Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
|
|
|
- Emil Sundqvist
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics
2 Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet Stockholm
3 Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ã Ò ØÙÔÔ Ø ¾¼½¾ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º Ùº»Ñ Ø Ø Ø ÒÔ Ò Ò Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ö Ò Ú ÐÐ Ö Ö Ò ÑÑ Ë Ö Ö Ò Ñ Ö ¾¼½¾ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Á ÒÒ ÙÔÔ Ø ØÙ Ö Ö Ú Ñ Ð Ø ÖÒ ØØ Ö Ú Ö ÙÐØ Ø Ø ÖÒ ÌÖÝ ¹À Ò Ú ÐÐ Ö Ö Ò Ñ ÐÔ Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º Ó¹ ÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÚÒ Ö ØØ Ö Ú ØØ ÖÓ Ò Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÐÐ Ö Ö Ú Ö Ð Ö ÖÙÒ ÖÒ Ö ØØ ÓÑÑ Ö Ú Ò ØØ Ö Ú ØØ Ö Ø º Î ÓÑÑ Ö ØØ ÙÒ Ö Ú Ð Ø ØÝÔ Ö ÓÑ ÐÑÔ Ö Ö ÒÒ ØÝÔ Ú ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ú Ð Ù Ø Ö Ò Ö ÓÑ Ñ Ø Ö Ô Ø º Ú ÐÙØÒ Ò Ú ÓÑÑ Ö Ú ØØ ÙØ Ò ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ö Ø ÒÔ Ò Ò Ø ÐÐ Ø Ó ÒÓÑ ÙÖ Ñ Ò Ñ ÐÔ Ú ÒÒ Ò ÑÙÐ Ö Ö Ñ ÒÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Öº Ö ÒÒ ØÝÔ Ú Ö Ö Ò Ú Ö Ø ØØ Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö ÐÑÔ Ö Ö Ö ÓÔÙÐ ÑÓ Ð¹ Ð Ö Ò ÑØ ØØ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ Ö Ú Ö ØØ ÖÓ Ò Ø Ú Ø Ø ÑÓ ÐÐ ÖÒ º ÈÓ Ø Ö Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø ½¼ ½ ËÚ Ö º ¹ÔÓ Ø Ó Ö Ö Òº ÑÑ Ñ ÐºÓѺ À Ò Ð Ö Å ÖØ Ò Ë Ð º
4 ØÖ Ø ÁÒ Ø Ö ÔÓÖØ Û Û ÐÐ ØÙ Ý Ø ÔÓ Ð Ø ØÓ Ö Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ò ÐÓÒ ÓÙ Ò ÙÖ Ò Û Ø ÓÔÙÐ Ù Ò Ø ÖÓÑ ÌÖÝ ¹À Ò ËÛ Ò ÙÖ Ò ÓÑÔ Òݺ ÓÔÙÐ Ò Ù ØÓ Ö Ô Ò Ò ØÛ Ò ØÛÓ ÓÖ ÑÓÖ Ú Ö Ð Ø Ó Û Û ÐÐ Ð Ó Ö Ò Ø Ö ÔÓÖغ Ï Û ÐÐ ÒÚ Ø Ø Û ØÝÔ Ó Ø Ø Ø Ù Ø Ð ÓÖ Ø ØÝÔ Ó ÑÓ Ð Ò Ò Û Ù ØÑ ÒØ Ò ØÓ ÓÒ ÓÒ Ø Ø º Ò ÐÐÝ Û Û ÐÐ ÓÓ ÓÒ ÓÔÙÐ ÑÓ Ð Ø Ø Ú Ø Ø Ø ØÓ Ø Ò Ö ÓÛ Ò Û Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò ÑÙÐ Ø ÖÓÑ Ø ÓÔÙÐ ÑÓ Ðº Ì Ö ÔÓÖØ Ù Ø Ø Ø ÓÖ Ø ØÝÔ Ó Ò ÙÖ Ò ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ô ÝÑ ÒØ Ø ÑÓ Ø Ù Ø Ð ÓÖ ÓÔÙÐ ÑÓ Ð Ò Ò Ø Ø ÙÑ Ð ÓÔÙÐ Ö Ø Ô Ò Ò Ø Ó Ø ÑÓ Ð Ø Ø º ¾
5 ÖÓÖ Ó Ø ØØ Ö Ò Ò ØÙÔÔ Ø Ô ½ Ô Ú ËØÓ ÓÐÑ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ñ Ö¹ Ø Ñ Ö Ö Ò ÓÐ Ø ÌÖÝ ¹À Ò ÓÑ Ð Ö Ø ÐÐ Ò Ã Ò Ø Ü Ñ Ò Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø º  ÙÐÐ Ú Ð Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø Ø ÐÐ Ä Ö ÃÐ Ò Ö ØÙ Ö Ô ÌÖÝ ¹À Ò ÑØ Ø ÐÐ Ñ Ò Ò Ð Ö Å ÖØ Ò Ë Ð Ö ÚÖ ÙÐÐ ÐÔ Ö ¹ ÚÒ Ò Ó Ö Ð ÓÑ ÒÝØØ Ð ØØ Ö ØÙÖ ÑÒ Øº
6 ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ¾ ÓÔÙÐ ¾º½ Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ò Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ ËÔ ÖÑ Ò³ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º¾ Ã Ò Ðг Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ØØ ÙÖÚ Ð Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ËÚ Ò ÖÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º º Ð ÝØÓÒ ÓÔÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º º Ð ¹Å йÀ Õ ÓÔÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º º Ö Ò ÓÔÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º ËÐÙÑÔ Ò Ö Ö Ò ÖÒ ØÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º ½½ ¾º È Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ì ÖÑ Ö Ó Ö Ð Ö Ò Ú Ø ½ º½ Ø ØÝÔ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ò ÐÝ Ú Ø ½ º½ Ö Ö Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì Ø Ú ÖÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÇÑÚ Ò Ð Ø ÐÐ Ð ÓÖÑ Ö ÐÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º ÒÔ Ò Ò Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ù ÓÒ ¾ ÔÔ Ò Ü ¼
7 ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÆÖ Ò ÐÙÑÔÚ Ö Ð Ö Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò Ø Ð Ò Ú Ö Ú Ø Ø ØØ Ö¹ Ø ÙÖ ÓÐ Ñ Ò ÓÒ ÖÒ Ö ÖÓ Ò Ú Ú Ö Ò Ö º ØØ Ö Ô ÐÐØ Ò ÚÒ Ø Ñ Ò Ò Ö ØØ ÑÙÐ Ö Ö Ñ ÒÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ô ØÓÖ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Öº ÇÑ Ú ØÒ Ö Ó ØØ Ø Ò Ð Ö ÓÑ Ò Ó ØÒ Ò Ó Ø Ø Ò ØÓØ Ð Ó ØÒ Ò Ð ÙÔÔ Ñ Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ú Ö Ñ ÒØ Ò ÓÑ Ò Ñ Ò ÓÒ Ú ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒº Ø ÐÐ Ö ÐÐØ ØØ ØÓØ Ð ÙÑÑ Ò Ö ÙÑÑ Ò Ú ÚÖ Ò ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒ Ö Ú Ö Ñ Ò¹ ÓÒº ÆÖ Ñ Ò Ö Ô Ó ØÒ Ö ÙÐÐ Ñ ÒØÙÔÔ ÐÒ Ò Ò ÙÒÒ Ú Ö Ö Ô Ú Ð Ò ØÝÔ Ó ØÒ Ò Ú Öº Ö Ò Ú ÐÐ Ö Ö Ò ÙÐÐ ¹ Ò ØÝÔ Ö ÙÒÒ Ú Ö Ú ØØ Ò Ö Ò Ø Ð Øº ÇÑ Ø ÒÒ ÓÖ ØØ ØÖÓ ØØ ØÝÔ Ö ÒØ Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ú Ö Ò Ö ÒÒ Ø Ö Ð Ö ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÓÒ ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ö Ú Ö ÖÓ Ò Øº Ö ØØ ÒÒ Ø ÐÚ Ð ÖØ Ö Ò Ò Ú ØØ Ñ Ò ØØ Ö Ø Ú Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ö ÙÒ Ö ÒÑÒ Ò Ò ÓÔÙÐ º Ò ÓÖ Ø ÐÐ ØØ Ñ Ò ÙÐÐ Ú Ð Ú Ö ÑÙÐ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ñ ÒÒ ÙÔÔ ÐÒ Ò ÙÐÐ ÙÒÒ Ú Ö ØØ Ñ Ò Ú ÐÐ Ø Ø Ø Ò Ú ÓÐ ØÖ Ò Ö ØØ Ø ÐÐ ØÝÔ ÖÒ º ØØ ÙÐÐ Ø ÐÐ Ü ÑÔ Ð ÙÒÒ Ö Ö ÓÑ ØØ Ö Ö Ò Ú ÐÐ ÓÖ Ò ÖÒ Ö Ö Ò ÓÒ Ú ØÝÔ Ó ÖÓ Ò Ò Ö ØÝÔ Ö Ó ØØ Ñ Ò Ö Ò ÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑ ÙÖ ØÓÖ ÔÚ Ö Ò ÙÐÐ Ú Ö ØØ Ø ÐÐ Ò ØÑ ÔÖÓ ÒØ Ø º ¾ ÓÔÙÐ ÇÖ Ø ÓÔÙÐ Ö ØØ Ð Ø Ò Ø Ú Ö ÓÑ ØÝ Ö ÐÒ ÐÐ Ö ÑÑ Ò ÒÝØÒ Ò º ØØ ÐÐ Ö Ú Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ö ÔÔ Ø Ø Ø Ø ÑÑ Ò Ò º ÁÒÓÑ Ø Ø Ø Ò ÒÚÒ ÓÔÙÐ Ö ØØ Ö Ú ÖÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÐÐ Ö Ö ÐÙÑÔÚ Ö Ð Öº ¾º½ Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ò Ò Ô Ö ØØ ØØ ØØ Ö Ú ÖÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÐÐ Ö Ö ÐÙÑÔÚ Ö Ð Ö Ô Ö ØØ ÙØØÖÝ Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ H ÒÐ Ø Ð Ò H(x 1,x 2,...,x n ) = P[X 1 x 1,X 2 x 2,...,X n x n ]. ÖÙØ ØØ ØØ ÐÙÑÔÚ Ö Ð ÖÒ X Ò ÖØ Ò ÒØ Ö ÐÐ Ø Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò H Ò Ö ÖÙÑÑ Ø R n º ÙÒ Ø ÓÒ Ò H Ö Ó ÒØ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ÐÙÑÔÚ Ö Ð ÖÒ ÖÓ Ò ÙØ Ò Ú Ò ÓÑ Ú Ö Ñ Ò ÓÒ Ò Ð Ö Ð¹ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ø ÒÒ Ö ØØ Ò Ó ÑÑ ÖÓ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò ÓÐ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö H ÓÑ Ò Ð Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ò Ö Ö Ð¹ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ø Ò Ú Ö Ú ÒØÖ ØØ ÐØ ÓÐ Ö ÖÓ Ò Ø ÖÒ Ò Ð Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ º ØØ Ø Ö ØÒ Ò ÑÓØ ØØ Ö ØØ ØÐÐ Ø
8 ØÖ Ø Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒ (F 1 (X 1 ),F 2 (X 2 ),...,F n (X n )) Ö F i Ö Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö X i º ÇÑ Ú ØØ Ö U i = F i (X i ) [1,n] Ó ÐØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò C Ú Ö Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö (U 1,U 2,...,U n ) ÐÐ Ö Ø ØØ Ö C(u 1,u 2,...,u n ) = P[U 1 u 1,U 2 u 2,...,U n u n ] = P[F 1 1 (U 1 ) F 1 1 (u 1 ),F 1 2 (U 2 ) F 1 2 (u 2 ),...,F 1 n (U n) F 1 n (u n)] = P[X 1 F 1 1 (u 1 ),X 2 F 1 2 (u 2 ),...,X n F 1 n (u n )], U i U(0,1) i [1,n]. ØØ Ö Ú Ò ÙÖ Ñ Ò Ò Ö Ö ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò C Ú Ð Ø Ò ÑÑ Ò¹ ØØ Ö C(u 1,u 2,...,u n ) = P[X 1 F 1 1 (u 1 ),X 2 F 1 2 (u 2 ),...,X n F 1 n (u n)], (X 1,X 2,...,X n ) = (F 1 1 (U 1 ),F 1 2 (U 2 ),...,F 1 n (U n)), U i U(0,1) i [1,n] Ó F i Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö X i ÑØ Fi 1 Ò ÒÚ ÖØ Ö Ö ÐÒ Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò i [1,n]º Ø ÒÒ Ö Ú Ò ØØ ÒØ Ð Ò ØÙÖÐ Ò Ô Ö Ó ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ö ÒÑÒ º Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÔÙÐ Ò Ö Ò Ö ÖÙÑÑ Ø [0,1] n Ó ÒØ Ö Ò ÖØ ÚÖ Ò ÒÓÑ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ¼ ½ º Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÔÙÐ Ò Ö Ò Ð ÓÖÑ Ñ Ö Ò Ð Ö ÐÒ Ò Ö ÑØÐ n Ñ Ò ÓÒ Öº ÓÔÙÐ Ò ÒØ Ö ÚÖ Ø ¼ ÓÑ Ò ÓØ Ú Ö ÙÑ ÒØ Ö ¼ Ú º C(u 1,u 2,...,u i 1,0,u i+1,u i+2,...,u n ) = 0º ÇÑ ØØ Ú Ö ÙÑ ÒØ Ò ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö u Ó ÚÖ Ö ÙÑ ÒØ Ö 1 ÒØ Ö ÓÔÙÐ Ò ÚÖ Ø u Ú Ø ØØ u [0,1] C(1,1,...,1,u,1,1,...,1) = uº n i=1 u i ÓÑÑ ÑØÐ ÐÙÑÔÚ Ö Ð Ö Ö Ó ÖÓ Ò º ÍØ Ò ØØ Ú Ø Ò ÓØ ÓÑ ÓÔÙÐ Ò Ò Ñ Ò Ò ÖØ Ñ ÐÔ Ú Ö ÙÑ ÒØ ØØ Ñ Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ú Ö Ø Ö Ñ Ð Ø ØØ ÓÔÙÐ Ò Ò ÒØ ÚÖ Òº Ø ÒÒ Ò Ø Ö ÙÖ Ñ Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ö ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ Ö Ö Ø Ô Ö Ø Ò Ú Å ÙÖ Ê Ò Ö Ø Ó Ï ÐÝ ÀÓ Ò ÒÒ Ø ÐÐ Ö Ø ÀÓ Ò ÓÔÙÐ ÖÒ Öº
9 Ò Ø ÓÒ Ö Ø¹ÀÓ Ò ÓÔÙÐ ÖÒ Ö Ö Ó ØÝ Ð ÓÔÙÐ C [0,1] n [0,1] Ó Ó ØÝ Ð (u 1,u 2,...,u n ) [0,1] n ÐÐ Ö Ö W(u 1,u 2,...,u n ) C(u 1,u 2,...,u n ) M(u 1,u 2,...,u n ), W(u 1,u 2,...,u n ) = max(1 n + n u i,0) i=1 M(u 1,u 2,...,u n ) = min(u 1,u 2,...,u n ). W ÐÐ Ö Ø ÀÓ Ò Ò Ö ÖÒ Ó M ÐÐ Ö Ø ÀÓ Ò ÚÖ ÖÒ º ¾º¾ Ê Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÆÖ Ñ Ò ÒÚÒ Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑØØ ÓÑ È Ö ÓÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑØ Ö Ñ Ò ÙÖ Ô Ö Ñ Ò Ò ÒÔ Ò ÖØ Ð Ò Ø ÐÐ ÖÓ Ò Øº Ø Ö ÒØ Ðй Ø ØØ ÐÑÔÐ Ø ÒØ Ò ØØ ÖÓ Ò Ø Ö Ð Ò Öغ ÒØ ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒ (X,Y ) Ö Y = exp X X Ó Y Ö ÐÐØ ÐØ ÖÓ Ò Ú Ú Ö Ò Ö ÑØ Ú Ø ØØ X Ö ØÓÖØ ÓÑÑ Ö Ú Ò Y Ú Ö ØÓÖØ Ó Ú Ú Ö º Ø Ö Ò ÚÖØ ØØ ÒÚÒ ØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑØØ ÓÑ Ò Ö Ö ØØ ÖÓ Ò ÒÓÑ ØØ Ö ØÙÖÒ Ö ÚÖ Ø 1º Ú Ø ØØ Ú Ö Ö Ò ØÚ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ Ö ÒØ È Ö ÓÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑØØ ÙÔÔ ÝÐÐ Ø Ö Ú Øº Ø Ò Ú ¹ Ö Ò Ö Ð ØØ ØÐÐ Ø ÑØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ØØ Ø ÐÐ Ö Ò Ò ËÔ ÖÑ Ò³ Ö Óµ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÒØ Ð Ø ÓÒÓÖ ÒØ Ó ÓÖ ÒØ Ô Ö Ã Ò Ðг Ø Ùµº ¾º¾º½ ËÔ ÖÑ Ò³ Ö Ó ØØ ÑØØ Ö ÑÝ Ø Ð Ø È Ö ÓÒ³ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ò Ö ÓÑ Ð Ö ÒØ ØØ Ú Ö n ÙØ ÐÐ Ú ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒ (X,Y ) Ó Ø Ò Ö Ñ (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n ) ÐÐ Ö ρ (X,Y ) = n i=1 (x i x)(y i y) n i=1 (x i x) 2 n i=1 (y i y) 2. Ë ÐÐÒ Ò Ö ØØ ËÔ ÖÑ Ò ØÐÐ Ø ÐØ Ö x i ÑØ y i Ø Ò Ö Ò Ò Ú Ùع ÐÐ Ò Ö X Ó Y Ô Ö Øº Ö Ò Ò Ò Ö ËÔ ÖÑ Ò ρ Ö ÒÐ Ø Ð Ò Ñ ½ºµ ËÓÖØ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ö X ÚÜ Ò ÓÖ Ò Ò Ó ÐØ x i Ø Ò ÓÖ Ò Ò ÒÙÑÖ Ø Ö x i Ú º Ö Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ñ Ø Ø ÚÖ Ø Ò Ø Ö Ò Òº
10 ¾ºµ ÇÑ Ò ÓØ ÚÖ ÒØ Ñ Ö Ò Ò Ò ÐØ x i Ø Ò Ñ Ð Ú ÓÖ ¹ Ò Ò ÒÙÑÑ Ö ÓÑ Ö Ø ÚÖ ÓÑ x i ÒØ Öº ºµ È ÑÑ ØØ Ö Y ºµ Ö ØØ x i Ñ x i ÑØ y i Ñ y i Ó Ö Ò ρ ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Òº ¾º¾º¾ Ã Ò Ðг Ø Ù Ö ØØ Ö Ò Ã Ò ÐÐ Ø Ù Ú Ö Ñ Ò Ú Ø ÒØ Ð Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ Ó ÓÖ ÒØ Ô Ö Ð Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ º ÄØ Ó ØÖ Ø Ô Ö Ø (x i,y i ) Ó (x j,y j ) Ö i j Ó ØØ Ö i Ó j ØØ x i < x j º ÇÑ y i < y j Ö Ô Ö Ø Ö ÓÒ ÓÖ ÒØ Ö y i > y j Ö Ô Ö Ø ÓÖ Òغ Ë ÙÐÐ Ø Ú Ö ØØ x i = x j ÐÐ Ö y i = y j Ö Ô Ö Ø Ú Ö Ò ÓÒ ÓÖ ÒØ ÐÐ Ö ÓÖ Òغ Ö Ø Ö Ö Ò Ã Ò Ðг Ø Ù ÒÐ Ø Ð Ò Ö n Ö ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø Ó¹ Ò Ö τ = #konkordanta par #diskordanta par ( n 2) ( n ) 2 ÒÑÒ Ö Ò Ö Ð Ö Ú ØØ ØØ Ö Ø ØÓØ Ð ÒØ Ð Ø Ô Öº ¾º ØØ ÙÖÚ Ð Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Î ÓÑÑ Ö Ò ÖØ ØÖ Ø ØØ ÙÖÚ Ð Ú Ñ Ö Ò ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ ÓÑ Ø ÐÐ Ö Ò Ö Ñ ÓÔÙÐ Ñ Ð Òº Ò Ö Ñ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ò Ö Ñ ÐÔ Ú Ò Ò Ö ØÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ φ Ò¹ Ð Ø Ð Ò C(u 1,u 2,...,u d ) = φ 1 [φ(u 1 ) + φ(u 2 ) φ(u d )] Ö φ 1 Ö ÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ φ ÑØ ØØ φ Ö Ò ØÖ Ø ÚÜ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ¼ ½ Ø ÐÐ ¼ º ÇÖ Ò Ø ÐÐ ÖÒ Ò Ò Ò ØØ Ò ÖØ Ò ÐÙ Ö Ò Ö Ñ ÓÔÙÐ ¹ Ñ Ð Ò Ö ØØ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ö Ö Ð Ø ÚØ Ò Ð ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÑØ ØØ Ú ÒÓÑ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÑÒ ØÝÔ Ö Ú ÖÓ Ò Òº ÁÒÓÑ Ò Ö Ñ ¹ ÓÔÙÐ Ñ Ð Ò ÓÑÑ Ö Ú ØØ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô Ð Ò ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö ÙÑ Ð Ð ÝØÓÒ Ð ¹Å йÀ Õ ÑØ Ö Ò º ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ö Ò ÙØØÖÝ ÒÐ Ø Ð Ò Ö θ Ö Ò Ó ØÑ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ ¾ ÑØ µº
11 ÙÑ Ð ÓÔÙÐ Ö θ ½ µ C Gu (u 1,u 2,θ) = exp( (( log(u 1 )) θ + ( log(u 2 )) θ ) 1/θ ) Ð ÝØÓÒ ÓÔÙÐ Ö θ ¼ µ Ð ¹Å йÀ Õ ÓÔÙÐ Ö θ ¹½ ½ C Cl (u 1,u 2,θ) = (u θ 1 + u θ 2 1) 1/θ C AMH (u 1,u 2,θ) = u 1 u 2 1 θ(1 u 1 )(1 u 2 ) Ö Ò ÓÔÙÐ Ö θ R \ß0Ð C Fr (u 1,u 2,θ) = 1 ( θ log 1 + (exp ( θu ) 1) 1)(exp ( θu 2 ) 1) exp ( θ) 1 Î ÒÙ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô ÙÖ ÓÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ö ÙØ ÑØ ÙÖ Ô¹ Ú Ö Ö ÓÐ Ú Ð Ú Ô Ö Ñ Ø ÖÒ θº ÁÒÒ Ò Ú Ö Ú Ó Ò Ò Ð Ö Ö Ð Ö Ò Ú ØØ Ö ÔÔ ÓÑ ÓÖØ ØØÒ Ò Ú ÓÑÑ Ö ØØ ÒÚÒ ÒÑÐ ¹ Ò Ú Ò ÖÓ Ò º Ò ÑÐ Ò Ú ÐÙÑÔ Ò Ö Ö ÔÐÓØØ Ö Ö ÑÓ ÐÐ Ö ÒÒ º ½º Ö ÓÒØÙÖÔÐÓØØ Ö ÑØ Ö ÐÒ Ò ÔÐÓØØ Ö Ö ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö¹ Ò ÒÚ Ø ÐÐ ÔÔ Ò Ü º 8¹9µº ¾º º½ ËÚ Ò ÖÓ Ò ÇÑ Ú Ö ØØ Ú Ò ÖÓ Ò ÒÒ Ö ØØ ØØ ÖÓ Ò Ø Ð Ö Ø Ö Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ö ÚÐ Ø Ó» ÐÐ Ö Ð º ØØ ÒØ ÖÓ Ò ÒÒ Ò ÒÓÑ ØØ U(0,1) d Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ð Ö Ñ Ö ØØØ Ò ÓØ»Ò Ö ÖÒ Ú ÖÙÑÑ Ø ÐÐ Ö ÒÐ Ø ÖÒ Ò Ò Ò Ö ÒÒ ÙÔÔ Ø ÝØ Òµº ØØ Ò Ú Ò ÙØØÖÝ Ñ ÐÔ Ú Ò Ñ Ö ÓÖÑ ÐÐ Ö ÚÒ Ò º ØÖ Ø Ò ØÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò C(u 1,u 2 ) Ö 1 2u + C(u,u) lim = λ U. u 1 1 u ÇÑ λ U Ü Ø Ö Ö Ö ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØØ ÚÖ Ú Ò ÖÓ Ò Ö λ U ¼ ½ Ñ Ò Ò Ø ÚÖ Ú Ò ÖÓ Ò Ö λ U ¼º È ØØ Ð Ò Ò ØØ Ò Ú Ò Ö Ø Ð Ö Ú Ò ÖÓ Ò Øº C(u, u) lim = λ L u 0 u
12 Gumbel theta = 2 Clayton theta = 3 y y x x AMH theta = 1 Frank theta = 6 y y x x ÙÖ ½ Ë ØØ ÖÔÐÓØ Ú ÐÙÑÔØ Ð Ò Ö Ö ÖÒ ÓÐ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ö Ú ÐØ ÚÖ Ô θ ÇÑ λ L Ü Ø Ö Ö Ö ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØØ Ò Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ö λ L ¼ ½ Ñ Ò Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ö λ L ¼º ¾º º¾ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ú Ð Ô Ö Ñ Ø ÖÚÖ Ø ØØ Ú Ò ÖÓ Ò Ò ÚÖ Ú Ò Ò ÙÐÐ Ú ÚÖ Ø Ô θ ÙÐÐ Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ñ Ò ¹ Ö ÔÖ Ò Ò Ò Ò Ö Ú Ò Ò ÑØ ÝØØ ÖÐ Ö Ñ Ò Ö ÔÖ Ò Ò Ò ÚÖ Ú Ò ÓÑ ØØ ÒØ Ö Ð ØÝ Ð Øº ÅÓØ ØØ Ø ÐÐ Ö Ú ØØ Ð ¹ Ö ÚÖ Ú θ Ú Ø ÐÐ Ö θ ½ Ò Ú Ö Ò Ð ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ C(u 1,u 2,1) = u 1 u 2 Ú º Ò ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÐÐ Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ó ÖÓ Ò º Æ ÓØ ÓÑ Ö Ó ÖÚ Ö Ö ÒÒ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö ØØ Ò ÖÚ Ö Ò ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÐÐ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ò Ø Ú Ò Ñ Ò Ö Ú Ö ÐÙØ Ý¹ ½¼
13 Ø Ø Ö Ø ØÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÐÐ Ø u 1 1 u 1º ¾º º Ð ÝØÓÒ ÓÔÙÐ ÒÒ ÓÔÙÐ Ö ÑÝ Ø Ð ÙÑ Ð ÓÔÙÐ Ñ ÐÐÒ Ò ØØ Ú Ò ÖÓ Ò¹ Ø Ð Ö Ò Ò Ö Ú Ò Òº È ÑÑ ØØ ÓÑ Ö ÙÑ Ð Ö ØØ Ø Ô Ö Ñ Ø ÖÚÖ ØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ð Ö ØØ Ö Ø Ö ÓÒ Ð Ò ÑØ ØØ ØØ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø ÖÚÖ Ö Ò ØÓÖ ÔÖ Ò Ò ÑØ ØØ Ó ÖÓ Ò Ñ ÐÐ Ò Ú Ö Ð ÖÒ ØØ ÖÒ ÚÖ º ÈÖ ÓÑ Ö ÙÑ Ð ÖÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú Ö Ö Ò Ò ¹ Ø Ú Ò ÖÚ Ö ØØ Ú Ö Ð ÝØ ÓÑ Ü ÑÔ Ð Ô Ö ÚÒ Ò Ò Ú ÙÑ Ðº ¾º º Ð ¹Å йÀ Õ ÓÔÙÐ Ö ÒÒ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÚÖØ ØØ Ñ ÐÔ Ú ÐÙÑÔ ÑÙÐ Ö Ò Ö Ò ÔÚ Ö Ò ÓÑ θ Öº Ø Ö Ú Ø Ú ÃÙÑ Ö [ ] ØØ θ = 1 ÒÒ ØØ Ò Ö Ú Ò ÖÓ Ò ÑØ ØØ Ú Ö Ò ÚÖ ÐÐ Ö Ò Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ò ÒÒ θ 1º θ = 0 Ö Ð Ö Ó ÖÓ Ò Ñ ÐÐ Ò Ú Ö Ð ÖÒ Ú Ð Ø ÐØØ Ò Ö Ø ÒÓÑ ØØ ØÖ Ø ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒº ÀÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÚÖ Ø ¹ Ø Ö Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ö θ ÖÚ Ø ØØ Ú Ø ØØ Ö ÒÖÑ Ö Ô ÓÒØÙÖÔÐÓØØ Ö Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô θº Á º ¾ Ò Ú ØØ ÓÒØÙÖ ÖÒ Ö θ ¼ ÑØ θ ¹¼ Ö Ø ÐÐ ÝÒ Ô ¹ ÐÚÒ Ø Ú Ö Ö ÐÐØ ÓÑ ØØ ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú Ò Ò Ö ÙÔÔ ÔÓ Ø Ú Ó Ò Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ó ÐÐ Ö ÒØ ØØ Ö θ ½ Ó θ ¹½º ØØ Ö ØØ Ú Ú Ò Ö ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ÖÚ ØØ Ú Ö ÐÙع ÝØ ÒÐ Ø Ö ÚÒ Ò ÓÚ Òº ¾º º Ö Ò ÓÔÙÐ ØÓ ÒÖÑ Ö θ Ö ¼ ÔÓ Ø Ú ÓÑ Ò Ø Ú Ø Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ñ Ö Ó Ñ Ö ÓÑ Ó ÖÓ Ò º Î Ø ÐÐ Ö ÔÓ Ø Ú θ Ö ØØ Ò ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑØ Ò Ø Ú θ Ò Ò Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ø Ö Ö ØÓ ÐÒ Ö Ú ØÒ θ Ö ÖÒ ÒÓÐк ¾º ËÐÙÑÔ Ò Ö Ö Ò ÖÒ ØÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ò ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ C(u,v) Ò Ú ÑÙÐ Ö Ö Ñ ÒÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ú ÓÑÑ Ö Ö ØØ ÒÓÑ Ò Ñ ØÓ ØØ Ö ØØ Ôº Ò Ö Ö ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒ Ù Ö U U(0,1)º ÒÓÑ ØØ Ö ØØ Ø ÚÖ Ø ÓÑ Ú Ö Ö u C(u,v) Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ½½
14 AMH theta=1 AMH theta= AMH theta= 0.5 AMH theta= ÙÖ ¾ Ð ¹Å йÀ Õ ÓÒØÙÖÔÐÓØ Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô θ ÓÑ Ò ÖØ ÖÓÖ Ú v Ú Ð Ò Ú ÒÑÒ Ö F u (v)º Î Ò Ö Ø Ö ÑÙÐ Ö Ö Ñ ØØ Ø ÐÐ ÚÖ ÖÒ U(0,1) ÐØ Ó ÐÐ ØØ ÚÖ Þº Î Ð Ö Ö Ø Ö ÙØ v ÒÓÑ ØØ ÐØ F u (v) = z v = Fu 1(z)º ÖÑ Ö Ú ØØ Ö Ñ Ò ÒÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ (u,v)º ¾º È Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ö Î Ú ÐÐ ÒÚÒ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÑ Ö Ø ÒÔ Ò Ò Ø ÐÐ Ø Ñ ØÓ Ò ÓÑ Ú ÓÑÑ Ö ØØ ÒÚÒ Ö ØØ Ö Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ º ÒÒ ØØÒ Ò Ú argsup θ Θ n ln (f c (u i,v i,θ)) i=1 ½¾
15 Ö Ò Ö ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ó f c (u,v,θ) = δ2 C(u,v,θ) δuδv Ì ÖÑ Ö Ó Ö Ð Ö Ò Ú Ø Ø ÓÑ Ú Ý Ö ØØ Ö Ø Ô Ö ÑØÐ ÔÓ Ø Ö ÙÒ Ö Ô Ö Ó Ò ½ Â Ò ¾¼¼¾ ¹ ½ Å ¾¼½¾ Ö ÌÖÝ ¹À Ò ³ Î ÐÐ Ö Ö Ò º Ö ØØ Ö Ø ØÝ Ð Ò Ú Ò ÔÓ Ø ÖÚ Ð Ø ÖÙÒ Ð Ò Ò ÓÖÑ ¹ Ø ÓÒ ÓÑ ÙÖ ÒØ Ö Ò Ò Ö ÓÖ Ö Ùغ ÆÖ Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ø ÐÐ Ð ÒÒ Ð Ò ÒÒ Ø ØÙÑ Ò¹ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò ØÙÑ Ø Ñ Ö Ó ØÒ Ö Ò ÒÒ Ó ØÒ ÓÑÑ Ö ÓÖØ ØØÒ Ò Ú ÒÑÒ Ø Ü Ø ÓÒ Òµ ÑØ Ò ØÝÔº Ì Ü Ø ÓÒ ¹ ÚÖ Ø Ò Ö Ø Ö ÖÒ Ö Ö Ò Ö Ø Ú Ö Ó Ø Ø Ö ÒÖÑ Ö ÙÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ò ÒÒ Ò Ñ Ò ÒÖ Ò ÐÙØ ÐØ Ó ØÒ Òº Î Ö Ò ÓÑ ÒÝØØ Ø Ñ Ø Ú Ø Ü Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ò ÒÝ ¹ Ö Ð Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÙÔÔ Ø Ö ÚÖ Òº Ë ÙÐÐ Ø Ú Ö ØØ Ò ØÖ Ú ØÚ ÐÐ Ö Ö ØÝÔ Ö Ø Ñ Ö Ö Ñ Ò ÙÖ ÑÝ Ø Ø Ü Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ú Ö ØÝÔ Ó ØÖ Ø Ö ÓÑ Ô Ö Ø ÔÓ Ø Öº Ö Ú Ö ÙØ ¹ Ø ÐÒ Ò Ú Ö ØØÒ Ò Ö Ò ÙÔÔ Ø Ö Ò Ú Ò ÚÖ Ò Ú Ð Ø Ú Ò ØØ Ò Ö Ö Ö ÒÝ ÔÓ Ø Öº Î Ò ÒÙ ØÖ Ø ØØ Ø ÚØ Ü ÑÔ Ð Ö ÖØÝ Ð Ò ÖÙÒØ ÙÖ Ö ØÖ ¹ Ö Ò Ò Ö ÒÐ Ø Ð Ò ÖÐÓÔÔ ½ºµ Ò Ö Ò ÙÔÔ ØÖ Ò Ö Ö Ú ÐÐ ½ Ò ¾¼½¾ Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò ¾¼ Ò ¾¼½¾ Ó Ø Ü Ø ÓÒ Ò ØØ Ø ÐÐ ¾ ¼¼¼ ¼¼¼ Öº ¾ºµ Ò ¾ Ò ¾¼½¾ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ú Ò ØØ Ñ Ò Ö Ð Ö Ú Ö Ö Ò Ø Ö Ò Ö ÒÒ Ò ÓÑ Ö Ø Ø Ú Ö Ò Ò Ó Ø Ü Ø ÓÒ Ò Ö ØØ ØØ Ø ÐÐ ½¼¼ ¼¼¼ Öº ØØ Ø Ú Ò Ú Ö Ö Ö Ò Ò ÓÑ Ö Ø Ò Ô Ò Ú ÐÐ Ö Ö Ò Ò ÙÔÔ ØÓ º ºµÍØ Ø ÐÒ Ò Ú ½ ¾¼¼ ¼¼¼ Ö Ö Ú ÐÐ Ò Ö Ö Ò Ò ÙÔÔ ØÓ Ö Ò ½ Ñ Ö ¾¼½¾º ºµÆÝØØ Ø Ñ Ø Ú Ø Ü Ø ÓÒ Ò Ö Ú ÐÐ Ò Ö Ö Ò Ò ÙÔÔ ØÓ Ö Ò ÔÖ Ð ¾¼½¾ Ø ÒÝ Ø Ñ Ø Ø Ö Ô ½ ¼¼¼ ¼¼¼ Öº ºµ Ø Ö Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ú ÐÐ Ò Ö Ö Ò Ò ÙÔÔ ØÓ Ñ ¾¼¼ ¼¼¼ Ö Ò ½ ÔÖ Ð ¾¼½¾ ºµÍØ Ø ÐÒ Ò Ú ¼¼¼ Ö Ö Ö ÒÒ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ½ ÔÖ Ð ¾¼½¾º ½
16 Ó ØÙÑ Ó º ØÙÑ Ø Ü Ø ÓÒ Ø ÐÒ Ò ØÝÔ ½ ¼½»¼½»½¾ ¾¼»¼½»½¾ ¾ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼ Ö Ò ¾ ¼½»¼½»½¾ ¾»¼½»½¾ ½¼¼ ¼¼¼ ¼ Ò Ú Ö ¼½»¼½»½¾ ½»¼»½¾ ¾ ¼¼¼ ¼¼¼ ½ ¾¼¼ ¼¼¼ Ö Ò ¼½»¼½»½¾ ¼»¼»½¾ ½ ¼¼¼ ¼¼¼ ½ ¾¼¼ ¼¼¼ Ö Ò ¼½»¼½»½¾ ½»¼»½¾ ½ ¼¼¼ ¼¼¼ ½ ¼¼¼ ¼¼¼ Ö Ò ¼½»¼½»½¾ ½»¼»½¾ ½¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Ò Ú Ö º½ Ø ØÝÔ Ö Ø ØÝÔ Ö ÓÑ Ú ÓÑÑ Ö ØØ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø ÑØ Ø Ö Ø Ô ØÙѺ ÓÑÑ Ö ØØ Ö Ú ØØ Ø ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ø ÑÒ Ò Ú Ö Ö Ö Ñ ÑÑ Ö Ó ÑÒ ÓÔ ÙÑÑ Ö º º½º½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ñ Ø Ö Ð Ø Ú Ö Ñ ÙÖ ØÓÖØ ÐÓÔÔ Ò ØÓØ Ð Ø Ü ¹ Ø ÓÒ Ò»ÙØ Ø ÐÒ Ò Ò Ó Ú ØØ ØÙÑ ÐÐ Ö Ö Ô Ö Ô Ö Ö Ø Ô ÓÐ ØÝÔ Öº Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò ÙÐÐ Ò Ö Ö Ð Ò ¾ Ø ÐÐ Ö ÖÓ¹ Ò Ô ÓÑ Ø Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ ÐÐ Ö ÙØ Ø ÐÒ Ò ÖÒ ÓÑ Ñ Ò Ö ÒØÖ Ö Ú T axation ØÙÑ Ö Ò Ò Ú Ö ¾¼»¼½»½¾ ¾ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼ ¾»¼½»½¾ ¼ ½¼¼ ¼¼¼ ¼»¼»½¾ ¹½ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼ U tbetalning ØÙÑ Ö Ò Ò Ú Ö ½»¼»½¾ ½ ¾¼¼ ¼¼¼ ¼ ½»¼»½¾ ¹¾¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ º½º¾ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ö Ø Ú Ò Ö ØÝÔ Ò Ö Ò ÖØ Ò Ò Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ô Ö ¹ ÑÓÑ ÒØ Ò ÐÙ Ö Ó ÙÑÑ Ö Ô ØÙѺ Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò ÙÐÐ Ò Ö Ö Ð Ò Ø T axation ØÙÑ Ö Ò Ò Ú Ö ¼½»¼½»½¾ ½ ¼¼¼ ¼¼¼ ½¼¼ ¼¼¼ U tbetalning ØÙÑ Ö Ò Ò Ú Ö ¼½»¼½»½¾ ½ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Æ ÓØ ÓÑ Ö ÒÑÒ ÓÑ ÒÒ Ø ØÝÔ Ö Ó Ö Ø Ò Ú ÚÖ Ò Ô ØÙÑ ÓÑ Ð Ö ÒÖ Ø Òº Ø Ò Ö ÒÒ Ò ÓÖ Ö ÔÔÓÖØ ¹ Ö Ò Ó Ö Ð Ö Ò Ø Ò Ö ÓÖÒ Ò Ú Ö ÐÒ Ú Ð Ø ÓÖ Ö ÒÒ Ó Ö Øº È ÌÖÝ ¹À Ò Ò Ö Ñ Ò ØØ Ø Ü Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖ ÖÒ Î ÐÐ ¹ Ö Ö Ò Ò Ò ØÖ Ø ÓÑ ØÓÖØ ØØ Ö ÙØÚ Ð ± Ú Ø ½
17 ÐÙØÐ ÚÖ Øµ ØÚ Ö Ø Ö ØÙÑ Øº Î ÓÑÑ Ö ØØ Ö Ø ØÖ ¹ Ø ÓÖ ÓÑ ÐØ Ö ÙØÚ Ð º Ø ÐÒ Ò ÖÒ Ú ÒÒ Ø ØÝÔ ÓÑÑ Ö ÒØ ØØ ÒÚÒ Ò Ø Ö Ø ÐÐÖ Ð Ø ÐÒ Ø ÓÑÑ Ö ØØ Ú Ö ÒØ Ñ Ø Ü Ø ÓÒ Ø º º¾ Ö Ö Ö Ò Ö Ö Ò Ò ÒØ Ð Ø Ö Ö Ó Ø ÖÒ Ö Ú Ö Ø Òº ØØ ÑØØ Ö ØØ ÑØ ÒÒ ÖÒ Ö Ò Ö Ö Ö Ò Ö Ö Ò Ö Ø ÒÓѹ Ò ØØÐ Ø ÒØ Ð Ö Ö ÙÒ Ö Ô Ø Öº ÇÑ Ò Ö Ö Ò Ø Ò ½ ÂÙÐ ¾¼½¼ ¹ ½ ¾¼½½ Ö ÒÒ ØØ Ö Ô ¼ Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ö ¾¼½¼ Ó ½ Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ö ¾¼½½º ÇÖ Ò Ø ÐÐ ØØ Ø ÒØ Ö Ü Ø Ö ¾¼½¼ ÖÓÖ Ô ØØ Ø Ö ¾¹ ÖÓ Ò Ô ÓØØÖ ÐÐ Ö µ Ö Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÐÚÖ Ø Ñ ÖØ Ñ Ö Ø ÐÚÖ Øº Ò ÐÝ Ú Ø º½ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÐÝ Ò Ý Ö Ô ØÓÖ Ø Ø Ú Ö ØØ Ù Ø Ö Ñ Ò ¹ Ø ÓÒ Ö ØØ ÒÙÚÖ Ø Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ º Î ÒØ Ö Ò ¾± ÖÐ Ò Ø ÓÒ Ó Ù Ø Ö Ö Ø ÐÐ Ò Ø ÓÒ Ò ÚÒ Ö Ò Ò Ø ÒØÖ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ö ÑØÐ Ø Øº ØØ Ñ Ö ØØ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ø Ø Ù Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ú ½ Å ¾¼½¾ Ó Ø Ö Ø Ô ØÙÑ ½ Å ¾¼½¼º Î Ñ Ø Ú Ò ÚÐ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð Ø Ô Ö Ó Ö Ú Ò Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ø Úغ Æ ÓØ ÓÑ ÔÚ Ö Ö Ø ÑÝ Ø ÙØ Ú Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÖÒ Ö Ò Ö Ú ÒØ Ð Ø Ö Ö º Ë ÙÐÐ Ú ÙÒ Ö Ò ÓÒ Ø Ô Ö Ó ÚÐ Ø ÑÒ Ö¹ Ö ÙÐÐ ØØ ØÖÓÐ ØÚ Ñ Ö ØØ ÒØ Ð Ø ÓÖ ÒØÖ Ò ÙÒ Ö Ò Ô Ö Ó Ò Ó Ú Ð Ø Ò ØÙÖ ÔÚ Ö Ö ÙÑÑ Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÑØ Ø ÐÒ Ò Öº Á º ÐÐÙ ØÖ Ö Ú Ö ÑÒ Ö Ø ÐÐ Ö Ô Ø Ú Ö Ö º ËÓÑ Ú Ò º Ö Ø Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ö Ø Ø Ö Ò Ú Ô Ö Ó Ò Ø Ö Â Ò ¾¼¼ Ö ÜÔÓÒ Ö Ò Ò Ö Ð Ø ÚØ Ø Ðº ÇÖ Ò Ø ÐÐ ÒÒ Ö Ø Ò Ò ÖÓÖ Ô Ò Ö Ò Ø Ú Ø Ý Ø Ñ ÓÑ Ø ÓÑÑ Ö ÖÒ Ö Ö Ò ÖÒ Ö Ù ÚØ Ú Ö ÖØ Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Ø Ó Ñ ÐÔ Ú ÒÒ ÔÐÓØØ Ò Ú Ö ÑÐ Ò ÒØ ØØ Ú Ò ÒÚÒ Ø ÖÒ ØÙÑ Ø ½ Â Ò ¾¼¼ ØØ Ø ÐÐ ÜÔÓÒ Ö Ò Òº ÜÔÓÒ Ö Ò Ø Ú Ö Ú Ò Ý Ø Ñ Ø ÓÔÔ ÑÒ Ö ÑÒ ØØ ÖÓÖ Ô ØØ ÒØ Ð Ö Ð Ö Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÒ ÖÒ º Ö ØØ Ö ØÐÐ ØØ Ø ÓÑ Ú ÒÚÒ Ö ÒØ Ö ÐÐØ Ö ÔÚ Ö Ø Ú ØÖ Ò Ö Ø Ò ÙØ Ú Ö Ò ÒØ Ò ÖÐ Ò Ø ÓÒ Ò Ô ¾± ÔÐÓØØ Ö Ú ½
18 ÙÖ ÜÔÓÒ Ö Ò Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ø Ø Ó Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ú Ð Ø Ø Ö ÒÒ ÔÔ Ò Ü º 10¹15µ Ö ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ñ Ò Ö ¹ Ö ØØ Ò ØÝ Ð Ö Ð Ú Ø ØÖÙ ØÙÖ Òº Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò ÖÒ Ò Ú ØØ Ð ÖØ ØÖ Ò ÖÓØØ Ö ¹ Î ØØ Ò Ó Ö Ò ÐÙØ Ø Ú ÔÖ Ð ¾¼¼ Ö Ø Ö Ö Ø ÖÖ ØÙÑ Ö Ó ØÒ Ò Ö ¼ ÑØ ØØ ØÙÑ Ö Ó ØÒ Ò Ú Ö Ø Ö ¼ Ò Ö ÐÐØ Ö Ð Ö Ò Ö ØÙÑ ÒÒ Òº Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ú ÒØ ØØ Ð ØÝ Ð Ø ØÖ Ò ÖÓØغ Æ ÓØ ÓÑ Ú Ò Ö ØØ ØÙÑ Ö Ñ Ø ÐÐ ÐÙØ Ø Ú ÔÖ Ð Ö Ö Ð Ø ÚØ Ò Ø Ú Ó ØÒ Ö ÓÑ Ú Ñ Ö Ñ ØÙÑ Ø Ö Ø ÔÙÒ Ø Òº Ø Ø Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ú Ö Ö ØØ ØÖ Ò ÖÓØØ ÓÑ ÒØÖ Ö Ú Ö ¹ Ø Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ Ö Î ØØ Ò ÓÖ Ø ØÓÖ ØÖ Ò ÖÓØØ Ø ØØ ÙØ ÖÒ Ø Ö Ö Ò ÓÖ ÒØÖ Ö ÒÒ Ò º Ú Ø Ö Ó ÖÚ Ö ØØ ÜÔÓÒ Ö Ò ¹ Ò Ú Ö ÜØÖ ÑØ Ð Ö ØÙÑ ÒÒ Ò Ö ¾¼¼ ØÖ Ø Ö Ú Ø ÐÐ Ú Ö Ò ÖØ Ø ÖÒ Ó Ñ ¾¼¼ Ó Ö ÑØ ÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ø Úغ ØØ ÒØ Ò ÓÑ ÖÚ Ú ÒÚÒ Ò Ø Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ö ØØ ÑØÐ ¹ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ó ÖÓ Ò Ó Ð Ö Ð Ú ÒØ Ö Ö Ö ØØ ØØ ÐÐ Öº Ø ÒÒ Ó Ò Ú Ó Ö Ø ÒØ Ò Ø Ó Ø Ö Ú Ö Ð ØØ ÒØ ÐØ Ú Ð Ö Ú Ö Ø Ú Ö Ú ÖÖ ÔÖ ÒØ Ö º ÖÑ ÓÖØ Ö Ú Ò Ö Ô Ö Ó ÖÒ Ö ÓÐ Ø ØÝÔ ÖÒ ÝØØ ÖÐ Ö Ø ÐÐ ÐÖ Ô Ö Ó Ö ØØ Ñ Ö Ó ØØ Ò Ö Ú Ó Ö Ð Ö Ú ÖÖ ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ò Ú ÒØ Ö ØØ ½
19 Ò ÔÚ Ö Ò ØØ Ö Ö Ñ Ò Ñ Ðº Ô Ö Ó Ö ÓÑÑ Ö Ú ØØ ÓÖØ ØØÒ Ò Ú ÒÚÒ Ö Ð Ò Ø ¹ ØÝÔ Ö Ö Ú Ö ÒØ Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ô ¾± º¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö ½ ÂÙÒ ¾¼¼ ¹ ½ Å ¾¼½¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö ½ ÂÙÒ ¾¼¼ ¹ ½ Å ¾¼½¾ Ì Ü Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ô ØÙÑ ½ ÂÙÒ ¾¼¼ ¹ ½ Å ¾¼½¼ Ì Ø Ú ÖÓ Ò Î Ö ØÖ ØÝ Ò Ø ØÝÔ Ö ÓÑ Ú Ú ÐÐ Ø Ø Ô ØÚ ÓÐ Ò Ú Öº Ø Øݹ Ô ÖÒ Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ó Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ø Ô ØÙÑ Ó Ò Ú ÖÒ Ö ÑØ ÑÒ ØÓØ ÐØ ÙØ Ö Ü ØÝ Ò Ø Øº Ø Ø Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ú ÜØÖ ÑÓ ÖÚ ¹ Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ð Ñ Ò Ö Ó Ô Ö ÖÑ Ü ÒÝ Ø Øº ØØ Ö ÒÓÑ Ð Ò Ð Ñ Ò Ö Ò Ö Ö Ö Ö ÔÐÓØØ Ö Ú Ö ÑØÐ Ó ÖÚ ¹ Ø ÓÒ Ö ÒÚ Ø ÐÐ ÔÔ Ò Ü º 16¹21µº ØÝÔ\ ÖÒ Ä Ê Í Ê Ä Î Ì Í Î Ì Á Ø ¹½ ¼¼¼ ¼¼¼ ¾¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¹ ¹ Á Ø Ü ¹¾¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¾¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¹ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Ë ¹ ½¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¹ ¼¼¼ ¼¼¼ Á Ø ÑÒ ¹ ¼¼¼ ¼¼¼ ¹ ¹ ¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Á Ø Ü ÑÒ ¹ ¹ ¹ ¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Ë ÑÒ ¹ ¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¹ ¹ Á Ø ÐÐ Ò ÓÚ Ò Ò ÚÖ Í µ ÑØ Ò Ö Ä µ ÖÒ ÖÒ ÓÑ Ö ÒÚÒØ Ú Ð Ñ Ò Ö Ò º Ç ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ú ØØ Ò ÐÐ Ö Ö Ò Ð Ö ÙØ Ò Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ö Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ö º Á Ò Ò Ø Ò ØÚ Ø ÐÐ Ö Ò ÒØ ¹ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ú ÖØ Ø Ø Ö Ó Ø Ö Ð Ñ Ò Ö Ò ÒØ Ð Ø Ð Ñ Ò Ö ÑØ ÙÖ ØÓÖ Ò Ð Ú Ø ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ð Ñ Ò ¹ Ö Ø º Ø ØÝÔ Å ÍØ Ò Ò Ð \ ÒØ Ð ÜØÖºÓ º ÜØÖºÓ º РѺ РѺ ÁÒ Öº غ ¾ ¾ ¾ ¼ ¼ ± ÁÒ Öº Ø Üº ¾ ¾ ½¾ ¼ ± Ë Ø Ø Üº ¾ ¾ ¼ ½± ½
20 ÅÒ Ø ØÝÔ Å ÍØ Ò Ò Ð \ ÒØ Ð ÜØÖºÓ º ÜØÖºÓ º РѺ РѺ ÁÒ Öº غ ½¼ ½¼ ¾ ± ÁÒ Öº Ø Üº ½¼ ½¼ ½ ¼ ± Ë Ø Ø Üº ½ ± Î Ò Ö ØØ Ø Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ð Ñ Ò Ö Ø Ú Ò ÐÐØ ØÖÓ ØØ Ø Ø Ò Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ñ Ò Ö Ø Ö Ò Ö Ð Ú Ú Ö Ð Ø Òº Ë ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ¼½ ¼¼¼½ ¼ ¾¼ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ¾ ¼¼¼½ ¼ ¼¼¼½ Ë Ø Ì Üº ¼ ¼ ¼ ¼¼¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼¼ ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ð Ñ Ò Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¾ ¼¼¼½ Ë Ø Ì Üº ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼½½ ÅÒ Ë ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ¾½ ¼¼¼½ ¼ ½ ½ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¹¼ ½½½ ¾ ¼ ¾ ¼ ¹¼ ¼ ¼ ¾ Ë Ø Ì Üº ¹¼ ¼ ¼¼½ ¼ ½ ¹¼ ¼½ ¼ ¼ ¾ ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ð Ñ Ò Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ¾ ¼¼¼½ ¼ ½ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¹¼ ½¼ ¼ ¾ ¾ ¹¼ ¼ ¼ ¾ ¾ Ë Ø Ì Üº ¹¼ ¼ ¼ ¾ ¹¼ ¼ ¼ Î Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ñ ÒÓØ Ö ØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÒØ ÔÚ Ö ÑÝ Ø Ú ½
21 Ð Ñ Ò Ö Ò Ú ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö ØØ ÖÓÖ Ð Ô ØØ Ø Ö ÚÐ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ð Ñ Ò Ö Ø ÑØ ØØ Ú ÒÚÒ Ö Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº Íع Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ô Ö Ò ÖÒ ÙÐÐ Ò Ö ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÙÒÒ Ò ÚÐ Ø ØÓÖ ÔÚ Ö Ò Ô Ò ÙÔÔÑØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Òº Ø ÓÑ Ö ¹ Ö Ø Ô ØÙÑ Ö Ò ÚÐ Ø Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ú ØØ Ð Ñ Ò Ö Ò ÐÐ Ö ÑÒ Ò Úº Ø ÒÒ Ú Ò ÓÖ Ò Ö Ò ØØ Ø Ö Ð ØØ ÒÚÒ ØØ Ø Ø Ö ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º Î Ò Ú Ò Ó ÖÚ Ö ØØ Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ô Ò Ú Ö Ò Ò ÓÖÐÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ Ò Ø ÓÑ Ö ÙÔÔ ÙÑÑ Ö Ô ÑÒ Ò Ú Ö Ò Ø Úغ Ò ÓÖ Ø ÐÐ ØØ ÙÐÐ ÙÒÒ Ú Ö ØØ Ø ÒÒ ÑÒ ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ø Ú ÐÐ ØØ Ú Ö Ð ÖÒ Ú ØØ Ò Ó Ö Ò Ö ¼ Ö Ò ÓØ ØÙÑ Ú Ö ÐÐØ Ø Ø ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ ÔÚ Ö Ò Ô ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Òº Ø Ú Ö ØØ Ø ÒÒ ØØ Ø ÖÖ ÒØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÒØ Ö ÚÖ Ø ¼ Ö Ò ÓÒ Ú Ö Ð Ø Ø Ò Ô Ò Ú Ú Ø ÐÐ Ö Ø Ø Ò Ô ÑÒ Ò Ú Ü Ø Ö Ö Ò Ò Ú Ö Ð Ö Ø Ø Òº ÎÖØ ØØ ÒÓØ Ö Ö ØØ Ð Ö ÔÚ Ö¹ Ö ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ ÑÝ Ø ÙØ Ò Ð Ö Ú ØÖÓÐ ØÚ Ø ØÝ Ð Ø ÖÖ ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ Öº Æ Ò Ø ÙÐ Ö ÒØ Ð Ø ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÑØ ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ñ ¼ Ò ÓÒ Ú Ö Ð Ö ÓÐ Ø Ø Ò Ô Ò Ú Ò Ð ÖÒ Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ ÖÙÒ Ø Ø Øº Ø ØÝÔ ÆÓÐÐÓ Ò Ð ÒÓÐÐÓ ÆÓÐÐÓ Î Ö Ò Ð ÒÓÐÐÓ Î Ö ÁÒ Öº Ø Ü ¾ ± ½¼ ½ ½ ± ÁÒ Öº Ø ½ ¾ ¾± ½¼ ½ ± Ë Ø Ì Üº ¼ ¼± ½ ± ÙØ Ò ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ë ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¾ ¾ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¼ ¾½ ¼¼¼½ ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ð Ñ Ò Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ¼¼¼½ ¼ ¾ ¼ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¼ ¼ ¼¼¼½ ½
22 Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÙØ Ò ¼ Ò ÓÒ Ú Ö Ð Ë ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¾½ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ¼ ¼¼¼½ ¼ ¼ ¼¼¼½ Ë Ø Ì Üº ¼ ¼ ¾¾ ¼ ¼¼¾ ¼ ¼ ¾ ½ ¼ ¼¼¾¼ ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ð Ñ Ò Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ½ ½ ¼¼¼½ ¼ ¾½ ¼ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼¼½ ¼ ¼ ¾¼ ¼¼¼½ Ë Ø Ì Üº ¼ ¼ ¾¾ ¼ ¼¼¾ ¼ ¼ ¾ ½ ¼ ¼¼¾¼ Î Ò Ö ØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ñ Ò ¹ Ø Ñ Ö ÒØ Ú Ò Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò ÖÒ Ö Ñ Ò Ø Ñ Ò ÒØ ÐÐ Ð Ö º Ø Ò ÒÙ Ú Ö Ö ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ Ú ÒØ Ö Ò ÓØ ØÝ Ð Ø ÖÓ Ò ÓÑ ÒØ Ø ÙÔÔ Ñ ÐÔ Ú Ê Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ö ÓÑ Ú Ö ÓÖغ ØØ ÐÐ ÓÑ Ü ÑÔ ÐÚ ÙÐÐ ÙÒÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÒÖ ¼ Ö ÓÑ Ú ØØ Ò Ø Ö ÓÑ Ò Ò Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ ÑÓØ Ö Ò º Î ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ö ØØ ÒÓÑ ØØ ÔÐÓØØ ÙÔÔ Ø Ö Ð Ñ Ò Ö Ò Ö Ö ÓÖØ ØØ Ö ØØ Ò Ö Ð ÓÑ Ñ Ð Ø Ú Ö ÖÓ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò ÔÔ Ò Ü Ö Ò Ö Ñ ÒØ Ð¹ Ð Ø ÐÒ Ò Ö º 22¹25 Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö º 26¹29 Ó ØÒ Ö Ô Ö ØÙÑ º 30¹33µº Î ÓÑÑ Ö ÒÙ Ø ØÝÔ ØØ Ö Ø ØÝÔ ØÖ Ø Ö ÙÐØ Ø Ø ÑØ ÐÙع Ø Ö Ö Ò ÖÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ú ØØ Ò Ó Ö Ò ÓÖº Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Î Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÖÒ ØØ Ö ÙÐØ Ø Ø Ú Ø ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ó Ú Ø Ò Ø Ú Ô ÑÒ Ò Úº ÈÐÓØØ Ò Ú Ö Ò ÑÓØ Î ØØ Ò Ô Ò Ú Ö ÒØÖÝ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ò Ú Ú Ó Ö¹ Ú Ö Ö ÔÐÓØØ Ò Ú Ö Ú Ö Ð ÖÒ ÓÖ Ò Ò Ø Ð ØØ Ø Ú Ö Ö ÓÑ ØØ ØÖÙ ØÙÖ Ò ÓÑ Ú Ö Ø Ò ÖØ Ö Ò Ð Ú Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ú Ù ÐÐ Ö ÐÒ Ò ¹ Öº Î Ò Ø Ö ÓÒØÖÓÐÐ Ö ÚÐ ØØ ØÖÓ Ô Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÖ ¼º Î Ø ÐÐ Ö Ø Ô ÑÒ Ò Ú Ö Ú Ò Ò ØÝ Ð ØÖÙ ØÙÖ Ñ ÐÐ Ò Ú ØØ Ò Ó Ö Ò ÓÖÒ Ò ÓÒ Ú ÔÐÓØØ ÖÒ Ú Ö Ö Ú Ú Ò Ö ÚÐ Ö ØØ ØÖÓ Ô Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÖ ¼º Î Ò ÐÐØ ÒÙ Ø ÐÙØ Ø ØØ Ø ÒØ Ö Ú ØØ Ø ØØ Ö ÒÔ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ó Ú ØØ Ò Ú ÐÐ Ö ÑÒ Ò Úº ¾¼
23 ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Î ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÖÒ ØØ ÒÒ Ø ØÝÔ Ú Ò Ø ÓÒ Ö Ô Ò Ö Ð Ø ÚØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ô Ò Ú Ñ Ò ØØ Ò Ø ÐÐ ØÓÖ Ð ÖÓ Ô ÒÓÐÐÓ ÖÚ ¹ Ø ÓÒ ÖÒ º Ú ÔÐÓØØ Ö Ö Ò ÓÖ ÑÓØ Î ØØ Ò ÓÖ Ö Ú Ò ØÖÙ ØÙÖ ÒÒ Ú ÔÐÓØØ Ö Ö ÓÖ Ò Ò Ø Ð ØÐÐ Ø Ò Ú Ú Ò Ö ØØ Ø Ø Ò ØØ Ø Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ð Ö ÐÒ Ò Ö ÓÑ Ô Ö Ò ØÖÙ ØÙÖ Òº ÈÐÓØØ Ò Ú ÓÖ Ò Ò Ø Ð Ò Ö ØÖ Ö Ú Ò Ð Ò Ú ØØ ÒÓÐÐÓ ¹ ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ö ØÓÖ ØÝ Ð Ö Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Òº Î Ò Ò ÔÐÓØØ Ò ØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ò ÓÒ Ú Ö Ð Ö ¼ Ö Ò ØÓÖ ÔÚ Ö Ò ÑØ ØØ Ò Ð Ñ Ò Ö Ò Ú Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÖ ÒÓÐк Ú ÒØ Ò Ò ÓÒ ÓÖÑ Ú ÖÓ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ø ÖÙØÓÑ ØØ ÑÒ Ú Ö Ð Ö ÒØ Ö ÚÖ Ø ¼ Ú Ö Ö Ø ÒØ Ö ÑÐ Ø ØØ ÓÖØ ØØ ØØ ÒÚÒ ØØ Ø Ø Ô Ò Úº È ÑÒ Ò Ú Ò Ú ÒØ Ò ÓÒ ØÝ Ð ØÖÙ ØÙÖ Ú Ö Ò Ô ØØ ÖÔÐÓØØ ÖÒ Ú Ú Ö Ð ÖÒ ÐÐ Ö Ú Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ò Ö ØØ Ö Ó Ð Ò Ñ ØØ ÙÔÔÑØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ð Ö ÒÖ ¼º Î Ò Ö Ö Ö ØØ ØØ Ø Ø ÒØ ÐÐ Ö Ö ØØ ÒÚÒ Ô ÑÒ Ò Ú Ö Ö ÑØ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ö ÓÑ ØØ Ø Ø Ô Ò Ú Ö Ò Ú Ø ÖÓ Ò Ú Ö Ô ÔÐÓØØ Ò Ú Ö Ò ÑÓØ Î ØØ Òº ÆÖ Ú Ö Ô ÔÐÓØØ Ò Ú Ö Ò ÖÒ Ò Ú ØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ð Ö Ò ÓØ Ñ Ö ÒØ Ò Ú Ö Ø Ö Ò ÓÒ Ð Ò Ñ Ò Ö ÚÖ Ø ÚÐ Ø ÔÖ º Î Ö Ó Ó ÖÚ Ö Ø Ò ÙÔÔÑØØ ÓÖÖ ¹ Ð Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÒØ Ú Ò Ú Ü ÐÙ Ö ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ º Î Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ö ÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ñ ¼ Ò ÓÒ Ú Ö Ð ØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Ò Ø Ò ÓØ Ñ ÖØ Ñ Ò ÖØ ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø Ó¹ Ò ÖÒ Ú Ö Ð Ñ Ò Ö º Î Ø ÐÐ Ö Ø Ô ÑÒ Ò Ú Ö Ú Ò Ò ØÝ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÔÐÓØØ Ò Ú Ö Ò ÑÓØ Ú ØØ Ò ÓÑ ÒØ Ú Ö Ö ÖÓ Ô Ú ¹ Ö Ð ÖÒ Ò Ú Ù ÐÐ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÒ ÙÔÔ ØØÒ Ò Ö ØÖ ÒÖ Ú Ö Ô ÔÐÓØØ Ò Ú Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ò Ö Ú Ö Ö ØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ ÓÖÑ Ö Ò ÓÒ Ð ÓÑ ØÝ Ö Ô ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº ÒÒ ÙÔÔ ØØÒ Ò ØÖ Ú Ò Ñ Ö ÙÐØ Ø Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÖÒ º Ø Ô Ò Ú Ö Ú Ò Ð Ö Ú Ñ Ö Ð Ñ ØØ Ø Ô ÑÒ Ò Ú Ø Ö Ð Ö ÙÔÔÑØØ ÓÖ¹ Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ø Ø ÖÒ ÑØ Ò ÚÖ ÒØ ÖÐ Ö ÐÒ Ò ØØ ÑÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö ÒÓÐÐ Ö Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ú Ö Ð ÖÒ µº Å ÒÒ Ú Ø Ô ÓÑÑ Ö Ú ÒØ ØØ ÓÖØ ØØ ÒÚÒ Ø Ú ÒÒ Ø ØÝÔ Ô Ò Ú Ñ Ò Ö ÑÓØ Ô ÑÒ Ò Úº Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î Ö ØØ ØÝ Ø Ø ÐÙØ Ø ØØ Ò ÖØ Ö Ø Ñ Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò ÖÒ Ô ÑÒ Ò Ú Ö ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ñ Ò Ö Ø Ó Ù Ø Ö Ò Ö Ö ÓÖØ ÒÐ Ø º½ Ú ÓÑÑ Ö Ö Ö ÓÖØ ØØÒ Ò Ú Ò ÖØ ØØ ØÖ Ø ØØ Ø Øº ¾½
24 º ÇÑÚ Ò Ð Ø ÐÐ Ð ÓÖÑ Ö ÐÒ Ò Î Ú ÐÐ ÒÙ ÙÒ Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ú Ù ÐÐ Ö ÐÒ Ò ØØ Ò ÐÑÔÐ Ò Ö ÒÓÑ ØØ ØÓ Ö Ñ ÑØ ÒÓÖÑ ÐÔÐÓØØ Ö Ú Ö Ú Ö Ð ÔÔ Ò Ü º 34¹37µº Î Ò ÓÒ Ø Ø Ö ØØ ÚÖØ ÒØ Ò ÓÑ ÒÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ú Ò Ø ØØ Ø ÐÐ ÔÐÓØØ Öº Î Ò ÒÙ Ô Ð ÓÖÑ ¹ Ö ÐÒ Ò Ö Ú Ø ÒØ Ò Ø ÓÑ ÒÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò ÒÐ Ø Ð Ò ( ) U i,j = Φ 1 Xi,j µ j σ j Ö i Ø Ò Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒÙÑÖ Ø j ÓÖ Ò n ÒØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÑØ µ j Ö Ô Ô Ø Ú σ j ØØ ÒÐ Ø n X k,j µ j = σ j = n (X k,j µ j ) 2 n n 1 k=1 k=1 Î Ö ÐÐ Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ö ØØÒ Ò ÖÒ Ë Ó µ σ Ö Ò ¾ ½ Î ØØ Ò ½½ ¾ ¾ ØØ Ö ÙÐØ Ø Ò Ú ØØ Ò Ö Ð ÒÚÒ Ö ØØ ÓÑÚ Ò Ð Ö ÙÐØ Ø ÖÒ Ò Ð ÓÖÑ Ö ÐÒ Ò Ø ÐÐ Ò Ö ÐÒ Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÒØ Ø ØØ Ò Ú Ù ÐÐ Ú Ö Ð ÖÒ Ö ÓÖ Ò Ð Ø Ø Øº Ò Ú ÜØÖ ÓÒØÖÓÐÐ Ú Ö¹ ÐÒ Ò ÒØ Ò Ò Ò Ö º Ú Ù Ð Ö Ø ÒÝ Ø Ø Ø ØØ ØÓ Ö Ñº Î Ò ÓÑÔÐ ØØ Ö º Ñ Ð Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ú ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ë ØÝÔ\ÁÒØ ÖÚ ÐÐ ÒÖº ½ ¾ Î ØØ Ò ¾¼ ¾¾ ¾½ ¾¼ ¾¾ Ö Ò ¾¼ ¾ ¾ ½ ¾ ËÓÑ Ú Ò Ú Ö Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ú ØØ Ò ÐÐ Ø ÚÐ Ø ÑÒØ ØÓ¹ Ö ÑÑ Ø ÓÐ ÒØ ÖÚ Ðк Î Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ò Ú ØØ Ú Ö Ò Ò ØÓÖ ÚÚ Ð ÖÒ Ñ Ð ¾½µ Ø Ö ÒØ ÖÚ ÐРغ Ë ÒÒÓÐ Ø Ò ØØ ØØ ÙÐÐ ÒØÖ Ñ Ò Ø ØØ Ú ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ú Ø ØØ Ö ÐÒ Ò ÒØ ¹ Ò Ø Ö Ö Ò Ö ÓÖÖ Ø Ò Ñ ÐÔ Ú ÑÙÐ Ö Ò Ú ÒÒ Ö ØØ ¾¾
25 ÙÖ À ØÓ Ö Ñ Ö Î ØØ Ò ÑØ Ö Ò Ñ Ö Ò Ö ÒÒÓÐ Ø Ò Ö ØØ Ö ÖÝ Ø ¾ ±º ØØ ØÝ Ö Ô ØØ Ú Ò Ö ÐÒ Ò ¹ ÒØ Ò Ø Ú Ö ÓÖØ Ö Ö Ò Ö Ø Ô ÙØ ÐÐ Ø Ò ØÖ Ø ÓÑ ÙÐÐØ Ö ÑРغ Ø Ò ÒÒ Ò Ú Ó Ö Ø ÒØ Ò Ø ÖÙÒØ Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ð Ö ÐÒ Ò Ö Ô Ö Ú ÝØØ ÖÐ Ö ØØ Ø Ø Ñ ÐÔ Ú Ú Ö ¹ Ð ÖÒ Ò Ð Ô Ù Ó Ö ÐÒ Ò Öº ØØ Ø Ø Ô Ö Ú Ö ØØ Ò Ò Ð Ö ÙÖ ØÓÖ ÔÚ Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÒØ Ò Ø Ö Ò ÐÙØÐ Ò Ú Ð ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Òº Î Ö Ð ÖÒ Ô Ù Ó Ø Ø Ø Ò Ö Ö Ú Ô Ð Ò ØØ U i,j = Rank j(x i,j ) n + 1 Ö i Ø Ò Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒÙÑÖ Ø j ÓÖ Ò ÑØ n ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ ¹ Ø ÓÒ Öº Ç ÖÚ Ö ØØ ØØ Ø Ø ÒØ Ö Ò ÓÒ ÐÙÑÔ Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ð Ö ÐÒ Ò Ö ØØ Ò Ð Ö ÐÒ Ò ÖÒ Ò ÖØ ÖÓÖ Ô ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÒÒ ÐÙÑÔ Ö ÒÙ ØÐÐ Ø Ø ÐÐ ÖØ ÖÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ú Ö ¹ Ð ÖÒ º Î Ò ÐÐØ ÒØ ÖÚÒØ Ó ØØ Ü Ø ØØ ÖÓ Ò Ú Ò ÓÑ Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ú Ù ÐÐ Ö ÐÒ Ò Ö Ú Ö Ø Ò º º ÒÔ Ò Ò Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö ÒÔ Ò Ò Ú ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ÓÖØ Ñ ÐÔ Ú Ò Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÔÙÐ Ô Ø Ø Ö Rº Ö Ñ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö R ÒÚ Ø ÐÐ Ò Ó ÙÑ ÒØ Ø ÓÒ ÓÑ ÒÒ Ø ÐÐ Ò Ð [ ]º ÍØ Ú Ö Ø Ø Ú Ø Ó Ö¹ ¾
26 Ú Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú Ò Ø Ø Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ñ ÓÑÚÒ Ú Ò Ö Ú º Ø Ø ÒÔ Ò Ò Ò Ô (1 X BRA ),(1 X V AT )º ØØ Ú Ö Ö Ú Ú ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ö ÝÑÑ ØÖ Øº ܺ Ò ÑÓ ÐÐ Ò ØØ Ò Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ñ Ò ØØ ÚÖ º Î ÒÔ Ò Ò Ú Ó¹ ÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ø Ð Ò Ö ÙÐØ Ø R Ö ÄÄ Ý Ø Ö Ô ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ÓÔÙÐ θ ÄÄ θ Ö Ò ÄÄ Ö Ò ÓÖÖ Ú Ò ÙÑ Ð ½ ¼¾¾ ½¾ ½ ½ ¼¾ ½ ¼¼ Ð ÝØÓÒ ¼ ½ ½¾ ½ ½ ½ ¼ ½ ¾¾ ½ ½¾ ¾ ½ ÅÀ ¹ ¹ ¹ ¹ Ö Ò ¼ ½ ¼ º ½ ½ ¾ ÇÑÚÒ Ú Ò ÙÑ Ð ½ ¼ ¼ ½ ¼¼ ½ ¼½ ¾ ½ Ð ÝØÓÒ ¼ ¼ ½¼ ¼º ¼ ½½º¼¾½¾ ÅÀ ¹ ¹ ¹ ¹ Ö Ò ¼ ½ ¼ º ½ ½ ¾ Î Ò Ö ØØ Ú Ö ÅÀ Ö Ò ÓØ Ö ÙÐØ Ø Ö Ú Ö Ò Ø Ø Ø ÐÐ Ö Ö Ò ÖÒ Ú Ø Ø Øº ØØ ÖÓÖ Ô ØØ Ø ÒÒ ØØ Ò Ý Ø ÓÒØÖÓÐРݹ Ø Ñ Ò Ú Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ø Ñ ÚÖ Ò Ô Ã Ò ÐÐ Ø Ù ÙØ Ò Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [(5 8log2)/3,1/3] = [ ,0.3333] ÔØ Ö ØØ ÅÀ Ö Ø ÓÖ Ø Ø Ò Ö ÙØ Ò Ö ØØ ÒØ ÖÚ Ðк Î Ð Ö Ö Ö ØÚÙ Ò ØØ ÒØ ØØ ÅÀ ÒØ Ö Ò Ø ÒÔ Ò Ò Ò Ú ÓÚ Ò Ø Ø Ó¹ ÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ º Î Ö Ð Ò ÚÖ ØÖ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ØØ ÙÑ Ð Ö Ø Ø ÚÖ Ø Ô ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ Ú Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ó ÖÚ Ø Ó¹ Ò ÖÒ Ó Ö ÐÒ Ò ÒØ Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ º ÑØÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ö ÑÑ ÒØ Ð Ó Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ö ÚÖ Ò Ô ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ Ñ Ö Ö º Î Ò Ú Ò ØØ Ô Ö Ñ Ø ÖÚÖ Ò Ö Ö Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÓÑ Ö Ø Ö ÐÒ Ò ÒØ Ø Ø Ø Ú Ð Ø Ö Ö Ò ØÓÖ ÐÐÒ ØÝ Ö Ô ØØ Ð Ø Ø Ö ÐÒ Ò ÒØ Ò º ÙÑ Ð Ö ØØ ÚÖ Ú Ò ÖÓ Ò Ö Ú ÐÐ Ø Ö ÓÑÚÒ Ú Ò ØØ Ò Ö Ú Ò ¹ ÖÓ Ò º Î Ò º ØØ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ø Ð ÓÖÑ ÐÐ Ø Ð Ö Ñ Ö ÒØ Ò ÚØ ÒÖ ¼ ¼µ Ñ ÖØ Ñ ½ ½µ Ú Ð Ø Ö Ò Ö Ð Ö Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ö Ò ÑÓ ÐÐ Ñ ØØ Ð Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ø Ø ÚÖ Ø Ô ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ Òº Ø Ö Ó ÚÖØ ØØ ÙØØ Ð ÓÑ ØØ Ð Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ø Ø ÒÒ Ø º ËÓÑ ÓÒØÖÓÐÐ Ú ØØ ÑÓ ÐÐ Ò ÒÔ Ö Ö Ø ÐÐ Ø Ò Ú Ô ÐÙÑÔØ Ð ÖÒ ÑÓ ÐÐ Ò Ó Ñ Ö Ñ Ø ÙØ ÐÐ Ø ØØ Ö º º Ö ÔÐÓØØ Ö Ô Ö Ò ÑÓØ ÐÙÑÔÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÑØ Ø ÙØ ÐÐ ÑÓØ Ö Ò ÒÚ Ø ÐÐ ÔÔ Ò Ü º 38¹39µº ÈÐÓØØ Ö Ò Ò Ö Ö Ò Ú º ÐÐÙ ØÖ Ö Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ø ÐÐ Ò ÒØ ÖÙÒ Ö ÐÒ Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ò Ö ÒÓÑ X i,j = Φ(U i,j ) σ j + µ j ¾
27 Ö Ö ÓÖ Ò Ó Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒÙÑÖ Ø σ ÑØ µ Ò Ö Ò¹ Ð Ø ØØÒ Ò Ö º Faktiska observationer Likformig fördelning Slumpobservationer Likformig fördelning BRA BRA VAT VAT Faktiska observationer Grundfördelning Slumpobservationer Grundfördelning BRA 0.0e e+07 BRA 0.0e e e e+07 VAT VAT ÙÖ Ë ØØ ÖÔÐÓØ Ú ÐÙÑÔØ Ð Ò Ö Ö ÖÒ ÒÔ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ ÑØ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ð ÓÑ ÐÐ Ø ÑØ Ö Ò ÒØ ÖÙÒ Ö ÐÒ Ò Ò Î Ò ÙØ ÖÒ º ØØ ÐÙÑÔ Ò Ö Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ ÖÒ ÒÔ ¹ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ ÒØ Ú Ö Ö ÚÚ ØØ Ø ÐÐ Ö ÐÒ Ò ÖÒ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ º Î Ò ÐÐØ Ñ Ø Ú ØØ Ø Ø ÓÑ Ú ÔÖ ÙØ ÖØ Ô Ø ØØ Ò Ò¹ Ô ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ò Ð Ö Ø Ø Ø Ö ÐÒ Ò Ö º ¾
28 Ù ÓÒ Ø ÒÒ Ò Ö ÒØ Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÓÖØ Ø Ò ÐÝØ Ö Ø Ø ÓÑ Ò Ö ØØ º ØØ Ø Ø ÒØ Ò ÓÑ Ú ÓÖ Ú Ö ØØ ØÖ Ò Ò Ø Ò ÙÒ Ö Ð Ö Ñ Ò ÖÐ Ò Ø ÓÒ Ô ¾±º ÁÒ Ö Ø Ø ØÝ Ð ÚÚ Ð Ö ÖÒ ÒÒ ØÖ Ò ÒÒ Ö Ø ÐÒ Ò Ö ÐÐ Ö Ø Ö Ø Ô ØÙѺ Î Ø ÐÐ Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ú Ö Ú ØØ Ò Ò ØÝ Ð ØÖ Ò ÓÑ Ö Ð Ñ Ò Ö Ø ÔÔ Ò Ü º 12 ¹ 13º Ø ÙÐÐ ÐÐØ Ú ØØ Ñ Ö ÓÑ ØØ Ò Ò ÐÝØ Ø Ö Ø Ö ØØ Ð Ñ Ò Ö ÒÒ ØÖ Ò ÒÒ Ò Ú ÐØ Ò ÙØ ÐÙØ ØØ ØØ Ø ÐÑÔ Ö Ö ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º Î Ö Ú Ò ÒØ Ø ØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ó ÖÓ Ò Ó Ð Ö Ð Ø¹ Ø Ø Ö Ð Ñ Ò Ö Ò Ú Ò Ø ÓÒ Ò Ô ¾±µº ØØ ÒØ Ò Ú Ö Ö Ó ÒØ Ö ÑÐ Ø Ø Ö Ø Ö Ò ØÓÖ ÐÐÒ Ñ ÐÐ Ò ÑÒ Ö º Ó º ÙÖ ÅÒ Ø ÐÒ Ò Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø Ö Ö Ò ÓÖØ Ö Ø Ø Ö ÑÒ Ó Ö Î Ò º Ó ØØ Ø ÙÐ Ó Ù Ù Ø Ò Ö ÐÐØ Ö Ð Ö Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ú ØØ Ò Ó Ö Ò Ú Ö ÐÐØ ÓÖ ØØ Ö ØØ ÓÑ Ò ÙÔÔÑع Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐ ØÓÖ Ð Ò Ö Ð Ö Ú ÐÐÒ Ö Ñ ÐÐ Ò ÑÒ ÖÒ º Ö ØØ ÑÙÐ Ö Ö Ñ Ö ÙÐØ Ø Ø Ö Ò Ô ÑÒ ÙÐÐ ÐÐØ Ò Ñ¹ Ò Ù Ø Ö Ò Ú Ö Ó Ú Ò ØÐÐ Ó ØÚ ÑÑ Ø ÐÐ ÓÑ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ø Ø ØØ Ø ØØ Ö Ú Ø Ôº ØØ ÖÐ Ö Ò Ö ÓÖ ØØ Ö ØØ ÖÓ Ò Ø Ö Ø ÐÒ Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ø ØØ Ø Ü Ø Ó¹ Ò Öº Æ ÓØ ÓÑ Ú Ò Ò Ú Ö ÑÖ Ð Ø Ö ØØ ÙÔÔÑØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ ÚÚ Ö Ò Ð Ð ÖÒ Ø ÐÒ Ò ÖÒ Ô ÑÒ Ò Úº Î Ò Ö Ö Ö Ò Ð Ò ÙÖ ÓÑ º Ó Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ñ Ö ¾
29 ÙÖ ÅÒ Ø ÐÒ Ò Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø Ö Ú ØØ Ò ÓÖØ Ö Ø Ø Ö ÑÒ Ó Ö Ö ÙÐØ Ø Ò ÔÐÓØØ ÖÒ Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ø Ö ÒÒ ÔÔ Ò Ü º 40 Ó 41º Î Ò ÙÖ ÖÒ ØØ ÒØ ÒÒ Ð ÙØÑÖ Ò Ô Ö Ó Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ð ÓÑ Ø ÒÒ Ø ÐÒ Ò Ø Ñ Ø Ö Ð Øº ØØ ØÖ Ö Ú Ò ØÖÓÒ ÓÑ ØØ Ø ÐÒ Ò ÖÒ ÓÖØ ØØ ÖÒ ÑÒ ÐÐÒ Ö Ø Ö Ø ÓÖÖ Ð Ö ÓÑ ÙÔÔÑØغ ËÐÙØÐ Ò Ò Ø Ú Ö ÒØÖ ÒØ Ñ ÑÒ ÐÐÒ ÖÒ ÓÑ ÖÙÒ ØØ ÙÒ Ö ÓÑ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÓÑ Ú Ö Ö ÑÒØ Ö Ð Ú Ö ÑÒ Ö¹ Ò Ú Ð Ø Ú Ö Ò Ò Ø Ò Ø Ðк ØÝÔ\ ÒØ Â Ò Å Ö ÔÖ Å ÂÙÒ ÂÙÐ Ù Ë Ô Ç Ø ÆÓÚ Á Ø ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Á Ø Ü ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ Ë ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¾ ½ ¼ ¼ ½ ½ ÅÒ Á Ø ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ Á Ø Ü ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ Ë ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ú Ö ØØ Ö Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö ÔÖ Ò Ò Ò Ú Ð Ñ Ò Ö Ò Ò Ö ÑÐ Ó ÚÚ Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ò Ú Ö Ù Ù Ø ÑÒ ÖÒ ØØ º Ø Ú Ö ØØ Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ Ö ÖÒ Ö ¾¼¼ Ó ÑØÐ Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ú ØØ Ò ÓÖ ÓÑ Ö Ú ÚÖØ Ú Ö Ò ÚÖ Ð Ñ Ò Ö Ò ÖÒ Ò Ö Ú ØØ Ò ÓÖº ØÙÑ Ö ÙØÓÑ Ô Ú Ö Ò Ö Ð Ò Ú Ö Ö ØØ ÙÐÐ ÐÐØ ÙÒÒ Ú Ö ØØ ¾
30 Ó ÑÑ Ú ÒØ Ó Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ØÖÓÐ ØÚ Ö Ö Ö ÑÐ º Ð Ñ Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ö Ö ÑÐ ØÝ Ö ØØ Ô ØØ Ñ ØØ Ø ÖÖ Ø Ñ Ø Ö Ð ÙÐÐ Ø Ò Ú Ö ØØ Ö Ö ØØ ÙÒ Ö Ò Ò Ò Ö Ô Ö Ò Ú ØÐРغ ¾
31 Ê Ö Ò Ö ½ ÊÓ Ö º Æ Ð Ò ¾¼¼ µ Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÔÙÐ ËÔÖ Ò Ö ¾ ËØ Ô Ò À Ù Ð Ù ÃÐ ÔÔ Ð Ö Ó Ä Ò È Ò ¾¼½½µ ËØ Ø Ø Ð ÑÓ Ð Ò Ñ Ø Ó ÓÖ Ô Ò Ò Ò Ò ÙÖ Ò Ø Ð Ú Ö ÂÙÒ Ò ¾¼¼ µ Ò ÓÝ Ø ÂÓÝ Ó ÓÔÙÐ Ï Ø È ÓÔÙÐ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ËØ Ø Ø Ð ËÓ ØÛ Ö ØØÔ»»ÛÛÛº Ø Ø Ó ØºÓÖ»Ú¾½» ¼»Ô Ô Ö ÈÖ Ò ÃÙÑ Ö ¾¼½¼µ ÈÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ð ¹Å йÀ Õ ÓÔÙÐ ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÎÓÐ ¾¼½¼ ÒÓ ½ ØØÔ»»ÛÛۺѹ Ö ºÓÑ» Ñ» Ñ ¹¾¼½¼» Ñ ¹½ ¹½ ¹ ¾¼½¼» ÙÑ Ö Å˽ ¹½ ¹¾¼½¼ºÔ È ÙÐ º à ØØÐ Ö ¾¼¼ µ Ö Ø ¹ ÀÓ Ò ÐÓÛ Ö Ð Ñ Ø ÓÔÙÐ Ò Ö Ñ ÒØ ÓÒ ØØÔ»»ÛÛÛºÔ ÙÐ ÖÐ Ð ØØÐ ÖºÒ Ø» Ó» ÀÓÔºÔ ¾ À ÒÖ ÀÙÐØ Ó Ð Ô Ä Ò Ó ¾¼¼ µ Å Ø Ñ Ø Ð ÅÓ Ð Ò Ò ËØ Ø Ø Ð Å Ø Ó ÓÖ Ê Å Ò Ñ ÒØ Ä ØÙÖ ÆÓØ ÃÌÀ È ÙÐ Ñ Ö Ø Ð Ô Ä Ò Ó Ó Ð Ü Ò Ö ÅÆ Ð ¾¼¼½µ ÅÓ ÐÐ Ò Ô Ò Ò Û Ø ÓÔÙÐ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ê Å Ò Ñ ÒØ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ÌÀ Ö È ÙÐ Ñ Ö Ø ¾¼¼ µ ÓÔÙÐ Ô Ö ÓÒ Ð Ú Û Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ÌÀ Ö Å Ö Ù ÀÓ ÖØ ÁÚ Ò ÃÓ ÒÓÚ Å ÖØ Ò Å Ð Ö Ó ÂÙÒ Ò ¾¼½¾µ Ö Ò Ê¹ÔÖÓ Ø Ô ÓÔÙÐ ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ»Û»Ô»ÓÔÙлÓÔÙÐ ºÔ ¾
32 2 ÔÔ Ò Ü Gumbel theta=2 Clayton theta= AMH theta=1 Frank theta= ÙÖ ÃÓÒØÙÖÔÐÓØØ Ú Ö ØØ Ø Ò Ö Ö Ô Ø Ú ÓÔÙÐ Gumbel theta=2 Clayton theta= AMH theta=1 Frank theta= ÙÖ ÃÓÒØÙÖÔÐÓØØ Ú Ö Ö ÐÒ Ò Ò Ö Ö Ô Ø Ú ÓÔÙÐ ¼
33 ÙÖ ½¼ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ö Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ ÙÖ ½½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ú ØØ Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ ½
34 ÙÖ ½¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ö Ö Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ ÙÖ ½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ö Ú ØØ Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ ¾
35 ÙÖ ½ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ö Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ Ö ØÓÖ Ò Ö Ö ÓÖØ Ø ÙÖ ½ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ú ØØ Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ Ö ØÓÖ Ò Ö Ö ÓÖØ Ø
36 ÙÖ ½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö ÑÒ Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö
37 ÙÖ ½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö ÑÒ Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö
38 ÙÖ ¾¼ ÃÓ ØÒ Ô Ö ØÙÑ Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ¾½ ÃÓ ØÒ Ô Ö ØÙÑ ÑÒ Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö
39 ÙÖ ¾¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò
40 ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ò Ö Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ò Ö ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò
41 ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò
42 ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ö Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ö ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ¼
43 ÙÖ ¼ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ ½ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ½
44 ÙÖ ¾ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ö Ò Ö Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ö Ò Ö ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ¾
45 ÙÖ À ØÓ Ö Ñ Ñ ÒÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò ÙÖÚ Ö Ö Ò ÙÖ À ØÓ Ö Ñ Ñ ÒÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò ÙÖÚ Ö Î ØØ Ò
46 ÙÖ ÆÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò ÔÐÓØ Ö Ò ÙÖ ÆÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò ÔÐÓØ Î ØØ Ò
47 Jämförelse mellan faktiska och rang BRA VAT ÙÖ Ë ØØ ÖÔÐÓØ Ú Ö Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Óµ ÑÓØ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ò¹ Ø Ò ÚÖ Ò Ú U(0,1)¹ Ö ÐÒ Ò Üµ Jämförelse mellan rang och slumpobservationer BRA VAT ÙÖ Ë ØØ ÖÔÐÓØ Ú ÐÙÑÔØ Ð Ò Ö Ö ÖÒ ÒÔ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ Ø ÐÐ Ø Óµ ÑÓØ Ö Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Üµ
48 ÙÖ ¼ ÅÒ Ø Ü Ø ÓÒ Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø Ö Ö Ò ÓÖØ Ö Ø Ø Ö ÑÒ Ó Ö ÙÖ ½ ÅÒ Ø Ü Ø ÓÒ Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø Ö Ú ØØ Ò ÓÖØ Ö Ø Ø Ö ÑÒ Ó Ö
Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
Ö ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
s N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
Ö Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
ËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
Stapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
Multivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
Självorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
Från det imaginära till normala familjer
Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ
G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö
u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ
¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
Imperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
ËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
ËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ
B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
Imperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
a = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
Article available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008](/thumbs/57/41044285.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008")
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
ÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë
Frågetimmar inför skrivningarna i oktober
MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober
arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008
![arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008](/thumbs/103/160116641.jpg "arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008")
Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor
Errata. by Afif Osseiran. August 17, 2006
Ú Ò ÒØ ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó¹ÐÓ Ø ² ØÖ ÙØ Á ÇËË ÁÊ Æ ÓØÓÖ Ð Ì ËØÓ ÓÐÑ ËÛ Ò ¾¼¼ ÌÊÁÌ ¹Á ̹ Ç˹¼ ¼¾ ÁËËÆ ½ ¹ ÁËÊÆ ÃÌÀ»ÊË̻ʹ¹¼»¼¾¹¹Ë ÃÌÀ Á Ì Ë ¹½ ¼ ËØÓ ÓÐÑ ËÏ Æ Ñ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ñ Ø ÐÐ ØÒ Ú ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS
TKK Dissertations 195 Espoo 2009 PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS Doctoral Dissertation Johnny-Stefan Lönnroth Helsinki University of Technology Faculty
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007](/thumbs/95/124973666.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007")
Ð Ñ ÒØ Ó Ê Ó Ï Ú arxiv:0712.4029v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ö Ò ÓÖ Á ÑÓ À Ð ÂÙ ÅØØÐ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Å ÜÛ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Vindkraft och försvarsintressen på Gotland
Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,
Programmering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning.
Programmering med Java Programmering med Java Programspråket Java Källkodsexempel Källkod Java API-exempel In- och utmatning Grunderna Erik Forslin ÓÒ º Ø º Rum 1445, plan 4 på Nada 08-7909690 Game.java
Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart
PLANERING MATEMATIK - ÅK 8 Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Bråk och procent Kapitel : 2 Bråk och potenser Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet
Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT13 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här
Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Måndag 9 jan 212, kl 8.3-12.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics
=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ
15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c
½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-08-29 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap