Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg"

Gunnar Lindström
för 5 år sedan
Visningar:

1 Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: Resultatet meddelas via studentportalen senast: 5 arbetsdagar efter tentamensdagen Tillåtna hjälpmedel: BETA, miniräknare, bifogad formelsamling. Formelsamlingen skall efter tentamens slut lämnas tillbaka till tentamensvakten. Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng. Betygsgränser: Institutionen för matematik

2 Formler för cosinus- och sinusutveckling: f(x) = α k cos kπx resp. f(x) = β k sin kπx L L, 0 < x < L, där k=0 α 0 = L L 0 f(x) dx, α k = 2 L k= L 0 f(x) cos kπx dx (k ), L β k = 2 L L 0 f(x) sin kπx L dx.. Lös följande rand- och begynnelsevärdesproblem: (5p) u t au xx = 0, 0 < x < L, t > 0, u x (0, t) = u x (L, t) = 0, t > 0, {, 0 < x < L/2, u(x, 0) = 0, L/2 < x < L. 2. Betrakta följande inhomogena rand- och begynnelsevärdesproblem: u t u xx = sin πx, 0 < x <, t > 0, () u(0, t) =, u(, t) = 3, t > 0, (2) u(x, 0) = g(x), 0 < x <. (3) Bestäm den stationära lösningen till () (2). Använd denna till att homogenisera problemet () (3). Teckna det homogena problemet detaljerat (med partiell differerentialekvation, rand- och begynnelsevillkor) men lös det inte. (5p) 3. Låt f(x) = e x2 /2 och g(x) = cos x. Lös faltningsekvationen u f = g där den obekanta u är en tempererad distribution. Ledning: Fouriertransform. (5p)

3 4. En halvoändlig metallstång ligger längs positiva x-axeln (dvs 0 x < ). Stångens mantelyta och ände är isolerade. Vid tiden t = 0 är temperaturen 2 för 0 < x < men 0 för < x <. Bestäm temperaturen i stången som funktion av x och t för 0 < x < och t > 0. Fysikaliska konstanter kan sättas till. Felfunktionen erf (error function) får ingå i svaret. (6p) 5. Lös följande randvärdesproblem: u = 0, 0 < r <, 0 < θ < π/2, u(r, 0) = 0 och u(r, π/2) =, 0 < r <, u(, θ) = 0, 0 < θ < π/2, i polära koordinater r, θ. (5p) 6. Lös följande randvärdesproblem: u + u = 0, 0 < r <, 0 < θ < π/4, u(r, 0) = 0 och u(r, π/4) = 0, 0 < r <, u(, θ) =, 0 < θ < π/4, i polära koordinater r, θ. (5p)

4 ÄÍÆ Ë Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ ¾¼¼ ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ý Ø Ñº ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò ÙØ Ö Ö ØØ Ø Ö Ñ ÒÒ Øº Ø Ò Ò Ö Ö Ð Ö ÐÙÒ º ÐÐ Ö Ò ÖÙØ ØØÒ Ò Ö Ö ÓÖÑÐ ÖÒ ÐØ Øµº Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÎÖÑ Ð Ò Ò j = D u q t + j = k u t D u = k u ( ÐÐÑÒÒ Ö (D u) = k). t j = λ u, dq = ρ c du Ð ØÖÓ Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ð u t a u = a λ k Ö a = λ ρc ( ÐÐÑÒÒ Ö ρc u t ËÚÒ Ò ØÖÒ Ó Ñ Ñ Ö Ò 2 u t 2 c2 u = f ρ ÄÓÒ ØÙ Ò ÐÐ ÚÒ Ò Ò Ö u = ρ ǫǫ 0 (λ u) = k). Ö c 2 = S ρ ( ÐÐÑÒÒ Ö ρ 2 u (S u) = f). t2 2 u t u 2 c2 2 x = f 2 Ö c 2 = α, S = α u ρ l ρ l x ËÚÒ Ò Ò Ö Ö Ð Ù µ u = p p 0 p 0 (ØÖÝ Ø ÖÒ Ò ) 2 u t 2 c2 u = 0 Ö c 2 = γp 0 ρ 0

5 ¾ Ö ÚÒ Ò Ò Ö Ö Ð Ù µ ÐÐ Ö Ø Ö Ð Ò Ö Ö Ò ØØ p ṽ + v 0 γ t x = 0 Ö p = p p 0 p 0 Ó ṽ = v v 0 º Î ØÓÖ Ò ÐÝ Ù ÓÖÑ Ð ËØÓ ÓÖÑ Ð Ö Ò ÓÖÑ Ð Á Ö Ò ÓÖÑ Ð ÁÁ Ω S v 0 ṽ t u dv = Ω u ds = Ω + p 0 ρ 0 p x = 0 p = γ ρ u ds S u v dv = Ω u dr Ω (u v v u) dv = Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖÒ ÝÐ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö = r Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖÒ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö = r Λ = u v n ds u v dv Ω Ω ( u v n v u ) ds n r r r + r 2 2 θ z 2 = = 2 r + 2 r r + 2 r 2 θ z 2 2 r 2r + r 2Λ = r 2 r r2 r + r 2Λ = = 2 r r r + r 2Λ sin θ θ sin θ θ + sin 2 θ 2 φ 2 Λ = s ( s2 ) s + s 2 2 φ 2 ÓÑ s = cosθ (θ ÔÓÐ Ö Ø Ò, 0 < θ < π; φ ÐÓÒ ØÙ, 0 φ < 2π).

6 ÇÖØÓ ÓÒ ÐÙØÚ Ð Ò Ö (u v) w = u(x)v(x)w(x) dx ÇÑ (ϕ j ϕ k ) = 0, j k u = c k (u)ϕ k c k (u) = (ϕ k u) ρ k, ρ k = (ϕ k ϕ k ) È Ö Ú Ð (u v) = ρ k (ϕ k u)(ϕ k v) = ρ k c k (u)c k (v) ËØÙÖÑ¹Ä ÓÙÚ ÐÐ Au = ( (p u) + qu) w ËÔ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Γ(z) = 0 B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) ÖÖÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö e ir sinθ = t z e t dt, Γ(z + ) = zγ(z), Γ(n + ) = n!, Γ( 2 ) = π J n (z) = 2π J ν (z) = erf(x) = 2 x e y2 dy π 0 J n (r)e inθ π π ( z 2) ν 0 π e y2 dy = 2 e i(z sinθ nθ) dθ, k=0 k! Γ(k+ν+) n ÐØ Ð Ð Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ u + ) r u + (λ ν2 u = 0 ) k ( z2, ν, 2,... 4 Ö Ò ÐÐÑÒÒ Ð Ò Ò Ò aj ν ( λr) + by ν ( λr) ÓÑ λ > 0 ar ν + br ν ÓÑ λ = 0, ν 0 a + b ln r ÓÑ λ = ν = 0. r 2

7 ÆÓÖÑÙØØÖÝ R 0 ( r ) J ν R α 2 R 2 νk rdr = 2 (J ν+(α νk )) 2 = R2 2 (J ν (α νk)) 2. ÆÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ÐÐ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö J n (x) J n (α nk ) = 0 k\n ÆÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ÐÐ J n(x), x < 25 J n (α nk ) = 0 k\n

8 Ë Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò u + 2 z u + ( λ ) l(l + ) u = 0 z 2 Ö Ò ÐÐÑÒÒ Ð Ò Ò Ò aj l ( λz) + by l ( λz) ÓÑ λ > 0 az l + bz l ÓÑ λ = 0, l 2 a + b ln z ÓÑ λ = 0, l = z 2. Ö ËÔ ÐÐØ Ö j l (z) = π π 2z J l+/2(z), y l (z) = 2z Y l+/2(z). j 0 (z) = sin z sin z z cosz, j (z) = z z 2 y 0 (z) = cos z cos z + z sin z, y (z) = z z 2 Ä Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ä Ò Ö ÔÓÐÝÒÓÑ (P l ) 0 Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð L 2 (I), I = (, )º Ä Ò Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ( d ( x 2 ) du ) + l(l + )u = 0, l = 0,, 2,... dx dx Ö ÐÐÑÒÒ Ð Ò Ò Ò Ö Q l Ö ÖÒ (, ) Ó ap l (x) + bq l (x) P l (x) = 2 l l! Dl (x 2 ) l Ê ÙÖ ÓÒ ÓÖÑ Ð Ö Ä Ò Ö ÔÓÐÝÒÓÑ P 0 (x) =, P (x) = x, P l+ (x) = 2l + l + xp l(x) l l + P l (x); Ó Ö Ä Ö Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò ( d ( x 2 ) du ) m2 dx dx x2u + l(l + )u = 0 Ö ÐÐÑÒÒ Ð Ò Ò Ò ap m l (x) + bqm l (x) Ö Q m l Ö ÖÒ Ó P m l = ( x 2 ) m/2 D m P l (x)

9 Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÐ Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖÒ K = δµ K(x) = ln x 2π i K(x) = 4π x R2 i R 3 ÈÓ ÓÒ ÖÒÓÖ P(r, θ) = r 2 2π + r 2 2r cosθ P(x, y) = π Ò Ø Ö ÐÒµ y x 2 + y 2 ÐÚÔÐ Ò Ø y > 0) Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ x G(x; α) = δ α (x), x Ω G(x; α) = 0, ÇÑ u = f Ω u = g Ô Ω u(x) = G(x; α)f(α) dv α Ω Ω x Ω G n α (x; α)g(α) ds α ÃÓÒ Ù Ö ÔÙÒ Ø Ö Ñ Ú Ò Ô Ö ÐÒ Ö Òµ x = ρ α α = ρ 2 x α = α x α ρ x = ρ ÎÖÑ Ð Ò Ò G(x, t) = 4πat e x2 /4at G t G a 2 = 0, x R, t > 0 x2 G(x, 0) = δ(x), x R Î ÙØ Ö Ò Ò ³ Ð Ñ ÖØ u(x, t) = 2 (g(x ct) + g(x + ct)) + 2c g(x) = u(x, 0), h(x) = u t (x, 0) x+ct x ct h(y) dy Ã Ö Ø Ö Ø ÓÖ { a u xx + 2a 2 u xy + a 22 u yy + F(x, y, u, u x, u y ) = 0 a dy 2 2a 2 dxdy + a 22 dx 2 = 0

10 ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ö È Ö Ú Ð ÓÖÑ Ð Ff(ω) = ˆf(ω) = + (F ˆf)(t) = f(t) = 2π e iωt f(t) dt e iωt ˆf(ω) dω + f(t)g(t)dt = + 2π F ˆf(ω)ĝ(ω) dω () λf(t) + µg(t) λ ˆf(ω) + µĝ(ω) (2) f(at) a ˆf ( ω ) a (3) f(t t 0 ) e it 0ω ˆf(ω) (4) e iω 0t f(t) ˆf(ω ω0 ) (5) f (t) iω ˆf(ω) (6) tf(t) i d dω ˆf(ω) (7) f g(t) ˆf(ω)ĝ(ω) (8) δ(t) (9) 2πδ(ω) (0) e t θ(t) + iω () e t 2 + ω 2 (2) πe ω + t 2 (3) e t2 πe ω 2 /4 (4) θ(t + ) θ(t ) 2 sin ω ω (5) θ(t) θ(t) = i P ω + πδ(ω) {, t > 0 0, t < 0

11 Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Lf(s) = L II f(s) = e st f(t) dt, f(t) = σ+i e st F(s) ds, α < σ < β 2πi σ i Ff(ω) = L II f(iω) α < Re s < β, s = σ + iω L I f = L II (θf) L II (6) λf(t) + µg(t) λf(s) + µg(s) (7) f(at) ( s ) a F a (8) f(t t 0 ) e t 0s F(s) (9) e at f(t) F(s a) (20) f (t) sf(s) (2) tf(t) d ds F(s) (22) f g(t) F(s)G(s) (23) θ(t)f (t) s L II (θf)(s) f(0) (24) δ(t) (25) θ(t) (26) θ(t) (27) t k e at θ(t) (28) sin(bt)θ(t) (29) cos(bt)θ(t) (30) e t2 πe s 2 /4 (3) t α θ(t) (32) (33) a e a2 /4t θ(t) e a s 4π t 3/2 πt e a2 /4t θ(t) s, σ > 0 s, σ < 0 k! (s a) k+, σ > Rea b s 2 + b 2, σ > 0 s s 2 + b 2, σ > 0 Γ(α), Re α > 0, Re s > 0 sα e a s s

Relevanta dokument

f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0

f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0 ½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑº ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ