u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
|
|
- Bengt Lindberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ú Ö Ø Ò º Ç Ø Ö Ö Ø ÒØ ÐÐ Ø Ó Ñ Ò Ñ Ø Ö Ö ÒÓÑ Ö Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ØØ Ö Ñ Ú ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ø ÐÐ Ò ÑÓ Ðк Ø Ö Ó Ú ÒÐ Ø ØØ Ø ÒØ Ö ØØ Ø Ö Ñ Ú ØØ Ú Ø ÓÒ Ö ÙØ Ò ØØ Ñ Ò Ð Ø Ñ Ø Ý Ò ÑÓ ÐÐ ÖÒ ÑÔ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Öº ÒÒ Ø Ò ÐÐ Ð ¹ ÓÜ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ô Ú Ò Ð µº Á ØØ Ú Ò ØØ ÒØ Ö Ú ØØ Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð Ò ÖÒ Ø Ý Ø Ñ ÓÑ Ú Ú ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÑØ º Î ÓÑÑ Ö Ó ØØ ÒØ ØØ Ú Ò ÔÚ Ö Ý Ø Ñ Ø ÒÓÑ ØØ Ö Ò Ö Ò Ö Ò Ò Ð Ò uµº Ø ÒÒ ØÑ Ò ØÓÒ ØÖ ÐÐ ØØ Ò Ú Ö Ú ÒØÖ ÅÓ ÐÐÚ Ð Ö Ò Ú Ý Ð ÑÓ ÐÐ Öº ÒØ ØØ Ò ÑÓ ÐÐ Ø Ø Ö Ñ Ñ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò º Ö ØØ Ú ÙÒÒ Ð Ø Ô ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ñ Ò Ñ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ò Ñ Ø Ú Ö Ð Ý Ø Ñ Øº ÒÓÑ ØØ Ö ÑÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ô ÑÓ ÐÐ Ò ÓÑ Ô Ý Ø Ñ Ø Ò Ñ Ò Ø Ø ØØ ÑÓ¹ ÐÐ Ò Ö ØØ Ö ÑÐ Ø Ö ÙÐØ Øº Á ÔÖ Ò Ô Ñ Ø ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ô ÒØØ ØØ Ñ Ö Ñ Ø ÖÒ Ø Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ð Ú Ý Ø Ñµ ÓÑ ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ö Ö Ú Ö ØØ Ñ Ò ÙÒÒ Ð Ø Ô ÑÓ ÐÐ Òº Î Ú ÐÐ Ó ÔÓÒ ¹ Ø Ö ØØ Ø ØÖ Ø Ñ Ò Ò ÒØ Ö Ú Ð Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ø Ñ Ò Ò Ö Ö ØØ Ð Ö ÐÐ Ö Ð Ö Ò ÑÓ Ðк ÁÒÓÑ Ý Ø ÑØ Ò Ò Ó Ò¹ ÖÒ ÓÑÖ Ò ÒÒ Ö ÑÓ ÐÐÚ Ð Ö Ò ØØ ÙÒ Ö ÓÑ ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ø ÐÐÖ Ð Ø Ö Ö ØØ Ý Ø º Ö Ý¹ ÓÜ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º ÒØ ØØ Ò ÑÓ ÐÐ Ø Ø Ö Ñ Ñ Ý Ð ÑÓ¹ ÐÐ Ö Ò Ñ Ò ØØ ØØ ÒØ Ð Ô Ö Ñ Ø ÖÚÖ Ò ÒØ Ö ØØ ØÑÑ Ø Ó¹ Ö Ø Ø º Ú Ø ÑØ Ø ÖÒ ØØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÑÓ ÐÐ Ò ½
2 ÙÒÒ ÓÔØ Ñ Ö Ô ØØ ØØ Ñ Ò Ø Ö Ö Ñ Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÓÑ ÚÐ ÓÑ Ñ Ð Ø Ò Ö Ú Ø ÖÒ Ø Ú Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Øº ÒÒ Ø ¹ Ò ÐÐÐ Ö Ý¹ ÓÜ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÒÚÒ Ö ÙÒ Ô ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö ØØ Ø Ö Ñ ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ò Ó Ø Ö ØØ ØØ ÚÖ Ò Ô Ó Ò ÑÓ¹ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ Öº ÀÖ ÒÒ ØØ ÔÓØ ÒØ ÐÐØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÑÓ ÐÐ Ñ ÑÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò Ò ÒÔ ÚÐ Ø ÐÐ ÒØÐ ÑØ Ø ØÖÓØ ØØ ÑÓ¹ ÐÐ Ò ÒØ Ö ÓÖÖ Øº ØØ ÒÓÑ Ò Ö Ò ÓÑ ÓÚ Ö ØØ Ò º Ð ¹ ÓÜ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º Á Ð Ò Ò Ñ Ò ÚÐ Ø Ö ÙÒ Ô Ö ÓÑ ÙÖ ØØ Ý Ø Ñ ÑÓ ÐÐ Ö º ØØ ÐÐ Ö ÒØ Ñ Ò Ø ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö ØÓ¹ Ø Ò Ð º Ò Ñ Ð Ø Ö ØØ ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò Ö ÐÐ ÑÓ¹ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Öº ØØ ØÝÔ Ø Ü ÑÔ Ð Ö ØØ Ò Ð Ò Ö Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ú Ø ÓÒ º µµ Ò ØØ Ó ØØ ÑÓ ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÒÔ ØØ ÑÓ¹ ÐÐ Ò ÙØ Ò Ð Ó Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ò Ð Ò Ú Ö Ð ÙØ Ò Ð Òµ Ð Ö Ð ÓÑ Ñ Ð Ø ØÝÔ Ø ÒÚÒ ØØ Ñ Ò Ø Ú Ö Ø Ö Ø Ö Ùѵº ÒÒ Ò¹ Ø Ö ÑÒ ÐÐ ØØÖ Ø Ú Ö ØØ ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑÔÐ Ü Ý Ø Ñ Ö Ö ÙÒ Ô Ö ÓÑ ÝÒ Ñ Ñ Ò Ò ÒÒ º Ò ÑÓ ÐÐ Ø ÐØ Ò¹ ÐØ Ö Ñ Ö Ø Ô Ò Ø ÑØÒ Ò Ö ÖÒ Ý Ø Ñ Ø Ø ÒÒ Ó Ò Ð Ð Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñº Î Ò Ö ÓÑ ÑØ Ø ÒÒ ÐÐ Ö Ø ÖÒ Ò Ö Ó ÖÙ Î Ð Ò ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ó ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò ÚÐ ÀÙÖ ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ð Ö Ì Ò Ò ØØ ÒÚÒ ÑØ Ø Ö ØØ Ð Ö Ö ÑÓ ÐÐ Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÒØ ¹ Ö Ò ÐÐ Ö ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ö ÑÝ Ø ÚÐ ÙØÚ Ð Ô ÐÐØ Ö Ð Ò Ö Ý Ø Ñº Î Ò Ò Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ö Ò Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÑ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ØØ ÑÓ ÐÐ Öº Ú ÐÙØÒ Ò Ú Ú Ò Ö Ü ÑÔ Ð Ô ÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ð Ö Ö Ñ Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Òº Ö Ñ ØÐÐÒ Ò ¹ Ò Ö Ô ÒØ Ø ØØ ÐØ Ò ÙØ Ò Ò Ö Ö ÓÑ Ò Ö Ü ÑÔ Ð ÖÒ ØØ ÑÝ Ø ÓÑ ØØ Ò ÓÑÖ Ú Ñ ØÓ Öº º½ Á ¹Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ØÓ Ö Î Ö Ú Ö Ö Ò Ö Ñ ØÓ Ö ÓÑ ÒØ Ö Ø Ö ÚÖ Ò Ô Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ò ÑÓ ÐÐ ÙØ Ò ØÐÐ Ø Ö Ò ÙÖÚ ÐÐ Ö Ö Ñ ÓÑ Ö ÙÐØ Ø Ú ØØ ÜÔ Ö Ñ Òغ ØÝÔ Ö Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ÑÝ Ø Ú ÒÐ Ó Ö Ó Ø ÚÖ ÙÐÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ØØ Ý Ø Ñº º½º½ ÁÑÔÙÐ Ú Ö Ó Ø Ú Ö ÇÑ Ò Ò Ð Ò Ø ÐÐ ØØ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÄÌÁ Ý Ø Ñ Ö Ò ÑÔÙÐ ÐØ ÙÒ Ø ÓÒµ ÙØ Ò Ð Ò ÒÐ Ø º µ Ú y(t) = t 0 g(τ)δ(t τ)dτ = g(t) º½µ ¾
3 Ö g(t) = L 1 (G(s)) Ø Ú ÐÐ Ò ÒÚ Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ø ÐÐ Ú Ö¹ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Òº ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ò g(t) ØÑÑ ÓÑ Ò Ò Ð Ò u(t) Ö Ò ÓÖØÚ Ö ÔÙÐ º ÖÒ ÑÔÙÐ Ú Ö Ø Ò Ú Ò Ú Ö Ø Ú Ý Ø Ñ ÝÒ Ñ ¹ Òº ÒÒ Ò ÓÒ Ø Ö Ö Ò Ò ÍÒ Ö ÙÖ Ò Ø Ö Ý Ø Ñ Ø À Ö Ý¹ Ø Ñ Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ö º Ã Ò Ú ÖÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö ¹ Ú Ö g(t) Ò Ú Ó Ö Ò Ý Ø Ñ Ø Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÑ Ñ Ò Ø G(s) = L(g(t))º Ø Ò Ú ÒÐ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ö ØØ Ò Ò Ð Ö ÝÒ Ñ Ò Ó ØØ Ý Ø Ñ Ö ØØ Ö ØØ Ø Ú Öº ØØ Ö ÒÓÑ ØØ Ò Ò Ð Ò Ò Ö ÖÒ ØØ ÚÖ Ø ÐÐ ØØ ÒÒ Ø Ó ÙØ Ò Ð Ò Ú Ö Ô Ö ØÖ Ö º ØØ ÐÐ Ö ØØ Ø Ú Ö ÜÔ Ö Ñ Òغ ÖÒ Ø Ú Ö Ø Ò Ñ Ò Ò ÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑ Ø Ö Ö Ò Ò ÓÑ Ò Ö Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ú ÒØÙ ÐÐ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ö ÑØ Ø Ø Ö ØÖ Ò Ò º ÑÔÐ ØÙ Ò Ô Ø Ú Ö Ø Ö Ò Ú Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÔÖ Ò Ô ÐÐ Ö ØØ Ù Ø ÖÖ ÑÔÐ ØÙ ØÓ ÐØØ Ö Ð Ö Ø ØØ ÙÖ Ð Ø Ú Ö Ø ÖÒ Ø ÖÒ Ò Ö Ó ÑØ ÖÙ º Ò Ö Ò Ø Ö ÔÖÓ Ò Ñ Ö Ñ ÑÔÐ ØÙ Ó Ò ÚÖ ÓÐ Ò Ö Ø Ö Ò Ö ØÖ º ÙØÓÑ Ö Ø Ö Ú Ö Ð Ý Ø Ñ ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐØ Ø ØØ ÔÚ Ö ÔÖÓ Ò ÙÖ ÑÝ Ø ÓÑ Ð Øº º½º¾ Ö Ú Ò Ò ÐÝ ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñ Ö ÒØÝ Ø ØÑØ Ú ØØ Ö Ú Ò Ú Ö G(iω)º ÖÒ Ã Ô º¾ Ú Ø Ú ØØ ÓÑ Ò Ò Ð Ò Ø ÐÐ ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñ Ñ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ G(s) Ö u(t) = u o sin(ωt) Ð Ö ÙØ Ò Ð Ò Ú ÒØÙ ÐÐ ØÖ Ò ÒØ Ö Ö ØØ Ùص y(t) = y o sin(ωt + φ) Ö y o = u o G(iω) Ó φ = arg G(iω)º ÒÓÑ ØØ Ò Ò ÒÙ Ò Ð Ñ Ò Ú Ö Ú Ò ω 1 Ó ÑÔÐ ØÙ u o Ó ÑØ ÙÔÔ ÙØ Ò Ð Ò ÑÔÐ ØÙ Ó ÚÖ Ò Ò Ò Ú ÐÐØ ØÑÑ G(iω 1 ) Ó Ö G(iω 1 ) Ú Ò ÔÙÒ Ø ØØ Ó Ö Ñº ÒÓÑ ØØ ÙÔÔÖ Ô ØØ Ö Ö Ò Ö ÓÐ Ö Ú Ò Ö Ò Ñ Ò Ò ÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö Ú Ò Ú Öº Å ØÓ Ò ÐÐ Ö Ú Ò Ò ÐÝ Ó Ö Ò ÑÝ Ø Ú ÒÐ Ñ ØÓ Ö ØØ Ö Ô ÝÒ Ñ Ò Ö ØØ Ó ÒØ Ý Ø Ñº Ò Ò Ð Ö ØØ Ñ Ò ÒØ ÐÐØ Ö ÐÐ Ö Ò Ø Ö ØØ Ý Ø Ñ ÒÓÑ ØØ ÔÔÐ Ö Ò ÒÙ Ò Ðº ÙØÓÑ ÓÑ Ñ Ò Ú ÐÐ ØÑÑ Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÑÒ Ö Ú Ò Ö Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ø ÐÒ Ø º º½º ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ö ØØ Ð Ò ÖØ ÝÒ Ñ Ø Ý Ø Ñ ÐÐ Ö ØØ Y (s) = G(s)U(s) ÒÓÑ ØØ Ö ØØ s Ñ iω Ö Ú Ð Ò Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð ÖÒ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ö Y (iω) = G(iω)U(iω)
4 ÇÑ Ú ÙÒ ØÑÑ Ò Ð ÖÒ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÙÐÐ Ö Ú Ò Ù Ø ÓÒ Ò ÙÒÒ ØÑÑ ÓÑ G(iω) = Y (iω) U(iω) Á ÔÖ Ø Ò Ö Ú Ò Ø Ø ÐÐ Ò Ø ÐÐ ØØ Ò Ð Ø ÒØ Ð ÑÔÐ ÚÖ Ò Ú Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð Ò Ú Ð Ø Ö Ò Ø Ö Ø ÓÙÖ Ö Ö Ò Ì µ ÒÚÒ Y TDF (iω) = y(k)e iωk Î Ò ÓÖÑ ØØÒ Ò Ò U TDF (iω) = y(k)e iωk Ĝ(iω) = Y TDF(iω) U TDF (iω) º¾µ ÌÝÔ Ø ÐÐ Ö ØØ ÓÑ Ò Ò Ð Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ò ÒÙ Ö Ú Ò Ö ÓÑÑ Ö Øع Ò Ò Ò Ú Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØØ Ð ÒÓ Ö Ò Ú Ö Ú Ò Öº Ö Ò Ö Ö Ú Ò Ö Ð Ö ØØÒ Ò Ò Ò ÖÙ Ö µº Ö ØØ Ñ Ò Ö ¹ Ø Ò Ò Ñ Ò Ô ÓÑ ÔÖÓ Ø Ø ØÖ Ò ÓÖÑØ ÓÖ µ Ð ÙÔÔ Ø Ö Ò ØØ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ó Ö Ò Ò Ø Ö Ø ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ö Ú Ö Ñ ÒØ Ó Ò Ø Ñ ÐÚÖ Ø Ó ÒÚÒ ØØÒ Ò Ò º¾µº ØØ Ö Ö Ò Ö Ù¹ Ö Ö Ö Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÐ ÔÖ Ø Ú Ò Ö ÑÖ Ö Ú Ò ÙÔÔÐ Ò Ò Ú Ò ÚÖ Ø ØØ Ø Ü Ö Ð ØÚ ÒÖÐ Ò Ö Ú Ò ØÓÔÔ Öµº º¾ È Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ¹ ÐÐ Ö Î ØÙ Ö Ð Ò ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ŷ(k) = ϕ 1 θ 1 + ϕ 2 θ ϕ n θ n = ϕ T (k)θ º µ Ö ŷ(k) Ö ÑÓ ÐÐ Ò ÙØ Ò Ð ϕ(k) = [ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ] T Ö Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÐÙÑÒÚ ØÓÖ Ñ Ò ØÓÖ Ø Ö Ö Ö ÓÖÚ ØÓÖÒ Ó θ = [θ 1 θ 2... θ n ] T Ö Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÐÙÑÒÚ ØÓÖ Ñ Ó Ò Ô Ö Ñ ØÖ Öº Å ØÖ ØÖ Ò ÔÓÒ Ø Ø Ò Ñ T º Ö ÙÑ ÒØ Ø k = 1, 2, 3... Ø Ò Ö Ø Ò Üº Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ ØÙ Ö Ö ØØ ÖÒ ØØ ÒØ Ð ÑØÒ Ò Ö ÖÒ ØØ Ý¹ Ø Ñ ØØ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ò Ó Ò Ô Ö Ñ Ø ÖÚ ØÓÖÒ θº ÖÙÒ Ò Ö ØØ ÒÔ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ ØØ y ŷ Ð Ö Ð Ø Ò ÒÓÖÑ ÐØ Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ Ò Ò µº ÅÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÒÔ ØØ ÑÓ ÐÐ Ò Ò Ò Ö ÔÖ Ø ÓÒ Ú ÑØ Ø Ø ÓÑ Ñ Ð Øº
5 º¾º½ Ü ÑÔ Ð Ô Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö Î Ö Ö Ò Ö Ü ÑÔ Ð Ô ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ö ÓÑ Ò Ö Ú Ô Ø Ò Ö ÓÖ¹ Ñ Ò ŷ(k) = ϕ(k) T θ Ò ÔÓÐÝÒÓÑØÖ Ò Ò Ö Ú ÓÑ ŷ(k) = ϕ(k) T θ Û Ø ËÙÑÑ Ú ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö ŷ(k) = a o + a 1 k a n k n ϕ(k) = (1 k... k n ) T θ = (a o a 1...a n ) T ŷ(k) = b 1 e c 1k + b 2 e c 2k b n e cnk ÒØ ØØ c 1, c 2...c n Ö Ò º Î Ö ϕ(k) = (e c 1k e c 2k...e cnk ) T θ = (b 1 b 2...b n ) T ÁʹÑÓ ÐÐ Ò Ò Ø ÁÑÔÙÐ Ê ÔÓÒ µº ÁʹÑÓ ÐÐ Ò Ö Ø Ö Ø Ü¹ ÑÔÐ Ø Ô Ò ÝÒ Ñ ÑÓ Ðк ÅÓ ÐÐ Ò ÔÖ Ø ÓÒ Ú Ý Ø Ñ Ø ÙØ ¹ Ò Ð Ø Ò ÓÑ Ø Ö ŷ(k) ÁÒ Ò Ð Ò Ø Ò u(k)º Á ÁʹÑÓ ÐÐ Ò ÔÖ Ø Ö ÙØ Ò Ð Ò ÒÓÑ ÑÐ ÚÖ Ò Ô Ò Ò Ð Ò ŷ(k) = b o u(k) + b 1 u(k 1) b n u(k n) ϕ(k) = (u(k) u(k 1)...u(k n)) T θ = (b o b 1...b n ) T Á ÑÓ ÐÐ Ò Ö b o,... b n Ó Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ º Ø Ö Ò ÐØ ØØ Ùع Ú ÑÓ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ö Ò Ò Ð Ö Ø Ü Ö Ò ÑÓ ÐÐ Ñ ØÚ Ò Ò Ð Ö u 1 Ò u 2 µ Ö Ú ŷ(k) = b 1,o u 1 (k) + b 1,1 u 1 (k 1) b 1,n u 1 (k n) +b 2,o u 2 (k) + b 2,1 u 2 (k 1) b 2,n u 2 (k n) Ê ¹ÑÓ ÐÐ Ò ÙØÓÊ Ö Ú ÑÓ Ð Û Ø Ò Ø ÖÒ Ð ÒÔÙصº Ò Ò ¹ ØÙÖÐ ÙØÚ Ò Ò Ú ÁÊ ÑÓ ÐÐ Ò Ö ØØ Ú Ò Ø Ñ ÑÐ ÚÖ Ò Ô ÙØ Ò Ð Ò ÔÖ Ø ÓÒ Òº Ò Ê ¹ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ú y(k) + a 1 y(k 1) + a 2 y(k 2) a na y(k na) = b o u(k) + b 1 u(k 1) b nb u(k nb) + e(k)
6 Î Ö ÐÐØ Ò Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ö Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ó Ð Ø Ø ÐÐ Ò ÖÙ Ø ÖÑ e(k) ÓÑ ÒÓÖÑ ÐØ ÒØ Ú Ö Ú ØØ ÖÙ º Î Ò Ö Ú ÓÑ ÑÓ ÐÐ Ò ÓÑ y(k) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 2)... a na y(k na) +b o u(k) + b 1 u(k 1) b nb u(k nb) + e(k) ÈÖ ØÓÖÒ Ö Ê ¹ÑÓ ÐÐ Ò ÒÓÑ ØØ ØÖÝ ÖÙ Ø ÖÑ Ò e(k) Ú ŷ(k) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 2)... a na y(k na) +b o u(k) + b 1 u(k 1) b nb u(k nb) ϕ(k) = ( y(k 1) y(k 2)... y(k na) u(k) u(k 1)...u(k nb)) T θ = (a 1 a 2...a na b o b 1...b nb ) T ÒÒ ÑÓ ÐÐ Ð Ö Ò Ò Ñ Ø ÒÚÒ Ö ØØ ØØ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº ʹÑÓ ÐÐ Ò ÙØÓÊ Ö Ú ÑÓ Ðµº Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØÓ Ø Ø Ö Ò Ò ÐØ ÒÓÑ ØØ ØØ u = 0 Ê ÔÖ ØÓÖÒº ØØ Ö Ê¹ ÔÖ ØÓÖÒµ ŷ(k) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 2)... a na y(k na) ϕ(k) = ( y(k 1) y(k 2)... y(k na)) T θ = (a 1 a 2...a na ) T Ò ÙØÚ Ò Ò Ú Ê¹ÑÓ ÐÐ Ò Ö ÊÅ ¹ÑÓ ÐÐ Ò ÓÑ Ú Ó ÒØ Ø Ö ÙÔÔ ÒÒ Ú Ö Øº
7 º Å Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Ò ÒØ ØØ Ò Ø Ö {y(k), ϕ(k)},...,n ÖÒ ØØ Ý Ø Ñ Ö Ò ÑÐ Ø º Î Ö ÐÐØ N ÑÔ Ð ÖÒ Ý Ø Ñ Øº ÖÒ ÑØÒ Ò ÖÒ Ú ÐÐ Ú ØØ Ø Ñ Ö µ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ Ðк ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÐÐØ ØØ ØØ Ò Ó Ò Ô Ö Ñ Ø ÖÚ ØÓÖÒ θ Ú Ø ÑØÒ Ò ÖÒ º º º½ ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Á Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Ò ÒÚÒ Ð Ò ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ñ Ô θµ V (θ) = (y(k) ŷ(k)) 2 = (y(k) ϕ T (k)θ) 2 º µ Î Ò Ò Ö ÔÖ Ø ÓÒ Ð Ò ɛ(k) = y(k) ŷ(k)º ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò º µ Ò Ö Ú ÓÑ V (θ) = ɛ(k) 2 ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÇÑ Ò ÙÔÔÑØØ ÙØ Ò Ð Ò y(k) Ú Ö ÖÙ Ö ÚÓÖ Ø Ò ØÙÖÐ Ø ØØ ÚÐ N = n Ö n Ö ÒØ Ð Ø Ó Ò Ô Ö Ñ ØÖ Öº Á ÔÖ Ø Ò Ö Ó ÙØ Ò Ð Ò ÔÚ Ö Ú ÑØ ÖÙ Ú Ð Ø Ö ØØ Ú Ð Ø N = n Ò Ò ÑÝ Ø Ð ØØÒ Ò Ú θ Ø Ö Ú ÒÐ Ø ØØ Ö Ú ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒÓÖÑ Ð Ö ÒÐ Ø V (θ) = 1 N (y(k) ŷ(k)) 2 º º¾ ØØ Ö Ø Ö ÙÑ Ö ÑÑ ØØÒ Ò Ú θ ÓÑ º µº Å Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò Ö Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö ÒÒ Ò Ò ÐÝØ Ð Ò Ò Ø ÐÐ º µ ÓÑ Ú ÔÖ ¹ ÒØ Ö Ö Ð Ò Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ ½º ÒØ ØØ Ñ ØÖ Ò R N = N ϕ(k)ϕt (k) Ö ÒÚ ÖØ Ö Öº Ø θ ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ö º µ Ú N ˆθ = [ ϕ(k)ϕ T (k)] 1 ϕ(k)y(k) º µ
8 Ú º Ø ÒÒ Ö ØØ ØØ Ú Ø ÓÖ Ñ Ø ØØ ØØ Ö ØØ Ö Ú Ö Ö ¹ Ø Ö Ø Ñ Ô θµ Ó ØØ Ö Ú Ø Ò Ø ÐÐ ÒÓÐÐ ÒÓÐÐ¹Ú ØÓÖÒµ δv (θ) δθ = 2 = 2 (y(k) ϕ T (k)θ) δϕt (k)θ δθ (ϕ(k)y(k) ϕ(k)ϕ T (k)θ) = 2 (y(k) ϕ T (k)θ)ϕ(k) Á Ø ÙØØÖÝ Ø Ö Ú ØØ ϕ(k) Ö Ñ Ö ÐÖ ÖÒ y(k) Ó ϕ T (k)θº Î ØØ Ö ÒÙ ÙØØÖÝ Ø Ð Ñ ÒÓÐÐ¹Ú ØÓÖÒ δv (θ) δθ = 0 Ú Ð Ø Ö ϕ(k)y(k)) = ϕ(k)ϕ T (k)ˆθ Ú ÐÙØÒ Ò Ú Ð Ö Ú ÙØ ˆθ ÒÓÑ ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ ÒÚ Ö Ò Ú R N ÖÒ ÚÒ Ø Öº Î Ö Ñ Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò º µº ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÆÓØ Ö ØØ ÙØØÖÝ Ø º µ ÐÐ Ö Ö ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ú ÓÑ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ Ðк Ø ÒÒ Ø Ü Å ØÐ Ó ÒÙÑ Ö Ñ ØÓ Ö Ö ØØ Ö Ò º µº Ë Ò Òº Ö ØØ Ö Ò Ñ Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò º µ Ö Ø Ò ÚÒ Ø ØØ R N Ö ÒÚ ÖØ Ö Öº Ë ØÙ Ø ÓÒ Ö R N Ö Ò ÙÐÖ ÐÐ Ö Ò Ø Ò Ò ÙÐÖ ÐÐ ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÔÖÓ Ð Ñº ÔÖÓ Ð Ñ ÖÚ Ö Ô ÐÐ Ñ ØÓ Ö ÓÑ ÒØ Ø ÙÔÔ Öº Î Ò Ö Ú ÓÑ Ñ Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò º µ Ô ÒÓÖÑ Ð Ö ÓÖÑ ÒÐ Ø ˆθ = [ 1 ϕ(k)ϕ T (k)] 1 1 ϕ(k)y(k)) N N ØØ Ö ÑÑ ØØÒ Ò Ñ Ò Ö Ó Ø ÚÑ ÖÒ ØØ Ò ÐÝ Ö Ò¹ Ø Ð Ø Ø Ö ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Òº
9 º º Ò Ñ ØÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Á ØØ Ú Ò ØØ Ò Ñ ØÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Òº Î ÒØ Ö ÓÑ Ø Ö ØØ N ÑØÒ Ò Ö Ú y(k) Ó ϕ(k) ÒÒ Ø ÐÐ Ò Ð Î Ò Ö Ú ØØ ÓÑÔ Ø ÓÑ Y = Φ = y(1) º y(n) ϕ T (1) º ϕ T (N) ÅÓ ÐÐÙØ Ò Ð Ò ÔÖ Ø ÓÒ Òµ ÖÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ö ŷ(k) = ϕ(k) T θ, k = 1,...,N Ŷ = Ŷ = Φθ ŷ(1) º ŷ(n) ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò º µ Ò ÒÙ Ö Ú ÓÑ Ø θ ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ö V (θ) Ú V (θ) = (Y Φθ) T (Y Φθ) N ˆθ = [ ϕ(k)ϕ T (k)] 1 ϕ(k)y(k)) = [Φ T Φ] 1 Φ T Y º µ Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ö Ú ϕ(k)ϕ T (k) = [ϕ(1)...ϕ(n)] ϕ T (1) º ϕ T (N) = Φ T Φ Ó ϕ(k)y(k)) = [ϕ(1)...ϕ(n)] y(1) º y(n) = Φ T Y
10 ÃÓÑÑ ÒØ Ö º º Å Ò Ø Ú Ö ØÐ Ò Ò Ò Å ØÐ Ò Ò ÐØ Ö Ò ÒÓÑ ØØ Ð Ö ¹ Ø Ñ ØÖ Ò Φ Ò Ú Ö Ð Ø Ü Ñ Ò ÑÒ Ø È Ô Ö Y µº Å Ò Ø Ú Ö Ø¹ Ð Ò Ò Ò Å ØÐ Ú Ø Ø Ø È Á ÔÔ Ò Ü Ô Ò Ð µ ØØ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ú Ú Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ¹ ØÓ Ò Ö Ø Ô Ñ ØÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò ÓÚ Òº ØØ Ü ÑÔ Ð Ø Ò Ð Ø Ü ÑÔÐ Ø Ô Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö ŷ(k) = m Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ñ ÐÚÖ Øµ ØØ º Á ØØ ÐÐ ϕ(k) = 1 Ó θ = m º µµº Î ÒØ Ö ØØ N ÑØÒ Ò Ö Ú ÙØ Ò Ð Ò y(1), y(2)... y(n) ÒÒ º Å Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò Ú N N ˆθ = [ ϕ(k)ϕ T (k)] 1 ϕ(k)y(k) = [ 1] 1 1 y(k) = 1 N ÓÑ ÑÓØ Ú Ö Ö Ø Ö ØÑ Ø Ñ ÐÚÖ Ø Ú ÑØÒ Ò ÖÒ º y(k) º Ò ÐÝ Î Ö ÒÙ ØØ ÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ò ØØ Ñ Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Òº Ò Ú Ø Ö Ö Ú Ð Ò ÒÓ Ö ÒÒ Ø ØØ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ ÖÒ Öº Ö ØØ ÙÒÒ Ú Ö Ø Ñ Ø Ú Ö ÒØ Ò ÓÑ ÙÖ Ø Ú Ö Ð Ý Ø Ñ Ø ÓÑ Ú Ö y(k) ÖÒµ Ö Ùغ Á Ò Ò ÐÝ ÓÑ Ö Ò ¹ Ò Ò Ð Ö Ú Ö ÐÐ Ø ØØ Ö Ö ÓÒ Ú ØÓÖÒ ÒØ Ò Ò ØÖ Ú Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ü Ø Ò ÓÑ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÑÓ Ðе ÐÐ Ö ÚÖ Ò Ô Ò Ò Ð Ò u(k)º Ø ØÝÔ Ü ÑÔÐ Ø Ö Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ö ÁʹÑÓ ÐÐ Òº ÆÓØ Ö ØØ Ò ÐÝ Ò Ò Ò ÒØ ÐÐ Ö Ö Ê ¹ ÐÐ Ö Ê¹ÑÓ ÐÐ Öº º º½ Î ÒØ Ö Ð Ò ËÝ Ø Ñ Ó ÖÙ ÒØ Ò ÒØ Ò ½º Ø ÓÑÑ Ö ÖÒ ØØ ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ø Ú y(k) = ϕ T (k)θ o + e(k) k = 1,..., N º µ ½¼
11 Ö e(k) Ö Ò ÓÑØ Ö Ø ÖÒ Ò Ò Òµº Á Ñ ØÖ ÓÖÑ Ö Ú Y = Φθ o + e º µ Ñ e = [e(1)...e(n)] T º ÒØ Ò ¾º ËØ ÖÒ Ò Ò ÖÙ Ø µ e(k) ÒØ Ú ØØ ½ Ñ Ú Ö Ò λº ÒØ Ò º Î ÒØ Ö ØØ E{ϕ(k)e(s)} = 0 Ö ÐÐ k Ó sº ØØ ØÝ Ö ØØ Ö Ö ÓÒ Ú ¹ ØÓÖÒ ÒØ Ö ÔÚ Ö Ú ÖÙ Ø ÖÑ Ò e(k)º ØØ ÒÒ Ö ØØ Ò ÐÝ Ò Ø Ü ÒØ ÐÐ Ö Ö Ê ¹ ÐÐ Ö Ê¹ÑÓ ÐÐ Öº Ë Ú Ò ÓÚ Òº ÒØ Ò Ø Ö Ò Ð Ö Ò ÐÝ Ò ØÝ Ð Øº ÇÑ ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ü ØØ E{Φ T Φe} = Φ T ΦE{e}. Ì ÓÖ Ñ ¾º ÒØ ØØ ½¹ Ö ÙÔÔ ÝÐÐ º ÐÐ Ö ½º Å Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò ˆθ Ö Ò Ñ ÐÚÖ Ö Ø ÙÒ µ ØØÒ Ò Ú θ o ºÚº º E{ˆθ} = θ o º ¾º Ç Ö Ø Ò ØØÒ Ò Ò Ò ÙØØÖÝ Ñ Ð Ò ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ P = cov ˆθ = E{(ˆθ E ˆθ)(ˆθ Eˆθ) T } = E{(ˆθ θ o )(ˆθ θ o ) T } = λ(φ T Φ) 1 º ÖÙ Ú Ö Ò Ò λ Ò ØØ Ñ ÐÚÖ Ö Ø Ø Ñ º µ ˆλ = 1 N n V (ˆθ) º½¼µ Ú º Ö n Ö ÒØ Ð Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ö n = dim θµ Ó N ÒØ Ð Ø Ø º ½º ÎÒØ ÚÖ Ö Ø Ø E{ˆθ} = E{[Φ T Φ] 1 Φ T Y } = E{[Φ T Φ] 1 Φ T Φθ o +e} = θ o +[Φ T Φ] 1 Φ T ΦE{e} = θ o ÆÓØ Ö ØØ ØÖ Ð Ø Òº ½ Î ØØ ÖÙ e(k) Ö Ò Ú Ò Ú ÐÙÑÔÑ Ú Ö Ð Ö ÓÑ Ö Ó ÓÖÖ Ð Ö Ö Ñ Ð¹ ÚÖ ÒÓÐÐ Ó Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ú Ö Ò º ÇÑ e(k) Ö Ú ØØ ÖÙ ÐÐ Ö Ð E{e(k)} = 0 E{e 2 (k)} = λ Ó E{e(k)e(j)} = 0 k Ó j Ö ÓÐ º ½½
12 ¾º ÍØØÖÝ Ø Ö ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Î ÒÓØ Ö Ö Ö Ø ØØ ˆθ = [Φ T Φ] 1 Φ T Y = [Φ T Φ] 1 Φ T (Φθ o + e) = [Φ T Φ] 1 Φ T Φθ o + [Φ T Φ] 1 Φ T e = θ o + [Φ T Φ] 1 Φ T e Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ˆθ θ o = [Φ T Φ] 1 Φ T eº Î Ö Ó ØØ E{ˆθ} = θ o º ÃÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Ò ÒÙ Ö Ò ÒÐ Ø covˆθ = E{(ˆθ θ o )(ˆθ θ o ) T } = E{[Φ T Φ] 1 Φ T e([φ T Φ] 1 Φ T e) T } = E{[Φ T Φ] 1 Φ T ee T Φ[Φ T Φ] 1 } ÒÓÑ ØØ ÙØÒÝØØ Ú Ö Ú Ö Ö Ò ÚÒØ ÚÖ Ø Ö E{ee T } = E{[e(1);...e(N)] T [e(1);...e(n)]}º Ø Ö ÓÑ ÖÙ Ø ÒØ Ú Ö Ú ØØ Ð Ö ÒÒ Ñ ØÖ Ò ÓÒ ÐÑ ØÖ Ö ÐÐ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ö ÚÖ Ø λº ÐÐØ Ö E{ee T } = λi Ö I Ø Ò Ö Ò Ø Ñ ØÖ Òº Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ¹ Ú covˆθ = [Φ T Φ] 1 Φ T λiφ[φ T Φ] 1 = λ[φ T Φ] 1 Φ T Φ[Φ T Φ] 1 = λ[φ T Φ] 1 º ÍØ Öº ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÆÓØ Ö ØØ ÒØ Ò ½ ÒÒ Ö ØØ Ø ÒÒ Ý Ø Ñ Ø Ó ÚÖ ÑÓ ÐÐ Ö ÑÑ ØÖÙ ØÙÖ ϕ(k) Ö Ò ÑÑ µº Ì ÐÐ Ü ÑÔ Ð ÓÑ ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò ÒØ Ö Ú ØØ Ø Ý Ø Ñ ÓÑ Ò Ö Ö Ø Ø Ö Ò Ó Ö Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò Ñ Ò Ñ Ò Ø Ú Ø ÖÑ Ú Ú ØØ ÖÙ µº Ë Ò Ð Ò e(k) Ò º µ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö ØÝÔ Ø ÑØ ÖÙ ÖÙ ÖÒ Ú Ö µ Ó» ÐÐ Ö ÖÙ ÖÒ Ý Ø Ñ Ø Ø Ü Ú ÓÑØ Ö Ø ÖÒ Ò Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ò Ðµ ÃÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò P Ò ØØ ÖÒ ÑØ Ø º ØØ Ò Ö Ñ ˆP = ˆλ(Φ T Φ) 1 Ö ˆλ ÖÒ º½¼µº Ë ØØÒ Ò Ò Ú P Ò ÒÚÒ ÙØØÖÝ Ò Ò Ò Ú Ð Ø Ö ÔÖ Ø Òµ ØØ ØÝ Ö ØØ Ú Ò ØØ Ô Ö Ñ Ø¹ Ö ÖÒ ØØ Ú Ð Ø Ø ÑØØ º Ö Ò ØØ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ ˆθ i i = 1, 2,... nµµ ÐÐ Ö ØØ varˆθ(i) = P(i, i)º Î Ö Ò Ð Ø Ö Ú Ö ØØ Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÐØ ÖÒ ÓÒ Ð ¹ Ð Ñ ÒØ Ò P º ½¾
13 ÇÑ ÖÙ Ø e Ö Ò Ù Ö ÐÒ Ò ÓÑÑ Ö Ú Ò ˆθ ØØ Ú Ö Ù ˆθ N(θ o, P) Ò ˆθ(i) θ o (i) P(i, i) N(0, 1) º º¾ Î Ò ÒÙ Ò ÐØ Ö Ò ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ Ñ Ú ÒÒÓÐ Ø ÓÒ¹ Ò Ò Úµ Ò Ö ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ØØÒ Ò Ò ÒÒ º ÂÑ Ö Ñ Ø Ø Ø ¹ ÙÖ Ò Ø Ö ØØ Ò Ö Ð Ö Ö ÙÐØ Ø Ø ÓÚ Ò Ö ÐÐ Ø ØØ ÖÙ Ø Ö Ö Ø ¹ Ú Øصº ÆÓ Ö ÒÒ Ø Ö Ò ØØ Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Áʹ ÑÓ ÐÐ ØÖ Ø Ð Ò ÑÓ ÐÐ ŷ(k) = bu(k) ÓÑ ÑÓØ Ú Ö Ö ϕ(k) = u(k) Ó θ = bº ÒØ Ð Ò Ø Ö ÙÔÔÑØØ y(1), u(1),... y(n), u(n)º Å Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò Ú ˆθ = [ N ϕ(k)ϕt (k)] 1 N ϕ(k)y(k) = [ N u2 (k)] 1 N u(k)y(k) = 1 N N u2 (k) u(k)y(k) ÇÑ ÒÙ Ú ÐÐ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Ö ÙÔÔ ÝÐÐ Ú Ö Ò Ò Ö ˆb = ˆθ Ú var(ˆb) = λ N u2 (k) Î Ö Ò Ð Ø Ñ Ò Ö ÓÑ ½º ÒØ Ð Ø Ø N Ö ÐÐ Ö ¾º ÁÒ Ò Ð Ò Ò Ö ÑÔÐ ØÙ µ Ö ÐÐ Ö º ÖÙ Ò ÚÒ λ Ñ Ò Öº Ú Ò Ö Ñ Ö ÓÑÔÐ Ü ÑÓ ÐÐ Ö ÔÚ Ö ØØÒ Ò Ò Ú Ð Ø Ú Ú ÓÚ Ò Ø Ò ØÓÖ Öº ½
14 º º ÝÑÔØÓØ ÒÓ Ö ÒÒ Ø Ö ÁʹÑÓ ÐÐ Ö Á Ú ÐÐ Ò Ö ÒØ Ð Ø Ø N ØÓÖغ ØØ Ö Ò Ð Ö Ó Ø Ò ÐÝ Ò ØØ ØÙ Ö ÐÐ Ø N º Î Ò Ö Ú ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾µ ÓÑ P = cov ˆθ = λ(φ T Φ) 1 = λ[ Ú Ð Ø Ö ϕ(k)ϕ T (k)] 1 = λ N [ 1 N ϕ(k)ϕ T (k)] 1 P λ N [R] 1 = λ N [E{ϕ(t)ϕT (t)}] 1 N º½½µ º½¾µ Ö Ò ÁÊ ÑÓ ÐÐ Ö ϕ(k) = (u(k) u(k 1)...u(k n)) T º Î Ö ØØ Ð Ñ ÒØ Ò R = E{ϕ(k)ϕ T (k)} ÓÑÑ Ö ØØ Ò ÐÐ ÓÐ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö E{u(k)u(k τ)}, τ = 1, 2,..., nº ÇÑ E{u(k)} = 0 Ú Ö Ö ØØ ÑÓØ ÓÚ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ¾ Ú u(k)º º Î Ð Ú ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ó ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò Ò ÑÝ Ø Ú Ø Ö Ú ÐÐ ØÝÔ Ú ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Ú Ð Ø Ú ÑÓ Ðй ØÖÙ ØÙÖ Ö Ö ÓÒ Ú ØÓÖµ Ó ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÑÓ ÐÐ Òµº ÀÖ Ú Ö Ò Ö ÓÖØ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö Ó ÐÑÒ Ø Ð Ö Ø ÐÐ ÓÑÑ Ò ÙÖ Öµº ÆÖ Ø ÐÐ Ö Ú Ð Ú ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ÒÒ ØÚ Ñ Ð Ø Ö ½º ÒÚÒ Ý Ð Ò Ø Ú ÙØÒÝØØ Ú ÒØÙ ÐÐ ÙÒ Ô ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö ØØ Ð ØÖ ÓÑ ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Òº ¾º ÈÖ Ú ÓÐ ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÚÐ Ò ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ÓÑ Ø Ò Ö Ú Ø Ø Øº Î Ú Ö Ó ØÑÑ ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò Ò n Ñ θº ÀÖ Ú Ø Ø Ø Ø Ø Ö ØØ ÖØ Ð Ø Ø Ö ÒÒ µ ÓÑ Ò Ö Ø Ñ ÙÒØ ÖÒ٠غ ÆÓØ Ö ØØ Ø ÒØ Ö Ò Ö ØØ Ö ØØ Ò ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ö ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ò º µº ØØ Ø Ö ÓÑ ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ö ÐÐ Ö Ú Ö ÐÐ ÒØ Öµ Ñ ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò º Æ Ò ØÚ Ü ÑÔ Ð Ô Ø Ø Ö ÓÑ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ØÑÑ ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò Ò ¾ Ö Ò Ø Ö Ø ØÓ Ø Ø Ø ÓÒÖ Ø Ø Ø Ò Ô Ö ÖÒ Ö ÒØ Ú Ö Ø Òµ ÔÖÓ w(k) Ñ Ñ ÐÚÖ Ew(k) = 0 ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú R w (τ) = E{w(k + τ)w(k)} τ = 0, 1, 2... ½
15 ½º ÍØÚÖ Ö ÓÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ö Ò ÒÝ Ø Ö ÓÑ ÒØ ÒÚÒØ Ö Ð Ö Ö Ò º ÎÐ Ò ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ò Ò ØÙÖÐ ØÚ Ó Ø Ø ÑÓ¹ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Öµ ÓÑ Ö Ø Ð Ø ÔÖ Ø ÓÒ Ð Ø Ô Ø Ö Ø ¹ Ø Øº ÒÒ Ñ ØÓ ÐÐ Ö ÓÖ Ú Ð Ö Ò Ó Ö Ò ÑÝ Ø Ú ÒÐ Ó Ø ÐÐØ Ð Ò Ñ ØÓ º Ò Ò Ò Ð Ò Ö ØØ Ú Ñ Ø Ö ÖÚ Ö Ò Ð Ú Ø Ø Ø Ö ÑÓ ÐÐ Ñ Ö Ð Ò Ó ÖÑ Ò Ú ÒØ ÒÚÒ ÐÐ Ø ÐÐ Ò Ð Ø Ö Ð Ö Ö Ò Òº ¾º ÒÚÒ ØØ Ö Ø Ö ÙÑ ÓÑ ØÖ Ö ÒØ Ð Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÑÓ ÐÐ Òº ØØ Øݹ Ô Ø Ö Ø Ö ÙÑ Ò ÙØ ÓÑ (1 + 2n N N ) ɛ(k) 2 Å Ò Ö Ö ØØ ØØ Ò ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò n ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ö Ö Ø Ö Øº Ú ÐÙØÒ Ò Ú Ú ÐÐ Ú ÒÑÒ ØØ ÑÔ Ö Ø ÑÓ ÐÐ Ý ØÓÖ Ð Ö Ö Ò Ø Ö Ø Ú ÔÖÓ Ö Ò Ó ÔÖÓ Ö ÑÚ Ö ÓÑ Ø Ö ÐÐ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ò Ö Ú Ø Øº Ò Ú Ñ Ø ÔÖ ÔÖÓ Ö ÑÔ Ø Ò Ö ËÝ Ø Ñ Á ÒØ Ø ÓÒ ÌÓÓÐ ÓÜ ËÁÌ µ ÓÑ ÒÚÒ Ø ÐÐ ÑÑ Ò Ñ Å ØÐ º ÈÖÓ Ö ÑÔ Ø Ø ØÖ Ú Ò ÑÐ Ò Ñ Ñ¹ Ð Ö ÓÔÔÐ Ø Ø ÐÐ ØØ Ö Ø ÒÚÒ Ö ÖÒ Ò Øغ º ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ö ØØ Ô Ø Ð Ö ØØ Ò Ú Ö Ø Ú Ò Ö ÓÐ Ñ ØÓ Ö Ö ØØ ØØ ÝÒ ¹ Ñ Ý Ø Ñ ÖÒ ÑØ Ø Ø Ö Ú Ò ÑÓ ÐÐ Ò µº Î Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ò ¹ Ö Ú ÒÐ ¹Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ØÓ Ö ÑØ Ñ Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ú Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ØÓ µº Î Ö Ú Ò ÓÖØ ÙØ Ö Ø Ø Ú Ø Ö Ò ØØ ØØ Ò ØÖÓÚÖ ÑÓ ÐÐ ÑÓ ÐÐÚ Ð Ö Ò µº Ò Ñ ØÓ ÓÑ ÔÖ ÒØ Ö Ø Ö Ö Ò Ò Ð Ò ÑÝ Ø ÓÑ ØØ Ò Ñ ØÓ Ó Ò ÐÝ ÓÑ ÒÒ ÒÓÑ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ý Ø Ñ ÒØ Ö Ò µº ½
16 ÈÈ Æ Á º ËÓÑ Ñ ØÖ Ü Ð Ö Ò ÔÖÓÓ Ó Ø Ð Ø ÕÙ Ö Ø Ñ Ø Ï Ö Ø Ú ÓÑ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÙÐØ ÖÓÑ Ñ ØÖ Ü Ð Ö Ö ÙÑÑ Ö º ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü P Ø ÓÐ Ø Ø P = P T (AB) T = B T A T ËÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ñ ØÖ Ü È ÓÑÑÓÒÐÝ ÛÖ ØØ Ò P > 0µ x T Px > 0 ÓÖ ÐÐ x > 0º ÐÐ ÒÚ ÐÙ Ó È Ð Ö Ö Ø Ò Þ ÖÓº det P > 0 Ö ÒØ Ø ÓÒ Ð Ø u ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖ Ø Ò d du ut Pu = 2u T P if P symmetric d du zt Bu = z T B z = vector, B = matrix d du ut Bz = z T B T Æ ÜØ Û Ú Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÖÓÓ Ó Ø Ð Ø ÕÙ Ö Ø Ñ Ø Ù Ò Ø Ñ ØÖ Ü ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒº Ì ÐÓ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ý Ö ÛÖ ØØ Ò V (θ) = (Y Φθ) T (Y Φθ) = Y T Y Y T Φθ θ T Φ T Y + θ T Φ T Φθ Ý ÔÔÐÝ Ò ÖÙÐ ÓÖ Ö ÒØ Ø ÓÒ Ó Ñ ØÖ ÓÚ µ Ø Ö ÒØ Ò ÛÖ ØØ Ò dv (θ) dθ = Y T Φ Y T Φ + 2θ T Φ T Φ = 2(θ T Φ T Φ Y T Φ) Ý ØØ Ò Ø ØÖ Ò ÔÓ Ó Ø Ö ÒØ ØÓ Þ ÖÓ dv (θ) dθ T = 0 Ø Ò Ø Ø Ø Ð Ø ÕÙ Ö Ø Ñ Ø Ú Ò Ý ˆθ = [Φ T Φ] 1 Φ T Y ½
17 ÈÈ Æ Á º Æ Ö ÖÙÒ Ð Ò Ø Ø Ø Ö ÔÔ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö ÐÒ ºÚºµ X Ò Ö ÒÐ Ø F X (x) = P(X x) Ú ÒÒÓÐ Ø Ò ØØ Ò ºÚº X Ö Ñ Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ð Ñ Ø Ð Ø xº ÌØ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f X (x) = Ö Ú Ø Ò Ú Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Òº Î Ö ØØ P(a < X b) = b a f X (k)dt ÆÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò X N(m, λ) Ö ØØ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò f X (x) = 1 2πλ e (x m)2 /(2λ) Ö m =Ñ ÐÚÖ Ø Ó λ =Ú Ö Ò Òº ÇÑ f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) Ö ºÚº X Ó Y Ó ÖÓ Ò º ÎÒØ ÚÖ Ñ ÐÚÖ µ m = E{X} = xf X(x)dxº E Ö Ò Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ E{aX + b} = ae{x} + bº Î Ö Ò V (X) = E{(X m) 2 к Î Ö V (X) = E{X 2 } (E{X}) 2 V (ax + b) = a 2 V (X) ÃÓÚ Ö Ò ÓÚ(X, Y ) = E{(X m X )(Y m Y )}º ÇÑ ÓÚ(X, Y ) = 0 Ö X Ó Y Ó ÓÖÖ Ð Ö º ÆÓØ Ö ØØ Ó Ö Ó Ò Ñ ¹ Ö Ó ÓÖÖ Ð Ö Ñ Ò ÒØ ØÚÖØÓѵº ËØ Ò Ö ÚÚ Ð Ö Ú Ö ØÖÓØ Ò Ú Ú Ö Ò Òº ½
18 ÈÈ Æ Á º Æ ÓØ ÓÑ Ô Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ö ÔÙÒ Ø Øع Ò Ò µ ÇÑ X 1,...X N Ö Ó ÖÓ Ò Ó ÒÓÖÑ Ð Ö Ð ºÚº N(m, λ) Ö Ð¹ Ò ØØÒ Ò Ú Ñ ÐÚÖ Ø ˆm = 1 N i=1 X i ÒÓÖÑ Ð Ö Ð Ó ÚÒØ ÚÖ Ö Ø Ú E{ ˆm} = mº Ë ØØÒ Ò Ò Ú Ö ¹ Ò Ú V ( ˆm) = λ N º ÄØ ˆθ(N) Ú Ö Ò ØØÒ Ò Ú Ò Ó Ò Ô Ö Ñ Ø ÖÒ θ o Ú Ø N ØÝ Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Öº Ð Ò Ò Ø ÓÒ Ö Ö ÒØÖ Ð Ë ØØÒ Ò Ò Ú E{ˆθ(N)} θ o Ë ØØÒ Ò Ò Ú Ö Ò v = E{(ˆθ(N) E{ˆθ(N)}) 2 } Å Ð Ú Ö Ø Ð Ø ÅË = v + (E{ˆθ(N)}) 2 ÝÑÔØÓØ ÚÒØ ÚÖ Ö Ø E{ˆθ(N)} θ o N º ÃÓÒ Ø Ò E{(ˆθ(N) θ o ) 2 } 0 N º Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ºÚº ÄØ X = [X 1, X 2,...,X n ] T Ú Ö Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ºÚº ÚÒØ ÚÖ Ø Ú m = E{X} = [EX 1, EX 2,...,EX n ] T º ÃÓÚ ¹ Ö ÒÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Ò Ö V (X) = E{(X m)(x m) T } Ú Ð Ø Ö Ò ÝÑÑ ØÖ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ Ò Ø n n Ñ ØÖ º ÇÑ Y = c + AX Ö E{Y } = c + AE{X} Ó V Y = AV (X)A T º Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð Ö Ð ºÚ Ö Ó ÒÓÖÑ Ð Ö Ð º Ò Ð ÅË ¹Å Ò ËÕÙ Ö ÖÖÓÖ ½
u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
Läs merÌ ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
Läs merÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
Läs merÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
Läs merÖ ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
Läs merÎ Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
Läs mers N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
Läs merÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
Läs merÖ Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
Läs mer2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
Läs merf(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
Läs merx 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
Läs merVerktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
Läs merFöreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
Läs merÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
Läs merÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
Läs merÖ ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
Läs merMultivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
Läs merÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
Läs merAnpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December
Läs mer0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
Läs merStapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
Läs merÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
Läs merËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
Läs merÖ Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
Läs mer¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
Läs merÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
Läs merÄ Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Läs mer1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
Läs merÐ ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
Läs mer¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
Läs merσ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
Läs merØ Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
Läs merDlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
Läs merÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
Läs merÐ ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
Läs merInförande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
Läs merImperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
Läs merÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
Läs merÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
Läs merÂ Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
Läs merTentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
Läs mer¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
Läs merÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
Läs mer1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
Läs mer( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
Läs merG(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö
Läs merÏ Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
Läs merÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
Läs merSjälvorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
Läs merË ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
Läs merÅ Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
Läs merx + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
Läs mer½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
Läs merFrån det imaginära till normala familjer
Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ
Läs merÅ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
Läs merÊ Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
Läs merVattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
Läs merÚ Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
Läs merB:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
Läs merØ Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
Läs merImperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
Läs merËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
Läs merarxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
Läs merËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
Läs merhuvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
Läs merÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
Läs merArticle available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
Läs mera = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
Läs merTmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons
Läs mer¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ
Läs merº º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
Läs merSvenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
Läs merÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë
Läs merErrata. by Afif Osseiran. August 17, 2006
Ú Ò ÒØ ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó¹ÐÓ Ø ² ØÖ ÙØ Á ÇËË ÁÊ Æ ÓØÓÖ Ð Ì ËØÓ ÓÐÑ ËÛ Ò ¾¼¼ ÌÊÁÌ ¹Á ̹ Ç˹¼ ¼¾ ÁËËÆ ½ ¹ ÁËÊÆ ÃÌÀ»ÊË̻ʹ¹¼»¼¾¹¹Ë ÃÌÀ Á Ì Ë ¹½ ¼ ËØÓ ÓÐÑ ËÏ Æ Ñ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ñ Ø ÐÐ ØÒ Ú ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
Läs merarxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008
Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ
Läs merPLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor
Läs merarxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007
Ð Ñ ÒØ Ó Ê Ó Ï Ú arxiv:0712.4029v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ö Ò ÓÖ Á ÑÓ À Ð ÂÙ ÅØØÐ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Å ÜÛ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Läs merVindkraft och försvarsintressen på Gotland
Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,
Läs merFrågetimmar inför skrivningarna i oktober
MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober
Läs merPREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS
TKK Dissertations 195 Espoo 2009 PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS Doctoral Dissertation Johnny-Stefan Lönnroth Helsinki University of Technology Faculty
Läs mer15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c
½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ
Läs mermarkera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart
PLANERING MATEMATIK - ÅK 8 Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Bråk och procent Kapitel : 2 Bråk och potenser Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE
Läs merTentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet
Läs merProgrammering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning.
Programmering med Java Programmering med Java Programspråket Java Källkodsexempel Källkod Java API-exempel In- och utmatning Grunderna Erik Forslin ÓÒ º Ø º Rum 1445, plan 4 på Nada 08-7909690 Game.java
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap
Läs mer=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merTentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Måndag 9 jan 212, kl 8.3-12.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics
Läs merERE 102 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE Reglerteknik D Tentamen 5--3 8.3.3 M Examinator: Bo Egardt, tel 37. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd
Läs merLaboration 2: Sannolikhetsteori och simulering
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT13 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här
Läs mer