Från det imaginära till normala familjer
|
|
|
- Berit Persson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik
2 ÖÒ Ø Ñ ÒÖ Ø ÐÐ ÒÓÖÑ Ð Ñ Ð Ö Ò ÐÝØ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ä ÒÒ Ï Ñ Ò ÍÑ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÍÑ À Ò Ð Ö Ò Ö ÐÐ ØÖ Ñ
3 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Á ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ ÒÒ Ø ØØ ÒØ Ð ÓÐ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ú Ö Ú Ú Ø ØØ Ö ÒÖ¹ Ñ Ö Ô Ò Ö Öº Ð Ò ÒÒ Ø ÙÖ Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ò ØØ Ø ÓÑÚÒ ÐÐ Öº Î Ø ØØ Ö Ó Ô Ú Ö Ö Ñ Ò Ñ ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ó ÒÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ú º Ð ¹ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Öº ËÐÙØÐ Ò ÓÑÑ Ö Ú ØØ Ô Ú ÓÑ ÐÐ Ö Ö Ñ Ð Ö Ó ÓÑÑ Ö Ò Ô ÐÓ ÐØ ÖÒ Ú ÓÒ¹ Ø ÒÙ Ø Ø ÖÞ Ð» ÓÐ ÅÓÒØ Ð Ó ÊÙÒ Ø Öº Î ÓÑÑ Ö Ö Ú Ò Ü ÑÔ Ð Ô ÙÖ ØÓÖØ Ð Ø ÒØÐ Ò Ò Ð Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Öº Ö ÒÓÖÑ ÐØ ÒØ Ò ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ñ Ò Ú Ö Ü ÑÔ Ð º½ Ó ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ º¾ ØØ Ö Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ò Ø Ò Ú Ö ÐÐغ
4 ØÖ Ø Ì Ö ÔÓÖØ Û ÐÐ Ö ÓÙÖ Ö ÒØ ØÝÔ Ó ÓÒÚ Ö Ò º Ì ØÝÔ ¹ Ö Ö ÔÓ ÒØÛ ÐÓ Ð ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò º Ì Ö ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ö ÜÔÐÓÖ Ò Û Ý Ó ÓÛ Ø Ý Ö Ð Ø ØÓ ÓØ Öº Ò ÐÐÝ Ø Ö ÔÓÖØ Û ÐÐ Ð Ó ÒÚ Ø Ø ÓÛ Ø ÔÔÐ ØÓ ÒÓÖÑ Ð Ñ¹ Ð Ò Ø Ø ÓÖ Ó ÖÞ Ð» ÓÐ ÅÓÒØ Ð Ò ÊÙÒ º Ï Û ÐÐ Ö Ü ÑÔÐ Ó ÓÛ ÛÖÓÒ Ø Ö ÐÐÝ Ò Ó ÓÖ ÔÓ ÒØÛ ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ò º Ì Ý Ó Ù Ù ÐÐÝ ÒÓØ Ú Ð Ñ Ø Ø Ø Ò ÐÝØ ÙØ ÖÓÑ ÓØ Ü ÑÔÐ º½ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ º¾ Û Û ÐÐ Ø Ø Ø Ý Ú ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ò Ø Ö Ò ÐÝØ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö º
5 ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½ ËÝ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÖÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ ÖÙÒ Ð Ò Ö ÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ËÐÙØÒ ÓÒØÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÒÚ Ö Ò ¹ Ñ Ð Ö Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º ½ º½ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÆÓÖÑ Ð Ñ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
6 ÙÖ Ö ½ ÁÒÖ Ö Ôº Ö Ò ÔÙÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÌÝÔ Ø ÔÓÐÝ ÓÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º A ØØ B º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÐÙØÒ ÓÒØÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ö Ô Ø Ú Ú ØÓÖ Ò ÐÝ Ñ ØÓ Ò º º º ½½ ÈÙÒ ØÚ Ñ Ò Ð ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÎÖ ÓÒÚ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ü ÑÔ Ð ÖÒ Ú ÓÒ ÖØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
7 ½ ÁÒÐ Ò Ò Ø Ö ÔÔ Ó Ø Ö ÓÑ ÒÚÒ ÒÒ ÙÔÔ Ø Ö Ð Ö ÙÔÔ Ø¹ Ò Ñ Ò Ö Ò ÒØÖ Ö ÒÒ Ò Ö Ö Ò Ð Ø Ú Ö Ö ÐÙØ Ø ÓÑ Ò Ú Ö Ú ÒØÖ º ½º½ ËÝ Ø ËÝ Ø Ø Ñ ÒÒ ÙÔÔ Ø Ö ØØ Ö Ð Ö Ó Ö Ú ÓÐ ØÝÔ Ö Ú ÓÒ¹ Ú Ö Ò Ö Ö Ñ Ð Ö Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Î Ó ØØ Ò Ú Ñ Ò Ò Ð Ö Ò ÒØ Ú ÒØÐ Ø ÓÑ Ñ Ò Ò ØÖÓº Ú Óѹ Ñ Ö ØØ Ü ÑÔ Ð Ô ÙÖ ØÓÖØ Ð Ø ÒØÐ Ò Ò Ð Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Öº Ö ÒÓÖÑ ÐØ ÒØ Ò ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ñ Ò Ú Ö Ü ÑÔ Ð º½ Ó ÃÓÖÓÐ Ö ÙÑ º¾ ØØ Ö Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ò Ø Ò Ú Ö ÐÐغ ½º¾ À ØÓÖ ÃÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ó ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØÓ Ò ÔÐ Ø ØÓÖ Ò ÒÓÑ Ô Ö¹ Ø ÐÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÑÑÒ Ò Ò Ú ÐÓ Ö ØÑ Ò Ö Ò Ø Ú Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÒ ÓÖÑ Ú Ð Ò Ò Ó Ð Ò Ò Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ö ÐÐ Ó ¹ ÒØ Öº Ø ØÓ Ò Ö Ò Ô ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ð Ò ÒÒ Ø Ñ ³ Ð Ñ ÖØ ÓÑ Ö Ø ØÑÑ ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ô Ó Õ Ñ Ö ÒØ Ð ÖÒ dp = N dx M dy, dq = M dx + N dyº ØØ ÓÑÑ Ö ØØ Ö ÙÐØ Ö Ú Ú Ò Ö ÐÐ Ö Ö Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ ¹ Ú Ø ÓÒ Ö Ë Ø ¾º Ú ØØ Ö N Ó M dp Ó dq ÓÑ ÖÑ Ö p y = q x, p x = q y º ½º½µ Ø Ú Ö ÒØ ÖÖÒ ÙÒ Ö Ñ ØØ Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø ÓÑ Ñ Ø Ñ Ø ÖÒ ÓÑ Ø ÐÐ ÐÙØ Ø Ò ØØ Ø Ú Ö Ò ÚÒ Ø ØØ ÒÚÒ ÙØÚ Ø Ð Ý Ø Ñº ØØ ÙØÚ Ò Ò ÖÒ Ñ Ø Ö Ñ ÐÔ Ú Ò Ø ÓÒ Ö Ô ØØ Ö ØØ ØØ Ñ Ò ØØ Ö Ð ÒÐ ÓÑ Ø Ö Ô ÒØ Ú ØØ ØÙ ÐÐ Ö Ð ÖÒ Ó Ò Ô ÖÒ Ö Ú Ö º Ø Ú Ö Ó ÒÒÙ Ø Ö Ö Ò Ô ½ ¼¼¹Ø Ð Ø ÓÑ Ñ Ò Ð Ò Ò Ò Ú Ú Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº Ö ØØ ÙÒÒ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ó Ù Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ú Ö Ñ Ò ØÚÙÒ Ò ØØ ØØ ÙØØÖÝ Ö Ú Ö ØÖÓØ Ò ÙÖ Ò Ø Ú Ø Ðº Ê Ò ÒÒ Ò Ø Ú Ö Ñ Ò ØÚÙÒ Ò ØØ ÙØ Ø Ð Ý Ø Ñ Ø ØØ ÒØ Ð Ò Öº Ø Ö Ñ Ò Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò ax = b Ö x Ö Ò Ó Ò Ú Ö ÐÒ Ó a Ó b ÐØ Ð ÐÐ ÖÒ ÒÓÐк Ð Ø Ð Ò Ñ Ø ÙØÚ ØØ Ø Ð Ý Ø Ñ Ø Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Òº Ö Ú Ö Ø Ú Ø ÓÒ ÖÒ ÓÑ Øº ܺ x 2 = 2 Ú Ð Ò Ö Ò ÓÒ Ð Ò Ò ½
8 Ö x ÓÑ Ø ÐÐ Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Ò Ú Ö Ñ Ò Ø Ö Ò ØÚÙÒ Ò ØØ ÙØ ÚÖØ Ø Ð Ý Ø Ñ ØØ Ø Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ö ÐÐ Ø Ð Òº ØØ ÐÔØ Ó ÒØ ÒÖ Ú ÓÑÑ Ö Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ö ÓÑ x 2 = 1 Ú Ö Ø Ò Ú Ò ÓØ Ö ÐÐØ Ø Ð Ð Ö Ö Ò Ø ÚØ ÒÒ Ö Ú Ò ÓÒ Ö ÐÐ Ð Ò Ò º Ò Ò Ò ÓÑÑ Ö Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ò ØØ Ú Ñ Ø ÙØÚ ÚÖØ Ø Ð Ý Ø Ñ Ó Ñ Ò ÚÐ Ö ØØ Ö ØØ ÒÓÑ ØØ Ò Ö ÝÑ ÓÐ Ò i ÓÑ Ò Ö ÓÑ i 2 = 1º Ø ÓÑÑ Ö ØØ ÐÐ Ö Ø Ñ ÒÖ Ø Ð Ø ÓÑ Ò ÔÑ Ò Ð ÖÒ ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ñ Ò Ô ÙØØÖÝ Ñ Ô Ó Ò ØØ Ú Ö Ø Ú Ó ÓÚ Ö Ð º Ø Ú Ö ÐÚ Ú Ö Ø ÖØ ÓÑ ½ ÐÐ ÙØØÖÝ ÓÑ ÒÚÓÐÚ Ö ÖÓØ Ò ÙÖ Ò Ø Ú Ø Ð Ö Ñ ÒÖ Ó ØÓ ÓÑ ÓÐ Ð º Î Ö ÖÑ Ò Ö Ò Ø ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Òº Î Ú ÐÐ Ð Ø ÐÐ ØØ Ú ÒÐ Ø Ö ÐÐØ Ø Ð Ø ÐÐ i Ú Ð Ø ÖÚ Ö ØØ Ö Ú ØØ Ò ai bi i a + bi Óº ºÚº Ö a Ó b Ö Ö ÐÐ Ø Ðº Î Ò Ö ÖÑ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÑ Ö ÓÖÑ Ò a + bi Ö a Ó b Ö Ò Ö Ö ÐÐ Ø Ð Ö a ÐÐ Ö Ð Ð Ò Ê z Ó b Ö Ò Ñ ÒÖ Ð Ò ÁÑ z Ñ Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ó Ö Ô Ð ÐÐ Ø Ö Ù ØÖ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö Ú Ó (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 º (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i a + bi c + di = ( ) ac + bd c 2 + d 2 + ( ) bc ad c 2 + d 2 i Ö c + di Ö ÐØ ÖÒ 0 + 0iº Î Ö Ú Ò Ö ØØ Ö ÙÐØ Ø Ø Ð Ö Ô ÓÖÑ Ò a + biº ÒÓÑ ÒÒ ÙØÚ Ò Ò Ú Ø Ð Ý Ø Ñ Ø Ö Ú ÒÙ ÓÖØ Ø Ñ Ð Ø ØØ Ð Ú Ö Ú Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ô ÓÖÑ Ò ax 2 + bx + c = 0 Ó Ú Ò ÒÙ ÙØ ØØ Ø ÐÐ Ò Ø ÓÖ ÓÑ ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ê Ò Ô ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ì ÖØ Ð Ö Ò Ñ Ö Ð Ø ØÖ ¹ Ó Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ ÓÖÑ ÓÑ ÚÖ Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ñ Ò Ø ØÓ ÝØØ ÖÐ Ö Ò Ø Ò ¾¼¼ Ö ÒÒ Ò ÖÐ Ö Ö Ù ½ ¹½ µ ÐÝ Ú ØØ Ò Ð Ò Ò Ü Ø Ö Ö Ö Ò Ò Ö ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò Ú ÑØ Ö Ö Ó Ú Ò Ö º À Ò ÓÖ ØØ Ò Ú Ò Ð Ò ½ ÒÓÑ ØØ Ô Ø ØØ Ò Ú Ø ÓÒ Ô ÓÖÑ Ò f(x) = x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0 = 0 Ö n Ö ØØ ÔÓ Ø ÚØ ÐØ Ð Ó a j Ö Ö ÐÐ ÐÐ Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÒÒ Ø Ñ Ò Ø ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ð α = c + di ØØ f(α) = 0º Ø Ú Ö ³ Ð Ñ ÖØ ÓÑ Ú Ö ½º½µ ØØ p Ó q Ö Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ Ð ÖÒ Ò ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò ÙÐ Ö Ú ÙÖ Ñ Ò Ò ¾
9 ÒÚÒ ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØØ Ö Ò Ò Ö ÐÐ ÒØ Ö Ðº ÙÐ Ö ÓÖ ØØ ÒÓÑ ØØ ÒØ Ð ÖØ Ð Ö ÖÒ ½ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò ÓÖØ Ò ½ Ñ Ò Ö ÒØ ÔÙ Ð Ö ÖÖÒ ½ º ÙÐ Ö Ú Ö ÒØ Ò Ñ ÓÑ ØØ ÒÚÒ ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØØ ØÙ Ö ÒØ Ö Ð Ö ÙØ Ò Ø ÓÖ Ú Ò Ä ÔÐ ÓÑ Ö Ñ ØØ ÔÙ Ð Ö Ò ÖØ Ð Ö Ö Ò ½ ¾ Ó ÐÙØ ¼ Ö Ò Ö ½ ½¾º À Ò Ò ØØ Ø Ú Ö Ò ÓÑ ÙÐÐ Ö Ò Ö ØØ Ò Ð Ú ÔÙ Ð Ö ÒÒ Ò ÙÐ Ö º Ñ Ò Ö Ò Ô Ëغ È Ø Ö ÙÖ Ñ Ò Ñ Ö ½ Ø ÐÐ Ò Ø ÐÐ ÙÐ Ö ÖØ Ð Ö Ó Ð Ø Ð Ú Ø º Ú Ò ÓÑ ÙÐ Ö ³ Ð Ñ ÖØ Ó Ä ÔÐ ÖÓ Ñ ØÓÖ Ð ÙØÚ Ð Ò¹ Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ò ÒÒ Ø ÖÒ Ò Ò Ö Ö Ú Ö º Ö ØØ ÙÒÒ ÒÚÒ Ò Ñ ØÓ Ö Ú Ö ØÚÙÒ Ò ØØ Ô Ö Ö Ò Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ Ð Ò f(x + iy)º Ò Ú Ò ÐÐ ØÖ ÐÐ Ø ÐÐ ÑÓ ÒÖ ÒÚÒ ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ º Ä ÔÐ Ö Ú ÙØØÖÝ Ð Ò Ò Ó ½ ½¾ ØØ Ú¹ Ò ÖÒ Ö ÐÐ Ø ÐÐ Ñ ÒÖ Ø Ð Ò ØÖ Ø ÓÑ Ò ÙÖ Ø Ñ ØÓ Ñ Ò ÓÑ Ñ Ò ÒÚÒ Ö Ñ ØÓ Ò Ñ Ö Ø Ø ÓÑÑ Ö Ñ Ò ÐÐØ ØØ ÙÒ¹ Ò Ú Ò ÙÔÔÒ Ö ÙÐØ Øº À Ò Ò ØØ Ø Ú Ö Ú Ø Ø ØØ Ú Ö Ö Ö ÙÐØ Ø Ò ÒÖ Ñ Ò ÒÚÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº ÆÖ Ú ÒÙ Ö Ò Ð Ö ØÓÐ Ò Ò Ú Ö Ú Ú Ò Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò¹ Ò ÓÑ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø z = x+yi ÔÐ Ò Øº ØØ ÓÖ Ö Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ú Ð Ò ÒÒ Ø Ò ÒÓÖ Ô Ö Ï Ð ½ ¹ ½ ½ µ Û Þ Ö Ò Â Ò¹ÊÓ ÖØ Ö Ò ½ ¹½ ¾¾µ Ó Ù º ÂÓ Ò Ï ÐÐ Ó Ö Ò ½ ØØ ØØ Ö Ð Ô Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ñ Ò Ò Ò Ò Ø ÖÖ Ö ÔÓÒ Ô ØØ º ÆÖ Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ò Ó Ð Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ ÓÑ Ð Ú Ø ÒØÙ Ø Ú Ö ÓÒ Ñ Ò Ø Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ñ Ö ØÝ Ð º ÅÒ ØÒ Ø Ö Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò ÓÑ ÔÙÒ Ø Ö ÔÐ Ò Ø Ð Ò ÒÒ Ø ÓØ ÅÓ ÚÖ ÙÐ Ö Ó Î Ò ÖÑÓÒ Ú Ð Ø Ð Ö ÖÒ ØØ Ú Ö ØØ Ð x n 1 = 0 ØÒ Ø Ô Ð Ò Ò ÖÒ Ö cos 2kπ n + isin2kπ n ÓÑ ÖÒ Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ò ÔÓÐÝ ÓÒº ÙÐ Ö Ö ØØ x Ó y Ñ x + iy ÓÑ Ò Ò Ö ØØ ØØ Ò ÔÐÓØØ ÙÔÔ ÔÓÐÖ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ r Ó θº Ê Ò Ô ½ ¼¼¹Ø Ð Ø ÙÒ Ñ Ò ÐÐØ Ö Ø ÙØ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÑ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÔÐ Ò Ø Ñ Ò Ñ Ò ÙÒ Ó ÒØ ÒØ Ö x Ó y Ö Øº Ï Ð Ö Ú ½ Ò ÖØ Ð ÓÑ Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ú ØÓÖ¹ Ö ÓÑ Ú ÔÖ Ò Ô ÐÖ Ó º Ò ÔÙ Ð Ö Ö Ò ½ Ú ÃÙÒ Ð Ñ Ò ÒÑ Ö Ñ Ò Ò Ó ÑÖ Ø Ö Ø ÐÐ Ñ Ò ÔÙ Ð Ö Ò Ö Ò Ú Ö ØØÒ Ò ½ º Ø ØÓ ÐÐØ Ò Ø Ò ½¼¼ Ö Ô ÖÙÒ Ú ÔÖ Ø Ö ØØ Ï Ð Ö Ø ÙÐÐ Ð ÙÔÔÑÖ ÑÑ Øº Ú Ò Ö Ò Ö Ø Ô Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò ½ ¼ Ò Ð Ø Ò Ó ÓÑ Ò Ò Ð Ø Ò ÒÓÖÐÙÒ ØÓÐ Ò Ò Ö Ò ØÒ Ö ÖÓØ Ø ÓÒ Ö Ñ 90 ÖÙÒØ ÓÖ Ó º À Ò Ú Ó ÙÖ Ñ Ò Ò Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÓÑÔÐ Ü
10 Ø Ð ÓÑ ØÖ Ø Ó ÙÖ Ñ Ò ÙÒ ÒÚÒ Ö ØØ Ú Ø Ö ÒÓÑ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÑ ØÖ Ó Ð Ö º À Ò Ó ÓÖ ØØ ÒØ Ð ÔÝØ Ö ÓÑ Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ò Ú ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ñ Ò ÐÙØÒ Ò Ú Ò ÚÐ Ø Ð Ø Ò Øº Ö Ù Ø Ö ÑÓØ ØØÖ ØØ Ö Ö Ò ØÓÐ Ò Ò Ö Ò Ö Ú Ò Ú Ð Ö Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ ÒÚÒ Ú ØØ º À Ò ÖÙØ ØØ Ö Ð Ò ÒÒ Ø Ò ØÖ Ö Ø Ú ½ ½ ½ Ó ½ ½ µ Ò ½¹ ½ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ÖØ Ò ÔÐ Ò Ø Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Òº À Ò Ö Ò ½ ½ Ø Ø Ø ÐÐ Ò ÓÑ ØÖ Ø ÓÖ Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ú Ò ÓÑ Ò ½ ¾ Ö ØØ Ö Ú ØØ Ò ÒÒ Ñ Ø Ý Ò Ú 1 Ö Ò º À Ò Ó Ú Ö ÓÑÑ Ø Ø Ö Ò Ü Ö Ò Ö ÒÖ Ò Ö Ú Ö Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ò Ú ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ò Ú Ú a + bi Ö Ñ Ò Ö Ò Ö Ò ÔÙÒ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò Ø Ó Ö Ú¹ Ö ÙØ ÖÒ ØØ Ò ÓÑ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ú Óѹ ÔÐ Ü Ø Ðº À Ò Ø Ö Ú Ò ÙÔÔ Ø ÓÖ Ò ÓÑ Ö Ù Ö Ó Ö Ö ÒÚÒ Ø ÖÑ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ØÐÐ Ø Ö Ñ ÒÖ Ø Ð Ó i ØÐÐ Ø Ö 1º Ø Ú Ö Ó Ï ÐÐ Ñ ÊÓÛ Ò À Ñ ÐØÓÒ ÓÑ ØÓ Ø Ø Ø Ø ½ Ó ÒØ Ö x + iy Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ó Ö Ú Ò Ö Ø Ð Ö ÓÖѺ Å Ò ÓÑ Ñ Ò ÙÔÔØ Ø Ò ÓÒØ Ò Ñ ØØ Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ù Ö Ò ÙÔÔØ Ø Øº Ë Ò Ú Ø ÐÐ ØØ Ø Ú Ö Ö ÒÚÒØ Ú Ø Ú Ð Ø ÓÖ ØØ Ò Ò ÖÝ ÖØ Ú Ö Ò Ö ÙÐØ Øº Î Ö ÖÑ Ò Ö ÖÙÒ Ø ÐÐ ØØ ÙØÚ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð» ÙÒ Ø ÓÒ Öº Î Ð Ø Ð Ò ÒÒ Ø ÓÖ Ú Ù Ó ÈÓ ÓÒ Ö Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ø ØØ Ô ÒØ Ö ÐØ ÓÖ Ò ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº ÁÒ Ò Ú Ñ ÔÙ Ð Ö Ó Ò ÓÒ Ø ÖÖ ÖØ Ð ÓÑ ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ º Ø Ú Ö ØÐÐ Ø Ð Ò ÒÒ Ø Ö Ò Ù Ù Ø Ò¹ÄÓÙ Ù Ý ½ ¹½ µ ÓÑ ÖÙÒ ÒÒ Ø ÓÖ Ó Ò Ð Ú ØØ Ú Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô Öº ¾ ¾º½ ÖÙÒ ÖÙÒ Ð Ò Ö ÔÔ Î Ö Ñ ØØ ÒÓÑ Ò Ö ÖÙÒ Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ò Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ñ ØØ Ö Ú ÓÐ Ö ÔÔ Ö Ò ÑÒ Sº Î ÐÐ Ö ÑÒ Ò Ú ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö ÓÑ Ø Ö Ö z z 0 < ρ Ö ρ Ö ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ö ÐÐØ Ø Ð Ö Ò Ö ÙÐÖ ÓÑ ÚÒ Ò Ö Ò z 0 º Ò ØÖ Ú ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö ÒÙØ Ö ÐÒ Ñ Ö ρ ÖÙÒØ z 0 º Ò ÑÒ S Ö ÔÔ Ò ÓÑ Ú Ö z S Ö Ò ÒÖ ÔÙÒ Øº Ö z 0 S Ö Ò ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø ÐÐ S ÓÑ Ø ÒÒ Ò Ö ÙÐÖ ÔÔ Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú Ò ÐÐ ÖÒ {z C z z0 < r} = B(z 0,r) ÓÑ Ö Ò ÐÑÒ Ú Sº Ü ÑÔ Ð Ô ÔÔÒ ÑÒ Ö Ö {ρ 1 < z z 0 < ρ 2 }
11 S ÒÖ ÔÙÒ Ø Ö Ò ÔÙÒ Ø ÙÖ ½ ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ú Ú Ò ÒÖ ¹ Ö Ô Ø Ú Ö Ò ÔÙÒ Ø Öº { z 5 > 4} {ÁÑ z > 0} Ó {2 < Ê z < 4}º ØØ S Ö ÔÔ Ò Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ ØØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø C \ S Ö ÐÙØ Øº ÅÒ Ò S Ö ÐÙØ Ò ÓÑ ÐÐ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ö ÒÒ Ñ º Ö z 0 C Ö Ò Ö Ò ÔÙÒ Ø Ø ÐÐ S ÓÑ Ú Ö ÓÑ ÚÒ Ò B(z 0,r) ÒÒ ÐÐ Ö ÔÙÒ Ø Ö ÙÖ S Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ø ÐÐ Sº Á ÙÖ ½ Ö Ú Ò Ð Ú Ö ÙÖ ØØ Ò Ùغ ÇÑ Ú Ö Ò ÑÒ Ú ÔÙÒ Ø Ö z ÓÑ Ø Ö Ö ÓÐ Ø Ò z z 0 ρ ρ > 0 Ö Ò Ò ÐÙØ Ò ÑÒ Ó ÐÐ Ö Ò ÐÙØ Ò Ö Ð Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ò z z 0 = ρº ÇÑ Ö Ú Ö z 1 S, z 2 S C Ò ÑÑ Ò Ò Ñ ØØ ÔÓÐÝ ÓÒØ ÐØ S ÐÐ S Ú µ ÑÑ Ò Ò Ò ÙÖ ¾º Ò ÔÔ Ò ÑÑ Ò Ò Ò ÑÒ ÐÐ Ö ØØ ÓÑÖ º z 1 z 2 ÙÖ ¾ ÌÝÔ Ø ÔÓÐÝ ÓÒØ ÆÖ Ñ Ò Ö Ò ÑÒ ÓÑ ÙÖ Ö Ñ Ò ØØ ÑÒ Ò A B Ö ØØ B ÓÑ A B Ú Ö Ò ÐÐÑÒ Ò Ø ÓÒ Ò Òº Q Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ Ð ØØ Rº Ò Ø ÓÒ ¾º½º ÅÒ ØØ Ò ÒÒ Ò ÑÒ Ò ÑÒ A B C Ö ØØ B ÓÑ Ö Ú Ö z 0 B ÒÒ Ò Ð {z n } A º º lim n z n = z 0 º ÙÖ A ØØ B Ò ÑÒ ÔÙÒ Ø Ö Ú S Ö ÖÒ ÓÑ Ø Ü Ø Ö Ö ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ö ÐÐØ Ø Ð R ØØ z < R Ö ÐÐ z Sº S Ö ÐÐØ ÖÒ ÓÑ S Ð Ö Ò ÓÒ ÖÒ º Ò ÑÒ ÓÑ Ö ÖÒ C Ö Ó ÖÒ º ÇÑ Ú Ö Ò ÑÒ ÓÑ Ö ÐÙØ Ò Ó ÖÒ Ö Ú Ò ÓÑÔ Ø ÑÒ º
12 Î Ú Ö Ú Ò Ò Ð Ö Ð Ö Ö ÚÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ó Ö Ö Ñ ØØ Ø ØØ Ô Ú ÓÑ ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ò º Ò Ø ÓÒ ¾º¾º C¹ Ö Ú Ö Ö ÇÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ò Ö Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú z 0 Ö f C¹ Ö Ú Ö Ö z 0 ÓÑ f f(z 0 + z) f(z 0 ) (z 0 ) = lim z 0 z Ü Ø Ö Öº ÖÒ ÚÖ Ø ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ò Ú f z 0 º Ö z Ö Ú ØØ Ò Ò ÒÖÑ ÒÓÐÐ ÖÒ Ö ÚÒ Ø Ö ÙØ Ø Ö Ñ ÒÖ Ü ÐÒ Ó Úº Ø Ö ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ðº Å Ò Ö ØØ Ö Ú Ø Ò Ü Ø Ö Ñ Ø ÖÒ ÚÖ Ø ÒÖÑ ØØ ÙÒ Ø Ø Ð f (z 0 ) Ó ÖÓ Ò ÙÖ z 0º ÇÑ Ú Ö Ò C¹ Ö Ú Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÑ Ö ÔÙÒ ØÚ Ò Ö ÓÑ ÓÚ Ò Ö Ñ Ò ØØ Ò Ö Ò ÐÝØ Ò ÔÔ Ò ÑÒ Dº Î Ò Ö Ú Ô ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð Ó Ö Ò ÐÝØ ¾º½½º Ë Ñ Ò Ø Ö Ò Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ Ð Ö Ö Ú ÖÒ Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ Ú Ø ÓÒ Öº Î Ð Ø Ú Ò Ø Ö Ö ØØ ØØ Ð Ò ÒÒ Ø ³ Ð Ñ ÖØ ØÙ Ö ÙÒ Ö ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ó ÓÑ Ö Ñ Ø ÐÐ ØØ x Ó y Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ Ð ÖÒ Ò ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒº Î Ö Ø Ö ÒÑÒØ ØØ ÙÐ Ö Ú ÙÖ Ñ Ò ÒÚÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ö ØØ ÙØÚÖ Ö Ò Ö ÐÐ ÒØ Ö Ðº Ø Ö Ó Ð Ò ÒÒ Ø Ø Ö Ù Ý ÓÑ Ø Ö ÔØ Ø Öº À Ò ØÙ Ö ØØ ÙÒ Ö Ö Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ñ Ò Ò Ú Ð Ö ÜÔÐ Ø ÙÖ Ø ÓÑÔÐ Ü ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Òº Ø Ú Ö Ö Ø Ò Ò Ö Ö Ø Ò Ñ Ò ÙÖ Ò ÖÒ Ö ÐÐ Ø ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ º Î ÒÙ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô Ú Ø ÓÒ Öº Ë Ø ¾º º Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ ¹Êµ Ú Ø ÓÒ Ö ÒØ ØØ f Ö C¹ Ö Ú Ö Ö z 0 º ÐÐ Ö f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)µ Ú º u x = v y u y = v x f f(z 0 + z) f(z 0 ) (z 0 ) = lim z 0 z = lim z 0 = { z = x + i y} = u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 ) x + i y + i(v (x 0 + x,y 0 + y) v (x 0,y 0 )) x + i y + ¾º½µ ¾º¾µ
13 ÆÖ z 0 Ø Ö Ò Ö ÐÐ Ü ÐÒ Ð Ö z = x Ú Ð Ø Ö y = 0µ f (z 0 ) = u x (x 0,y 0 ) + i v x (x 0,yo)º ÆÖ z 0 Ø Ö Ñ ÒÖ Ü ÐÒ Ð Ø z = i y ÓÑ Ö x = 0µ f (z 0 ) = 1 i u y (x 0,y 0 ) + i 1 v i y (x 0,y 0 )º Î Ö ÐÐØ u x + i v x = i u y + v y º Ê ÐÐ Ð Ò ÑÓØ Ú Ö Ò Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ ÑÓØ Ñ ÒÖ Ö ÖÑ u x = v y Ó v x = u y º Ú Ò Ø ÓÑÚÒ ÐÐ Ö Ú ÓÑ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ö Ú Ö Ö Ó Ú Ö Ú Ø ÓÒ ÖÒ ¾º½µ Ó ¾º¾µ Ò ÓÑ ÚÒ Ò U Ø ÐÐ z 0 Ö Ú Ò C¹ Ö Ú Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒº Î Ö f(z 0 + z) f(z 0 ) z = = u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 ) + x + i y + i (v (x 0 + x,y 0 + y) v (x 0,y 0 )) x + i y Ö z 0 = x 0 + iy 0 Ó z = x + i yº Ö z Ø ÐÐÖ Ð Ø Ð Ø Ò ØØ Ö Ò z Ð Ö ÐØ U Ö Ú ØØ Ò Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÚÐ Ò Ö Ó Ò ÖÑ Ö Ú u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 ) = ÖÒ Ñ ÐÚÖ Ø Ò R Ö Ú ØØ = (u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 + y)) + + (u(x 0,y 0 + y) u(x 0,y 0 )) u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 + y) = x u x (x,y 0 + y) Ö Ò ÓØ Ø Ð x ÓÑ Ð Ö Ñ ÐÐ Ò x 0 Ó x 0 + xº ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ó Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖÒ (x 0,y 0 ) Ö u x (x,y 0 + y) = u x (x 0,y 0 ) + ε 1 Ö ε 1 0 x x 0 Ó y 0 Ô ÐÐØ z 0µº ØØ Ñ Ö ØØ ( ) u u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 + y) = x x (x 0,y 0 ) + ε 1
14 È ÑÑ ØØ Ö Ö Ø Ö Ò ÝÖ Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ñ Ö ØØ f(z 0 + z) f(z 0 ) x ( u x + ε 1 + i v x + iε ) ( ) 3 + y u y + ε 2 + i v y + iε 4 = z x + i y ÔÙÒ Ø Ò (x 0,y 0 ) Ó ε i 0 z 0º ÇÚ Ò Ø Ò ÙØØÖÝ ÒÓÑ ÒÚÒ Ò Ò Ú ¹Ê³ Ú Ø ÓÒ Ö ¾º½µ Ó ¾º¾µ ÓÑ x ( A u x + ) ( i v x + i y u x + ) {}}{ i v x x(ε 1 + iε 3 ) + y(ε 2 + iε 4 ) + x + i y x + i y Ú ÖÒ ØÖ Ò ÐÓÐ Ø Ò Ö A x + i y x x + i y ε 1 + iε 3 + y x + i y ε 2 + iε 4 ε 1 + iε 3 + ε 2 + iε 4 A Ö Ú ØØ 0 z 0 Ó Ö ÖÒ ÚÖ Ø x+i y f(z 0 + z) f(z 0 ) lim = u z 0 z x (x 0,y 0 ) + i v x (x 0,y 0 ) Ó ÖÑ Ö Ú ØØ f (z 0 ) Ü Ø Ö Öº ÖÒ ØØ Ò Ú ØØ f z = f f x = i y º Ò Ò Ö ÓÑ ÒÒ Ú Ø ÓÒ Ö ØØ Ò ÑÒ Ø ÖÒ Ö ÓÖ ÖÒ Ö Ê Ñ ÒÒ ½ ¾ ¹½ µ ÓÑ Ñ Ò ØÖÓÖ Ö ÙØ Ø Ö Ò Ú ¾½ Ö Ð Ö ½ Ó Ö ÙÑ ÒØ Ö Ö Ø ½ ½º ËÓÑ Ú Ö ØØ Ó Ô ØØØ Ø Ö Ò z 0 ÚÐ Ø Ö Ò Ö ÐÐ Ü ÐÒ ÓÑ Ø Ö Ò Ñ ÒÖ Ü ÐÒº ØØ Ñ Ö ØØ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ö Ú Ö Ö Ó ÖÑ Ò ÐÝØ Ú Ð Ø Ú ÓÑÑ Ö Ø ÐÐ Ò Ö º Î Ö Ö Ö ÑÓØ Ö Ø Ñ ØØ ÓÒ Ø Ø Ö ØØ ÓÑ Ø Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ØØ Ø Ö Ú Ö Ø ÖÑÚ Ó Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Øº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º Î Ö ÓÑÔÐ ÜØ ÔÓÐÝÒÓÑ p(z) = a 0 +a 1 z+...+a n z n C(z) Ö Ò ÐÝØ C Ó Ö Ú Ø Ò Ú p (z) = a 1 +2a 2 z+...+na n z n 1 C(z)º Ú º Ð Ö ÖÒ ØØ d dz zn = nz n 1 Ó Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö f Ó g Ö¹ ÒØ Ö Ö z (af + bg) (z) = af (z) + bg (z) (cf) (z) = cf (z) Ö Ò ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ cº Î ÒÙ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô ÓÐ Ò ÐÝØ Ó Ò ÐÝØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ñ Ò ÐÝØ º Ü ÑÔ Ð ¾º º Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ë ÐÚ Ð ÖØ Ö f(z) = z Ò ÐÝØ Ó Ú Ò Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö ÙÔÔ Ý Ô ÓÖÑ Ò ÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º
15 Î Ö Ú Ò ØØ f = 1 z Ö Ò ÐÝØ {z z 0} Ó f(z) = e z ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ð Cº Ö Ò Ò Ö Ö Ú ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò ØØ f(z) = e x cos y + ie x sinyº Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ Ð Ö u x = ex v cos y y = ex u cos y y = ex sin y Ó v x = ex sinyº ÖÒ Ú Ø ÓÒ ÖÒ ¾º½µ Ó ¾º¾µ Ö Ú ØØ ¹Ê³ Ú Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ö Ö Ú Ö ÔÙÒ Ø ÔÐ Ò Ø Ó Ú Ö Ö Ú Ø Ò f (z) = e x cos y + ie x sin y = e z ÓÑ ÖÚÒØ Øº Ü ÑÔ Ð ¾º º ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ò ÐÝØ z Ö Ò ÐÝØ Ø Ö ÓÑ Ð Ø ØØ Ò ÓÑÔÐ Ü Ö Ú Ø Ò Ú z ØØ ÙÒ Ø ÚÖ Ò ÓÒ ÔÙÒ Ø z Ö ÐÐØ Ö ÒØ Ö Ö Ó ÖÑ Ò ÐÝØ º ØØ Ö Ú Ú Ò ÖÒ ¹Ê Ú Ø ÓÒ Ö Ë Ø ¾º Ö u(x,y) = x Ó v(x,y) = yº Î Ö Ð Ò u v x = 1 y Ò Ö ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Øº Å Ò Ö ØØ Ø ÐÐ Ð Ú Ò ÙØ u Ú Ð Ø ØÑÑ Ö 1 1º Im(z) Ö Ò ÐÝØ Ú Ð Ø Ú Ö ÖÒ ØØ f (z 0 + z) f(z 0 ) z = Im (z 0 + z) Im(z 0 ) z = 1 u y = v x = Im( z) º z = 0º Ö x = v y ÇÑ z 0 ÙØ Ø Ö Ö ÐÐ Ü ÐÒ 0 x = 0 Ó ÓÑ z 0 ÙØ Ø Ö Ñ ÒÖ Ü ÐÒ 1 y i y = iº Î Ö ÐÐØ Ð ÚÖ Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÖÑ Ö Ú Ö Ö ÐÐ Ö Ò ÐÝØ º ¾º¾ ËÐÙØÒ ÓÒØÙÖ Ö Î ÒÙ Ø ØØ Ð Ø Ô Ú ÓÑ ÐÐ Ö Ö ÐÙØÒ ÓÒØÙÖ Öº Ö ØØ Ú Ö Ú Ú Ø Ú Ò ÓÒØÙÖ Ö Ó Ø ØØ Ö Ð Ô Ò Ò Ø ÓÒ Ö ÒÒ º Ò Ø ÓÒ ¾º º Ò ÙÖÚ γ Ö Ò ÓÒØÙÖ ÓÑ γ Ö Ò Ð γ 1, γ 2,..., γ n Ú ÐØ ÙÖÚÓÖ ØØ Ò ÔÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ γ i Ö ÝÒÒ Ð ÔÙÒ Ø Ø ÐÐ γ i+1 1 i < nº Ö Ò ÙÖÚ Ö ÚÖ ÑÒ Ò Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ z(t) = x(t) + iy(t) ÖÒ [a,b] R Ø ÐÐ C Ú Ö Ú Ò ÙÖÚ Ö ÐØ ÓÑ z(t) Ö Ö Ú Ö Ö Ó ½¹½ Ô [a,b] Ó z(t) 0º Ü ÑÔ Ð Ô ÓÒØÙÖ Ö Ö Ú ÙÖ º ÙÖ Ò Ò Ð ÐÙØ Ò ÓÒØÙÖ Ö Ô Ø Ú Ò ÐÙØ Ò ÓÒØÙÖº Ù Ý ÓÑ Ø Ø Ò Ö Ö Ö Ñ Ø ÐÐ ØØ Ò ÒØ Ö Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ú Òº Å Ò ÓÑ Ø Ö ÒÑÒØ ÓÑ Ù ÓÑ Ô Ò ÓØ Ñ ØØ Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ù Ö Ò ÓÑÑ Ø Ô Ø Ñ Ò
16 ÔÙ Ð Ö Ø ØØ º Î Ð Ø Ú Ò ÐÐ Ö ØØ ÐÐ Ò ØØ Ö Ú Ø ÐÐ Ö Ö Ð ½ ½½ Ö Ú ØØ Ò ÓÑÑ Ø Ö Ñ Ø ÐÐ ØØ Ó ØØ Ò ØØ Ú ÖØ Ú ÓÑ Ò ÙÐÐ Ú Ú ØØ ÐÑÔÐ Ø Ø ÐÐ ÐÐ Ø ÓÑ Ó Ð Ö º Ù Ý Ö Ö Ú Ò Ò Ö Ò Ö Ö Ò ½ ÓÑ Ñ Ò ØÓÖ ÖØ Ð ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ò Ö Ð Ø Ö Ö Ò ÒØ Ö Ð Ú f(z) = u+iv ÖÙÒØ Ò ÙÖÚ ÓÑ ÖÒ Ö Ò Ö Ñ Ò ÒØ Ö Ð Ú Ö Ö Òº ØØ Ö Ö u Ó v ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú x Ó y Ó ( u x v y ) ( u y + v ) x dx dy = dx dy = u dy + u dx + v dx v dyº Î Ö Ö ØØ Ù Ð ÒØ Ö Ð ÖÒ Ö Ú Ö Ö Ò Ó Ò Ð ÒØ Ö Ð ÖÒ Ö Ú Ö Ò ÖÒ ÙÖÚ Òº ËÓÑ Ú Ö Ò Ò Ö ÙÐØ Ö Ö Ø Ñ ÐÔ Ú Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ Ú Ø ÓÒ Ö ØØ f(z) = 0 Ó Ù Ý ÝØØ ÖÐ Ö ØØ Ú Ö Ò ÖÙÒ Ø ØØ ÒØ Ö Ð Ò Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ú Òº Ï Ö ØÖ ÓÑ Ó Ó ÖÓ Ò Ö Ñ Ø ÐÐ ÒÒ Ø ½ ¾º Å Ò Ú Ø ÒØ ÐÐ Ö ÓÑ Ù Ý Ò Ø Ö Ö ÖÒ Ö Ò³ Ö Ø ÖÒ ½ ¾ Ñ Ò Ø ÒÒ Ø ÓÑ Ô Ö ÑÓØ ØØ º ËÓÑ Ú Ö Ò Ò ÒÚÒ Ö Ú Ó Ú Ö Ò³ Ë Ø Ú Ø Ö Ù Ý ÁÒØ Ö Ð Ø º Ë Ø ¾º º Ù Ý ÁÒØ Ö Ð Ø ÄØ D Ú Ö ØØ Ò ÐØ ÑÑ Ò Ò Ò ÓÑÖ Ò ÐÝØ Ó f ÓÒØ Ò¹ Ù ÖÐ Dº ÇÑ Γ Ö Ò Ò Ð ÐÙØ Ò ÓÒØÙÖ D Ö f (z) dz = 0º Ú º f (z) dz = (u + iv) ( dx + idy) = Γ Γ = udx v dy + i v dx + udy = Γ Γ ( = v x u ) dxdy + i y D ÒÐ Ø Ö Ò³ Ë Ø Ó ¹Ê³ Ú Ø ÓÒ Ö ¾º º Γ D ( u x v ) dxdy = 0 y ÖÒ Ù Ý Ë Ø Ò Ú ÖÐ Ù Ý ÁÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð ÓÑ ÖÒ Ö Ò ÒÖ Ù Ý ÐÚ Ú Ò ÙØ ÓÑ f(z) = 1 2π π π zf(z) z z dx Ö z Ö ÓÒ Ù Ø Ø Ø ÐÐ z Ñ Ò ÓÑ Ú ÒÙ Ö ÓÑ Ð Ò Ø º ½¼
17 Ë Ø ¾º º Ù Ý ÁÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð ÄØ D Ú Ö Ò ÐØ ÑÑ Ò Ò Ò Ö z 0 D Ó f Ö Ò ÐÝØ Dº ÇÑ Γ Ö Ò Ò Ð ÐÙØ Ò ÓÒØÙÖ D ÓÑ Ö ÔÓ Ø ÚØ ÓÖ ÒØ Ö Ó z 0 Ö ÓÑ ÐÙØ Ò Ú Γ ÐÐ Ö f(z 0 ) = 1 2πi Γ f(z) z z 0 dzº Ú º Î Ö ØØ f(z)/(z z 0 ) Ö Ò ÐÝØ Ú Ö ÐÐØ D ÖÙØÓÑ z 0 º ÖÑ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ú Ö Γ Ö Ò Ú Ö ÒØ Ö Ð Ò Ö Ò Ð Ø Ò ÔÓ Ø ÚØ ÓÖ ÒØ Ö Ö Ð C r = {z z z0 = r} ÓÑ ÐÙØ Ò Ú Γ ÒÐ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ó Ú ØÓÖ Ò ÐÝ Ñ ØÓ Ò ÙÖ º Γ Γ C r r z 0 C r r z 0 ÙÖ Î Ò ÒÚÒ Ó Ú ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ø ÐÐ ÚÒ Ø Ö ÐÐ Ö Ú ¹ ØÓÖ Ò ÐÝ Ñ ØÓ Ò Ø ÐÐ Ö Ö ØØ ÝØ ÙØ Γ ÑÓØ C r ÚÖ ÒØ Ö Ðº Î Ö ÖÑ 1 f(z) dz = { Ù Ý Ë Ø ¾º C r ÓÑ ÓÚ Ò} = 2πi Γ z z 0 = 1 f(z) dz = {f(z) = f(z 0 ) + f(z) f(z 0 )} 2πi C r z z 0 = 1 f(z 0 ) dz + 1 f(z) f(z 0 ) dz 2πi C r z z 0 2πi C }{{} r z z 0 }{{} f(z 0 ) A f(z) f(z 0 ) z z 0 = 1 r f(z) f(z 0) 2πr 1 r max z C r f(z) f(z 0 ) = 1 r M r A 1 2π l(c }{{ r) 1 } r M r = M r 0, r 0 ØÝ f ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Î Ö ÐÐØ ØØ A = 0 A ÖÓÖ Ú r ½½
18 Á ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Ö Ú ØØ ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ö Ö Ö Ò Ú Ò ÓÒ Ð Ø Ö Ú Ö Öº ØØ ÐÐ Ö ÒØ Ö ÐÐ Ò ÐÝ Ú Ð Ø Ú Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò { x 2 x > 0 g(x) = 2 x dx = x 2 x < 0º g(x) Ö Ú Ö Ú Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÖ Ó Ñ Ò ÒØ Ö Ú Ö Ö Òº Ö ØØ ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ð Ø Ö Ú Ö Ö ÒÖ Ò Ö Ò Ò Ö Ú Ö Ö ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Ø Ö Ú z D Ö D Ö Ò ÔÔ Ò ÑÒ Ó f Ö Ò ÐÝØ Dº Î ÚÐ Ö Ò Ò ÔÔ Ò Ö Ð Ú D ÓÑ Ö Ò ÐÑÒ Ø ÐÐ D Ó ÙÖÚ Ò Γ = {ζ ζ z = r} D º Î Ò ÚÐ ÚÖ ÐÑÒ Ô ØØ Ú ØÝ D Ö Ò ÔÔ Ò ÑÒ º ÖÒ Ù Ý ÁÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð ¾º Ö Ú ØØ G(z) = Γ f(z) = 1 2πi ζ f(ζ) ζ z dζº g(ζ) ζ z dζ Ö Ö Ú Ø Ò g(ζ) G (z) = Γ (ζ z) 2 dζ Ö Ú ØØ f(z) Ö ÓÒ Ð Ø Ö Ú Ö Ö Ñ Ö Ú Ø Ò f (n) (z) = n! f(ζ) 2πi Γ (ζ z) ÖÒ ØØ Ò Ú ÖÐ ÅÓÖ Ö Ë Ø ¾º½¼º (n+1) dζº Ë Ø ¾º½¼º ÅÓÖ Ö ÇÑ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ØØ Ò ÐØ ÑÑ Ò Ò Ò ÓÑÖ D Ó ÓÑ f(z)dz = 0 Ö ÐÐ ÐÙØÒ ÓÒØÙÖ Ö Γ Dº Ö Ò ÐÝØ Dº Γ Ú º ÄØ D Ú Ö ØØ ÓÑÖ Ö f(z) Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º ÄØ Ú Ö ÐÙØÒ ÓÒØÙÖ ÒØ Ö Ð Ö Ú Ö ÒÓÐк Ì Ò ÔÙÒ Ø z 0 D Ñ Ò ÓÑ ÚÒ Ò ÖÙÒØ z 0 Ó ÓÒ ØÖÙ Ö ÒØ Ö Ð Ò Ú F(z) = z z 0 f(z)dzº ÖÒ ÓÚ Ò Ö Ú ØØ f Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ F º F Ö ÐÐØ Ò ÐÝØ F Ö Ú Ö Öº ÖÒ ÓÚ Ò Ö Ú Ú Ò ØØ ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ö Ö Ö Ò Ú Ò ÓÒ Ð Ø Ö Ú Ö Öº ÐÐØ F = f Ö Ò ÐÝØ º Ì Ö Ô ØÓ Ú ØØ ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö C¹ Ö Ú Ö Ö ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ò Ú Ò ¹Ê³ Ú Ø ÓÒ Ö Ó Ò Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð º ÆÖ Ø ÐÐ Ö Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð Ò Ò Ú Ö Ø È ÖÖ ¹ ÐÔ ÓÒ Ä ÙÖ ÒØ ½ ½ ¹½ µ ÓÑ Ú ØØ ½ Ò ÔÙ Ð Ö Ò Ð Ð Ö ÙÐØ Ø ÓÑ ØØ º Ð Ò ÒÒ Ø Ò ÙØÚ Ò Ò Ú Ì ÝÐÓÖ Ö Ò Ø ÐÐ Ä ÙÖ ÒØ Ö Ò f(z) = a n(z a) n º Ï Ö ØÖ Ú Ø Ö Ò ÓÑ Ø ½ ½ Ñ Ò Ú Ð ØØ ÒØ ÔÙ Ð Ö Øº Î ÒÙ Ú ØØ ÓÑ ÐÓÚ Ø ÚÖ Ø Ø Ö Ô Ø Ò ØØ ÓÐ ØØ Ò ØØ Ò Ö Ò Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ú Ð ÒØ º ½¾
19 Ë Ø ¾º½½º ÇÑ f Ö Ò ÓÑÔÐ ÜÚÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ú Ú Ð ÒØ ½º f Ö C¹ Ö Ú Ö Ö ¾º f ÙÔÔ ÝÐÐ Ö ¹Ê Ú Ø ÓÒ Ö º f Ò Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð º Ú º C¹ Ö Ú Ö Ö ¹Ê Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ö ¹Ê Ú Ø ÓÒ Ö ¾º º ÖÒ ¹Ê Ú Ö Ú Ë Ø ¾º ÓÑ Ò ÒÚÒ Ö ØØ Ú Ë Ø ¾º ÓÑ Ú ÒÙ ÒÚÒ Ó Ö ØØ Ú ØØ Ò Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð º Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ö Ì ÝÐÓÖ Ö ÙØÚ Ð Ò Ö ÒØ f Ò ÐÝØ z z 0 < Rº ÐÐ Ö f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n Ö a n = f(n) (z 0 ) n! º ÇÑ Ú ÒÙ Ø Ö z Ñ z z 0 < R Ó ÐØ Ö C = {z z z0 = r} Ö z z 0 < r < R Ö Ú ÖÒ Ù Ý ÁÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð Ë Ø ¾º f(z) = 1 2πi = 1 2πi = 1 2πi = 1 2πi = n=0 C C f(ζ) ζ z dζ = 1 2πi C f(ζ) (ζ z 0 )(1 z z 0 ζ z 0 ) dζ = f(ζ) C ζ z 0 n=0 (z z 0 ) n n=0 f (n)(z 0) n! (z z 0 ) n º f(ζ) ζ z 0 (z z 0 ) dζ = { } ØÝ z z 0 ζ z 0 < 1 = (z z 0 ) n dζ = {Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º º¾} = (ζ z 0 ) n f(ζ) dζ C (ζ z 0 ) n+1 }{{} 2πif (n) (z 0 )/n! Ö Ò Ø ÒØ Ö Ð Ò Ú ØØ f Ö ÓÒ Ð Ø Ö Ú Ö Ö Ñ Ö Ú Ø Ò f (n) (z) ÓÑ ÓÚ Òº Ö ØØ Ö ÐÒ Ð ÐÙØ Ò ÓÒ Ø Ø Ö Ö Ú ØØ Ò Ì Ý¹ ÐÓÖ Ö ØÖ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ó ÖÒ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º Ö Ú ØØ Ú Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ö C¹ Ö Ú Ö Öº ØØ Ñ Ö ÓÑ Ú Ò Ø Ú Ò ØØ Ë Ø º ØØ Ú Ò ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö C¹ Ö Ú Ö Öº ÃÓÒÚ Ö Ò ¹ Ñ Ð Ö Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö = º½ Ð Ö Ø ÒÒ ÓÐ ØÝÔ Ö Ú ÓÒÚ Ö Ò Ö Ö Ò Ð º Î Ö ÒÖÑ Ö Ö ¹ Ú Ú ÓÑ ÐÐ Ö Ö Ò Ö Ú Ñ Ó Ö Ö Ñ ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò ÓÑ Ú Ò Ð Ò ÐÐ Ö Ò Ð ÓÒÚ Ö Ò º ÄÒ Ö Ö Ñ Ú Ú Ò ØØ Ü ÑÔ Ð Ô ÒÒ ÓÒÚ Ö Ò º ½
20 Ò Ø ÓÒ º½º ÈÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò {f n (z)} ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ô D ÑÓØ f(z) ÓÑ Ö Ú Ö z D ÐÐ Ö ØØ Ö Ú Ö ε > 0 Ü Ø Ö Ö ØØ N = N(z) ØØ f n (z) f(z) < ε Ö ÐÐ n > N(z)º Æ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ú Ö Ú Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º ÒÒ Ö Ø Ö ¹ Ö Ò ÔÙÒ ØÚ Ó Ú ØØ ÓÑ Ñ Ò Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö Ø ØØ Ñ Ò Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò º Ö ÑÓØ ÓÑ Ñ Ò Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö Ø ÒØ ØØ Ñ Ò Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º Ú Ú Ñ Ò Ú Ø Ú Ö Ö Ø ÓÑ ØØ Ö ØÓÔ Ù ÖÑ ÒÒ ½ ¹½ ¾µ Ú Ö Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø ÖÒ ÓÑ ÒÚÒ ÓÒ ÔØ Ø Ñ Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º À Ò Ú Ö Ï Ö ØÖ ÐÖ Ö Å Ò Ø Ö Ó ½ ¹ ¼ Ú Ö Ï Ö ØÖ Ò Ò Ô Ò Ö Ð Ò Ò Ö ÑÓ ¹ ÙÐÖ ÙÒ Ø ÓÒ Öº ØØ Ö Ò Ö ½ ½ Ö Ø Ï Ö ØÖ Ñ Ð ÓÖÑ Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ú Ò ÖØ Ð Ö ÓÑ Ð Ú ÔÙ Ð Ö Ö Ø ½ º À Ò Ú Ö Ó ÒØ Ò Ñ ÓÑ ÒØÖÓ Ù Ö ÒÒ ÓÒÚ Ö Ò È º ĺ Ë Ð Ó Ë Ö º º ËØÓ ÓÖ ÑÑ ÙÔÔØ Ø ½ Ó ÖÓ Ò Ú Ú Ö Ò Ö º Ö Ö Ø Ò ÔÚ Ö ÒØ ÙØÚ Ð Ò Ò ÒÑÒÚÖغ Ò Ø ÓÒ º¾º Ä ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò {f n (z)} ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø ÑÓØ f(z) Ô D ÓÑ Ö ÐÐ ε > 0 Ü Ø Ö Ö N ØØ f n (z) f(z) < ε Ö ÐÐ n > N Ó Ö ÐÐ z Dº Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º½ Ö ¹ Ô Ø Ú º¾ Ò ÓÑ ÚÐ Ø Ð º Î Ð Ø Ö ÓÖØ ØØ ÖÒ Ò Ö Ð Ò Ú Ñ º Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ú ØØ N ÓÑÑ Ö Ö z Ú Ð Ø Ö ØØ ÑÑ N ÒÚÒ Ö ÐÐ zº Ö ÔÙÒ Ø Ú ÓÒÚ Ö Ò Ö Ú Ó ØØ N Ö ÖÓ Ô z Ú Ò ÐÐØ ÚÐ ØØ ÒÝØØ N Ö ØØ ÒÝØØ zº ÄÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ò ÓÒÚ Ö Ò ÓÑ Ð Ö Ñ ÐÐ Ò ÔÙÒ ØÚ Ó Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º ÇÑ Ú Ö Ò ØÓÑ ÑÒ X Ó Ò Ð f n Ú ÓÑÔÐ ÜÚÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ f n : X C Ö Ú ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò X ÓÑ Ú Ö ÔÙÒ Ø x X Ð Ö Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ö Ð Ò f n ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Øº Ä ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö ØØ Ú Ú Ò Ö ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒ¹ Ú Ö Ò º ÇÑ Ð Ò f n ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø ØØ Ò Ð Ø ÒØ Ð ÐÑÒ Ö A 1,A 2,...,A k Ú X Ö Ú ØØ ÙÒ ÓÒ Ò Ú ÑÒ Ö A 1 A 2... A k ÓÒÚ Ö Ö Ö Ó Ð ÓÖÑ Øº ÖÒ ØØ Ö Ú ØØ ÇÑ Ð Ò f n ÓÒÚ Ö Ö¹ Ö ÐÓ ÐØ Ð ÓÖÑ Ø X ÓÒÚ Ö Ö Ö Ò Ð ÓÖÑ Ø Ú Ö ÓÑÔ Ø ÐÑÒ K Ú Xº ÇÑ Ò Ð ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ú Ö ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ú X ÖÙ Ö Ñ Ò ØØ Ò ÓÒÚ Ö Ö Ö ÓÑÔ Ø Xº ÖÒ ØØ Ò Ú Ò Ö ÝØØ ÖÐ Ö Ò ÓÖØ ÓÒÚ Ö Ò ÒÑÐ Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò º ½
21 Ò Ø ÓÒ º º ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö {f n } Ô Ω ÓÒÚ Ö Ö Ö ÒÓÖÑ ÐØ Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(z) ÓÑ Ø Ö ÐÐ ε(k) > 0 Ó Ú Ö ÓÑÔ Ø ÐÑÒ K Ω ÒÒ ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ð n 0 ØØ n n 0 Ó z K Ö f n (z) f(z) < ε(k)º Î Ö ÐÐØ ØØ ÓÑ Ò Ð ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ú Ω ÓÒÚ Ö Ö Ö Ò Ú Ò ÒÓÖÑ Ðغ Î ÒÑÒ Ø Ö ØØ Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ò Ñ Ö ØØ Ú Ö ÔÙÒ ¹ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ó ÒÙ Ö Ø ØØ Ò Ð Ø Ò Ø º Ë Ø º º ÇÑ f n ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø ÓÒÚ Ö Ö Ö f n Ú Ò ÔÙÒ ØÚ º Ú º Ø Ö ÐÚØ ÖÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ º Ø Ö ÓÑ f n ÓÒÚ Ö Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø ÒÒ Ö Ú Ö z D Ó Ö Ú Ö ε > 0 ØØ N ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ ÖÒ º½ Ó º¾º Î Ò ØØ ØØ N ÓÑ ÐÐ Ö Ö ØØ Ô ÐÐØ z Ó Ú ØØ Ú Ð Ø z Ú Ú ÐØ Ò Ú Ø ÑÑ Nº ËÓÑ Ö Ò Ô ØØØ ÐÐ Ö ØØ Ö ÙÐØ Ø Ó ÒØ Ø Ò Ö ÐРغ ÇÑ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ú Ö Ò ÐÐØ ÒØ ÓÒÚ Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ó Ú Ð Ø Ú Ö Ð Ò Ü ÑÔ Ð Rº Ü ÑÔ Ð º º f n (x) = x n ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [0,1] [x n 0] Ö ÐÐ x < 1 Ó [1 n ] 1 Ú Ð Ø Ú Ö ÙÖ º f n (x) ÓÒÚ Ö Ö Ö ÐÐØ ÒØ Ð ÓÖÑ Ø Ø ÐÐ f(x) Ö Ò ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ú Ò ÚÐ ÑÑ N Ö ÐÐ zº (1,1) f n (x) ÙÖ Ë Ñ Ø Ð Ö x x 2 Ø ÐÐ Ó Ñ x 10 ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [0,1] Ñ ÔÙÒ Ø Ö ÙØ ØØ Ö x = 0.7 Ö Ö Ô Ø Ú º ËÐÙØ Ø º Ä ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º È Ñ¹ Ñ ØØ ÓÑ Ú Ø Ú Ë Ø º Ò Ú Ú ØØ ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò º ÈÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö Ó ÐÓ Ð Ð ¹ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ð Ø Ú Ò Ô Ð Ò Ò ØØ ÓÑ Ö ØØ ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º Î Ö Ú Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ º ½ Ú ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ô ÓÑÔ Ø ½
22 ÐÑÒ Ö Ú º ÒÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò µ ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ú Ö Ò Ö Ö ÑÓØ ÐÐ Ö Ø ÒØ ØØ Ñ Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º Î Ö ÐÐØ ØØ ÓÐ Ñ Ò Ò Ò Ò ÙÖ º Ä ÓÖÑ ÓÒÚº ÈÙÒ ØÚ ÓÒÚº \ / \ / ÄÓ Ð Ð º ÓÒÚº / ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚº ÙÖ Ë Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ÚÖ ÓÐ ÓÒÚ Ö Ò Öº Î ÒÐ ØÚ ÒÖ Ú Ö ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Ö ÓÑ Ö Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ¹ Ö Ö ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Ö ÑÓØ Ö ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ Ø Ó Ð ¹ ÓÖÑ Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Ö ÓÑ Ö ÙÔÔ Ý Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÚ Ö ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ò Ú Ð Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÓÖÑ ÓÒ¹ Ú Ö Ò º Ë Ø º º ÒØ ØØ f n (z) Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ D Ó ØØ f n (z) f(z) Ð ÓÖÑ Ø Dº Ö f ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Ú º f(z 0 ) f(z 0 + w) = = f(z 0 ) f N (z 0 ) + f N (z 0 ) f N (z 0 + w) + f N (z 0 + w) f(z 0 + w) f(z 0 ) f N (z 0 ) + f N (z 0 ) f N (z 0 + w) + + f N (z 0 + w) f(z 0 + w) < ε ÓÑ z 0 (z 0 + w) = w < δ Ó Ö N Ú ÐØ ØØ f n (z) f(z) < ε/3 n N Ó Ò δ > 0 ØØ f N (z 0 ) f N (z 0 + w) < ε/3º ÐÐØ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ú Ö ÔÙÒ Ø Ô D ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒº ÇÑ Ú Ö Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ö Ø Ó ÒØ ÐÐ º Î Ð Ø Ú Ö ÚÖØ Ø Ö Ü ÑÔ Ð º Ö Ú Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ú Ö Ú ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Ö ØØ ÐÙØ Ö Ú Ø Ö Ë Ø ¾º½½ ÒÚÒ Ú Ó Ú ØØ ÓÑ Ú Ö Ò Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ö Ú Ò ÖÒ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò C¹ Ö Ú Ö Öº Î ÒÙ Ö Ø ØØ º ½
23 Ë Ø º º Ò Ð ÓÖÑ Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ò ¹ ÐÝØ ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒº Ú º Î Ú ÐÐ ÐÐØ Ú ØØ ÓÑ Ú Ö Ò Ð f n Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ Ò ÐØ ÑÑ Ò Ò Ò ÓÑÖ D Ö f n f Ð ÓÖÑ Ø Ö f Ò ÐÝØ Dº Î Ö Ö Ñ ØØ ÓÒ Ø Ø Ö ÖÒ Ë Ø º ØØ Ú Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÐØ Ö γ Ú Ö Ò ÐÙØ Ò ÓÒØÙÖ Dº Ö Ú ÖÒ Ù Ý Ë Ø ØØ f n (z)dz = 0º º½µ γ Î Ö Ú Ò ØØ f(z)dz Ö ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ô ÖÙÒ Ú Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö¹ Ò Ø ÐÐ º½µ Ú Ð Ø Ö ØØ f(z)dz = 0º ÖÒ ÅÓÖ Ö Ë Ø ¾º½¼ Ö Ú Ò ØØ f(z) Ö Ò ÐÝØ º º¾ ÆÓÖÑ Ð Ñ Ð Ö Á ØØ Ú Ò ØØ Ú Ö Ú Ú Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ Ð Ö Ó Ú ÓÑ ÐÐ Ö Ö º Î Ð Ò ÒÒ Ø Ú ÅÓÒØ Ð Ë Ø º½ Ö Ó Ú Ö ÖÑ Ú Ø Ú ÓÑ Ñ Ò Ñ ÐÓ ÐØ ÖÒ Ó Ú Ú ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Öº Î ÓÑÑ Ö Ú Ò ØØ Ú ÖÞ Ð» ÓÐ Ë Ø º½ Ö ØØ ÙÒÒ Ú ÅÓÒØ Ð Ë Ø º Î Ó Ö Ñ ØØ Ú ÓÑ Ñ Ò Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ Ð º Ò Ø ÓÒ º º ÆÓÖÑ Ð Ñ Ð Ò Ñ Ð F = {f k } Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ ÓÑÖ D C Ú Ö ÒÓÖÑ Ð D ÓÑ Ú Ö Ð Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö F ÒØ Ò Ò Ö Ò Ð Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ø ÐÐ Ò ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ f Ð ÓÖÑ Ø Ô Ú Ö ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ú D ÐÐ Ö Ö Ò Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ø ÐÐ Ô Ú Ö ÓÑÔ Ø ÐÑÒ º Ò Ø ÓÒ º º ÄÓ ÐØ ÖÒ Ò Ñ Ð F Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ ÓÑ Ø Ö Ú Ö z 0 D ÒÒ Ò ÔÔ Ò ÓÑ ÚÒ Ò U ØØ {f(z) z U,f F} Ö Ò ÖÒ ÑÒ º Ü ÑÔ Ð º½¼º f(z) = 1 z 1 Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ Ô D = { z < 1} Ñ M = 1 2 º Î Ö Ö ÑÓØ ÒØ ØØ f(z) Ö ÖÒ Ô Ð D Ò f(z) ÒØ ÙÖ ØÓÖ ÚÖ Ò ÓÑ Ð Ø Ó º Ò Ø ÓÒ º½½º Ä ÓÖÑ Ø ÖÒ ÇÑ Ú Ö ÓÑ Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ º Ö F Ð ÓÖÑ Ø ÖÒ Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú Ú Ö ÔÙÒ Ø Ö Uº ÐÐØ F Ö Ð ÓÖÑ Ø ÖÒ ÓÑ f n (z) M Ö Ò ÓØ M Ó Ö ÐÐ zº ½
24 Ü ÑÔ Ð º½¾º ÆÓÖÑ Ð Ñ Ð Ö Ñ Ð Ò F Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ F = {f n (z) = z n z U,n = 1,2,3,...} Ö U Ö Ò ÔÔ Ò ÐÑÒ Ú Ò Ø Ò z < 1 Ö Ú ØØ F Ö Ð ÓÖÑ Ø ÖÒ º Î Ð Ø Ö ØØ F Ö ÒÓÖÑ Ð Uº ÇÑ Ú ØÐÐ Ø Ø Ö U = z > 1 ÓÒÚ Ö Ö Ö {f n } Ð ÓÖÑ Ø Ø ÐÐ Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ú U Ó ÖÑ Ö F ÒÓÖÑ Ð Ó ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒº Ü ÑÔ Ð º½ º Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ Ð ÄØ F = {f n (z) = nz n = 1,2,3,...} Ò F Ú Ö ÒÓÖÑ Ð ØØ ÓÑÖ ÓÑ ÒÒ ÐÙØ Ö ÓÖ Óº f n (0) 0 Ñ Ò f n (z) n Ö z 0º Ò Ø ÓÒ º½ º Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÄØ F Ú Ö Ò Ñ Ð Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ ÓÑÖ D R n Ñ Ð Ò Ú Ö Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÑ Ø Ö Ú Ö ε > 0 ÒÒ ØØ δ > 0 ØØ ÒÖ z ω D Ø Ö Ö z ω < δ Ö F(z) F(ω) < ε Ö ÐÐ F Fº Ë Ø º½ º ÖÞ Ð» ÓÐ ÄØ F Ú Ö Ò Ñ Ð Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ô Dº Î Ö Ð F Ö Ò Ð Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö ÓÑÑ F Ö Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ó ÔÙÒ ØÚ ÖÒ º Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÔÙÒ ØÚ ÖÒ ÓÑ Ö Ú Ö z 0 Ω ÑÒ Ò {f(z 0 ) f F} Ö ÖÒ º Ë Ø º½ º ÅÓÒØ Ð ÄØ F Ú Ö Ò Ñ Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ô Dº Î Ö Ð F Ö Ò Ð Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö ÓÑ F Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ º Ú º ÒÓÑ ØØ ÖÐ Ú ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ó Ø ÐÐÑÔ ÖÞ Ð» ÓÐ Ö Ú ØØ Ú Ú ÅÓÒØ Ð Ë Ø º Ü Ö w 0 D Ó ÐØ U Ú Ö Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ñ Ö r ÖÙÒØ w 0 ØØ f(w) M Ö ÐÐ w U Ó f Fº ÄØ Γ Ú Ö Ö ÐÒ Ñ Ö r 2 ÒØÖ Ö w 0 º Ö Ú Ö w ÒÓÑ r 4 Ú w 0 Ö Ù Ý³ ÁÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð ¾º f (w) f (w 0 ) = = 1 f(z) 2πi Γ z w dz 1 f(z) dz = 2πi Γ z w 0 = 1 ( ) f(z) 2πi Γ z w dz f(z) dz = Γ z w 0 = 1 ( f(z) 2πi Γ z w f(z) ) dz = z w 0 = 1 f(z)(z w 0 z + w) dz 2πi (z w)(z w 0 ) Γ ½
25 Î Ö f (w) f (w 0 ) = = 1 2π w w 0 1 2π w w 0 Γ f (z) (z w) (z w 0 ) dz f (z) (z w) (z w 0 ) dz f(z) M (z w) = r 4 Ó (z w 0) = r 2 Ö Γ f (w) f (w 0 ) 1 2π w w 0 l(γ)m 8 r 2 = (= ß Ö l(γ) Ö ÐÒ Ò Ú ΓÐ =) = 1 π w w 0 2πr 2 = 4 w w 0 M r 4M r 2 = f (w) f (w 0 ) 4M r w w 0 }{{} Ç ÖÓ Ò Úf Ö ÐÐ f F Î Ö ÖÑ Ú ÓÒØ ÒÙ Ø Øº Ñ Ð Ò F Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ ÒÐ Ø ÖÙØ ØØÒ Ò ÖÒ Ó ÖÑ Ó ÔÙÒ ØÚ ÖÒ Ò Ú Ø ÐÐÑÔ ÖÞ Ð» ÓÐ ÓÑ Ö ÅÓÒØ Ð Ø º Ü ÑÔ Ð º½ º ÅÓÒØ Ð Á Ü ÑÔ Ð º½¾ Ú ØØ F Ö ÒÓÖÑ Ðº ØØ Ö Ú Ú Ò ÖÒ ÅÓÒØ Ð Ë Ø º½ F Ö ÖÒ Ö ÅÓÒØ Ð ØØ Ø ÒÒ Ò Ð Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ó Ö ÖÑ ÒÓÖÑ Ðº ÇÑ Ú ÐØ Ö F = {z/j} j=1 Ô C Ü Ø Ö Ö Ø ØØ M ØØ z/j M Ö ÐÐ j,z Cº Ö ÑÓØ Ö Ú Ö Ú Ö Ü ÓÑÔ Ø ÐÑÒ K C ØØ Ø ÒÒ Ò ÓÒ Ø ÒØ M K ØØ z/j < M K Ö ÐÐ j,z K Ó Ú Ö ØØ ÅÓÒØ Ð Ë Ø ÐÐ Öº Î Ö ÐÐØ ØØ Ð Ò {z/j} 0 ÒÓÖÑ ÐØ Ô Cº Ë Ø º½ º ÊÙÒ ÄØ K Ú Ö Ò ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ú Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò Ø Ñ ÑÑ Ò Ò¹ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö f Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú Kº Ø ÒÒ Ò Ð Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÑÓØ f Ð ÓÖÑ Ø Ô Kº Î ÒÙ Ô ØØ Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ð Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÓÒ¹ Ú Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ô Ð C Ñ Ò ÒØ Ð ÓÖÑ Øº Ü ÑÔÐ Ø Ö ÑØ Ø ÙÖ Ú ÓÒ ÖØ Ð ¾ º Ð Ò ÓÒÚ Ö Ö Ö Ó Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ú º ÒÓÖÑ Ðص Ú C \ [0, ] Ñ Ò Ò ÓÒ ÓÑ ÚÒ Ò Ú ÓÖ Óº ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ÒØ Ò ÐÝØ ÓÖ Ó Ö ÑÓØ Ô ØÓÖ Ð Ö Ú Cº ½
26 Ü ÑÔ Ð º½ º ÄØ K n Ú Ö ÙÒ ÓÒ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ò {0} Ð Ò Ñ ÒØ Ø [1/n,n] Ó Ò ÓÑÔ Ø ÑÒ Ò S n = {z C z n Ó Ú ØÒ Ø (z, R+ ) 1/n}º Î Ö Ø ÚÒ ÓÑÖ Ø ÙÖ º ÄØ Ú Ö g n Ú Ö Ò Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ 0 1/n n ÙÖ Ø ÚÒ ÓÑÖ Øº ÓÑ Ö Ú ÒÒ Ö Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú S n Ó [1/n,n] ÓÑ Ö ÓÒ Ø ÒØ 1 Ò ÓÐÐ ÖÙÒØ {0}º p n Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑ ÒÓÑ ØØ ÒÚÒ ÊÙÒ ³ Ë Ø º½ ØØ p n (z) g n (z) < 1/n Ö ÐÐ z K n º Î Ö ÔÙÒ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò Ø Ø ÐÐ Ö K n Ö ÒÓ ØÓÖ nº ÐÐØ Ø ÔÙÒ ØÚ ÖÒ ÚÖ Ø lim n p n (z) Ü Ø Ö Ö Ó Ö ÒÓÐÐ Ú Ö ÐÐØ ÙØÓÑ ÓÖ Ó Ö ÖÒ ÚÖ Ø Ö 1º ÖÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð ÓÖÑ Ô Ú Ö ÑÒ S n Ú Ð Ø Ö ØØ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ö Ð ÓÖÑ Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ú C\[0, ]º ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÖ Ó Ò Ð Ò {p n } ÓÒÚ Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ò ÓÒ ÓÑ ÚÒ Ò Ú {0} ÐÐ Ö ÒØ Ò ÒÖ Ò ÓÒ ÔÙÒ Ø Ô Ò ÔÓ Ø Ú Ö ÐÐ Ü ÐÒº ÇÑ Ú Ø Ö p n ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô Ò ÓÑ ÚÒ Ò U Ñ Ö r ÓÑ Ö ÒØÖ Ö Ò ÓØ x > 0 Ö Ò ÓØ n 2 r > 1/n Ó p n (z) < 1/2 Ô Uº È S n Ö Ú Ú Ò ØØ p n (z) < 1/n 1/2º Å Ò S n U ÒÒ ÐÙØ Ö Ö ÐÒ Ú Ö x ÖÙÒØ ÓÖ Óº Î Ð Ø ÑÔÐ Ö Ö ØØ p n (0) < 1/2 Ñ Ò p n (0) = 1 Ö ÐÐ n Ú Ð Ø Ö ØØ Ú Ö Ò ÑÓØ Ð º Ã Ò ÐÐØ Ú Ö Ò ÐÝØ ÐÐ Ö ÓÒÚ Ö Ö Ð ÓÖÑ Øº ËÐÙØ Ø º Î Ö ÐÐØ Ò Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ô C Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ú C \ R + Ó ÓÒÚ Ö Ö Ö ÑÓØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÐÝØ ÙØ Ò Ö R + º Ö ØØ ÙÒÒ Ú Ò Ò Ö ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ú Ö Ú Ú Ø Ú ÓÑ Ñ Ò Ñ Ò Ò Ø Ò ØØ Ó Ú Ò Ð Ø Ú Ö Ë Ø Öº Ð Ø Ò Ö Ú ÖÒ ÊÙ Ò Ê Ð Ò ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ º Ö Ø Ø ØØ Ö Ú Ô Ú ÓÑ Ñ Ò Ñ Ò Ò Ø Ò Øغ Ò Ø ÓÒ º¾¼º E X ÐÐ Ò Ò Ø Ò ØØ ÓÑ Ø ÐÐ ÐÙØÒ Ò Ò E ÒØ ÒÒ ÐÐ Ö Ò ÓÒ ÔÔ Ò ÑÒ º ¾¼
27 Ë Ø º¾½º Ð Ø Ú Ö Ã Ø ÓÖ Ø Ò ÔÔ Ò ÑÒ U C Ò ÒØ Ö Ú ÓÑ Ò ÒÙÑÖ Ö Ö ÙÒ ÓÒ Ú Ò¹ Ò Ø Ò ØØ ÑÒ Ö º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾¾º ÄØ F Ú Ö Ò ÔÙÒ ØÚ ÖÒ Ñ Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ô Ω Ø ÒÒ Ò Ñ Ü Ñ Ðµ ØØ ÔÔ Ò ÑÒ Ω 0 Ω ØØ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ò Ú F Ø ÐÐ Ω 0 Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ º Ú º Ö Ú Ö z Ω ÐØ φ(z) Ú Ö Ò Ñ Ò Ø ÚÖ ÖÒ Ò Ò Ò Ö { f(z) f F}º Ö Kn = {z φ(z) n} Ö Ö Ð Ø ÚØ ÐÙØ Ò Ω Ú Ö f F Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Î Ö ÖÒ ØØ φ(z) Ö Ò Ð Ö Ú Ö z ØØ Ω = K n º ÖÒ Ð Ø Ò Ú Ö Ã Ø ÓÖ Ø º¾½ Ö Ú Ö Ú Ö ÔÔ Ò ÑÒ U Ω ØØ K n U Ö ÒÖ ÔÙÒ Ø Ö Ö ØÓÖ nº Ö ÓÑ U K n Ö ÒÖ ÔÙÒ Ø Ö ÙÐÐ U K n Ú Ö Ò Ò Ø Ò ØØ Ωº Å Ò n=1 Ò Ò Ø Ò ØØ {}}{ U K n = U Ω = U ØÝ K n = Ω Ú Ð Ø ÙÐÐ ÑÓØ Ö º U K n Ñ Ø ÐÐØ ÒÖ ÔÙÒ Ø Öº ÖÑ Ö ÙÒ ÓÒ Ò Ω 0 Ú ÒÖ ÔÙÒ Ø ÖÒ Ú K n Ò ØØ ÔÔ Ò ÐÑÒ Ú Ωº F Ö ÖÒ Ô Ú Ö ÑÒ Ú ÒÖ ÔÙÒ Ø Ö Ú K n Ö F Ú Ò ÐÓ ÐØ ÖÒ Ô Ω 0 º Î Ö Ú Ò ÑÓØ Ø Ò ØØ ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ F Ö ÖÒ Ú n Ô Ò ÔÔ Ò ÑÒ U ØÖ U Ú ÒÖ ÔÙÒ Ø ÖÒ Ú K n Ó Ð Ö ÖÑ Ω 0 º Î ØÐÐ Ö Ó ÒÙ Ö Ò ÀÙÖ Ð Ò Ø Î Ö ØØ ÓÑ f ÓÒ¹ Ú Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ñ Ö ØØ ÒØ ØØ ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÐÝØ º Æ Ò Ú Ó Ú Ô ØØ ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÖØ Ö Ò ÐÐØ Ö Ò ÐÝØ Ô Ò ØØ ÔÔ Ò ÐÑÒ Ö Ò ÔÙÒ ØÚ ÖÒ Ñ Ð Ú ÙÒ Ø ÓÒ Öº ÃÓÒÚ Ö Ò Ò Ò ÐÐØ ÒØ ÚÐ Ø Ð Ú Ð Ø Ö Ð Ø ÖÚÒ Ò º ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ º¾ º ÄØ f n Ú Ö Ò Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ô ØØ ÓÑÖ Ω Cº Ö ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ò ÐÝØ Ô Ò ØØ ÔÔ Ò ÐÑÒ Ú Ωº Ú º ÇÑ Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ö Ò Ú Ò ÔÙÒ ØÚ ÖÒ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾¾ Ö ØØ {f n } Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ Ô Ò ØØ ÔÔ Ò ÑÒ Ω 0 Ó ÅÓÒØ Ð Ë Ø º½ Ö Ú Ö ØØ Ò Ð Ð ÓÒÚ Ö ¹ Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ø ÐÐ f Ô Ω 0 º Î Ö ÐÐØ ØØ f Ö Ò ÐÝØ Ô Ω 0 ÐÐØ Ô Ò ØØ ÔÔ Ò ÐÑÒ Ú Ωº ¾½
28 Ä ØØ Ö ØÙÖ ÖØ Ò Ò ½ ʺ ÓÙÖ ÒØ Àº ÊÓ Ò Ê Ú Ý Áº ËØ Û ÖØ Ï Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÔÔÖÓ ØÓ Á Ò Å Ø Ó Ë ÓÒ Ø ÓÒ ÇÜ ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ÁÒº Æ Û ÓÖ ½ ¾ à ÒÒ Ø Êº Ú ÓÒ ÈÓ ÒØÛ Ð Ñ Ø Ó Ò ÐÝØ ÙÒØ ÓÒ Âº ÄÓÒ¹ ÓÒ Å Ø º ËÓº ¾µ ¾¼¼ µ ½ ¹½ µ ÊÓ ÖØ º Ö Ò ËØ Ú Ò º ÃÖ ÒØÞ ÙÒØ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÇÒ ÓÑÔÐ Ü Î Ö Ð Ï Ð Ý Æ Û ÓÖ ½ Î ØÓÖ Âº à ØÞ À ØÓÖÝ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ë ÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÒ¹Ï Ð Ý Ù Ø ÓÒ Ð ÈÙ Ð Ö ÁÒ ÍË ½ ź ÃÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ð Ì ÓÙ Ø ÖÓÑ Ò ÒØ ØÓ ÅÓ ÖÒ Ì Ñ ÎÓй ÙÑ ¾ ÇÜ ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Æ Û ÓÖ ½ ¾ ËØ Ú Ò º ÃÖ ÒØÞ ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Ì ÓÑ ØÖ Î ÛÔÓ ÒØ ½ ¼ Ö Ò ÅÓÖ Ò Ê Ð Ò ÐÝ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ËÓ ØÝ ÍË ¾¼¼ Ê Ò ÓÐ Ê ÑÑ ÖØ Ö Ù Ø Ì ÜØ Ò Å Ø Ñ Ø Ì ÓÖÝ Ó Óѹ ÔÐ Ü ÙÒØ ÓÒ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÓÙÖØ ÓÖÖ Ø ÔÖ ÒØ Ò ½ ÊÙ Ò Ê Ð Ò ÓÑÐ Ü Ò ÐÝ Å Ö Û¹À ÐÐ Æ Û ÓÖ ½ ½¼ º º Ë º º ËÒ Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Û Ø Ô¹ ÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ò Ö Ò Ò Ë Ò È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ ÍÔÔ Ö Ë Ð Ê Ú Ö Æ Û Â Ö Ý ¾¼¼ ½½ ÂÓ Ð Äº Ë ÆÓÖÑ Ð Ñ Ð ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ½ ½¾ Á Ò ËØ Û ÖØ ÖÓÑ À Ö ØÓ ÁÒ Ò ØÝ Ù ØÓ ÌÓ Ý³ Å Ø Ñ Ø ½ ½ ÊÓ ÖØ Ëº ËØÖ ÖØÞ Ì Ï Ý Ó Ò ÐÝ ÂÓÒ Ò ÖØÐ ØØ ÈÙ Ð ¹ Ö ½ ¾¾
ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
Ö ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
s N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
Stapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
Ö Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
ËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Multivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
ËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
ËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
Imperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö
Självorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
a = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ
huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:
Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008](/thumbs/57/41044285.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008")
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
Article available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
Imperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008
![arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008](/thumbs/103/160116641.jpg "arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008")
Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ
ÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë
¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ
15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c
½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ
Frågetimmar inför skrivningarna i oktober
MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons
Errata. by Afif Osseiran. August 17, 2006
Ú Ò ÒØ ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó¹ÐÓ Ø ² ØÖ ÙØ Á ÇËË ÁÊ Æ ÓØÓÖ Ð Ì ËØÓ ÓÐÑ ËÛ Ò ¾¼¼ ÌÊÁÌ ¹Á ̹ Ç˹¼ ¼¾ ÁËËÆ ½ ¹ ÁËÊÆ ÃÌÀ»ÊË̻ʹ¹¼»¼¾¹¹Ë ÃÌÀ Á Ì Ë ¹½ ¼ ËØÓ ÓÐÑ ËÏ Æ Ñ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ñ Ø ÐÐ ØÒ Ú ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007](/thumbs/95/124973666.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007")
Ð Ñ ÒØ Ó Ê Ó Ï Ú arxiv:0712.4029v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ö Ò ÓÖ Á ÑÓ À Ð ÂÙ ÅØØÐ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Å ÜÛ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor
PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS
TKK Dissertations 195 Espoo 2009 PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS Doctoral Dissertation Johnny-Stefan Lönnroth Helsinki University of Technology Faculty
Vindkraft och försvarsintressen på Gotland
Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,
Programmering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning.
Programmering med Java Programmering med Java Programspråket Java Källkodsexempel Källkod Java API-exempel In- och utmatning Grunderna Erik Forslin ÓÒ º Ø º Rum 1445, plan 4 på Nada 08-7909690 Game.java
Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap
markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart
PLANERING MATEMATIK - ÅK 8 Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Bråk och procent Kapitel : 2 Bråk och potenser Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-08-29 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
2π e. P(k, l, q Y, T) P(k, l, q)p(y, T k, l, q) = P(k, l, q) i. P(y i t i, k, l, q) 2 i (yi kti l)2 (2π) P(z Y, T, s) = P(z k, l, q, s)p(k, l, q Y, T)
ÒÐÝ Ó ÔÖØÓÒ Ú ÐØ Ô ÙÐÔÖÓÐÖ Ó ÖÓÑ Ð Ô Ø ÒÖ ÀÓÐ Ø ÑÖ ¾¼½½ ËÁË ÌÒÐ ÊÔÓÖØ Ì¾¼½½½ ÁËËÆ ½½¼¼¹ ½ ËÑÑÒØØÒÒ Î Ö ÓÑ Ò Ð Ú Ø ÎÒÒÓÚ¹ÒÒ Ö ÔÖÓØØ ÍËÌ ÙÒ¹ Ö Ø ÙÖ Ý Ò ØØ Ø ÑÓÐÐÖÒ Ó ÚÚÐ ØØÓÒ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ÒÐÝ Ö ÐØ Ô ÙÐÔÖÓÐÖ
1 k j = 1 (N m ) jk =
ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ
ERE 102 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE Reglerteknik D Tentamen 5--3 8.3.3 M Examinator: Bo Egardt, tel 37. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-12-16 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat