA) = e i ǫ ijk j ΦA k = e i ǫ ijk (Φ j A k + A k j Φ) = e i ǫ ijk (Φ j A k A j k Φ) = Φ A (A )Φ (A + B) = i (A i + B i ) = i A i + i B i = A + B
3 B.1. ÖNINGAR TI UPPGIFTER I KAPITE 1 95 c) d) (A B) = e i ǫ ijk ǫ klm j A l B k = e i (δ il δ jm δ im δ jl )(A l j B m + B m j A l ) = e i (A i j B j + B j j A i A j j B i B i j A j ) = A( B) + (B )A (A )B B( A) Φ = e i ǫ ijk j k Φ = 1 2 e iǫ ijk ( j k k j )Φ = 0 Uppgift 1.6 i börjar med att skriva om integralen på tensorform: A dr = e i ǫ ijk A j dx k. Gauß sats ger nu A dr = e i ǫ ijk ǫ klm d l m A j = e i (δ il δ jm δ im δ jl ) d l m A j = e i (d i j A j d j i A j ), där vi även använt oss av ǫ-δ-relationen. Uppgift 1.7 Den totala spänningskraften på en godtycklig volym ges av en integral över dess randyta : F i = E ji d j. Använder vi oss nu av Gauß sats erhålls F i = d j E ji och således ges spännkraften på ett infinitesimalt volymselement av df i = d j E ji. Q.E.D.
4 96 BIAGA B. ÖNINGAR Uppgift 1.8 Betrakta kraftmomentet på en delvolym, givet av uttrycket M = r Fd + r e i σ ij d j, där F = F(r) är krafttätheten för krafter verkandes på volymen. Jämvikt kräver att ovanstående uttryck är noll. I komponentform erhålls ( ) M i = ǫ ijk x j F k d + x j σ kl d l. Genom att använda Gauß sats kan detta skrivas som M i = ǫ ijk d (x j F k + l x j σ kl ) = ǫ ijk d (x j F k + δ jl σ kl + x j l σ kl ). Enligt jämviktsekvationen (1.109) gäller att F k + l σ kl = 0. För att momentjämvikt skall råda krävs därför att d ǫ ijk σ kj = 0. Eftersom är en godtycklig volym, så måste integranden vara lika med noll. Det följer att ǫ ijk σ kj = 0, vilket är ekvivalent med att den antisymmetriska delen av σ kj är lika med noll. åledes är spänningstensorn symmetrisk. Q.E.D. Uppgift 1.9 a) Transformationskoefficienterna ges av (a ij ) = c s 0 s c 0, där c = cosα och s = sin α. Eftersom A 111 är den enda nollskilda komponenten i K, så ges komponenterna i K av A ijk = a i1 a j1 a k1. Detta är nollskilt om och endast om alla tre ingående transformationskoefficienter är nollskilda. Detta är ekvivalent med att i, j, k 3. b) Komponenten A 122 ges av A 122 = a 11a 2 21 = cs2. Uppgift 1.10 a) Uttrycket förenklas med hjälp av kartesiska tensormetoder enligt A ( A) = e i ǫ ijk ǫ klm A j l A m = e i (δ il δ jm δ im δ jl )A j l A m = e i (A j i A j A j j A i ) = 1 2 (A2 ) (A )A.
5 B.1. ÖNINGAR TI UPPGIFTER I KAPITE 1 97 b) Uttrycket förenklas enligt följande: [(B )A] = i B j j A i = B j j i A i + ( i B j )( j A i ). Uppgift 1.11 a) T kk = a kja ki T ji = δ ji T ji = T ii b) T ij T ij = a ika jl a im a jn T kl T mn = δ km δ ln T kl T mn = T kl T kl c) Oavsett komponenterna i B ij gäller att ǫ ijk B i1 B j2 B k3 = ǫ ijk B 1i B 2j B 3k, vilket inses lätt om vi skriver ut termerna i summorna. Transformation mellan två kartesiska koordinatsystem ger ǫ ijk T i1t j2t k3 = ǫ ijk T il T jm T kn a 1l a 2m a 3n. i använder oss nu av relationen ovan med B ik = T il a kl och erhåller ǫ ijk T i1t j2t k3 = ǫ ijk T 1l T 2m T 3n a il a jm a kn = ǫ lmn T 1l T 2m T 3n = ǫ lmn T l1 T m2 T n3. Uppgift 1.12 Koordinattransformationen mellan två kartesiska koordinatsystem ges av x i = a ji x j + b i, där a ij är transformationskoefficienterna. Detta innebär att x j x = a ji. i Genom att använda det faktum att T ij och k är kartesiska tensorer erhålls k T ij x k x r T mn T mn = a kl l a im a jn x = a kl a im a jn a kr l = a im a jn l T mn. k x r x r x l åledes är k k T ij en kartesisk tensor. För integralen T ke dx e gäller det att T kedx e = a ki a ej T ij a el dx l = a ki T ij dx j. Integralen är således en tensor av första ordningen. Eftersom ǫ ijk är en tensor av tredje ordningen, så följer att kontraktionen ǫ ijk T ke dx e är en tensor av andra ordningen. Q.E.D.
6 98 BIAGA B. ÖNINGAR Uppgift 1.13 Med hjälp av kartesiska tensormetoder kan uttrycket ( φ a) skrivas ( φ a) = e i ǫ ijk ǫ klm j l φa m Det sökta villkoret blir således 2 φ = 0. = e i (δ il δ jm δ im δ jl ) j l φa m = e i ( i j φa j a i j j φ) = ( φ a) a 2 φ. Uppgift 1.14 i studerar vektoruttrycket [A ( A)] i volymen med hjälp av kartesiska tensormetoder: [A ( A)] = ǫ ijk ǫ klm i A j l A m = ǫ ijk ǫ klm [( i A j )( l A m ) + A j i l A m ] = ( A) 2 A [ ( A)] = ( A) 2, där vi använt oss av att A [ ( A)] = 0 i. Integralen kan nu förenklas med hjälp av Gauß sats: d ( A) 2 = d [A ( A)] = d [A ( A)]. Eftersom A ( A) = 0 på randytan, så blir integranden, och således även integralen, noll. Q.E.D. Uppgift 1.15 Tidsderivatan av den totala rörelsemängden ges av ( dp dt = d ρ v ) t + v ρ. t Genom användande av givna samband kan detta skrivas på formen dp dt = d [(ρv )v + P + v( ρv)]. Med hjälp av kartesiska tensormetoder skrivs detta om enligt dp = e i d [ρv k k v i + v i k ρv k + i P] dt = e i d k (ρv i v k + Pδ ki ) = e i d k (ρv i v k + Pδ ik ) = e i d k π ik, där π ik = ρv i v k + Pδ ik är en, uppenbarligen symmetrisk, tensor. Q.E.D.
7 B.1. ÖNINGAR TI UPPGIFTER I KAPITE 1 99 Uppgift 1.16 Genom att utnyttja relationen x i = a ijx j erhålls A ij a ika jl x k x l + B i a ikx k = 0. Detta är sant om och endast om A kl = A ij a ika jl och B k = B i a ik. Genom att multiplicera den första av dessa likheter med a mk a nl erhålls A mn = a mk a nl A kl och genom att multiplicera den andra med a lk erhålls B l = a lkb k. åledes utgör A ij och B i komponenter av tensorer. Hade inte A ij förutsatts vara symmetrisk skulle inte en yta unikt definiera dessa komponenter eftersom vi kan lägga till en godtycklig antisymmetrisk del utan att påverka andragradsytans form. Uppgift 1.17 a) i har enligt Einsteins summationskonvention δ ii = δ 11 + δ 22 + δ 33 = = 3. b) Eftersom δ ij = δ ji och ǫ ijk = ǫ jik erhålls δ ij ǫ ijk = δ ji ǫ jik = δ ij ǫ ijk = 0. Detta gäller alltid då en symmetrisk tensor kontraheras med en antisymmetrisk. c) Enligt ekvation (1.73) gäller att ǫ ijk ǫ ljk = δ il δ jj δ ij δ jl = 2δ il. d) Enligt c) gäller att ǫ ijk ǫ ijk = 2δ ii = 6. Uppgift 1.18 a) För tensorn A ijkl = δ ij δ kl gäller att A ijkl = a im a jn a kr a ls δ mn δ rs = a im a jm a kr a lr = δ ij δ kl. åledes är A ijkl en isotrop tensor. b) För tensorn B ijkl = A ikjl + A iljk gäller att B ijkl = A ikjl + A iljk = A ikjl + A iljk = B ijkl eftersom A ijkl är en isotrop tensor. åledes är B ijkl en isotrop tensor. c) För tensorn C ijkl = ǫ nij ǫ nkl gäller att C ijkl = a im a jr a ks a le ǫ nmr ǫ nse = a im a jr a ks a le a bn a cn ǫ bmr ǫ cse = ǫ nijǫ nkl = ǫ nij ǫ nkl, där vi använt oss av att ǫ ijk är en isotrop tensor samt att a bn a cn = δ bc. åledes är C ijkl en isotrop tensor.
8 100 BIAGA B. ÖNINGAR Uppgift 1.19 a) Det gäller att ( A) = ǫ ijk i j A k = ǫ jik j i A k = 0 eftersom de partiella derivatorna kommuterar. b) Uttrycket förenklas enligt (A B) ( C) = ǫ ijk ǫ ilm A j B k l C m c) Uttrycket förenklas enligt = (δ jl δ km δ jm δ kl )A j B k l C m = A j B k j C k A j B k k C j = B [(A )C] A [(B )C]. ( A) = e i ǫ ijk ǫ klm j l A m d) Uttrycket förenklas enligt = e i (δ il δ jm δ im δ jl ) j l A m = e i ( i j A j j j A i ) = ( A) 2 A. (A B) = e i ǫ ijk ǫ klm j A l B m = e i (δ il δ jm δ im δ jl )(B m j A l + A l j B m ) = e i (B j j A i + A i j B j A j j B i B i j A j ) = (B )A + A( B) (A )B B( A). e) Uttrycket förenklas enligt (r φ) = ǫ ijk i x j k φ = ǫ ijk (δ ij k φ + x j i k φ) = 0. f) Uttrycket förenklas enligt (r φ) = e i ǫ ijk ǫ klm j x l m φ = e i (δ il δ jm δ im δ jl )(δ jl m φ + x l j m φ) = e i ( i + x i j j 3 i x j i j )φ = r 2 φ 2 φ (r ) φ. g) Uttrycket förenklas enligt [r ( A)] = e i ǫ ijk ǫ klm ǫ mnp j x l n A p = e i (δ il δ jm δ im δ jl )ǫ mnp (δ jl n + x l j n )A p = e i [ǫ jnp (δ ij n + x i j n ) ǫ inp (3 n + x j j n )]A p = e i ǫ inp ( n 3 n x j j n )A p = (2 + r )( A).
9 B.1. ÖNINGAR TI UPPGIFTER I KAPITE h) Uttrycket förenklas enligt [( φ) ( ψ)] = ǫ ijk i ( j φ)( k ψ) = ǫ ijk [( i j φ)( k ψ) + ( j φ)( i k ψ)] = 0. i) Uttrycket förenklas enligt [(r )B] = e i ǫ ijk j x l l B k = e i ǫ ijk (δ jl l B k + x l l j B k ) = (1 + r )( B). j) Uttrycket förenklas enligt [(r ) B] = ǫ ijk ǫ jlm i x l m B k = (δ kl δ im δ km δ il )(δ il m B k + x l i m B k ) = m B m + x k i i B k 3 m B m x i i k B k = r ( 2 B) (2 + r )( B). k) Uttrycket förenklas enligt (A )(B C) = e j ǫ jlm A i i B l C m = A i e j ǫ jlm (C m i B l + B l i C m ) = B [(A )C] C [(A )B]. Uppgift 1.20 Uttrycket kan skrivas som [(r ) (r )]φ = e i ǫ ijk ǫ jlm ǫ knp x l m x n p φ = e i ǫ knp (δ kl δ im δ km δ il )x l (δ mn + x n m ) p φ = e i [ǫ kip x k p + ǫ knp x k x n i p ǫ knp x i (δ nk p + x n k p )]φ. Alla termer utom den första innehåller symmetriska tensorer som kontraheras med permutationssymbolen, således överlever enbart den första termen. Resultatet blir Q.E.D. [(r ) (r )]φ = e i ǫ kip x k p φ = r φ.
10 102 BIAGA B. ÖNINGAR Uppgift 1.21 a) Integralen kan skrivas A dr = e i ǫ ijk A j dx k = e i ǫ ijk ǫ klm d l m A j = e i (δ il δ jm δ im δ jl ) d l m A j = e i (d i j A j d j i A j ), där tokes sats har använts för att skriva om linjeintegralen till en ytintegral. b) Integralen kan skrivas A(B dr) = e i = e i A i B j dx j ǫ jlk d l k A i B j = e i ǫ jlk d l (B j k A i + A i k B j ) = A[d ( B)] B[d (B )]A, där tokes sats har använts för att skriva om linjeintegralen till en ytintegral. c) Integralen skrivs om till en ytintegral med hjälp av tokes sats enligt ǫ ijk A ij dx k = ǫ ijk ǫ klm d l m A ij = (δ il δ jm δ im δ jl ) d l m A ij = d i j (A ij A ji ). Det är rimligt att enbart den antisymmetriska delen av A ij ger ett bidrag till integralen eftersom vi i den ursprungliga linjeintegralen kontraherat A ij med permutationssymbolen. Uppgift 1.22 Integralen kan skrivas I = (A φ) d = ǫ ijk d i A j k φ.
11 B.1. ÖNINGAR TI UPPGIFTER I KAPITE Eftersom A är virvelfritt gäller att φǫ ijk k A j = 0 och således även I = ǫ ijk d i (A j k φ + φ k A j ) = ǫ ijk d i k A j φ = A j φdx j = φa dr, där vi använt tokes sats för att skriva om ytintegralen som en linjeintegral. Uppgift 1.23 Integralen kan skrivas I = [( φ) GradA] d = e l ǫ ijk ( j φ)( k A l )d i. ägger vi till 0 = e i ǫ ijk ( k j φ)a l till integranden erhålls I = e l d u ǫ ijk k A l j φ = e l dx j A l j φ = A(dr φ), där vi har använt oss av tokes sats för att skriva om ytintegralen till in linjeintegral. Uppgift 1.24 a) Integralen kan skrivas d ( A) = e i ǫ ijk ǫ klm j l A m = e i (δ il δ jm δ im δ jl ) d j l A m = e i d j ( i A j j A i ), där vi använt oss av Gauß sats för att göra om integralen över volymen till en integral över dess randyta. b) Integralen kan skrivas I = d [( φ) ] A = d ǫ ijk ( j φ) k A i.
12 104 BIAGA B. ÖNINGAR Eftersom A i ǫ ijk j k φ = 0 (de partiella derivatorna kommuterar) kan detta adderas till integranden utan att ändra resultatet I. Effekten av detta blir att I = = = = d ǫ ijk [( j φ) k A i + A i j k φ] ǫ ijk k A i j φ d k ǫ ijk A i j φ d (A φ), där vi använt oss av Gauß sats för att skriva om integralen över volymen till en integral över dess randyta. Uppgift 1.25 Integralen kan skrivas I = d (B )A = e i d B j j A i. Eftersom B är ett källfritt fält gäller att j B j = 0, således kan vi addera e i A i j B j till integranden utan att ändra I. Resultatet av detta är I = e i = e i = e i = d (B j j A i + A i j B j ) d j A i B j d j A i B j A(B d), där vi använt oss av Gauß sats för att göra om integralen över volymen till en integral över dess randyta. Uppgift 1.26 i studerar termen d ( E), denna kan skrivas som d ( E) = e i ǫ ijk ǫ klm d j l E m = e i (δ il δ jm δ im δ jl )d j l E m = e i d j ( i E j j E i ).
13 B.1. ÖNINGAR TI UPPGIFTER I KAPITE i kan använda detta för att skriva om integralen av denna term enligt d ( E) = e i d j ( i E j j E i ) = e i d j ( i E j j E i ) = e i d ( i j E j j j E i ) = e i (d i j E j d j j E i ) = [d( E) (d )E], där Gauß sats har använts för att först skriva om en ytintegral till en volymsintegral och sedan skriva om den omskrivna volymsintegralen till en ytintegral. Ur detta följer att det i uppgiften givna uttrycket är lika med noll. Q.E.D. Uppgift 1.27 För kraften F gäller att F i = df i = d ǫ ijk j j B k = 1 d ǫ ijk B k ǫ jlm l B m µ 0 = 1 d (δ kl δ im δ il δ km )B k l B m µ 0 = 1 d (B k k B i B k i B k ). µ 0 Genom att lägga till B i k B k = 0 till integranden kan denna skrivas F i = 1 d ( k B k B i 12 ) µ ib k B k 0 = 1 (d k B k B i 12 ) µ d ib k B k 0 där = 1 µ 0 = d j ( B i B j 1 2 δ ijb k B k ) T ij d j, T ij = B i B j 1 2 δ ijb k B k och Gauß sats har använts för att skriva om integralen över volymen till en integral över dess randyta.
14 106 BIAGA B. ÖNINGAR Uppgift 1.28 a) Om T ik = T ki så gäller att T ik = a li a jk T lj = a li a jk T jl = T ik. Om en tensor är symmetrisk i ett koordinatsystem så är den alltså automatiskt symmetrisk i ett annat. Eftersom T ik given i uppgiften är symmetrisk och tensorn T ik inte är det existerar alltså inget koordinatsystem K så att T ik antar den angivna formen. b) Kontraktionen T ii är en skalär och har samma värde i alla koordinatsystem. Det gäller att T ii = 3 och att T ii = 0, således existerar inget koordinatsystem K så att T ik antar den angivna formen. c) Något sådant koordinatsystem existerar inte av samma anledning som i a). Uppgift 1.29 a) Kraftens komponenter ges av F i = mǫ ijk ǫ klm ω j ω l x m = m(δ il δ jm δ im δ jl )ω j ω l x m = m(ω j ω j x i ω i ω j x j ) = mt ij x j, där vi har definierat T ij = m(δ ij ω k ω k ω i ω j ). b) Eftersom ω är den enda vektorn som ingår i definitionen av tensorn T ij är det rimligt att tro att ω är en egenvektor till denna tensor. Detta kan enkelt visas genom att sätta in detta i egenvärdesekvationen λa i = T ij a j, resultatet blir T ij ω j = m(ω k ω k ω i ω i ω j ω j ) = 0 och således är ω en egenvektor till tensorn T ij med egenvärdet noll (detta kan även lätt inses eftersom ω ω = 0). Antag nu att vi har en egenvektor a som uppfyller a i ω i = 0 (dessa existerar eftersom T ij är symmetrisk och det således existerar en uppsättning ortogonala egenvektorer). Resultatet av detta blir att T ij a j = m(ω k ω k a i ω i ω j a j ) = mω k ω k a i. Det följer att övriga egenvektorer har egenvärdet mω 2 och kan väljas godtyckligt så länge de väljs ortogonala mot ω. Uppgift 1.30 a) Den potentiella energin kan skrivas φ = (m 1 )(m 2 ) 1 r 1 = m 1i m 2j i j r = m 1i m 2j M ij,
15 B.1. ÖNINGAR TI UPPGIFTER I KAPITE där M ij = i j (1/r) är en kartesisk tensor av andra ordningen. Genom att utföra deriveringarna erhålls M ij = 1 ( ) 3 r 3 r 2 x ix j δ ij. b) Den enda riktnig som utmärker sig i systemet är skillnadsvektorn r mellan de två dipolerna. Det är därför rimligt att denna skulle kunna vara en egenvekor till M ij. Detta kan visas genom att sätta in r i egenvärdesekvationen M ij x j = 1 r 3 ( 3 r 2 x ix j x j x i ) = 2 r 3 x i. åledes är r en egenvektor till M ij med egenvärdet 2/r 3. Eftersom M ij är symmetrisk existerar minst en uppsättning ortogonala egenvektorer till M ij, vi ansätter därför att övriga egenvektorer a uppfyller a i x i = 0. Genom att sätta in detta i egenvärdesekvationen erhålls M ij a j = 1 r 3 ( 3 r 2 x ix j a j a i ) = 1 r 3 a i. Ovanstående gäller för alla vektorer som är ortogonala mot r och således är alla dessa egenvektorer till M ij med egenvärdet 1/r 3. Uppgift 1.31 a) Kraftens komponenter kan skrivas som F i = eǫ ijk v j B k = M ij v j, där M ij = eǫ ijk B k är en tensor av andra ordningen. b) Eftersom B är den enda riktning som utmärker sig i definitionen av tensorn M ij är det rimligt att anta att B är en egenvektor till densamma. Detta kan enkelt visas genom att sätta in B i egenvärdesekvationen M ij B j = eǫ ijk B j B k = 0. åledes är B en egenvektor till M ij med egenvärdet noll. Antag nu att vektorn a är en egenvektor till M ij med egenvärdet λ. Detta innebär att N ik a k = M ij M jk a k = λm ij a j = λ 2 a i, a är alltså en egenvektor till M ij M jk med egenvärdet λ 2. amtidigt gäller att N ik = e 2 ǫ ijl ǫ jkm B l B m = e 2 (δ lk δ im δ lm δ ik )B l B m = e 2 (B i B k δ ik B l B l ). Eftersom tensorn N ik är symmetrisk har den en ortogonal uppsättning reella egenvektorer, en av dessa är B enligt ovan. Antag nu att vi har en vektor a som är ortogonal mot B. I detta fall erhålls N ij a j = e 2 (B i B k a k a i B l B l ) = e 2 B l B l a i. åledes måste a vara en egenvektor till N ij. Det följer att de två resterande egenvärdena till N ij är λ 2 = e 2 B i B i. Detta innebär att λ = ±ie B i B i. Alltså har tensorn M ij två imaginära egenvärden (±ie B i B i ) och ett egenvärde som är noll. Egenvektorn tillhörandes egenvärdet noll är parallell med B.
16 108 BIAGA B. ÖNINGAR Uppgift 1.32 Kraftens komponenter ges av F i = d ρe i = ǫ 0 d E i j E j = ǫ 0 d ( j E i E j E j j E i ) = ǫ 0 d ( j E i E j + E j j i φ) = ǫ 0 d ( j E i E j + E j i j φ) = ǫ 0 d ( j E i E j E j i E j ) = ǫ 0 d ( j E i E j 12 ) ie j E j = (d j E i E j 12 ) d ie j E j ( = d k E i E k 1 ) 2 δ ike j E j = d k T ik, där T ik = E i E k (1/2)δ ik E j E j och där Gauß sats använts för att skriva om integralen över volymen till en integral över dess randyta. Uppgift 1.33 Med hjälp av kartesiska tensormetoder kan integralen skrivas I = d [A( A) A ( A)] = e i d [A i j A j ǫ ijk ǫ klm A j l A m ] = e i d [A i k A k (δ il δ jm δ im δ jl )A j l A m ] = e i d (A i j A j A j i A j + A j j A i ) = e i d ( j A i A j 12 ) ia j A j = e i (A i A j 12 ) δ ija k A k d j, där Gauß sats använts för att skriva om integralen över volymen till en integral över dess randyta.
17 B.1. ÖNINGAR TI UPPGIFTER I KAPITE a) Applicerat på det rotationsfria fältet E erhålls [ d E( E) = E(E d) 1 ] 2 E2 d, vilket är ekvivalent med resultatet i uppgift b) Applicerat på det källfria fältet B erhålls d B ( B) = vilket är ekvivalent med resultatet i uppgift [ B(B d) 1 2 B2 d ],
1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =
1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift
Läs merTensoranalys. Anders Ramgard. Redigerad och utökad av Mattias Blennow och Tommy Ohlsson. x 3. e 1. e 2. x 2 x 1. e 3
Tensoranalys Anders Ramgard Redigerad och utökad av Mattias Blennow och Tommy Ohlsson x 3 n e 2 e 1 x 2 x 1 e 3 Matematisk fysik, Institutionen för fysik Kungliga Tekniska Högskolan tockholm 2004 Typsatt
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
Läs merTensoranalys. Anders Ramgard. Redigerad och utökad av Mattias Blennow och Tommy Ohlsson. x 3. e 1. e 2. x 2 x 1. e 3
Tensoranalys Anders Ramgard Redigerad och utökad av Mattias Blennow och Tommy Ohlsson x 3 n e 2 e 1 x 2 x 1 e 3 Matematisk fysik, Institutionen för fysik Kungliga Tekniska Högskolan tockholm 2004 Typsatt
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 14, 2018 5. Indexnotation Precis som vi har räkneregler för
Läs merOMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
OMTENTAMEN I VEKTORANALY I46 och I40 Del, VT8 Onsdagen augusti 08:00-:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa
Läs merTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
TENTAMEN I EKTORANALY I46 och I40 Del, T8 Torsdagen 3 maj 4:00-9:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa ej
Läs mer1 Vektorer och tensorer
Föreläsning 1. 1 Vektorer och tensorer Vi kommer att använda två olika beteckningar för vektorer. Enligt det första systemet använder vi fet stil för en vektor i typsatt text och ett vektorstreck då vi
Läs merKvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp
Joakim Edsjö Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 8-5537876 E-post: edsjo@physto.se Lösningar till Kvantmekanik II (FK51, 7,5 hp 3 januari 9 Lösningar finns även tillgängliga på http://www.physto.se/~edsjo/teaching/kvant/index.html.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merSjälvkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merGripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,
Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv
Läs mer1.Extra : Vektorer och Tensorer
Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 37 1.Extra : Vektorer och Tensorer Vektorer - transformationsegenskaper Låt r vara en ortsvektor i R 3 ( 3-dimensionella rummet) och låt den representeras av två
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift
Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merx 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t)
Differentialekvationer II Modellsvar till räkneövning 4 16.4. 218 (kl 12-14 B222) 1. Lös det linjära homogena DE-systemet x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t) med matrismetoden. Påminnelse: egenvärden och
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merHydrodynamik Mats Persson
Föreläsning 5/10 Hydrodynamik Mats Persson 1 De hydrodynamiska ekvationerna För att beskriva ett enkelt hydrodynamiskt flöde behöver man känna fluidens densitet,, tryck p hastighet u. I princip behöver
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merLösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004.
Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 24. 1. Gausselimination ger: 2 3 5 2 1 5 6 b 1 2 3 3 1 2 3 1 1 1 1 3 b/3 1 8 1
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merLÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merFöreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x
Föreläsning 2 1 Matematiska grundbegrepp Fält kalärfält: Vektorfält: Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär Exempel: Temperaturen i olika punkter i rummet, T r,t ( ) = T ( x, y, z,t) Till varje
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merLite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merCartesiska kooordinater r = xˆx + yŷ + zẑ är de vanligaste men inte nödvändigtvis. Val av koordinatsystem beror på det problem vi vill studera.
yfte : 1 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 1. Vektoranalys. Definiera och analysera begrepp analysen för vektorfunktionen. 1.1 Varför vektorer : Rumskonceptet En punkt i ett normalt rum som lektionssalen
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs mer1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:
Läs merLösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum:
Lösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum: 004-08- Observera Om tentamensuppgiften är densamma som på den nya kursen MTM3 är uppgiften löst med den metod som är vanligast i denna kurs.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merLösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.
Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m
Läs merDagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merTMV206: Linjär algebra
Matematiska vetenskaper Lösningsförslag till tentamen Chalmers tekniska högskola 2018-06-07, 14:00 18:00 TMV206: Linjär algera Uppgift 1 Linjerna skär varandra om det finns någon punkt (x,y, z) som uppfyller
Läs merIntegraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill
Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan
Läs merTentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merδx 1, (1) u 1 + u ) x 1 där den andra termen är hastighetsförändringen längs elementet.
Föreläsning 3. 1 Töjningstensorn I denna föreläsning kommer vi konsekvent att använda oss utav Cartesisk tensornotation i vilken vi benämner våra koordinater med (x 1, x 2, x 3 ) och motsvarande hastighetskomponenter
Läs merKroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)
Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merLösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004.
Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik II, B1116, B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004. 1. Välj en punkt i planet 3x + 3y z = 4, exempelvis
Läs mer(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z
UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merNumerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33
Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33 1. A är en kvadratisk matris vars alla radsummor är noll. Visa att A är singulär. Låt e vara vektorn av ettor. Då är Ae = 0 A har icke-trivialt nollrum. 2/33
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merTentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl
Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel
Läs merTENTAMEN I KVANTFYSIK del 1 (5A1324 och 5A1450) samt KVANTMEKANIK (5A1320) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 2007
TENTAMEN I KVANTFYSIK del (5A4 och 5A45) samt KVANTMEKANIK (5A) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 7 HJÄLPMEDEL: Formelsamling i Fysik (teoretisk fysik KTH), matematiska tabeller, dock
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs merExempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling ektoranalys Teoretisk Fysik, KTH Kapitel 4&5 i EKTORANALY Anders Ramgard 3:e upplagan () (med justeringar gjorda den 9 augusti 8) Exempelsamling ektorfunktioner, parameterframställning av
Läs merOändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merA. Grundläggande matristeori
A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan
Läs merANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen
ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen Ax + Bxy + Cy + Dx + Fy + G 0 (ekv) där minst en av A,B, eller C är skild från 0 En andragradskurva är mängden av alla punkter vilkas koordinater satisfierar en
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer