ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½"

Transkript

1 ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½

2 Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ì Ò Ó Ñ º ½ Å Ø Ö Ð Ø Ö Ò Ö Ö Ò Ú ÑÓØ Ú Ö Ò ÓÑÔ Ò ÙÑ ÖÒ ½ Ú ÈÖÓ º À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Òº Ó Ñ Ö ¾¼½

3 ¾

4 ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ½ ½º½ Î Ö Ö ØÙ Ö Ò Ð Ò Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ë Ò Ð Ö Ó Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º Å Ø Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º ½º Å Ø Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º ½º Ò ÐÓ Ó Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º ½º ØØ Ü ÑÔ Ð Ö Ö Ö Ú ØÒ ÑØÒ Ò Ð Ö º º º º º º º º º ½º ØØ Ü ÑÔ Ð Ø ÐÐ Ð Ö Ò Ú Ù Ó Ò Ð Ö Ô ¹ Ú º º º º º ½¼ ½º Î Ø Ò Ð Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º Ä ØØ Ö ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Ë Ò Ð Ö Ò Ö ÖÙÒ Ö ÔÔ ½ ¾º½ Ë Ò ÐØÖ Ò ÓÖÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º½ ÃÓÑÔÖ ÓÒ Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º¾ Ö Ò Ò Ú ÙØ Ò Ð Ò ÖÒ ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñ º º º º º ¾¼ ¾º½º ÌÓÐ Ò Ú Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º¾ Ë Ò ÐÒÓÖÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º ÃÓÑÔÐ Ü Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º ¾ Ò ÐÝ Ú Ò Ð Ö Ö Ú Ò ÔÐ Ò Ø ¾ º¼º½ Ö ÚÒ Ò Ú Ò Ð Ö Ö Ú Ò ÔÐ Ò Ø º º º º º º º º º ¾ º½ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ú ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ë ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ö Ó ÑÓ ÙÐ Ö Ò º º º º º º º º º º º¾ È Ö Ó ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÀÖÐ Ò Ò Ú ÓÙÖ Ö Ö Ò Ó ÒØ Ö º º º º º º º º º¾º¾ ÓÙÖ Ö Ö Ò Ñ ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º¾º Ò Ö Ò Ó Ô Ö Ó Ò Ð Öº º º º º º º º º º º º º º

5 ÁÆÆ À ÄÄ º Á ¹Ô Ö Ó ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º½ È Ö Ú Ð ÓÖÑ Ðº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë Ñ Ò Ñ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Òº º º º º º º º º º º º º º Ö Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ø Ó ÓÐ Ò Ð Öº º º º º º º º º º º ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú Ö Ø Ò Ð Ö º½ È Ö Ó Ö Ø Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ È Ö Ú Ð ÓÖÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Á ¹Ô Ö Ó Ö Ø Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ È Ö Ú Ð ÓÖÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö Ø ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ò Ô Ö Ó Ì º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ò ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ò ÒÚ Ö Ò ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º¾ ÅÓ Ö Ò Ö Ò Ö ÐÐ Ú Ò ÐÒ Ö N º º º º º º º º º Ñ Ö Ò Ö Ú Ò Ì º º º º º º º º º º º º º º º º º º ØØ Ü ÑÔ Ð Ç Å º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ½ º½ Ò Ö Ø Ó ÒÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ï Ð ¹ Ó À Ñ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÓÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÃÖÙ Ò Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ò Ð Ö ØÚ Ñ Ò ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÓÑÔÖ Ñ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º½ Ë ÑÔÐ Ò Ú Ò Ð Ö Ó Ð Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ÒÒÓÒ ÑÔÐ Ò Ø ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÈÖ Ø» ¹ Ó» ¹ÓÑÚ Ò Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º º½ ÈÖ Ø» ¹ÓÑÚ Ò Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º º¾ ÈÖ Ø Ø Ð¹Ø Ðй Ò ÐÓ ÓÑÚ Ò Ð Ò º º º º º º º º º ½½ º º Ì ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ô Ø Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º ½¾¾ Ö Ø Ò Ð Ö Ó Ý Ø Ñ ½¾ º½ Ä Ò Ö Ø ÒÚ Ö ÒØ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ Þ¹ØÖ Ò ÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º Ö Ø Ú Ö Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

6 ÁÆÆ À ÄÄ º º ËØ Ð Ø Ø Ò Ó Ð Ò Ö Ö Ø Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÒÚ ÖØ Ö Ò Ú Þ¹ØÖ Ò ÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ËÝÒØ Ú Ø Ð ÐØ Ö ½ º½ Ø Ð ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ ÃÐ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º¾ ÐØ Ö Ô Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾º½ Á Ð ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾º¾ Ä Ò Ö Ö ÙØÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ê ÐÐ Ð Ô Ò Ô ¹ Ó Ô ÐØ Ö º º º º º º º ½ º¾º Ö Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ËÝÒØ Ú ÐØ Ö Ñ Ò Ð Ø ÑÔÙÐ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º½ Ð Ò Ö ÁÊ ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º¾ ËÝÒØ Ö Ô Ò Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º ½ º º Ö Ú Ò ÑÔÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ËÝÒØ Ö Ô ÓÔØ Ñ Ö Ò Ú ÐØ Ö Ó ÒØ Ö º º º ½ º ËÝÒØ Ú ÐØ Ö Ñ ÓÒ Ð Ø ÑÔÙÐ Ú Ö º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÈÐ Ö Ò Ú ÔÓÐ Ö Ó ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Å ØÓ Ö Ö Ô Ö Ø Ö Ò Ú Ò ÐÓ ÐØ Ö¹ ÔÖÓØÓØÝÔ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º ËÝÒØ Ö Ô Ñ Ò Ø Ú Ö ØÓÔØ Ñ Ö Ò Ú ÐØ Ö¹ Ó ÒØ ÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ú Ø Ð ÐØ Ö ½ ½ º½ ËØÖÙ ØÙÖ Ö Ö Ý Ø Ñ Ñ Ò Ð Ø ÑÔÙÐ Ú Ö º º º º º º º º º ½ ¾ º½º½ Ö Ø Ö Ð Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º½º¾ à ØÖÙ ØÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º Ò Ö ØÖÙ ØÙÖ Ö Ö ÁÊ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ËØÖÙ ØÙÖ Ö Ö Ý Ø Ñ Ñ ÓÒ Ð Ø ÑÔÙÐ Ú Ö º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ö Ø Ö Ð Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾ à ØÖÙ ØÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º È Ö ÐÐ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

7 ÁÆÆ À ÄÄ

8 Ã Ô Ø Ð ½ ÁÒÐ Ò Ò ½º½ Î Ö Ö ØÙ Ö Ò Ð Ò Ð Ò Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ò ÖÓÐÐ ÑÓ ÖÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ Ð Ö ÐÐØ Ú Ø Ö º Ø Ð Ö Ò Ò Ñ ÁÓÌ = ÁÒØ ÖÒ Ø Ó Ì Ò µ Ñ Ò ÒÐÖÒ Ò Ó ÓÐ Á ÖØ ÐÐ ÁÒØ ÐÐ Ò µ¹ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö ÓÑ ØÓÖ Ö Ú ÓÒ Ó Ø Ø ¹ Ö Ò Ö Ô Ò Ö Ö ØØ Ö ÑØ ÑÝ Ø Ø Ú Ö Ø Ú Ò Ð Ò ¹ Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Öº Ü ÑÔ ÐÚ ØÖ Ò Ò ÑÓØ ÙØÓÒÓÑ ØÖ Ò ÔÓÖØÑ Ð ÒÒ Ö Ö Ø Ø ÒÚÒ Ò Ò Ú Ò ÓÖ Ö Ó Ò ÑÐ Ò Ú Ø º Ë Ò Ð ÖÒ Ò¹ Ò ÐÐ Ò Ø ÑÒ Ö Ñ Ø Ö ØØ ÙÒÒ ÙØÒÝØØ Ø ÚØ ¹ Ò Ð Ô ØØ Ò ÑÐ ÒÐ Ø Øغ Ç Ø Ö Ù Ø Ö Ñ Ø Ò ÒÓÑ Ò Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ò Ö Ò Ö Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑ Ñ Ð Ö Ø ÒÓÐÓ ¹ Öº Ò ÓÑÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ø Ð Ö Ò ÐÒ Ñ Ò ÚÖÖ Ò ÒØ Ñ Ö Ð Ú Ø ÒÓÑ ÙØ Ð Ò Ò ÔÖÓ¹ Ö ÑÑ Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó Ø ÒÓÐÓ Ñ ØÖ Ö Ú ÙÒ Ú Ö Ø Ø Òº Á ÑÒ ÐÐ Ö Ø Ö Ñ ØÐÐÒ Ò Ò Ú ÓÑÔ Ø Ó ÐÐ Ò ÓÖ Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ñ Ø Ú Ò Ý Ý Ø Ñ ÓÑ Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ø Ò Ð Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Öº Ò Ò Ò Ö ÐÐ Ö Ø ÒÓÐÓ Ñ Ø Ö ÓÑ Ú ÐÐ ÖÑ Ò ÓÒ ÙÖÖ Ò Ö Ø Ô Ö Ø Ñ Ö Ò Ò Ö ÐÐØ ÐÓ Ø ØØ Ø Ö ØØ Ô ØØ Ö ÓÐ Ò Ð Ò Ð Ò Ñ ØÓ Ö Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ö ÓÐ Ø ÐÐÑÔÒ Ò ¹ Öº ½

9 ¾ ½º¾ Ë Ò Ð Ö Ó Ý Ø Ñ Ã ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÆÁÆ Ì Ñ Ø Ö ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ð Ö Ó Ý Ø Ñº Ò Ú ÒØ Ø Ø Ú Ò Ð Ò Ú Ò Ð Ö Ó Ý Ø Ñ Ó Ö ÚÜ ÐÚ Ö Ò ÙØ Ö ÖÙÒ Ò Ö Ò Ð Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ò ÓÑ ØÖ Ú Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ò Ð Ö Ò Ó Ú Ö Ö Ò Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÖÑ Ú Ò Ð Öº Ò Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÓØ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ú Ú Ö Ø ÓÒ Ö Ó Ò Ý Ð ØÓÖ Ø ÓÑ Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ñ ÐÔ Ú Ý Ð ÔÖÓ Öº Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ð Ö Ö ¹ Ù Ó Ò Ð Ö ÓÑ Ø Ð ÓÒ ÅÈ ¹ Ô Ð Ö ÑºÑº ¹ Ú Ó¹ Ó Ð Ò Ð Ö ¹ ÓÐÓ Ò Ð Ö ÓÑ Ð ØÖÓ Ö Ó Ö Ñ Ã µ Ð ØÖÓ Ò ÐÓ¹ Ö Ñ µ ѺѺ Ë Ò Ð Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ô Ö ÓÐ Øغ Ü ÑÔ ÐÚ Ö Ò Ù Ó Ò Ð ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ò Ò Ù Ø Ò Ð Ð Ù ÐÐ Ö ØÖÝ Ú Ö Ø ÓÒ Ö ÐÙ Ø Òµ Ñ Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ò Ð ØÖ Ò Ð Ñ Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÐÐ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ú Ú Ö Ø ÓÒ Ö Ó Ñ Ò Ø Ò Ô ÖÒ ØØ Ñ Ò Ø Ò ÐÐ Ö ÓÖÑ Ú Ò Ú Ò Ú Ø Ð ÓÑ Ò Ð Ù Ðº ÐÐ ÓÐ Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ð Ò Ò Ñ ÐÔ Ú Ò Ø Ð Ö ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ø ÐÐ Ò Ù Ø Ò Ðº Å ØØ Ý Ø Ñ Ú ØØ ÑÑ Ò Ò Ò ÓØ ÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ò Ò Ð Ø ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ò Ð ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ò ÐÖ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒº ËÝ Ø Ñ ÒÒ Ñ Ò Ò Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÓÑ Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ð ¹ Ö Ö ÐÐ Ö Ú Ö Ö Ò Ð Öº Ü ÑÔ Ð Ô Ý Ø Ñ Ö Øº ܺ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò ÑÓ ÐØ Ð ÓÒ ÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ò Ù Ø Ð Ù µ Ò Ð Ø ÐÐ Ò Ð ØÖ ¹ Ò Ð ÐØÖ Ö Ö ÓÖØ Ó ÒØÖ ÒØ Ñ Ò Ø Ö Ò Ö Ú Ò Ö Ò Ð ØÖ Ò Ð Ò Ó Ö Ø Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ò Ð Ö Ò Ð Ò Ø ÐÐ Ø Ð ÓÖѺ Ë Ò Ð Ö Ö Ú Ô ØØ Ò ØÙÖÐ Ø ØØ ÓÖÑ Ú Ñ Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Öº ËÝ Ø Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÖÚ Ú ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ¹ Ò Ð Öµ Ø ÐÐ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Öµº Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö ÚÒ Ò Ò Ú ¹ Ò Ð Ö Ó Ý Ø Ñ Ö Ö Ö ÓÙÑ ÖÐ Ö Ö Ø Ð Ò Ú ÔÖÓ Ö Ö Ò Ð Ö Ó Ý Ø Ñ Ò Öº Ì ÓÖ Ò Ö Ò Ð Ö Ó Ý Ø Ñ ÖÙ Ö Ó Ø ÙÒ Ö Ö ÔÔ Ø Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ò º Ò Ð ÔÖÓ Ò º Ò Ð Ò ØØ Ðݵº Î Ø Ø ÐÐÑÔÒ Ò ¹ ÓÑÖ Ò Ö Ò Ð Ò Ð Ò Ö Øº ܺ

10 ½º º Å Ì Å ÌÁËÃ Ê ÈÊ Ë ÆÌ ÌÁÇÆ Î ËÁ Æ Ä Ê ¹ Ù ÓØ ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ø Ð ÓÒ ÅÈ Ø Ð Ò ÒÒ Ò Ó ¹ ÝÒØ ÑºÑºµ ¹ Ð Ò Ð Ò Ø Ð Ñ Ö Ö ØØÖ Ò Ú Ù Ð Ö ÑºÑºµ ¹ Ø Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ø Ð ÓÒ ÐÐ Ð Ò Ð Ú Ö Ö Ò µ ¹ Ñ Ò Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ò ÐÝ Ú Ã Ó ØÓÑÓ Ö ÑºÑºµ ¹ ÑØØ Ò Ò Ð Ò Ó ØÓÐ Ò Ò Ú ÑØ Ø ÑºÑºµ ¹ Ö Ð Ö Ò Ó ÙØÓÑ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ú ÑØ Ø Ö Ö Ð ÖÒ ÑÐ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ú Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ö Ð Ö Ò Ú Ò ÔÖÓ ¹ Ö ÓÑ ÖÚ Ö ØÓÖ ØÓÖ Ô Ø Ø ÑºÑºµ ÖÙØÓÑ Ö Ø Ø Ò Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ö Ú Ò Ö Ò Ð Ò ¹ Ð Ò Ø Ò Ö ÚÓÐÙØ ÓÒ Ö Ø Ö ÖÙÒ ÓÖ Ò Ò ÓÑÖ Òº ËÓÑ ØØ Ü ÑÔ Ð Ñ ÒÑÒ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò Ú ÔØ Ú ÓÔØ Ø Ð ÓÔ ÓÑ Ñ Ð Ö ÓÑÔ Ò¹ Ø ÓÒ Ú Ø ÖÒ Ò Ö ÓÑ ÖÓÖ Ú ØÑÓ Ö ØÙÖ ÙÐ Ò º ÃÓÑÔ Ò¹ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ö ÐÐ Ø Ñ ÐÔ Ú Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ý Ø Ñº ØØ Ö Ñ ÖØ ØØ Ø Ð ÓÔ Ô Ñ Ö ÝØ Ò Ò Ö ÓÒ ÙÖÖ Ò Ö ¹ Ø Ñ Ø Ð ÓÔ ÔÐ Ö ÖÝÑ Ò Ò ÓØ ÓÑ ÒÒÙ Ö Ò Ö Ö Ò Ú Ö ÓÖ Ð Ø Øº ½º Å Ø Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ò Ð Ö Ë ÓÑ Ø Ö ÓÒ Ø Ø Ö Ò Ò Ò Ð Ý Ð Ø ÓÐ Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒ ÓÖÑ Ö ÓÑ Ù Ø Ð ØÖ Ñ Ò Ø ÑºÑº Ø Ú ÒØÐ Ó Ò Ò Ð Ö Ñ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÒÒ ÐÐ Öº ÒÒ Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ò Ý Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖÑ Ò Ó ØÖ Ú Ò Ð Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ø Ò ÓÑ Ò Ù Ø ÐÐ Ö Ð ØÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒµ ÐÐ Ö Ú Ò ÖÙÑ ÓÓÖ Ò Ø ÓÑ ØØ Ñ Ò Ø Ò ÐÐ Ö Ò ¹ Ú µº ¹ Ú Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ø ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ x(t) Ú Ò Ó ÖÓ Ò Ú Ö Ð tº Î ÒÐ Ò ØÒ Ö Ñ Ò Ò Ð Ö ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ò t Ú Ò ÓÑ Ò Ý Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ú Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ò ÖÙÑ ÓÓÖ Ò Ø Ú Ð Ø Øº ܺ Ö ÐÐ Ø Ð Ò Ð Ò º Ø Ö Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ð Ö ÓÑ Ö Ú Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ò Ð ÓÑ ¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö x(s,t) Ö s Ó t Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö ØØ ØÚ¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐØ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñº

11 à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÆÁÆ ÃÐ Ö Ò Ú Ò Ð Ö Ý Ð Ò Ð Ö Ö Ò Ø Ò ÙØ ÐÙØ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ó Ò Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ö ÓÖÑ Ú Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ x(t) Ú Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ú Ö Ð tº Ò Ù Ø Ò Ð ØÖ Ð Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ØÖÝ Ú Ö Ø ÓÒ ÖÒ p(t) ÐÙ Ø Ò ÓÑ Ú Ö Ø ÙÔÔ ØØ ÓÑ Ð Ù º Ò Ù Ø Ò Ð Ò Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ø ÐÐ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ú Ö Ö Ò Ð ØÖ Ò Ðº Å Ò ÓÒ¹ Ø ÒÙ ÖÐ ÐÐ Ö Ò ÐÓ Ò Ð x(t) Ú Ò Ò Ð ÓÑ Ö Ò Ö Ö ÐÐ Ø Ö t ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ t 1 t t Ó ÓÑ Ò ÒØ ÐÐ ÚÖ Ò ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ a x(t) bº Ò Ò Ð ÐÐ Ö Ø Ñ ÐÔ Ú Ò ØÓÖ Ö Ò Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ö ÓÖÑ Ú Ò Ú Ò Ø Ðº Ò Ò Ú Ò ÐÐ Ö Ö Ø Ò Ðº Å Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ö Ö Ò Ö Ø Ò Ð x d ÓÑ Ò Ø Ð Ú Ò {x d (k)} = {...,x d ( ),x d ( 1),x d (0),x d (1),x d (),...}. ½º º½µ Ò Ö Ø Ò Ð {x(kt s )} ÓÑ ÒÓÑ ØØ ÚÐ Ò Ò ÐÓ Ò Ð x(t) Ú Ö Ø Ø ÔÙÒ Ø ÖÒ kt s k =..., 1,0,1,... ÐÐ ÑÔÐ ¹ Ò Ðº Ì Ò T s Ö ÑÔÐ Ò Ø Òº Ä ÓÑ Ò ÐÓ Ò Ð Ö Ò Ö Ø Ó ÑÔÐ Ò Ð Ö ÒØ ÐÐ ÚÖ Ò ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ a x d (k) bº Ò Ò Ð Ò Ð Ñ ÐÔ Ú Ò ØÓÖ Ò Ò ÒØ ÐÒ Ö ÒØ Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÚÖ ÙØ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ÐØ ØØ Ò Ò ÒØ Ò Ø B Ò Ú Öº Ò Ö Ø Ò Ð ÓÑ Ú ÒØ Ö Ø Ø ÐÐ ØØ Ò Ð Ø ÒØ Ð Ò Ú Ö ÐÐ Ø Ð Ò Ðº ½º Å Ø Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ý Ø Ñ ØØ Ý Ø Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ò Ò Ð x(t) Ø ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ò Ð y(t) ÙÖ ½º½µº ËÝ Ø Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ý Ð Ø Ú ÓÐ Ý Ð ÔÖÓ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö Ò Ò Ðº ØØ Ý Ø Ñ Ò Øº ܺ Ø Ú Ò Ð ØÖÓÒ Ö Ø ÐÐ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑ ÖÒ Ö Ö Ò Ô ÖÒ Ó Ò Ð ØÖ Ò Ð ÐÐ Ö Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð ÓÑ ÖÚÖÒ Ö Ò Ú Ö Ö Ò Ðº Å Ø Ñ Ø Ø Ò ØØ Ý Ø Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ò Ú Ð Ò Ò G Ú Ò Ð Ò x(t) Ø ÐÐ Ò Ð Ò y(t) ØØ y(t) Ú Ú Ö Ø ÔÙÒ Ø t Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ð Ò xº Ë Ò Ð Ò x(t) ÐÐ Ý Ø Ñ Ø Ò Ò Ð Ó y(t) ÙØ Ò Ðº ØØ Ø Ø Ø Ý Ø Ñ Ö Ø Ö Ö Ú ØØ ÙØ Ò Ð Ò ÚÖ y(t) Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò Ð Ò ÚÖ x(t) Ú Ø Ò t y(t) = F (x(t)). ½º º½µ

12 ½º º Å Ì Å ÌÁËÃ Ê ÈÊ Ë ÆÌ ÌÁÇÆ Î Ë ËÌ Å ØØ Ø Ø Ø Ý Ø Ñ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ò Ú Ö ÐØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ö Ò ¹ ØÖ Ú ÐØ ÙÖ Ò Ð Ò Ð Ò Ò ÝÒÔÙÒ Øº Å Ö ÒØÖ ÒØ Ö ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ö ÙØ Ò Ð Ò y(t) Ú Ú Ö Ø ÔÙÒ Ø t Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ò Ð Ò x Ó Ú Ò Ö Ø ÔÙÒ Ø Ö y(t) = (Gx)(t). ½º º¾µ ÂÑ Ö ÙÖ ½º½º ÍØ Ò Ð Òy(t) Ó ØØ ÝÒ Ñ Ø Ý Ø Ñ Ö Ð Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ó Ú Ø Ö Ò Ò Ð Ö Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Øº ÒÒ ÖÑ ØØ Ñ ÒÒ Ø Ö Ò Ò Ð Ö Ö ØØ ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ö ØØ ÑÝ Ø Ñ Ö ÓÑÔÐ ¹ Ö Ø Ó ÒØÖ ÒØ Ö Ø Ò Ò Ø Ø Ý Ø Ñº ËÝ Ø Ñ Ñ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð Ö ÐÐ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ý Ø Ñº ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÝÒ Ñ Ý¹ Ø Ñ Ö Ú ÐÐÑÒ Ø Ñ ÐÔ Ú Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Öº ØØ Ý Ø Ñ x G y ÙÖ ½º½ ØØ Ý Ø Ñº Ñ Ò Ö Ø Ò Ò Ð {x(k)} Ó Ò Ö Ø ÙØ Ò Ð {y(k)} Ö ÔÖ ÒØ Ö Ô Ò ÐÓ Ø ØØ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ú Ò Ú Ð Ò Ò G Ú Ò Ð Ò {x(k)} ØØ y(n) ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ú Ò Ò {x(k)}º ØØ Ý Ø Ñ Ñ Ö Ø Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð Ö ÐÐ ØØ Ö Ø Ý Ø Ñº ØØ Ö Ø Ø Ø Ø Ý Ø Ñ Ö Ú Ò ÐÓ Ñ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÐÐ Ø Ú ØØ Ø Ø Ø Ñ Ò y(n) = F (x(n)), ½º º µ Ñ Ò ØØ ÝÒ Ñ Ø Ö Ø Ý Ø Ñ Ö Ú Ú y(n) = (G{x(k)})(n). ½º º µ Ö Ø ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ö Ú Ö Ð Ñ ÐÔ Ú Ö Ò Ú Ø ÓÒ Öº Ø Ð Ý Ø Ñ Ö Ö Ø Ý Ø Ñ ÓÑ Ö Ø Ð Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð Ö Ó ÓÑ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø Ðغ Á Ò Ð Ò Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ú ÒÐ Ò ØÚ ØÝÔ Ö Ú Ý Ø Ñº Ý Ð ÔÖÓ ÖÒ Ö ÓØØ ÓÑ ÐÐØ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ¹ Ø ÐÐ Ò Ö ØÖ Ó Ö Ö Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ø ÓÑ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ¹ Ý Ø Ñº Ë Ò Ð Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÒÙ ÖØ Ò Ö ÑÓØ Ò Ø Ò ÙØ ÐÙØ Ò Ø Ðغ Ö Ö Ö Ý Ø Ñ ÓÑ ØÖ Ö Ò Ð Ò ¹ Ð Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ö Ø Ð Ý Ø Ñº

13 ½º à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÆÁÆ Ò ÐÓ Ó Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ò ÐÓ Ò Ð Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ò Ý Ð ØÓÖ Ø Ó Ø Ú Ò Ð ØÖ Òº Á Ò ÐÓ Ò Ð Ò Ð Ò Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ò ÙØ Ö Ñ ÐÔ Ú ÐÑÔÐ Ö Ú Ö ÓÑ ÓÐ ØÝÔ Ö Ú Ð ØÖ Ö Ø Öº Ì Ö ÙØ Ö Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ó Ø Ö Ú Ö Ñ Ø Ð Ð ØÖÓÒ Ó ÐÓ Ö Ø Öº Ò Ú Ø ÐÐÒ Ñ ÐÐ Ò Ò ÐÓ Ó Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ó Ø ØÙÑ ØØ Ø Ð Ò Ð Ò ¹ Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ØÖ Ú ÒÙÑ Ö Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ø Ú Ò Öº ÝÐ Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò ÔÖ Ø Ò ÙØ Ö ÑÝ Ø Ø ÚØ Ñ ÐÔ Ú ØÓÖ Öº Ë Ò Ð Ò Ð Ò ÓÑ ÙØ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ñ ÐÔ Ú ØÓÖ Ö Ð¹ Ð Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ò º Ø Ð Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò Ëȵº Ò ¹ x F x A/D f x DSP D/A d y d y H ya ÙÖ ½º¾ Ø ÐØ Ò Ð Ò Ð Ò Ý Ø Ñº Ð Ö ÓÑ Ñ Ò Ò Ö Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ñ ØØ Ø ÐØ Ò Ð Ò Ð Ò Ý Ø Ñ Ö ÓÖØ Ö Ò Ú ÒÐ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÑ Ù Ó Ò Ð Ö Ñ Ö Ù ÓÒ Ò ÓÚ Òµº ØØ ØÝÔ Ø Ø ÐØ Ò Ð Ò Ð Ò Ý Ø Ñ ÙÖ ½º¾µ ØÖ Ö Ö ÖÙØÓÑ Ú Ò ÔÖÓ ÓÖ Ú Ò Ò ÐÓ ¹Ø Ðй Ø Ð ÓÑÚ Ò Ð Ö» ÓÑÚ Ò ¹ Ð Ö µ ÓÑ ÑÔÐ Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð Òx f (t) ÑØ Ò Ø Ð¹Ø Ðй Ò ÐÓ ÓÑÚ Ò Ð Ö» ÓÑÚ Ò Ð Ö µ ÓÑ Ð Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð y(t) ÖÒ Ò Ø Ð Ò Ð Ò {y d (k)} ÖÒ ÔÖÓ ÓÖÒº ÙØÓÑ Ú ØØ Ò ÐÓ Ø Ð Ô ÐØ Ö F ÓÑ Ö Ò ÐÓ ¹Ø Ðй Ø Ð ÓÑÚ Ò Ð Ò Ò ÐØÖ Ö Ö ÓÖØ ¹ Ò Ö Ú Ò Ö Ò Ð Ò x(t) ÓÑ ÒØ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò ÑÔÐ Ò Ð Ò ÑØ ØØ Ð Ô ÐØ Ö H Ø Ö» ¹ÓÑÚ Ò Ð Ö Ò Ñ Ú Ð Ø Ò Ò ÐÓ Ò Ð Ò y a Ò Ò Ô Ö ÒÓÑ ØØ ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ò ÑÔÐ Ò Ø ÔÙÒ Ø ÖÒ º Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ø Ñ Ð Ø ØØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÑ ÔÖ Ø Ò ÒØ Ò Ö Ð Ö Ò ÐÓ Øº Ø ØÙÑ ØØ Ð ÓÖ ØÑ ÖÒ ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ú Ñ Ù Ú Ö ÓÖÑ Ú ÒÙÑ Ö Ö Ò Ò Ö Ñ Ö ØØ Ú Ò ÑÝ Ø ÓÑÔÐ Ö Ñ ØÓ Ö Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ö Ð Ø ÚØ Ò Ðغ ع Ø Ò Ñ Ö Ñ Ò ÐÓ Ò Ð Ò Ð Ò ÓÑ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ö Ú Ö ÓÖÑ Ú Ð ØÖÓÒ Ö Ø Öº ØØ Ö Ú ØÚ Øº ܺ ÑÓ ¹ Ö Ò Ò Ú Ð ÓÖ ØÑ ÖÒ ÑÝ Ø Ö Ø ÖÝ Ö º Ò ÐÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ú

14 ½º º Æ ÄÇ Ç À Á ÁÌ Ä ËÁ Æ Ä À Æ ÄÁÆ Ñ Ö ÓÑÔÐ Ö Ñ ØÓ Ö ÖÒ ÙØÓÑ Ú ØÓÐ Ö Ò ÖÒ Ó Ò Ð¹ Ð ØÖÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ú Ð Ø Ö ÑÓØ ÒØ ÙØ Ö Ò ÓØ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ø Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò º Ð Ö Ú Ò Ö Ò Ð Ò Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÔÖ Ø Ò Ð Ò Ø Ñ ÐÔ Ú Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò º ØØ Ð Ø Ü ÑÔ Ð Ö Ð Ö Ò Ò Ú Ù Ó Ò Ð Ö Ô Ò ¹ Ú Ñ Ö Ú Ò ØØ ½º µº ØØ ÒÒ Ø Ü ÑÔ Ð Ö Ø Ð Ñ ØÓ Ö Ö ÓÙÑ ÖÐ Ö Ú Ò Ö Ð ¹ Ò Ð Ò º Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ó ØØ ÒØ Ð Ò Ð Öº Á Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ö Ñ Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð Ö Ý Ø Ñ Ø Ö Ñ» Ó» ÓÑÚ Ò Ð Ö ÙÖ ½º¾µº ÃÓÒÚ Ö ÓÒ Ø Ø ÖÒ Ó Ü Ø Ö Ò» Ó» ÓÑÚ Ò Ð Ö Ö ÖÒ º ØØ ØØ Ö Ò ÚÖ ÖÒ Ö ÙÖ Ò Ø Ú Ö Ö Ò Ò Ð Ö ÓÑ Ò Ò Ð º Ö Øº ܺ Ù ÓØ ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ö Ø Ø ÖÒ Ó ÐØ Ø ÐÐÖ Ð º Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÒ Ò Ò Ó Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò ÖÓÖ Ú Ø ØÙÑ ØØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÐØ Ö ÖÐÓÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ý Ð Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ø ÐÐ Ö Ø Ð ÓÖѺ Ö Ø Ö Ø Ö Ø Ò Ö ÐÐØ ÒØ Ñ Ð Ø ØØ Ü Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð ÓÖÑ Ú Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ö ÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð Ù Ö Ú Ú ØØ ÓÒ Ð Ø ÒØ Ð Ò ÐÚÖ Ò ÑÓØ Ø Ø ÐÐ Ò Ö Ø Ò Ð ÓÑ ØÖ Ú Ò Ú Ò Ú Ø Ðµº ØØ Ú ÒØ Ø Ø ÚØ Ú Ö Ô Ú Ð ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð Ö ÓÑ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÖÑ Ú Ò Ö Ø Ú Ò Ú ÑÔÐ Ò Ø ÓÖ Ñ Øº Ò ÒÒ Ò ÖÒ Ò ØÓÖ Ú Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò ÙØ Ö Ú Ú ÒØ Ö Ò Ð ÓÑ ÙÔÔ ØÖ Ô ÖÙÒ Ú Ò Ð ÓÖ ÐÒ º ÖÒ Ò Ò Ö Ö Ø Ñ Ò ÔÐ Ò Ö Ö Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ý Ø Ñº Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò ÓÑ ÐÐ ÙØ Ö Ö ÐØ ÖÚ Ö Ø Ú ÔÖÓ ¹ ÓÖ Öº Ø Ö Ö ØØ Ò ÑÐ ÙØÚ Ð Ø Ô ÐÐØ Ö Ø Ð Ò Ð Ò ¹ Ð Ò ÒÔ ÔÖÓ ÓÖ Ö º º Ø Ð Ò ÐÔÖÓ ÓÖ Ö Ò º Ø Ð Ò Ð ÔÖÓ ÓÖ Ëȵº Ö Ò Ö Ø ØÙÖ ÓÑ Ö Ô ÐÐØ ÓÔØ Ñ Ö Ö ØÝÔ Ò Ð Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ò Ò Ò Ú ÙØ Ò Ð Ò ÖÒ ØØ Ø ÐØ ÐØ Ö ÐÐ Ö Ö Ò Ò Ú ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Òº Ø ÒÒ Ó Ô¹ ÔÐ Ø ÓÒ Ô ÔÖÓ ÓÖ Ö Ö ÓÐ Ò Ð Ò Ð Ò Ø ÐÐÑÔÒ Ò Öº ØØ Ú Ø Ø ÖÒ ÓÑÖ Ñ ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ð Ò Ó ØÓÖØ Ò Ö ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ø ØÙÖ Ö Ö Ø Ð Ò ÐÔÖÓ ÓÖ Öº Ø Ð Ò ÐÔÖÓ ÓÖ Ö ÖÙ Ö ÖÙØÓÑ ÐÚ ÔÖÓ ÓÖÒ Ó Ú Ö Ö Ñ» ¹ Ó» ¹ÓÑÚ Ò Ð Ö ÑØ Ò ÐÓ ÐØ Ö ÓÑ Ú Ö Ó Ø Ö ÓÑÚ Ò Ð Ò ÖÒ Ñ Ö ÙÖ ½º¾º ÙØÓÑ ÐÐ ÑÔÐ Ò Ø ¹ Ò Ò ÐØ ÙÒÒ Ô Ö º

15 ½º à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÆÁÆ ØØ Ü ÑÔ Ð Ö Ö Ö Ú ØÒ ÑØÒ Ò Ð Ö Á Ò ÓÑ Ö ÔÔ Ø Ö Ö = Ê Ó Ø Ø ÓÒ Ò Ê Ò Ò µ Ö Ø Ñ¹ Ñ Ö ÖÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ó ØÙ Ö Ú Ö Ø Ö Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ú ÓÖ ÓÑ ÙØ Ö Ú À ÖØÞ Ó À Ð Ñ Ý Ö ÑØ Ì Ð Ó Å ÖÓÒ Ö Ò Ö Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Рغ Á ÑÓ ÖÒ Ð Ö ÒÒ ÖÙØÓÑ ØØ ÖØ Ð ÓÐ Ö Ö Ý Ø Ñ Ö ÓÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ý Ø Ñ ÓÑ Ö Ö Ô Ð Ö = ÄÁ Ø Ø Ø ÓÒ Ò Ê Ò Ò µ ÙÐØÖ Ð Ù Ó Ñ Ö Ø Ò º Ò ÑÐ Ø Ñ º º Ö ¹ Ö Ø ÒØ Ý Ø Ñ Ö ØØ ÒÓÑ Ö Ý Ò Ó ÓÑÔ Ò Ö Ò Ú ÑÒ Ð Ñ Ø ÖÑ ØÖ Ö Ø Ò ÑØ Ö ÖÒ Ò Ò Ñ Ò Ö ØÖ Ò º Á Ö ÑØ Ò Ò ÙØÓÑ ÙØÚ Ð Ò Ò Ú Ý Ø Ñ Ò Ö Ø ÔÖ Ø Ø Ñ ¹ Ð Ø Ñ ÙØÓÒÓÑØ Ö Ò ÓÖ ÓÒ ØÖ Òº Ê Ö Ö Ú ØÒ ÑØÒ Ò ÙÖ ½º ÇÐ ØÝÔ Ö Ú Ö Ö Ö Ø Ø Ö Ò Ú Ò Ö Ú Ð ÖÒ Ò º ÖÒ ÖØ ÐÒ ¾ º ÒÒ Ø ÑÓ ÖÒ Ô Ö ÓÒ¹ Ó Ð Ø ÓÖ ÓÒ Ó ÒÚÒ Ö Ð ÓÑ Ò Ð ØØ Ø ÖÖ Ý Ø Ñ Ö ØØ Ø Ø Ö Ò Ö ÓÖ ÓÒ Ø ÖÖ ØÒ Ò º ØØ Ö ÔÖ Ø Ò ÒÓÑ ØØ Ò Ð ÖÒ Ó Ø Ø Ö Ø Ö Ð ØÖÓ¹ Ñ Ò Ø Ú ÓÖÒ Ö Ö ÓØ ØØ Ò ØØÒ Ò Ö ÐÐ Ú Ú ØÒ Ø ÖÒ ÓÖ ÓÒ Ø Ø ÐÐ Ò Ö Øº Ë ÐÚ ÑØÒ Ò Ò ÙØ Ö Ñ ÑÓ ÖÒ ÐÚÐ ÖØ Ò Ö º º ÑÑ¹Ú ÓÖ Ñ Ö Ú Ò Ö ÓÑÖ Ø 4 GHz Ø ÐÐ 77 GHz ØØ Ñ Ò ÖÒ Ò Ð Ò ØØ Ö Ø Ò Ø Ø Ö Ö Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ú Ò ØØ Ö Ö ÖÒ Ò Ö Ò Ø ÐÐ ÑÐ Ø Ò Ö Øµ Ó Ö ÖÒ Ø ÐÐ Ø ÐÐ Ø ØÓÖÒº ÄØ Ú ØÒ Ø Ø ÐÐ ÑÐ Ø Ú Ö Rº ÓÑÑ Ö Ø Ò τ ÖÒ Ò Ò Ò Ø ÐÐ Ú Ò Ó

16 ½º º ÌÌ ÅÈ Ä Ê Ê Ê ÎËÌ Æ ËÅ ÌÆÁÆ Á ÁÄ Ê ÙÖ ½º ÈÖ Ò Ô Ò Ö Ö Ö Ø Ø Ö Ò Ú Ö Ñ Ö Ö Ò ÓÖ ÓÒ Ñ ÔÙÐ ¹ ÓÖÑ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ¹Ú ¹Ö Öº ÖÒ ÖØ ÐÒ º ÖÒ ÑÐ Ø ØØ Ú cτ = R Ö c Ö Ð Ù Ø Ø Òº ËÐ ÓÑ Ñ Ò Ò ØØ ˆτ τ Ò ØØÒ Ò Ú Ú ØÒ Ø ˆRº Ö ØØ Ö Ö Ò ÔÙÒ Ø Ö Ø Ò Ö ÒÖ Ò Ø Ø Ö Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ú Ò ÐÑÒ Ø Ò Ö Ò Ò¹ ÚÒ ÔÙÐ ÑÓ ÙÐ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ú ÓÖ ÓÑ ØÖ Ú Ú ÔÙÐ Ö Ú ÖÙØÒ Ú ØÝ Ø Ô Ö Ó Ö ÓÑ Ö Ø ÐÐÖ Ð Ø ÐÒ Ö ØØ ÙØ Ò ÔÙÐ Ö ÒÒ Ö Ø Ö ÒÒ Ò Ð Ò ÔÙÐ Ò Ùغ Á Ð Ö ÓÖÑ Ò Ñ Ò Ùع ØÖÝ Ò Ø Ø Ö Ò Ð ÒxÓ Ò ÙØ Ò Ò Ð Òs ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ò t Ñ Ñ Ò Ø x(t) = αs(t τ)+ωt, ½º º½µ Ö α C Ö Ò Ø Ð ÓÑ Ö Ú Ö ÒØ ÒÒ Ö ØÖ Ò Ò Ò Ö Ö Ð ÖÐÙ Ø Ö Ó ÑÐ Ø ØÖÐÒ Ò ØÚÖ Ò ØØ ØÑ Ú ÓÖÑ Ó Ñ Ø Ö Ðµº Ì ÖÑ Ò ω ÒØ Ú Ö Ú ØØ ÖÙ º Î Ò Ö ÒÙ Ø Ñ Ö τ Ú ÒÒ Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò s(t) ÙÐÐ ØÒ Øº ØØ Ò Ö Ñ ØØ ÐØ Ö ÓÑ Ö Ò Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÐ Ò Ò ÙØ Ò Ò Ð Ò s Ó Ò Ö Ø Ö Ò Ð Ò x ÒÐ Ø y(τ) = x(t)s (t τ) dt. ½º º¾µ Ò º º Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ ¹ ØØÒ Ò Ò Ú τ ÓÑ Ñ Ü Ñ ØÐÐ Ø Ö ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø y(τ) ºÚº º ˆτ = argmax y(τ). τ ½º º µ ¾ È ØÓР˺ غ Ð ÙØÓÑÓØ Ú Ê Ö ¹ Ö Ú Û Ó Ò Ð ÔÖÓ Ò Ø Ò ÕÙ º Á Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò Å Þ Ò ÔÔº ¾¾¹ º Å Ö ¾¼½ º

17 ½¼ à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÆÁÆ ÖÙØÓÑ ØØ Ö Ñ Ò Ø Ø Ñ Ö Ò Ð Ø Ôº º º ÖÙ Ø Ñ Ò Ö Ò¹ ÓØ ÐÑÔÐ Ø Ö Ø Ö ÙÑ Ö ØØ Ú Ö ÓÑ Ø Ú Ö ÙÚÙ Ø Ø ÒÒ Ö Ö ÓÒ Ò ÑÓØØ Ò Ò Ð Ò Ó Ñ Ò Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØØ ÒØ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ö ÓÒ ÖÒ ÒÖÐ Ò Ò Öº Å Ö ÓÑ Ø Ð Ö ÒÒ Ò Ø Ö ÖØ ÐÒ Ó Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÓÑ Ö ÖØ ÒÓÐÓ Ö Ú ÓÖ ÓÒº ½º ØØ Ü ÑÔ Ð Ø ÐÐ Ð Ö Ò Ú Ù Ó Ò Ð Ö Ô ¹ Ú ØØ ÚÐ ÒØ Ü ÑÔ Ð Ô Ú Ò Ö Ø Ð Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ò Ú Ù Ó Ò Ð Ö Ô ¹ ÚÓÖº ÒÒ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö ÒØ Ú Ö Ø Ñ Ð ØØ Ö ¹ Ð Ö Ñ ÐÔ Ú Ö Ú ÖÙ Ö Ñ ØÓ Ö ÙØ Ò Ø Ú Ø Ð ¹ Ò ÐÔÖÓ ÓÖ Ö Ö Ú Ö Ø Ò ÖÙØ ØØÒ Ò Ö ØØ ÙÒÒ Ò Ù Ó Ò Ð Ö Ø ÐØ Ô ¹ ÚÓÖº È Ò ¹ Ú ÒÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ø Ð ÓÖÑ ÓÖÑ Ú ÔÙÒ ¹ Ø Ö ÓÑ Ò ÚÐ ÓÔØ Ø Ñ Ò Ð Ö ØÖÐ º Ò ÙÔÔÒ Ð Ö Ò Øع Ø Ò Ö 10 6 bitar º mm ØØ ÑÝ Ø Ö Ò Ð Ø ÐÓ Ñ ÓÑ Ú Ö Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ú Ò ¹ Ò Ò Ú Ò Ù Ó Ò Ð Ô Ò ØÖ Ú Ð Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÙÖ ÖÒ ½º¾ Ó ½º¾ Á ÓÖ Ó Â ÖÚ ½ µµ Ò Ù Ø Ò Ð Ò Ú Ö Ö Ø ÐÐ Ò Ð ØÖ Ò Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÒº Á ÔÖ Ø Ò Ö Ñ Ò ØÚ Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ò Ð Ö ÑÓØ Ú Ö Ò ØÚ Ò Ð Öºµ Ò Ò ÐÓ Ò Ð Ò Ð Ô ÐØÖ Ö Ö ØØ Ð Ñ Ö Ö Ú ÒØ Óѹ ÔÓÒ ÒØ Ö ÓÑ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ò Ö Ø Ò Ð Ñ Ò Ú Ð ÑÔÐ Ò Ö Ú Ò Òº Ò Ð Ô ÐØÖ Ö Ò Ð Ò ÑÔÐ Ñ Ò» ÓÑÚ Ò Ð Ö º Ë ÑÔ¹ Ð Ò Ö Ú Ò Ò Ö 44,1 khzº ØØ Ò Ñ Ö Ñ Ò Ø Ö ¹ Ú Ò Ø ÑÒ Ð Ö Ø ÙÔÔ ØØ Ö ÓÑ Ö 0 khzº ÒÐ Ø ÑÔ¹ Ð Ò Ø ÓÖ Ñ Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ð ÓÖÖ Ø Ö Ú Ö Ú Ò Ö ÙÔÔ Ø ÐÐ ÐÚ ÑÔÐ Ò Ö Ú Ò Ò ØØ ÐÐ Ö ÐÚ ÑÔÐ Ò Ö Ú Ò Ò 44,1 =,05 > 0 khzº Î Ö Ò ÐÚÖ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ö» ¹ ÓÑÚ Ò Ð Ò Ò Ñ ÐÔ Ú 16 Ø Öº Ò Ø Ð Ò Ð Ò Ø Ò Ú Ò Ø¹ Ú Ò Ó Ñ Ò Ð¹ ØÓÐ Ö ÒØ Ó º ÅÐ ØØÒ Ò Ò Ñ ÝÐ Ó Ö Ö ØØ Ò Ö Ö ÙÒ Ò

18 ½º º ÎÁÃÌÁ ËÁ Æ Ä À Æ ÄÁÆ ËÇÈ Ê ÌÁÇÆ Ê ½½ Ò Ð Ò ØØ Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ò Ð Ò ÐÐ ÙÒÒ Ø Ö Ô ØÖÓØ Ð Ú Ò Ð Ú Ö Ö Ò Ó» ÐÐ Ö Ð Ö Ò º ÇÔØ Ñ Ð Ñ ØÓ Ö ØØ Ò Ö ÒÒ Ö ÙÒ Ò ØØ Ò Ú Ò ÐØÓÐ Ö Ò ÙÔÔÒ Ñ Ð Ø Ø ÚØ Ö ÙÒ ÒØ Ø Öµ Ú À ÑÑ Ò ¹ Ó Ê ¹ËÓÐÓÑÓÒ¹ Ó Öº ÐÐ ¹ Ú Ý Ø Ñ Ö Ò ØÚ Ø Ê ¹ËÓÐÓÑÓÒ¹ Ó ÓÑ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ¹ Ö Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ò Ð Ò ØÖÓØ Ð Ú Ò Ö ÓÑ Ò Ú Ö ÙÔÔ Ø ÐÐ 4000 Ø ÐÒ º Ä Ö Ò Ú Ò Ø Ð Ò Ð Ò Ô Ò ¹ Ú º Ê ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ú Ù Ó Ò Ð Ò Ô Ò ¹ Ú ØÖ Ò ØÙÖ Ú Ð Ò ÑÓÑ ÒØ Ä Ò Ò Ú Ø Ð Ò Ð Ñ ÐÔ Ú Ð Ö ØÖÐ º Ó Ò Ò Ú Ò Ó Ò Ð Ò Ó Ö ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò ÐÙ Ú Ð¹ ÓÖÖ Ö Ò µ Ú ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ø Ð Ò Ðº Ò Ø Ð Ò Ð Ò Ú Ö ÑÔÐ ØØ Ò ÒÝ Ø Ð Ò Ð Ñ ÑÔ¹ Ð Ò Ö Ú Ò Ò 176,4 khz = 4 44,1 khzµ Ð º ÇÖ Ò Ø ÐÐ ØØ Ö ØØ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò Ú Ò Ò ÐÓ Ò Ð ÖÒ Ò Ñ Ö Ú Ò Ò 44,1 khz ÑÔÐ Ø Ð Ò Ð Ò ÙÐÐ ÖÚ ØØ Ò ÐÓ Ø ÐØ Ö Ñ ÑÝ Ø ØÖ Ø Ô Ø ÓÒ Ö Ö ØØ Ñ Ø ÐÐÖ Ð ÒÓ Ö ÒÒ Ø Ö ¹ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ù Ó Ò Ð Òº Ò Ú Ö ÑÔÐ Ø Ð Ò Ð Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ñ Ò» Óѹ Ú Ò Ð Ö Ó ØØ Ø Ö Ð Ò Ò ÐÓ Ø Ð Ô ÐØ Ö Ø ÐÐ Ò Ò ÐÓ Ò Ð ÓÑ Ñ Ø ÐÐÖ Ð ÒÓ Ö ÒÒ Ø Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ö Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ù ¹ Ó Ò Ð Òº Ì Ú Ö Ò ÑÔÐ Ò Ö Ú Ò Ò Ó Ò Ø Ð Ò Ð Ò Ò Ø Ò ÐÓ Ð Ô ÐØÖ Ø Ô Ø ÓÒ Ö Ö Ñ Ò Ö ØÖ Ø º ½º Î Ø Ò Ð Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Î ÐÐ Ö ÑÑ Ò ØØ Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò ÖÒ Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ð Ò Ð Ò º Ò Ó Ö Ø Ð Ú ÔÖÓ Ð Ñ ØÐй Ò Ò Ö Ö Ò ÖÙØ ØØÒ Ò Ö ØØ ÙÒÒ Ð ÔÖ Ø Ò Ö ÓÑÑ Ò ¹ Ò Ð Ò Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñº

19 ½¾ à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÆÁÆ ÓÙÖ Ö Ò ÐÝ ØØ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø ÐÐ Ò Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ x(t) Ø ÔÐ Ò Ø Ö ØØ Ö Ú Ò Ð Ò Ö Ú Ò ÒÒ ÐÐ ÓÖÑ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ X(ω) Ú Ö ¹ Ú Ò Ò ωº Ø Ú Ö ØØ Ö Ò Ð Ò Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò ØÙÖÐ Ö Ó Ò Ð Ö ØØ Ò ÐÝ Ö Ó Ð Ö Ú Ò ÔÐ Ò Ø Ò Ø ÔÐ Ò Øº Å Ø Ñ Ø Ø Ò Ö Ö Ú Ò ÔÐ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò X(ω) ÓÑ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò x(t)º Ö Ò Ò Ò Ú ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú Ò Ò Ð Ö Ò Ú Ø Ò Ð Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒº ËØ Ò Ö Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö Ø Ú Ö Ò Ò ÓÙ¹ Ö ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ò º º Ò ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Òº ËÝÒØ Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ú ÐØ Ö ØØ ÐØ Ö Ö ØØ Ý Ø Ñ ÓÑ Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ö Ò Ò Ð x(t) Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ò Ø ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ò Ð y(t)º ËÝ Ø Ñ Ø G ÙÖ ½º½ Ö ØØ ÐØ Öº ËÝÒØ Ú ÐØ Ö ØÖ Ú ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö ØØ ÐØ Ö ØØ Ò Ð Ò Ð Ò y(t) Ö ÚÒ Ò Ô Öº Ò ØÝÔ ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò Ö Øº ܺ ØØ Ð Ñ Ò Ö ÖÙ ÖÒ Ò Ò Ð Ö ØØ ÙÖ ÒÒ ÜØÖ Ö Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÖÙ Ö Ò Ðº ØØ Ò Ö ÒÓÑ ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö ØØ ÐØ Ö ÓÑ ÔÖÖ Ö Ö Ú Ò Ö ÓÑ ÖÙ Ø ØÖ Úº Ò ÒÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ú ÐØ Öº Ø Ö ÖÚ Ú Ø Ø ØØ ÐØ Ö Ú Ø ÓÒ ÖÒ ÙØ Ö Ñ Ð Ø Ø Úغ Ø Ð ¹ Ò ÐÔÖÓ ÓÖ Ö Ö Ò Ö Ø ØÙÖ ÓÑ Ø Ö Ò Ø Ú ÒÙÑ Ö Ü Ú Ö Ò Ú ÐØ Ö Ú Ø ÓÒ Öº Ë Ò ÐØÖ Ò ÓÖÑ Ö Î Ú Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ð Ö Ö Ø Ó Ø Ú Ø Ø ØØ Ñ Ò Ñ Ö ÑÒ ¹ Ò Ú Ø Ö Ú Ö Ö Ò ¹ ÐÐ Ö Ð Ö Ò Ô Ø Øº ØØ ÖÙØ ØØ Ö ØØ Ò Ð ÖÒ Ö Ú Ò ÓÑÔ Ø ÓÖѺ Ö ØØ ÙÔÔÒ ØØ Ø ÐÐÑÔ ÓÐ Ò ÐØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú Ð Ò Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ú ÓÐ ÙÒ Ø ÓÒ ¹ Ð Öº ÇÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ú Ð ØØ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ú Ò Ò ØÙ ÐÐ Ò Ð Ò Ò Ò Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ô ØØ ÑÝ Ø ÓÒÓ¹ Ñ Ø ØØ Ñ Ò Ø ÑÒ ÓÑ Ö ØÝ Ð Ø Ñ Ò Ö Ò Ò ÑÒ Ø ÓÑ Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ò Ð Ò ÖÚ Öº Ò ÓÚ Ò ÒÑÒ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ö Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ØÖ Ú Ô Ö Ó ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ø ÒÒ Ñ ÐÐ ÖØ Ò ÑÒ Ò Ö Ú Ø Ò ÐØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Öº Ò Ô ÐÐØ Ø Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ð ÓÑÔÖ ÓÒ Ö Ö Ô

20 ½º º ÎÁÃÌÁ ËÁ Æ Ä À Æ ÄÁÆ ËÇÈ Ê ÌÁÇÆ Ê ½ º º ÖÙ Ò Ò Ö Ò º Û Ú Ð Ø µº Ì ÓÖ Ò Ö Û Ú Ð Ø¹ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ö ÖØØ Ú Ò¹ Ö Ó Ò Ö ÙÐÐÒ Ø Ö Ø ÖØØ ÒÝÐ Òº Ø Ò Ú Ö Ð ØØ ÔÔ ØØ Ò ØÝÔ Ú Ò Ð ÓÑÔÖ ÓÒ ÓÑ Ö Ú Ö Ö Ô Ò Ö ÒØ Ò Ô Ö Ó Ò Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÖÑ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒx(t) ÐÐ Ö Ò Ú Ò {x d (k)}º Ò Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ú Ò ÓÑ Ò Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ö Ú ÒÐ Ò Ò Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÐÓÖ º ÒÒ ÓÑÔÖ Ñ Ö Ò Ñ ØÓ ÐÐ ÖÚÜÐ Ñ ÖÐÙ Ø Ö Ñ ØÓ Ö ÓÑ ÒÚÒ Ö ØØ ÓÑÔÖ Ñ Ö Ø Ú Ò Ö º º Ä ÑÔ Ð¹ Ú¹ Ó Ò Ò ÓÑ ÙØÒÝØØ Ö ÙÔÔÖ ÔÒ Ò Ö Ú Ð Ú Ò Öº ÖÐÙ Ø Ö Ó Ò Ò Ø ÐÐÑÔ Ö Ø Ô Ò ÓÑÔÖ Ñ Ö Ò Ð Òº ÅÓ ÙÐ Ö Ò Î Ú Ö Ö Ò Ú Ò Ð Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ð ÖÒ ÐÐ Ò Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ¹ ÓÖÑ ÙØ Ò ØÐÐ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ô ÓÐ Øغ ÇÑ Øº ܺ Ù Ó Ò Ð Ö ÙÐÐ Ú Ö Ö Ô ÑÑ Ò Ð ÙØ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ò ÙÐÐ Ò Ø Ò Ò Ð Ò Ò ÙÒÒ Ò Ø Ö ÓÑ ÓÐ Ò Ð ÖÒ ÒØ ÙÐÐ ÙÒÒ Ð Ø Ô ÑÓØØ Ö Òº Å ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ö ÑÓØ Ö Ø Ñ Ð Ø ØØ ÑØ Ø Ò Ö Ò Ð Ö Ú Ö ÑÑ Ò Ð ÙØ Ò ÖÚÜÐ Ò Ú Ò Ð ÖÒ º ØØ Ø ÓÑÑ ÒÓÑ ØØ ÐØ Ò Ð Ò ÒÚ Ö Ô Ò ÓÒ Ò Ô Ó Ú Ö Ò ÖÚ º Ö Ö Ú ÒØ Ò Ð Ö ÓÑ Ö ÚÐ Ô Ö Ö ÖÒ Ú Ö Ò Ö Øº ܺ ÒÓÑ ØØ ÙÔÔØ Ö ÓÐ Ö Ú Ò Ò ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ð ÓÐ Ò Ð Ö Ú Ò Ø Ô Ö Ó º ØØ ÖØ Ð ÓÐ ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ñ ØÓ Ö Ö ÙØÚ Ð Ø ÚÐ Ö Ò ÐÓ ÓÑ Ø Ð Ò Ð Ú Ö Ö Ò º ÃÓ Ò Ò ÃÓ Ò Ò ÒÚÒ Ðº º Ö ØØ ÙÔÔÒ ÐØÓÐ Ö Ò Ú Ò Ð Ú Ö Ö Ò Ó Ð ¹ Ö Ò º ÅÐ ØØÒ Ò Ò Ú Ð ÓÖÖ Ö Ò Ó Ò Ò Ö ØØ ÙÒÒ Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ò Ð Ò ØÖÓØ Ð Ú Ú Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ð Òº ØØ ÙÔÔÒ ÒÓÑ ØØ Ò Ö Ö ÙÒ Ò Ò Ð Òº Ò ÐØÓÐ Ö ÒØ Ó ¹ Ò Ö Ö Ö Ö Ö ÓÙÒ Ú Ð Ò Ò Ó Ò Ð ÓÑ Ö ÐÒ Ö Ò Ò Ó Ó Ò Ð Òº ØØ ØÖ Ú ÐØ ØØ ÚÓÖ ØØ ÙÔÔÖ Ô Ú Ö Ò ÐÚÖ Ò Ö Ø ¹ Ò Ð ØØ ÒØ Ð Ò Ö Ú ÖÚ Ò Ø Ð ÐØØ ÙÒ ÙÔÔØ Ó Ð Ñ Ò Ö º Ø ÒÒ Ñ ÐÐ ÖØ ØÝ Ð Ø Ø Ú Ö Ó Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ú Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ò Ö Ñ Ð Ø ÓÖØ ÑØ Ø ÓÑ Ò Ú Ò Ð ÓÖÖ Ö Ò Ô ¹ Ø Ø Ö ÒØ Ö º Ö º º À ÑÑ Ò ¹ Ó ÖÒ Ö Ø¹ Ú Ò Öµ Ó

21 ½ à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÆÁÆ Ê ¹ËÓÐÓÑÓÒ¹ Ó ÖÒ Ö ¹ ÒÖ Ú Ò Öµº ÐÐ ¹ Ý Ø Ñ Ö Ù ¹ ÓØ ÐÐÑÔÒ Ò Ö ÙØÒÝØØ Ö Øº ܺ Ò Ø Ú Ð ÓÖÖ Ö Ò Ó Ú ÒÒ ØÝÔ Ñ Ö Ú Ò ØØ ½º µº ÃÓ Ò Ò Ö ØØ ÑÝ Ø ÓÑ ØØ Ò ÔÖÓ Ð ÑÓÑÖ Ñ Ò Ø ÓÖ Ö Ó Ñ ØÓ Öº Ú Ò ÓÑ Ó Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÙÔÔ ØÖ Ö Ò Ð Ò Ð Ò Ø ÐÐÑÔ¹ Ò Ò Ö Ö Ø ÓÖ Ò Ö Ó Ò Ò ÒÖÑ Ö Ð Ø Ñ ÐÐÑÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ¹ Ø ÓÖ Ó ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ º Ø ÙÐÐ ÖÚ Ö Ö ØÙ Ö ØØ Ò ÝØÐ Ø ÒØ Ñ ÐÐ Ô ¹ ÐÑ ØÓ Ö ÓÑ Ø ÐÐÑÔ ÒÓÑ ÑÓ ÖÒ Ò Ð Ò Ð Ò Ø Ò º ÄÝ Ð ØÚ Ö Ö ÙÚÙ Ð Ò Ú Ñ ØÓ ÖÒ Ô ØØ ÖÒ Ø ÒØ Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ò Ô Ö ÓÑ Ö Ö Ø ÐÐ Ö ØØ Ö Ø Ó Ø ÐÐÑÔ Ñ ØÓ ÖÒ º ÅÐ ØØÒ Ò ¹ Ò Ñ ÒÒ ÙÖ Ö ØØ Ò ÓÑÔ Ø ÓÖÑ ÙÒ Ô Ö ÓÑ Ú Ö ØØ Ö Ø Ú Ø Ø ÒÓÑ Ò Ð Ò Ð Ò Ö ÓÑÑ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ØÐÐÒ Ò ÖÒ º ½º Ä ØØ Ö ØÙÖ Ø ÒÒ Ò ÑÒ ÙØÑÖ Ø ÐÖÓ Ö Ò Ð Ò Ð Ò º ÃÐ Ö ÒÓÑ ÓÑÖ Ø Ö Ðº º Ê Ò Ö Ó ÓÐ ½ µ ÇÔÔ Ò Ñ Ó Ï ÐÐ Ý ½ µ Ó ÇÔÔ Ò Ñ Ó Ë Ö ½ µº Ü ÑÔ Ð Ô ÒÝ Ö Ö Ö ÈÖÓ Ó Å ÒÓÐ ½ µ Á ÓÖ Ó Â ÖÚ ½ µ ËÑ Ø ¾¼¼ µ ÑØ Ì Ò ¾¼¼ µº Ú Ö Á ÓÖ Ó Â ÖÚ ½ µ Ñ Ö ÔÖ Ø Ó ÙØ Ö Ö Ðº º ÓÑÑ Ö ÐÐ Ø Ð Ò ÐÔÖÓ ÓÖ Ö Ó Ö Ö Ø ØÙÖ Öº ÒÒ ÙÖ Ö Ö ÒÖÑ Ø Ô Ú Ð Ð Ö Ú Á ÓÖ Ó Â ÖÚ ½ µ ÑØ ÈÖÓ Ó Å ÒÓÐ ½ µº Ò Ø ÐÐÑÔ Ò ÐÐ Ú Ò Ð ÓÑÔ Ò Ø È Ö Ò Øº Ð ¾¼¼ µº ËÚ Ò ÔÖ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ð Ò Ú ËÚÖ ØÖ Ñ ½ µ ÑØ Ù Ø ÓÒ Ä ÙÒ Ó Å ÐÐÒ ÖØ ¾¼¼¼µº À ÖÒ ÓÖ ÀÓÐÑ Ö Ó ÄÙÒ ÕÚ Ø ¾¼¼ µ Ö Ò Ö ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ð Ö Ó Ý Ø Ñ Ò ÐÙ Ú ÖÙÒ ÖÒ Ö Ò Ð Ò Ð Ò Ó Ö Ð Ö Ý Ø Ñº

22 Ä ØØ Ö ØÙÖ ÖØ Ò Ò ½ º Ù Ø ÓÒ Äº Ä ÙÒ Ó Åº Å ÐÐÒ Öغ Ë Ò Ð Ò Ð Ò º ËØÙ ÒØРع Ø Ö ØÙÖ ÄÙÒ ¾¼¼¼º ¾ ĺ À ÖÒ ÓÖ Âº ÀÓÐÑ Ö Ó Âº ÄÙÒ ÕÚ Øº Ë Ò Ð Ö Ó Ý Ø Ñ Ñ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Öº ËØÙ ÒØÐ ØØ Ö ØÙÖ ÄÙÒ ¾¼¼ º º º Á ÓÖ Ò º Ϻ  ÖÚ º Ø Ð Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò ¹ ÈÖ Ø Ð ÔÔÖÓ º ¾Ò º ÓÒ¹Ï Ð Ý ¾¼¼½º º κ ÇÔÔ Ò Ñ Ò Êº Ϻ Ë Öº Ø Ð Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò º ÈÖ ÒØ ¹ À ÐÐ ½ º º κ ÇÔÔ Ò Ñ Ò º ˺ Ï ÐРݺ Ë Ò Ð Ò ËÝ Ø Ñ º ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ ½ º ˺ º È Ö Ò Âº º Â Ò Ò º ÙÐ Ö Ò Ò Ó Ãº¹ º À ÒÒ Ö º ÆÓØ Ö Ø Ð ½ ½¼ ÒÚ Ò Ø Ò Ð Ò Ð Ò º Ì Ò Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ò¹ Ñ Ö ¾¼¼ º º º ÈÖÓ Ò º º Å ÒÓÐ º Ø Ð Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò º ÈÖ Ò ÔÐ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ ½ º ĺ ʺ Ê Ò Ö Ò º ÓÐ º Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò º ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ ½ º ˺ Ϻ ËÑ Ø º Ø Ð Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò º ÈÖ Ø Ð Ù ÓÖ Ò Ò Ö Ò Ë ÒØ Ø º Æ ÛÒ ¾¼¼ º ½¼ º ËÚÖ ØÖ Ñ Ì ÐÐÑÔ Ò Ð Ò ÐÝ º ËØÙ ÒØÐ ØØ Ö ØÙÖ ½ º ½½ Ä Ì Òº Ø Ð Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò ¹ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ º ¹ Ñ ÈÖ» Ð Ú Ö ÙÖÐ Ò ØÓÒ Å ¼½ ¼ ÍË ¾¼¼ º ½

23 ½ ÄÁÌÌ Ê ÌÍÊ ÊÌ ÃÆÁÆ

24 Ã Ô Ø Ð ¾ Ë Ò Ð Ö Ò Ö ÖÙÒ Ö ÔÔ Á ØØ Ú Ò ØØ ÐÐ Ú Ò Ð Ò Ö ÖÙÒ Ö ÔÔ ÙÖ Ò ÐÝ Ò Ú Ò Ð Öº Ö ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò Ö ÓÑ Ò ÙÔÔ Ø ÐÐ Ú Ö Ø ØÖ Ø ØØ Ò ÐØ Ü ÑÔ Ð Ô ØØ ØÝÔ Ø Ò ÐÖ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ü ÑÔ Ð ¾º¼º½º Á ÙÖ ¾º½ Ö x(t) Ò Ò Ð ÓÑ Ú Ö Ö Ú Ö Ò Ò Ð Øº ܺ Ò Ø Ð ÓÒÐ Ò µ Ú ÖÚ Ò Ú ÑÓØØ Ö Ò Ð Ö ÖÚÖÒ Ú Ý Ø ¹ Ñ Ø F ÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ú Ö Ö Ò Ò Ð Òº ÙØÓÑ ÔÚ Ö Ò Ð Ò Ú ØØ ÖÙ e ÓÑ ÓÑÑ Ö Ò ÙÒ Ö Ú Ö Ö Ò Òº Î Ò Ö Ô Ò Ú Ò ÑÓØØ Ò Ò Ð Ò y(t) Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ò Ð Ò ÚÐ ÓÑ Ñ Ð Øº Ö Ö ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ò Ð Ò y Ñ ØØ Ò Ð Ò ¹ Ð Ò Ý Ø Ñ Hº ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö H ØØ Ð Ø x x r Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ò Ð Ò x Ó Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ð Ò x r Ö Ñ Ð Ø Ð Ø Øº ËÝ Ø Ñ Ø H Ò Ú ØÚ Ú Ö ØØ Ø ÐØ Ò Ð Ò Ð Ò Ý Ø Ñ Ú Ò ØÝÔ ÓÑ Ú ÙÖ ½º¾ Ú ÖÚ Ò Ò ÐÙ Ö Ö» ¹ Ó» ¹ÓÑÚ Ò Ð Ö ÑØ Ö ÓÖ ÖÐ Ò ÐÓ ÐØ Öº ËÝ Ø Ñ Ø F ÒØ Ö ÑÓØ Ø Ú ØØ Ý Ð Ø Ý Ø Ñ Ó Ö Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖРغ Ö ØØ Ò ÐÖ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ú Ö Ñ Ò Ò ÙÐÐØ Ö Ñ Ò Ú ØÚ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ e x F z + + y H x r ÙÖ ¾º½ Ë Ò ÐÖ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒº ½

25 ½ à ÈÁÌ Ä ¾º ËÁ Æ Ä Ê Æ Ê ÊÍÆ Ê ÈÈ Ò Ò Ý Ø Ñ Ò ØØ ÐÐ F µ Ó Ò Ð ÖÒ º ËÝ Ø Ñ Ø F Ò ¹ ØÑÑ ÒÓÑ Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ò ØÙ ÐÐ Ý Ð ÔÖÓ Ò Ú Ö Ö Ò Ò Ð Ò ÐÐ Ö ÒÓÑ ØØ ÙØ Ö ÒØ Ö Ò ÜÔ Ö Ñ Òغ Ø Ö Ö Ö Ö Ð Ø Ø ØØ ÒØ ØØ Ý Ø Ñ Ø F Ö Òغ ÇÑ ÖÙ Ø e ÚÓÖ ÒÓÐÐ ÙÐÐ y = z ÐÐ Ó Ü Ø Ö ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÙÐÐ ÙÔÔÒ Ñ x r = F 1 y ÖÙØ ØØ ØØ Ý Ø Ñ Ø F Ö Ò ÒÚ Ö ÓÑ Ò Ö Ð Ö ÔÖ Ø Òº Á ÔÖ Ø Ò ÒÒ Ø ÐÐØ ÖÙ ÐÐÓÖ ÓÑ ÔÚ Ö Ö Ò Ð Öº Á ÑÓØ Ø Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Ø F Ú Ö ÒÚ Ö Ò Ô Ò Ð Ò Ò ÒØ Ú Ö Ò Ò ÖÙ Ø e ÒØ Ö Ø ÑØ Ø Ò Ñ Ò Ö Ø ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ö Ò ÙØ ÓÑÑ Ò Ò Ð Ò y = z +eº ÀÙÖ ÐÐ Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ò Ð Ò x ÙÒÒ ØÑÑ Ç ÖÚ ¹ Ö ØØ y ØÖ Ú ØÚ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò z = Fx Ó Ø Ö¹ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò eº ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ð Ú Ú Ð ÒØ Ñ ØØ Ô Ö Ö ØÚ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ ÖÒ Ú Ö Ò Ö º Ö ØØ ÙÒÒ Ö ØØ Ñ Ø Ò Ð ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ Ò z Ó ÖÙ Ø e Ò Ô Ö ÓÑ Ò ÓØ Ú Ò Ö ÓÐ Ó Ö Ø Ñ Ð Ø ØØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ Øº ÄÝ Ð ØÚ Ö ØØ Ó Ø ÐРغ Ò Ù Ó¹ Ò Ð Øº ܺ ÒÒÒ ÐÐ Ö Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÙÒ Ö 0 khz Ñ Ò ÖÙ Ó Ø ÒÒ ÐÐ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ú Ö Ö Ú Ò Öº Ò Ñ ØÓ ØØ Ð ØÚ Óѹ ÔÓÒ ÒØ ÖÒ Ø ÙÒ Ð Ø Ú ØØ ÙÒ Ö Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ Ó Ò Ð Ò yº Ü ÑÔ Ð ¾º¼º½ ÐÐÙ ØÖ Ö Ö ÓÚ Ø Ú ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ð Ö Ò ÓÖÑ ÓÑ Øº ܺ Ñ Ð Ö Ô Ö Ö Ò Ú ÓÐ Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº ØØ Ò Ú ÒØ ¹ Ø Ø ÚØ ÙØ Ö Ñ ÐÔ Ú ÓÐ Ò ÐØÖ Ò ÓÖÑ Öº Á Ü ÑÔÐ Ø ÙÐÐ Ö ÓÒ¹ ØÖÙ Ø ÓÒ Ð Ø x x r Ö Ñ Ð Ø Ð Ø Øº Ð Ø Ò Ñ ÐÐ ÖØ Ö Ð Ø Ø Ô ÑÒ ÓÐ Øغ Î ÝÒØ Ú ØØ Ò Ð Ò Ð Ò Ý Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ò ÐÙØ Ö ØØ Ú ÒØ Ø Ø ÚØ ÑØØ Ö ØÓÖÐ Ò Ó Ð Ø x x r º Ë Ò Ú ÒØ Ø Ø Ú ÑØØ Ú Ò ÐÒÓÖÑ Öº ¾º½ Ë Ò ÐØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ë Ò Ð Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ø ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö x(t) Ú Ø Ò Ò ÐÓ Ò Ð Öµ ÐÐ Ö ÓÑ Ú Ò Ö {x(k)},k =..., 1,0,1,... Ö Ø Ò Ð Öµº Ø Ú Ö ØØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò Ö Ó Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ò Ð Ú ÚÖØ ÓÑ Ò Ð Ò ØÐÐ Ø Ö ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ø Ò t Ö Ô Ø Ú kµ Ò Ñ ÐÔ Ú ÙØÚ Ð Ò Ö Ú ÚÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ºÚº º x(t) = i c i ϕ i (t), ¾º½º½µ

26 ¾º½º ËÁ Æ ÄÌÊ ÆË ÇÊÅ Ê ½ Ö Ô Ø Ú x(k) = i c i ϕ i (k), k =..., 1,0,1,... ¾º½º¾µ ÇÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÒ Ò {ϕ i } Ö Ø ÐÐÖ Ð Ø Ò Ö ÐÐ Ò Ó ÒØ ÖÒ c i Úй ØØ Ð Ø ÖÒ ¾º½º½µ Ö Ô Ø Ú ¾º½º¾µ ÐÐ Ö Ö Ò Ö Ð Ú ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Öº ÙÒ Ø ÓÒ Ò x(t) Ö Ô Ø Ú {x(k)}µ Ò ÐÐ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ú Ú Ò Ò {c i } = {c 0,c 1,...}º Ë Ú Ò Ò {c i } Ú Ö Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ú Ò Ð Ò x Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ϕ i ÙØÚ Ð Ò Ò Ö º º ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ò ÔÖ Ø ØÝ Ð Ò Ó ÝÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò ¹ Ð Ò Ò ÓÖÑ ÓÑ Ö Ò Ð Ö ÓÐ Ò Ð Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ö ØÓÐ Ò Ò Ú Ò Ð Òº ÌÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ú Ø Ö ÑÑ Ò Ò ¾º½º½ ÃÓÑÔÖ ÓÒ Ú Ø ÒØ ØØ Ú Ö Ò Ö Ø Ò Ð Ñ N = 1000 ÔÙÒ Ø Ö x(0) x(1),...,x(n 1)º Ø Ò ÝÒ ÓÑ ØØ Ò ØÙÖÐ Ø ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ð Ò ÓÖÑ Ú Ø Ð Ò Ú Ò Ò {x(k)} N 1 k=0 º Ñ ÐÐ ÖØ Ö ÒÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÒØ Ò ØÙÖ¹ Ð Ö Ò Ò Ö º Ç ÖÚ Ö ØØ ÓÑ Ú Ò Ö Ö ÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ϕ i (k) = { 1, k = i, 0, k i, ¾º½º µ Ò Ú Ò Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò x(k) = i x(i)ϕ i (k), k = 0,1,...,N 1. ¾º½º µ Á ÒÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö ÐÐØ Ó ÒØ ÖÒ c i = x(i) Ó Ø ÖÚ N = 1000 Ó ÒØ Ö Ö ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ð Òº Å Ò Ú Ð Ø Ú ÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ¾º½º µ Ö ÒØ Ò ØÙÖÐ Ö Ò Ò ÓØ ÒÒ Ø Ú Ð Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö ϕ i ÙØÚ Ð Ò Òº ÌÚÖØÓÑ Ò Ò ÓØ ÒÒ Ø Ú Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ú ØØÖ º ÇÑ Ñ Ò Øº ܺ Ú Ø ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ö Ö Ø ØØ x(k) Ò Ò ÓÑ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú Ò Ö Ö ÔÓÐÝÒÓÑ ØØ x(k) = c 0 +c 1 k +c k, k = 0,1,...,N 1, ¾º½º µ ÚÓÖ Ø Ò ØÙÖÐ Ø ØØ ÚÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ [ φ0 (k) = 1, φ 1 (k) = k, φ (k) = k ], ¾º½º µ

27 ¾¼ à ÈÁÌ Ä ¾º ËÁ Æ Ä Ê Æ Ê ÊÍÆ Ê ÈÈ Ú ÖÚ Ð Ú Ò Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ú ØÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ c 0 c 1 Ó c ÓÖÑ Ò [x(k) = c 0 φ 0 (k)+c 1 φ 1 (k)+c φ (k), k = 0,1,...,N]. ¾º½º µ ØØ Ñ Ð Ö Ò Ú ÚÖ ÓÑÔÖ Ñ Ö Ò Ú Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ø ÑÒ Ò Ø Ò Ú N = 1000 Ø Ðº Á ÑÒ ÑÑ Ò Ò Ö Ñ Ò Ò Ð Ö ÓÑ ØÖ Ú Ô Ö Ó ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ Ö ÓÑ Ò ÙØØÖÝ Ñ ÐÔ Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ¹µ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ê Ò ØÓÒ Ö Ù Ó Ò Ð Ö Ö Øº ܺ ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Öº Á ¹ Ò ÐÐ Ö Ø Ò ØÙÖÐ Ø ØØ ÙØÚ Ð Ò Ð Ò Ñ ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Öº ¾º½º¾ Ö Ò Ò Ú ÙØ Ò Ð Ò ÖÒ ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñ Ö Ò Ò Ò Ú ÙØ Ò Ð Ò y(t) ÖÒ ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö ÐØ Ö Ñ Ò ¹ Ò Ð Ò x(t) Ö Ò ÒÙÑ Ö Ø ÖÚ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒº Å Ò Ú Ø Ñ ÐÐ ÖØ ØØ ÓÑ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð sin(ωt) Ö ÙØ Ò Ð Ò Ò ÒÒ Ò ¹ ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ñ ÑÑ Ö Ú Ò ω Ñ Ò ÐÐÑÒ Ø Ñ Ò ÒÒ Ò ÑÔÐ ØÙ Ó y(t) = Asin(ωt+φ)º Ö Ò Ò Ò Ú ÙØ Ò Ð Ò Ð Ö Ö¹ Ö ØÖ Ú Ð ÓÑ Ñ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ò Ð Ò x(t) Ñ ÐÔ Ú Ò ÙØÚ Ð Ò Ò Ú ÓÖÑ Ò ¾º½º½µ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ϕ i (t) Ö ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ø Ö Ð Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ö Ø Ö Ö Ý Ø Ñ Ñ Ú Ò Ö ¹ Ø Ô ÓÐ Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ Ó Ò Ò Ðº Å Ò Ø Ð Ö Ð ÓÑ Ð Ô ÐØ Ö Ô ÐØ Ö Ò Ô ÐØ Ö ÐØ Ö Ñ Ð Ò Ö Ö ÙØÒ Ò Óº ºÚº Ç ÖÚ Ö ØØ ÓÑ Ý Ø Ñ Ø F Ü ÑÔ Ð ¾º¼º½ Ö Ð Ò ÖØ Ò Ò Ð Ò x ÒØ ÒÒ ÐÐ Ò Ö Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ ÒÒ zº ËÝ Ø Ñ Ø ÑÔ Ö Ö ØÖ Ö Ó Ö ÙØ Ö ÓÐ Ö Ú Ò ÖÒ Ô ÓÐ ØØ Ñ Ò Ð Ò Ö ÓÔ Ð Ö Ú Ò Öº ¾º½º ÌÓÐ Ò Ú Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò ¾º½º½µ Ó ¾º½º¾µ Ò Ó ÙØÒÝØØ Ö ØØ Ö Ò Ð ØÓÐ Ò Ò Ò Ú Ò Ð Öº Ø Ö Øº ܺ Ú ÒÐ Ø Ñ Ô Ö Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ¹ Ò Ð Öº Ë Ò Ò Ú Ö ÚÖ ØØ ÙÔÔ ØØ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò x(t) ÐÐ Ö {x(k)}º ÇÑ Ò Ð Ò ÙØÚ Ð Ñ ÐÔ Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ÑØÖ Ö

28 ¾º¾º ËÁ Æ ÄÆÇÊÅ Ê ¾½ Ô Ö Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò Ð Ò Ð ÖØ ÓÖÑ Ú ØÓÖ ÚÖ Ò Ö Ó ¹ ÒØ Ö c i ÙØÚ Ð Ò Ò ÓÑ ÑÓØ Ú Ö Ö ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò ØÙ ÐÐ Ô Ö Ó Òº Á Ü ÑÔ Ð ¾º¼º½ Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ú Ò Ð Òy Ô Ö Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ ¹ Ð Ö Ò Ô Ö Ö Ò Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ z Ó e ØÝ Ò ÒØÖ ÒØ Ò Ð Ò z Ö ÐÐÑÒ Ø Ò Ð Ö Ú ÒØ Ò Ð Ñ Ò ÖÙ Ø e Ó Ø Ö Ö Ú Òغ Ë Ò Ð Ò z Ö Ú Ð Ú Ð Ö Ú ÒØ Ô Ö Ó Ò Ð Ö Ó e Ö Ú Ú Ö Ú ÒØ Ô Ö Ó Ò Ð Öº Ø ÒÒ ÑÒ ÓÐ ØØ ØØ ÙØÚ Ð Ò Ò Ð Ñ ÐÔ Ú ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ö Ñ Ò Ø Ú ÖÐ Ø Ú Ø Ø Ö Ò ÓÑ ÙØÒÝØØ Ö Ô Ö Ó ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ë ÓÑ Ö Ñ ØØ ÙÖ Ù ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ö Ò Ð Ö Ò Ò ÙØÚ Ð Ò Ò ÐÝ Ò Ú ØØ ÐØ Ö ÒÚ Ö Ò Ô ÓÐ Ò Ð Ö Ó Ö ØØ ÓÙѹ ÖÐ Ø Ú Ö ØÝ Ú ÝÒØ Ú ÐØ Öº Ò ÐÝ Ò Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙØÚ Ð Ò Ñ ÐÔ Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ö Ú Ò Ò ÐÝ ÐÐ Ö ÓÙÖ Ö Ò ¹ ÐÝ º Ò Ò ÙØÚ Ð Ò Ö Ú Ö Ö Ø Ö Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ø Ó Ò Ò Ðº Ö Ú Ò Ò ÐÝ Ö Ú Ñ Ö Ø Ð Ö Ø Ô Ø Ð º ¾º¾ Ë Ò ÐÒÓÖÑ Ö Á Ü ÑÔ Ð ¾º¼º½ Ú Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØØ Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ð Ò x ÙÖ Ò ÑÓØØ Ò Ò Ð Ò y = z +eº Ò Ò Ð x r ÐÐ ÐÐØ Ö Ò ÙÖ y ÓÑ ÔÔÖÓÜ Ñ ¹ Ö Ö Ò Ð Ò x Ú Ö ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ð Ø x x r Ö Ñ Ð Ø Ð Ø Øº Ø ÒÒ Ñ ÐÐ ÖØ Ö ØØ ØØ ÑØ ØÓÖÐ Ò Ó Ò Ò Ð x x r Ó Ö ÙÐØ Ø Ø Ö ÖÓ Ò Ú ÙÖ Ò Ð Ò ØÓÖÐ Ò Ö º Î Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ò Ò Ð x ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ x(t) Ö Ø Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ò Ö Ò Ð Ò ØÓÖÐ Ñ ÐÔ Ú Ò ÒÓÖÑ Ò Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò x(t)º ÆÓÖÑ Ö Ø Ò Ñ x º ÒÓÑ Ò Ð Ò Ð Ò Ú ÒÐ Ø Ó Ñ Ø ÒÚÒ Ö ÒÓÖÑ ÖÒ Ö L p ¹ÒÓÖÑ ÖÒ ÓÑ Ò Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð Ö ÒÐ Ø ( )1 x p = x(t) p p dt, p = 1,,... ¾º¾º½µ Ó Ö p = µ x = sup x(t). t ¾º¾º¾µ L p ¹ÒÓÖÑ ÖÒ Ö Ø Ö Ö Ú Ø Ð Ø p Ö Ñ ÚÖ Ò Ô p ÔÚ Ö Ö ÐÐ Ò ÐÚÖ Ò x(t) Ö Ð Ø ÚØ ÑÒØ Ø ÐÐ ÒÓÖÑ Ò ØÓÖÐ Ñ Ò ØÓÖ ÚÖ Ò Ô

29 ¾¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ËÁ Æ Ä Ê Æ Ê ÊÍÆ Ê ÈÈ p Ö Ú Ø Ø ØÓÖ Ò ÐÚÖ Ò Ñ ÐÐ Ø p = ÓÑ ÜØÖ Ñ Ðк ½ ØØ Ú Ø Ø Ô Ð ÐÐ Ú L p ¹ÒÓÖÑ Ö Ö L 1 ¹ÒÓÖÑ Ò x 1 = x(t) dt, ¾º¾º µ ÑØ L ¹ÒÓÖÑ Ò ( )1 x = x(t) dt. ¾º¾º µ Á ÝÒÒ Ö Ø L ¹ÒÓÖÑ Ò Ö ÒÚÒ Ö ÒÓÑ Ò Ð Ò Ð Ò Òº Ò Ú Ö Ú Ö Ò Ð ØØ Ö Ò Ó Ö ØØ ÒØ Ð Ô ÐÐ Ò Ô Ö ÓÑ Ö Ò ØØÖ Ø Úº L ¹ÒÓÖÑ Ò Ú Ö Øº ܺ Ú ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú Ò Ò Ð x(t) Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ X(ω) Ö ÑÑ L ¹ÒÓÖÑ Ñ Ö È Ö Ú Ð ÓÖ¹ Ñ Ð Ú Ò ØØ º¾º Ó º º½µº ØØ Ö ÒÓÖÑ Ò Ò Ð ØØ ÙØÒÝØØ Ñ Ò Ñ Ö Ú Ò Ò ÐÝØ Ñ ØÓ Öº L ¹ÒÓÖÑ Ò Ö Ó Ò Ò ØÙÖÐ Ý Ð ØÓÐ Ò Ò ÓÑ Ò Ö Ò Ó Ò Ò Ðº ØØ ÖÓÖ Ô ØØ Ò Ò Ö E(i) ÓÑ Øº ܺ Ð ØÖ ØÖ Ñ i(t) Ö ÖÙ Ö ØØ ÑÓØ ØÒ R Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ ÒØ Ö Ð Ò Ú ØÖ ÑÑ Ò ÐÐ Ö ÔÒÒ Ò Ò µ Ú Ö Ø E(i) = R i º Ö Ö Ø Ò Ð Ö {x(n)} Ò Ö Ô ØØ Ò ÐÓ Ø ØØ l p ¹ÒÓÖÑ ÖÒ ( )1 x p = x(n) p p n, p = 1,,..., ¾º¾º µ Ó Ö p = µ x = max x(n). n ØØ Ú Ø Ø Ô Ð ÐÐ Ú l p ¹ÒÓÖÑ ÖÒ Ö l 1 ¹ÒÓÖÑ Ò ¾º¾º µ x 1 = n x(n), ¾º¾º µ ÑØ l ¹ÒÓÖÑ Ò x = ( x(n) )1. ¾º¾º µ Á Ò ÐÓ Ñ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÐÐ Ø Ú Ö l ¹ÒÓÖÑ Ò Ú ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ò Ñ Ö Ú Ò ØØ º½º½ Ó º¾º½µº ½ sup Ø Ò Ö Ö Ò º º Ñ Ò Ø ÚÖ ÖÒ Ò ÓÑ Ò Ú Ö Ð Ñ Ñ Ü Ñ ÚÖ Ø ÐÐ ØØ Ø ÐÐ Ö ÚÖ ÑÒ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò x(t) º Å Ò Ò Ó Ò ØÙ Ø ÓÒ Ö Ò Ñ Ò Ø ÚÖ ÖÒ Ò ÒØ Ø ÐÐ Ö ÒÒ ÚÖ ÑÒ º Ü ÑÔ ÐÚ Ö x(t) = 1 e t t > 0 Ö Ú sup t x(t) = 1 ØÖÓØ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒØ ÒØ Ö ÚÖ Ø 1 Ò ÓÒ ÔÙÒ Øº

30 ¾º º ÃÇÅÈÄ Ì Ä ¾ Im(z) θ x z z = x+jy y Re(z) ÙÖ ¾º¾ Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø z = x+jy Ø ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÔÐ Ò Øº ¾º ÃÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ö Ð Ø Ò ÙÐÐ Ö Ú Ò ÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú Ö Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÑ ÙØÒÝØØ ÒÓÑ Ò Ð Ò Ð Ò º ØÖ Ø ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ð z = x+jy, ¾º º½µ Ö j = 1º ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ú Ø Óѹ ÔÐ Ü Ø ÐÔÐ Ò Ø ÓÑ ØÖ Ú Ò Ö ÐÐ Ø Ð Ü Ð Ó Ò Ñ ÒÖ Ø Ð Ü Ð ÙÖ ¾º¾º Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø z ÑÓØ Ú Ö Ö Ò ÔÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ (x,y) Ø ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÔÐ Ò Ø ÙÖ ¾º¾µº Ì Ð Ø Ñ Ò ØÙ ÐÐ Ö ÓÐÙØ ¹ ÐÓÔÔ z Ò Ö ÓÑ Ú ØÒ Ø ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÐÐ ÔÙÒ Ø Ò(x,y)º ÖÒ ÙÖ Ò ¾º¾ Ñ ÈÝØ ÓÖ Ø z = x +y. ¾º º¾µ ÇÑ Ñ Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÐÒ Ñ ÐÐ Ò Ò Ö ÐÐ Ø Ð Ü ÐÒ Ó Ú ØÓÖÒ ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÐÐ ÔÙÒ Ø Ò (x,y) Ñ θ Ñ ÚÐ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ñ Ò x = z cosθ, y = z sinθ. ¾º º µ ¾º º µ ÃÓÑ Ò Ö ¾º º½µ Ó ¾º º µ Ö Ñ Ò z = z (cosθ +jsinθ). ¾º º µ

31 ¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ËÁ Æ Ä Ê Æ Ê ÊÍÆ Ê ÈÈ Î ÐÐ Ò Ò Ú ØØ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÓÖÒ ÙØØÖÝ Ø ¾º º µ Ô ØØ ¹ ÚÑØ ØØ Ò Ö Ø Ö Ö Ñ ÐÔ Ú Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò ÒÓÑ ØØ ÙØÒÝØØ ÙÐ Ö ÓÖÑ Ð e jθ = cosθ+jsinθ. ¾º º µ ÖÒ ¾º º µ Ó ¾º º µ ÙØØÖÝ Ø z = z e jθ, θ = argz. ¾º º µ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ¾º º µ ÐÐ Ö ¾º º µ Ú Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø z ÐÐ ÔÓÐÖ ÓÖѺ Ò ÔÓÐÖ ÓÖÑ Ò ÙØØÖÝ Ö Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø z Ñ ÐÔ Ú ÓÐÙØ ÐÓÔÔ z Ó Ú Ò ÐÒ θº Î Ò ÐÒ θ ÖÙ Ö ÐÐ Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø Ö ÙÑ ÒØ Ó Ø Ò θ = argz. ¾º º µ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ó ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ð Ò ØÑÑ ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ ÒÓÑ ØØ ÙØÒÝØØ Ñ Ò Ø ¾º º µ ÖÒ Ú Ð Ø Ø Ð Ö ØØ θ Ø Ö Ö tanθ = y x. ¾º º µ Ø Ö ÓÑ Ø Ò Òع ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ô Ö Ó Ò π ºÚº º tanθ = tan(θ +π)µ Ò Ö Ö ¾º º µ Ú Ò ÐÒ θ Ò Ø ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ú Ö Ò π Ú ÒÐ Ò π < θ < π º Ö ØØ Ò Ö ÔÙÒ Ø Ò (x,y) Ö Ñ ÐÐ ÖØ Ö ÙÑ ÒØ Ø θ ÙÒÒ ØÑÑ ÒØÝ Ø ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ú Ö Ò π غ ܺ 0 θ < πº ËÔ ÐÐØ ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ Ð ØØ tanθ Ó ÔÙÒ Ø ÖÒ (x,y) Ó ( x, y) Ö ÑÑ ÚÖ Ø Ö ÓÑ y = y º Ö ØØ ØÑÑ Ö ÙÑ ÒØ Ø θ ÒØݹ x x Ø Ö ¾º º µ ÓÑÔÐ ØØ Ö Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ Ú Ð Ò Ú Ö ÒØ ÔÙÒ Ø Ò (x,y) ( Öº ÇÑarctan¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ö ØØ Ò ÒØ Ö ÚÖ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø π, π ) Ö Ú Ð ( y θ = arctan, x 0, ¾º º½¼µ ( x) y ) = arctan x +π, x < 0. ¾º º½½µ Ø ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù Ø Ø z Ø ÐÐ z = x+jy Ò Ö ÓÑ z = x jy. ¾º º½¾µ

32 ¾º º ÃÇÅÈÄ Ì Ä ¾ ÍÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ð Ö ØØ z = z Ó argz = argz Ñ º ÙÖ ¾º¾µº Ø Ð Ö ØØ Ø ÓÑÔ Ü ÓÒ Ù Ø Ø Ø ÐÐ z = z e jθ Ö Ò ÔÓÐÖ ÓÖÑ Ò z = z e jθ, θ = argz. ¾º º½ µ ¾º º½ Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ë Ñ Ò Ø ¾º º µ Ñ ÐÐ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÖÐ Ô Ð Ò ØØ Ç ÖÚ Ö ØØ ØÖ Ó¹ ÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ì ÝÐÓÖ¹ Ö ÙØÚ Ð ÒÐ Ø cosθ = 1 1! θ + 1 4! θ4 +( 1) k 1 (k)! θk +, ¾º º½ µ sinθ = θ 1 3! θ ! θ5 +( 1) k 1 (k +1)! θk+1 + ¾º º½ µ Ø Ð Ö ØØ cosθ+jsinθ = 1 1! θ + 1 4! θ4 +( 1) k 1 (k)! θk + ( +j θ 1 3! θ3 + 1 ) 5! θ5 +( 1) k 1 (k +1)! θk+1 + = 1+jθ + 1! (jθ) + 1 3! (jθ) ! (jθ) ! (jθ)5 + ¾º º½ µ Ò Ö Ò Ö Ò Ì ÝÐÓÖ¹ Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò e jθ e jθ = 1+jθ+ 1! (jθ) + 1 3! (jθ) ! (jθ) ! (jθ)5 + ¾º º½ µ Î Ö Ð Ú Ø ØØ e jθ = cosθ+jsinθ ¾º º½ µ ØØ Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ó ØÖ ÓÒÓ¹ Ñ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ÐÐ ÙÐ Ö ÓÖÑ Ðº ÇÑÚÒØ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ cosθ Ó sinθ ÙØØÖÝ Ñ ÐÔ Ú Ú Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓ¹ Ò ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Òº ØØ Ø ÓÑ ÒÓÑ ØØ Ó ÖÚ Ö ØØ e jθ = cos( θ)+jsin( θ) = cosθ jsinθ. ¾º º½ µ

33 ¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ËÁ Æ Ä Ê Æ Ê ÊÍÆ Ê ÈÈ z = 1 = e j(π+πn) z = e jθ Im(z) 1 z = j = e j(π+πn) θ z = 1 = e jπn O Re(z) z = j = e j(3π +πn) ÙÖ ¾º Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò z = e jθ Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð¹ ÔÐ Ò Øº Ø ÓÒ Ó Ù ØÖ Ø ÓÒ Ú ¾º º½ µ Ó ¾º º½ µ ÑØ Ð Ò Ò Ú Ò cosθ Ö Ô Ø Ú sinθ Ö ÒÚ Ö Ñ Ò Ò cosθ = ejθ +e jθ sinθ = ejθ e jθ j, ¾º º¾¼µ. ¾º º¾½µ Î ÐÐ ÒÒÙ ÒÓØ Ö Ò Ö ÒÝØØ Ò Ô Ö Ó Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ ¹ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò e jθ º ÖÒ ¾º º½ µ Ð Ö e jθ = arge jθ = θ. cos θ+sin θ = 1, ¾º º¾¾µ ¾º º¾ µ Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ö Ð ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÑ Ð Ö Ô Ò Ø Ö ÐÒ Ø ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÔ Ò Ø Ñ º ÙÖ ¾º º ËÔ ÐÐØ

34 ¾º º ÃÇÅÈÄ Ì Ä ¾ ÐÐ Ö ØØ e j 0 = 1, e j π = j, e jπ = 1, e j 3π = j. ¾º º¾ µ ¾º º¾ µ ¾º º¾ µ ¾º º¾ µ Ø Ö ÓÑ ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÖÑ Ú Ò e jθ Ö Ô Ö Ó Ñ Ô Ö Ó Ò π ÐÐ Ö ÙØÓÑ e jπn = 1, e j(π+πn) = j, e j(π+πn) = 1, e +πn) j(3π = j, ¾º º¾ µ ¾º º¾ µ ¾º º ¼µ ¾º º ½µ Ö n Ö ØØ Ó ØÝ Ð Ø ÐØ Ð n = 0,±1,±,...º

35 ¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ËÁ Æ Ä Ê Æ Ê ÊÍÆ Ê ÈÈ

36 Ã Ô Ø Ð Ò ÐÝ Ú Ò Ð Ö Ö Ú Ò ÔÐ Ò Ø Ë ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ö Ú ÓÖÑ Ò x(t) = cos(ωt+φ) Ó x(t) = sin(ωt+φ) Ô Ð Ö Ò ÒØÖ Ð ÖÓÐÐ ÒÓÑ Ò Ð Ò Ð Ò ÑØ Ø ÓÖ Ò Ö Ò Ð Ö Ó Ý¹ Ø Ñº ÇÖ Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ð Ò Ô ÐÐ Ò Ô Ö Ó ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ö Ä Ò Ö ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÔÚ Ö Ö Ò Ø ÑÔÐ ØÙ Ó Ó ÒÙ ¹ ÓÖÑ Ò Ð Ö Ñ Ò ÒØ Ö Ú Ò Ò Ò Ð Ö Ò Ö Ú ÓÑ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ö Ú Ò ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ Ö Ú ÓÖ ÓÑ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ØÖÐÒ Ò ØÖ Ú ÒÙ ÓÖÑ Óѹ ÔÓÒ ÒØ Ö ÍÖ ØÚ Ö Ø Ò Ô ÖÒ Ð Ö ØØ Ø Ö ÚÑØ ØØ Ö Ø Ö Ö Ò Ô ÖÒ Ó Ð Ò Ö ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó ÐØ Ö Ñ Ö Ú Ò Ú Ö Ø ÓÑ Ö Ú Ö ÙÖ Ý Ø Ñ Ø ÔÚ Ö Ö Ò Ð Ò ÓÐ Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº ÍØ Ò ØÖ Ò Ô Ò Ð Ö ØØ ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ö Ó Ö Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ô Ð Ö Ò ÒØÖ Ð ÖÓÐÐ ÒÓÑ ÚÐ Ò ÐÓ ÓÑ Ø Ð Ø Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒº º¼º½ Ö ÚÒ Ò Ú Ò Ð Ö Ö Ú Ò ÔÐ Ò Ø ØØ Ú Ú Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÒÓÑ Ò Ð Ò Ð Ò ØÖ Ú ØØ ÙØØÖÝ Ò Ò Ð Ñ ÐÔ Ú Ò Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº Î Ö Ú Ò ØØ ¾º½ ÒØÝØØ ¾

37 ¼ à ÈÁÌ Ä º Æ Ä Ë Î ËÁ Æ Ä Ê Á Ê ÃÎ ÆËÈÄ Æ Ì Ò Ö Ú Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö ÓÑ Ò Ò ÙÔÔ ÐÒ Ò Ò º ÍÔÔ ÐÒ Ò Ò Ú Ò Ò Ð Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ö Ò ÐÓ Ñ Ò ÙÔÔ ÐÒ Ò Ú Ð Ù ÓÐ Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÓÑ Ö ØØ ÔÖ Ñ º ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ó ØØ ÔÖ Ñ Ö Ö Ô ØØ Ú ØØ Ð Ù Ö ÑÑ Ò ØØ Ú Ð ØÖÓÑ Ò Ø ØÖÐÒ Ò Ú ÓÐ Ö Ú Ò Ö Ú Ð ÔÖ Ñ Ø ÖÝØ Ñ ÓÐ Ú Ò Ð Öº Á Ý Ò ÐÐ Ö Ñ Ò Ø Ò Ú Ð Ù Ú ÓÐ Ö Ö ÓÑ Ö Ô ØÖÙѺ Á Ò ÐÓ ÖÑ Ø Ð Ö Ñ Ò ÒÓÑ Ò Ð Ò Ð Ò ÓÑ Ö Ú Ò Ò ÐÝ ÐÐ Ö Ô ØÖ Ð Ò ÐÝ ÒÖ Ñ Ò Ò ÐÝ Ö Ö Ö Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ð Öº Ö Ú Ò ÙØÚ Ð Ò Ú Ò Ò Ð Ö ØØ Ô Ð ÐÐ Ú ¾º½º½µ Ö ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÖÒ ÙØ Ö Ú ÒÙ ÓÖÑ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ò Ò Ð ÓÑ Ò ÙØÚ Ð Ñ ÐÔ Ú Ò Ö Ø ÑÒ Ô Ö Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ú Ò Ðµ Ö Ú Ò ÖÒ {ω i } x(t) = [a(ω i )cos(ω i t)+b(ω i )sin(ω i t)], º¼º½µ i ØØ Ö Ø Ô ØÖÙÑ ÓÑ Ö Ø Ö Ö Ú Ö Ú Ò ÖÒ {ω i } Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ a(ω i ) b(ω i )º Ø Ò Ð Ö ÖÚ Ö Ñ ÐÐ ÖØ ØØ ÓÒØ ÒÙÙÑ Ú Ö Ú Ò Ö Ö ØØ ÙÐÐ ØÒ Ø ÙÒÒ Ö Ø Ö Ö Ó Ö Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ú ÓÖÑ Ò x(t) = [a(ω)cos(ωt)+b(ω)sin(ωt)] dω. º¼º¾µ Á ØØ ÐÐ Ò Ð Ò ØØ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ô ØÖÙÑ ÓÑ Ö Ø Ö Ö Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ a(ω) b(ω)º ÒÐ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÖÒ º¼º½µ ÐÐ Ö º¼º¾µ Ò Ò Ð Ò x(t) ÒØÝ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö a(ω) Ó b(ω) Ú Ö Ú Ò Òº ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙØ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ò Ò ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò x(t)º Ò ÐÝ Ò Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙØÚ Ð Ò Ô Ö Ó ÒÙ ÓÖÑ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ö Ö Ú Ò ÓÙÖ Ö Ò ÐÝ º Ò Ò ÙØÚ Ð Ò Ò Ö Ö Ø Ö Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ø Ó Ò Ò Ðº ÓÙÖ Ö Ò ÐÝ Ö Ø ÐÐ Ø ÐÐ Â Ò ÔØ Ø ÓÙÖ Ö Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø ¹ Ö ½ ½ ¼µ ÓÑ Ò Ö Ñ ØÓ Ò ØØ ÙØÚ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ ÐÔ Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ò ÐÝ Ú ÚÖÑ Ð Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÖÓ Ò Ô Ò Ð Ò Ò Ô Ö Ò Ú Ö Ð Ñ ÐÐ Ò ØØ ÒØ Ð ÓÐ ÐÐ ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô Ö Ó Ò Ð Ö Ö ØØ Ö Ø Ô ØÖÙÑ Ó Ò Ùع Ú Ð Ò ÓÙÖ Ö Ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö µ ÓÑ Ò ÙÑÑ Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Öº

38 º½º Ê ÈÊ Ë ÆÌ ÌÁÇÆ Î ËÁÆÍË ÇÊÅ ËÁ Æ Ä Ê ½ A 0 A 0 T T 3T T ÙÖ º½ Ë Ò Ð Ò Acos(ωt)º Ë Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ô Ö Ó T Ó Ö Ú Ò Ò f Ú T = 1 Ö ω = πfº f ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ ¹Ô Ö Ó Ò Ð Ö Ö ØØ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ô ØÖÙÑ Ó Ò ÙØÚ Ð Ò ÓÙÖ Ö ÒØ Ö Ð ÓÑ Ò ÒØ Ö Ð Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ö Ø Ô Ö Ó Ò Ð Ö Ö ØØ Ö Ø Ô ØÖÙÑ Ó Ò ÙØÚ Ð Ò ÓÙÖ Ö Ö ÓÑ Ò ÙÑÑ Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ö Ø ¹Ô Ö Ó Ò Ð Ö Ö ØØ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ô ØÖÙÑ Ó Ò ÙØÚ Ð Ò ÓÙÖ Ö ÒØ Ö Ð ÓÑ Ò ÒØ Ö Ð Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ¹ ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Öº ÐÐ ÐÐ Ö Ú Ø Ó ÓÑÑ Ö ØØ Ò Ð º Á ØØ Ô Ø Ð Ò ¹ Ð ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ð Ö Ñ Ò Ö Ø Ò Ð Ö ¹ Ò Ð Ô Ø Ð º º½ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ú ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ö Î ÐÐ ØØ Ú Ò ØØ ØÖ Ø ÓÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ô Ö Ó ÒÙ ¹ ÓÖÑ Ò Ð Öº Ò Ô Ö Ó ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ò Ö Ú Ô ØØ ÒØ Ð ÓÐ ØØ Ó Ø Ö Ú Ø Ø ØØ Ö Ø Ñ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÐ Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒ ØØ Òº

39 ¾ à ÈÁÌ Ä º Æ Ä Ë Î ËÁ Æ Ä Ê Á Ê ÃÎ ÆËÈÄ Æ Ì Ö ÚÒ Ò Ñ ÐÔ Ú ÑÔÐ ØÙ Ó Ö ÙØÒ Ò ØØ Ò ØÙÖÐ Ø ØØ ØØ Ö Ú Ò ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð x 0 (t) Ö x 0 (t) = Acos(ω 0 t+φ). º½º½µ Ë Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ö Ú Ú Ò Ð Ö Ú Ò Ò ω 0 Ò φ Ó ÑÔÐ ØÙ Ò Aº ω 0 Ö Ò Ð Ò Ú Ò Ð Ö Ú Ò Ö Ò Ö»Ø Ò Øµº Ë Ò Ð Ò Ö Ú Ò Ö f 0 = ω 0 π ÓÑ Ò Ö ÒØ Ð Ø Ô Ö Ó ÚÒ Ò Ò Ö Ô Ö Ø Ò Øº ÇÑ Ø Ò Ò ÙÒ Ö Ö f 0 Ò Ø Ò 1 = Hz À ÖØÞµº È Ö Ó Ò s Ó x 0 (t) Ö T 0 = 1 f 0 = π ω 0 º T 0 Ö Ø Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ð Ö Ú Ð Ø ÐÐ Ö x 0 (t+t 0 ) = x 0 (t) ÐÐ tº ÖÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ô f 0 Ó T 0 Ð Ö ØØ Ò Ð Ò x 0 (t) Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò ( ) π x 0 (t) = Acos(πf 0 t+φ) = Acos t+φ. º½º¾µ T 0 φ ÐÐ Ò Ð Ò Ö ÙØÒ Ò Ó Ò Ö Ò Öº Ö Ùع Ò Ò Ò Ò Ö Ö Ú Ö Ô Ö Ó Ò Ò Ð Ò ÒÒ Ö Ú Ø Ò t = 0 ØÝ x 0 (0) = Acos(φ)º Ö Ò Ò Ð ÓÑ ØÖ Ú Ò Ö Ò ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ò Ö ÙØÒ Ò Ò ÐÐØ Ö Ø ÐÐ ÒÓÐÐ ÒÓÑ Ò ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ú Ø Ò ØÝ x 0 (t) = Acos(ω 0 (t+φ ω 0 )) = Acos(ω 0 t ), t = t+φ ω 0. º½º µ Ø Ð Ö ØØ Ò ÓÐÙØ Ö ÙØÒ Ò Ò ÐÐÑÒ Ø Ò Ö ¹ ØÝ Ð Ø Ö ÓÑ Ø ÒØ Ô Ð Ö Ò ÓÒ ÖÓÐÐ Ú Ö Ú ØØ Ö Ø ÔÙÒ Ø Ò t = 0º Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ØÖ Ú Ö Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò Ö ÙØÒ Ò ÖÒ Ó ÐÐ Ö Ú Ò Ö Ñ ÐÐ ÖØ ÑØ Ø Ö Ø ÐÐ ÒÓÐÐ ÒÓÑ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ú Ø Òº Ö ÑÓØ Ú Ö Ö Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ö ÓÐ Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ Ö Ð Ø Ú Ö ÙØÒ Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ò Ö º Ç ÖÚ Ö ØØ Ø ÖÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ô Ö Ð Ö ØØ Ò Ò Ð Ò Ú Ò Ñ ÐÔ Ú Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ò ÓÖÑ Ú Ò ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò ÒÒ Ò Ö ÙØÒ Ò ØÝ ( x 0 (t) = Acos(ω 0 t+φ) = Asin ω 0 t+φ+ π ). º½º µ ÑÔÐ ØÙ Ò A Ö Ò ÐÒ Ò ØÓÖ ÓÑ ØÑÑ Ö Ò Ð Ò ØÓÖÐ º Ë ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÐÐ Ö Ö Ñ ÐÐ Ò 1 Ó +1º Ë Ò Ð Ò x 0 (t) Ó ÐÐ Ö Ö Ð Ñ ÐÐ Ò A Ó Aº

40 º½º Ê ÈÊ Ë ÆÌ ÌÁÇÆ Î ËÁÆÍË ÇÊÅ ËÁ Æ Ä Ê Ö ÚÒ Ò Ñ ÐÔ Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÓÑ ØØ ÙØÒÝØØ Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ñ Ò Ø cos(θ 1 +θ ) = cos(θ 1 )cos(θ ) sin(θ 1 )sin(θ ), Ò Ò Ð Ò x 0 º½º½µ Ö Ú ÓÖÑ Ò Ö x 0 (t) = acos(ω 0 t)+bsin(ω 0 t), a = Acos(φ), b = Asin(φ). º½º µ º½º µ º½º µ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò º½º µ Ð Ö ÙÔÔ Ò Ð Ò x 0 (t) Ò ÑÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ x a = acos(ω 0 t) Ó Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ x b = bsin(ω 0 t) Ö Ò ÑÒ Óѹ ÔÓÒ ÒØ Ò Ø Ö Ö x a (t) = x a ( t) Ó Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø Ö Ö x b (t) = x b ( t)º Ö ÚÒ Ò Ñ ÐÔ Ú ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ò Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Òx 0 (t) Ò ÙØØÖÝ Ò ÓÖÑ ÓÑ Ö Ñ¹ Ñ Ò Ò Ú Ö Ú Ö ÚÑ Ö Ò º½º½µ ÐÐ Ö º½º µ ÒÓÑ ØØ Ø ÐÐÑÔ ÙÐ Ö ÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ò ÓÑÔÐ Ü Ü¹ ÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò e jθ = cosθ +jsinθ, j = 1. º½º µ Ú Ø ÓÒ Ò º½º µ Ò Ö Ö ØØ ÒØÝ Ø Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ cosθ Ó sinθ Ó Ò ÓÑÔÐ ÜÚÖ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Òe jθ º ÍÖ º½º µ Ö Ú ÒÚ Ö Ñ Ò Ò cosθ = ejθ +e jθ sinθ = ejθ e jθ j, º½º µ. º½º½¼µ ÒÓÑ ØØ Ø ÐÐÑÔ ÙÐ Ö ÓÖÑ Ð Ò Ò Ð Ò x 0 (t) Ö Ú ÓÖÑ Ò x 0 (t) = Acos(ω 0 t+φ) = A ( e j(ω 0 t+φ) +e ) j(ω 0t+φ) º½º½½µ = A ( e jφ e jω 0t +e jφ e jω 0t ).

41 à ÈÁÌ Ä º Æ Ä Ë Î ËÁ Æ Ä Ê Á Ê ÃÎ ÆËÈÄ Æ Ì Î Ö Ð Ö x 0 (t) = ce jω 0t +c e jω 0t, c = A ejφ = A [cosφ+jsinφ] º½º½¾µ º½º½ µ Ó c Ò Ö ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù Ø Ø Ø ÐÐ c c = A e jφ = A [cosφ jsinφ]º Ë Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ö ÚÒ Ò ÖÒ º½º µ Ó º½º½¾µ ÒÓÑ ØØ Ùع ÒÝØØ º½º µ Ú Ð Ø Ö c = a jb, c = a+jb. º½º½ µ Ç ÖÚ Ö ØØ Ó ÒØ Ò c Ö ÚÒ Ò Ò º½º½¾µ ÐÐÑÒ Ø Ö ØØ Óѹ ÔÐ ÜØ Ø Ðº ÃÓ ÒØ Ò c Ö Ö ÐÐ Ò Ø Ö ÑÒ Ò Ð Ö Ó Ö ÒØ Ñ ÒÖ Ö Ù Ò Ð Öº ÙØÓÑ ÙØØÖÝ Ö º½º½¾µ Ò Ð Ò Ñ ÐÔ Ú ØÚ Ö Ú Ò Ö Ò ÔÓ Ø Ú Ö Ú Ò ω 0 ÑØ Ò Ò Ø Ú Ö Ú Ò ω 0 º Ç ÖÚ ¹ Ö Ñ ÐÐ ÖØ ØØ Ø ÖÑ ÖÒ º½º½¾µ Ö ÖÓ Ò Ú Ú Ö Ò Ö ØÝ c e jω 0t = [ce jω 0t ] º Ú Ø ÓÒ º½º½¾µ Ò Ð Ó ÙØØÖÝ Ñ ÐÔ Ú Ò Ö ÐÐ Ð Ò ÓÖÑ Ò x 0 (t) = Re [ ce jω 0t ]. º½º½ µ Ö ÚÒ Ò Ò Ú Ò Ô Ö Ó ÒÙ ÓÖÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÐÔ Ú ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ö ÐÐ ÓÒ Ø ÚÖÐ º Ø Ú Ö Ñ ÐÐ ¹ Ö ØØ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ö ØÝ Ð Ø Ò Ð Ö ÓÑ Ñ Ò ÒÚÒ Ö Ö ÚÒ Ò Ò º½º½¾µº Ö Ú Ò Ò ÐÝØ Ñ ØÓ Ö ÖÙ Ö Ö Ö Ò Ø Ò ÙØ ¹ ÐÙØ Ò ÓÖÑÙÐ Ö ÙØ Ò ÖÒ Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ô Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Òº ÇÑ Ñ Ò ÒÚÒ Ö Ú ÓÑÔÐ Ü Ö ØÑ Ø Ò ØØ ÙØÒÝØØ Ö Ø ÒÙÑ Ö Ö Ò Ò ÖÒ º ÚÒ Ò º½º½º µ ÒÚÒ Øº ܺ Ì ÝÐÓÖ Ö ÙØÚ Ð Ò Ö ØØ Ú Ñ¹ Ò Ø º½º µº µ ÀÖÐ Ñ Ò Ò º½º µ Ó º½º½¼µ ÖÒ º½º µº µ ÍÔÔÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò e jθ Ø ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÔÐ Ò Ø Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô θº µ ÍØØÖÝ ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ðz = x+jy Ñ ÐÔ Ú Ø Ð Ø ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ó Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Òº

42 º½º Ê ÈÊ Ë ÆÌ ÌÁÇÆ Î ËÁÆÍË ÇÊÅ ËÁ Æ Ä Ê Ü ÑÔ Ð º½º½º ÅÙ Ð ØÓÒ Ö Ö Ü ÑÔ Ð Ô ÒÙ ÓÖÑ Ù Ø Ò Ð Ö Ø Ò Ú Ò Ò Ö Ú Ò º Ü ÑÔ ÐÚ Ø Ò ÒØ ÓÖ Ø Ô ØØ Ô ¹ ÒÓ Ö 88 Ø Ò ÒØ Ö ÓÑ Ò Ö Ö Ö Ú Ö Ò ØÓÒ ÑÓØ Ú Ö Ò ÓÐ Ö Ú Ò¹ Öº ÒÐ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ö Ð Ù Ø ÖÒ Ø Ò ÒØ ÒÙÑÑ Ö 49 Ú Ö Ú Ò¹ Ò 440 Hzº Ö Ú Ò Ö ÐÐ Ò Ø Ö ØÚ ÒÖ Ð Ò Ø Ò ÒØ Ö Ö ÓÒ Ø Òغ ÌÓÒ ÖÒ Ö ÙÔÔ Ð Ó Ø Ú Ö Ö Ò Ó Ø Ú ÑÓØ Ú Ö Ö Ò Ö Ù Ð Ò Ú Ö Ú Ò Òº ÁÒÓÑ Ú Ö Ó Ø Ú Ö Ñ Ò ØÓÐÚ Ø Ò ÒØ Öº Ö Ú Ò Ö ÐÐ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ØÚ Ø Ò ÒØ Ö Ö Ð 1 1 = 1,0595º Á Ð Ò Ü ÑÔ Ð ÐÐÙ ØÖ Ö Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ÓÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ú ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Öº Ü ÑÔ Ð º½º¾º Á ÙÖ Ò º¾ ÚÖ Ö Ñ Ú Ò ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ò x 0 (t) = cos(ω 0 t+φ) º½º½ µ Ñ ÑÔÐ ØÙ Ò A = 1 Ó Ô Ö Ó Ò T 0 = 10 sº Ö Ú Ò Ò Ö Ð f 0 = 1 T 0 = 0,1 Hz Ñ ÑÓØ Ú Ö Ò Ú Ò Ð Ö Ú Ò ω 0 = πf 0 = 0,π rad º Î Ò s ØÑÑ Ö ÙØÒ Ò Ò φ ÒÓÑ ØØ ÒÓØ Ö ØØ Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒÖ ØØ Ñ Ü ÑÙÑ ÒÐ Ø cos(0) = 1º ØØ Ö ω 0 t + φ = 0 Ó ÙÖ Ò º¾ Ú Ö ØØ x 0 (t) Ö ØØ Ñ Ü ÑÙÑ Ú t = ω 0 s+φ = 0 φ = ω 0 = 0,4 π rad = 7. º½º½ µ Ò Ö Ò Ò Ú ØÓÐ Ò Ð Ò x 0 (t) ÓÑ Ò Ø Ö ÙØ Ò Ó ÒÙ Ò Ð Ñ Ú Ú Ð ÒØ Ö ÙØÒ Ò θ )] x 0 (t) = cos[ω 0 (t )] = cos [ω 0 (t+ φω0, º½º½ µ Ú Ð Ø Ú ÒÐ Ö φ = ω 0 º ÇÑ Ú Ö Ò ÙÔÔ ÐÒ Ò ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÒÐ Ø Ú Ø ÓÒ º½º µ Ñ Ø Ò Ú º½º a = cos(φ) = cos( 0,4π) 0,3090, b = sin(φ) = sin( 0,4π) 0,9511. º½º½ µ Ë Ò Ð Ò Ò Ð Ö Ú ÓÖÑ Ò x 0 (t) 0,3090cos(ω 0 t) 0,9511sin(ω 0 t). º½º¾¼µ ÙÖ Ò º¾ Ò Ö Ö Ñ Ú Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ ÙÔÔ ÐÒ Ò Ò ÓÚ Òº ÎÖ ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ò Ú Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÐÔ Ú ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ Ò¹ Ø Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò º½º½¾µº Ö º½º½ µ c = 1 [cos(φ)+jsin(φ)] 0,1545 0,4755j. º½º¾½µ

43 à ÈÁÌ Ä º Æ Ä Ë Î ËÁ Æ Ä Ê Á Ê ÃÎ ÆËÈÄ Æ Ì ½ ¼ ¼ ¹¼ ¹½ ¼ ¾ ½ ¼ ¼ ¹¼ ¹½ ¼ ¾ ÙÖ º¾ Ë Ò Ð Ò x 0 (t) = cos(ω 0 t+φ) ÚÖ Ö ÑÑ Øµ ÑØ Ó ÒÙ ¹ Ó ÒÙ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÒÐ Ø ÙÔÔ ÐÒ Ò Ò x 0 (t) = acos(ω 0 t) + bsin(ω 0 t) Ò Ö Ö ÑÑ Øµº

44 º½º Ê ÈÊ Ë ÆÌ ÌÁÇÆ Î ËÁÆÍË ÇÊÅ ËÁ Æ Ä Ê Ë Ò Ð Ò ÙØØÖÝ Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò º½º½¾µ Ø Ö ÐÐØ ÓÖ¹ Ñ Ò x 0 (t) = (0,1545 0,4755j)e jω 0t +(0,1545+0,4755j)e jω 0t. º½º¾¾µ ÃÓÔÔÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò º½º¾¾µ Ó º½º¾¼µ Ú ÙÐ Ö ÓÖ¹ Ñ Ð º½º µ ÓÑ Ñ Ö ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ú Ú Ð ÒØ º Á ÔÖ ¹ Ø Ò Ö Ò Ø Ò ÐÐ ØÝÔ Ö Ú Ö Ò Ò Ö Ò Ð Ö ØØ ÙØ Ö Ñ ÒÚÒ Ò Ò Ú ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ñ Ó ÒÙ ¹ Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Öº ÃÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ØØ Ú Ø Ø Ú Ö ØÝ Ö ØØ Ò ÐÝ Ö ÙÖ Ð Ò Ö Ø ÒÚ Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ö ØÖ Ö Ó Ö ÙØ Ö ÓÐ Ö Ú Ò Ö Ó Ò Ò Ð Òº Ü ÑÔ Ð º½º º Ò Ò Ò Ð x(t) = cos(ωt) Ø ÐÐ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ ÙØ Ò Ð Ò y(t) = H(x(t)) = x(t)+rx(x τ), 0 < r < 1. º½º¾ µ Î Ò ÐÐØ ÓÒ Ø Ø Ö ØØ Ý Ø Ñ Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Òµ Ð Ò Ö Ò Ò Ð Ò Ú Ö Ö Ø Ø ÖÑ Ò ÙØ Ò Ð Òµ Ó Ð ÑÔ Ö ÑØ Ö Ö Ö Ò Ò Ö Ø ÖÑ Òµº Ò ÐÐÑÒ Ñ ØÓ Ö ØØ Ò ÐÝ Ö ÙÖ Ð Ò Ö Ø ÒÚ ¹ Ö ÒØ Ý Ø Ñ ÔÚ Ö Ö Ò Ò Ò Ð Ñ Ú Ö Ú Ò Ý Ö Ô Ò Ñ ØØ ÐØ Ý Ø Ñ Ø ÔÚ Ö Ò ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ò e jω º Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ¹ Ò Ð Ò Ð Ò Ñ Ò Ú ØØ ÙØ Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò y(t) = H ( e jω ) cos ( ωt+arg ( H ( e jω ))), º½º¾ µ Ö ÐÓÔÔ Ø H (e jω ) Ò Ö ÙÖ ÑÝ Ø Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ω Ö ØÖ ÐÐ ÐÓÔÔ Ø Ö Ø ÖÖ Ò Øص ÐÐ Ö ÑÔ ÐÐ ÐÓÔÔ Ø Ö Ñ Ò Ö Ò Øص Ó Ö ÙÑ ÒØ Ø Ú Ò ÐÒµ arg(h(e jω )) Ò Ö ÙÖ ÑÝ Ø Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ Ò¹ Ø Ò Ö ÙØ º ÙÒ Ø ÓÒ Ò H(e jω ) ÖÙ Ö ÐÐ Ý Ø Ñ Ø Ö Ú Ò Ú Öº º½º½ Ë ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ö Ó ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø ØÖÐÒ Ò Ø Ö Ú ÒÙ ÓÖÑ Ú ÓÖ Ó Ò Ð Ú Ö ¹ Ö Ò ÙØ Ö Ö Ö ÔÖ Ø Ò ÒÓÑ ØØ ÐØ Ò Ð Ò ÑÓ Ö Ò ÒÙ ¹ ÓÖÑ ÖÚ ÓÑ Ò Ò Ø ÐÐ ÑÓØØ Ö Òº Ë Ò ÑÓ Ö Ò ÐÐ ÑÓ ÙÐ Ö Ò º

45 à ÈÁÌ Ä º Æ Ä Ë Î ËÁ Æ Ä Ê Á Ê ÃÎ ÆËÈÄ Æ Ì ¾ ¼ ¹¾ ¹ ¹ ¼ ¼ ¼¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ¹¾ ¹ ¹ ¼ ¼ ¼¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ÙÖ º Ë Ò Ð ÖÒ ÚÒ Ò º½º¾º Ø ÚÖ Ö ÑÑ Ø Ú Ö Ò Ð Ò v(t) ÚÖ ÙÖÚ Òµ Ó ÖÚ Ò cos(πf c t) Ò Ö ÙÖÚ Òµº Ø Ò Ö Ö Ñ¹ Ñ Ø Ú Ö Ò Ð Ò x(t)º Ò Ö Ú ÒØ ÖÚ Ò ÑÔÐ ØÙ ÖÓÖ Ú Ò Ð Ö Ú ÒØ Ò Ð Ò v(t) ÁÒÓÑ Ò ÐÓ Ø Ò ÒÚÒ ÑÔÐ ØÙ ÑÓ ÙÐ Ö Ò Åµ Ö Ú Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ò Åµ Ó ÑÓ ÙÐ Ö Ò Èŵ Ö ÑÔÐ ØÙ Ò Ö Ú Ò Ò Ö Ô Ø Ú Ò Ó Ò ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð ÑÓ Ö º Ð Ò ÚÒ Ò ÑÓÒ ØÖ Ö Ö ÔÖ Ò Ô Ò Ó ÑÔÐ ØÙ ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ú Ò Ò ÐÓ Ò Ðº ÚÒ Ò º½º¾º ØÑ Ú Ð Ö Ú Ò Ö ÓÑ Ò Ö Ò Ð Ò x(t) = v(t)cos(πf c t), º½º¾ µ Ö f c = 00 Hz Ó v(t) = 5+cos(πf t) f = 0 Hzº Ë ÙÖ º º ÚÒ Ò º½º¾ Ú Ö ØØ Ò Ö Ú ÒØ ÒÙ ÓÖÑ Ò Ð Ñ Ö Ú Ò¹ Ò f c ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ò Ð Ö Ú ÒØ Ò Ð Ñ Ö Ú Ò Ò f Ö ÔÖÓ Ù Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ú Ö Ú Ò ÖÒ f c ±f º ØØ ÙØÒÝØØ Ú ÑÔ¹ Ð ØÙ ÑÓ ÙÐ Ö Ò Åµ Ú Ö Ó Ò Ð Öº Ó ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ò º½º¾ µ ÐÐ

46 º½º Ê ÈÊ Ë ÆÌ ÌÁÇÆ Î ËÁÆÍË ÇÊÅ ËÁ Æ Ä Ê Brus e(t) s b (t) x(t) y(t) ỹ(t) y b (t) Kanal + H LP cos(πf c t) cos(πf c t) ÙÖ º ÌÖ Ð Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ñ ÑÔÐ ØÙ ÑÓ ÙÐ Ö Ò º ÖÚ ÓÑ ÑÓ ÙÐ Ö Ú Ò Ð Ö Ú ÒØ Ò Ð Ò v(t)º Ò Ð Ö Ú Ò¹ Ø Ò Ð Ò v(t) Ö Ú Ò Ò ÐÐ Ò º ÒÓÑ ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ò Óѹ Ñ Ö ØØ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø f max f f max ØØ ÒÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÐ Ø f c f max f c +f f c +f max º ÅÓ ÙÐ Ö Ò Ò Ñ Ð Ö ÑØ Ú Ö Ö Ò Ú Ö Ð Ö Ú ÒØ Ò Ð Ö ÓÑ ÒÒ Ö ÙÐÐ ÒØ Ö Ö Ö Ñ Ú Ö Ò Ö ÒÓÑ ØØ ÐØ Ñ ÑÓ ÙÐ Ö ÖÚ ÓÖ Ú ÓÐ Ö Ú Ò Öº ÌÖ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÙÖ º Ú Ö ØØ ÐÓ Ñ Ú Ö ØØ ØÝÔ Ø ØÖ Ð Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ý¹ Ø Ñ Ö Ò Ò Ð Ò s b (t) Ú Ö Ö ÒÓÑ ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ñ Ò ÖÚ Ú Ö Ú Ò Ò f c º ÇÑ Ò Ò Ð Ò ØÖ Ú Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò f b ØÖ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ð Ò x(t) = s b (t)cos(πf c t) º½º¾ µ Ú Ö Ú Ò ÖÒ f c ±f b ÚÒ Ò º½º¾µº Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ð Ò ÔÚ Ö Ú Ú Ö Ö Ò Ò Ø ÐÐ Ò ÑÔÐ ØÙ Ó Ú Ð Ø Ö Ú Ñ Ý Ø Ñ ÐÓ Ø Ã Ò Ð ÙÖ Ò º º ÖØ ÐÐ ÔÚ Ö Ò Ð Ò Ö Ð Ú ÖÙ ÓÖ Ø Ú Øº ܺ Ò Ö ÒØ Ö Ö Ö Ò Ò Ð Ö Ó Ú ÖÐ Ö ÐÐ Ò Òº Ò ÑÓØØ Ò Ò Ð Ò y(t) Ö ÐÐØ ÔÖ Ø Ò ÖÒ Ö ÑÔÐ ØÙ Ó Ñ Ò ÑÑ Ö Ú Ò ºÚº º Ò ÙØ Ò Ò Ð Ò x(t) ÓÚ Ò ÑÓØØ ÓÑ y(t) = Acos[π(f c f b )t+φ]+acos[π(f c +f b )t+φ]+e(t), º½º¾ µ Öe(t) Ø Ò Ö ÖÙ º Ö ÙØÒ Ò Òφ Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò ÙØ Ò ¹ Ò Ð Ò Ö Ö Ú Ö Ò Ö ØØ Ñ Ò ÐÐ ÙÒÒ ØÓÐ Ò ÑÓØØ Ò Ò Ð Ò

47 ¼ à ÈÁÌ Ä º Æ Ä Ë Î ËÁ Æ Ä Ê Á Ê ÃÎ ÆËÈÄ Æ Ì ÓÖÖ Øº Á ÔÖ Ø Ò Ò Ò ØÑÑ ÒÓÑ ØØ Ò Ò Ú Ö Ò ÓÑÑ Ò Ø Ø Ò Ð Ñ Ò Ö ÙØÒ Ò º Ò ÒÒ Ò Ñ ØÓ Ö Ö ÒØ ÐÐ ÑÓ¹ ÙÐ Ö Ò Ö Ò Ð Ò Ó ÖÒ Ö Ò ÖÒ ØÐÐ Ø Ö Ò ÓÐÙØ ÚÖ º Î ÒÖ Ö ÒØ ÐÐ ÈËà = È ¹Ë Ø Ã Ý Ò µ Ò ÝÑ ÓÐ Ò ½ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ò ÖÒ Ö Ò Ò Ñ Ú Ò ÐÒ π Ñ Ò ÝÑ ÓÐ Ò ¼ ÑÓØ Ú Ö Ú Ò ÙØ Ð Ú Ò ÖÒ Ö Ò º Ò ÑÓØØ Ò Ò Ð Ò Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ø ÐÐ Ø ÐÐ Ò Ø ÒÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú Ñ ÖÚ Ò Ð Ò cos(πf c t) ÒÐ Ø ỹ(t) = y(t)cos(πf c t), º½º¾ µ Ú Ð Ò Ò ÐÓ Ñ Ö ÙÐØ Ø Ø ÚÒ Ò º½º¾ Ö Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ú Ò Ö Ú Ò Ò f b ÑØ Ö Ú ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ö Ò Ö Ú Ò Ò f c º Ö Ö Ö Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ò Ð Ò Ö ÓÖØ ØØ Ò Ð Ò ÐØÖ Ö Ñ ØØ Ð Ô ÐØ Ö H LP ÓÑ ÔÖÖ Ö Ö Ú ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº Ë Ù¹ Ö Ò º º Ø Ð ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ø Ð Ò Ð Ú Ö Ö Ò ÙØ Ö Ò ÐÓ Ø ÒÓÑ ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ú ÑÔÐ ØÙ Ö ¹ Ú Ò ÐÐ Ö Ó Ò ÒÙ ÓÖÑ Ò Ðº Á ÑÓØ Ø Ø ÐÐ Ò ÐÓ Ò Ð Ú Ö ¹ Ö Ò Ö Ò Ð Ò Ú Ö Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ø Ò Ö Ò Ð Ò Ú Ø Ð Ú Ö Ö Ò Ö Ø Ø ÐÐ Ò ØÓÖÐ 0 ÐÐ Ö 1 µ Ó Ø ÖÓ Ò 0 Ú Ö Ö Ø ÐÐ 1 Ó Ú Ú Ö µº Ò Ú ÒÐ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ñ ØÓ Ò Ö Ö ÑÓ ÙÐ Ö Ò ÈËõ Ö ¹ Ò Ó Ò ÖÚ ÑÓ ÙÐ Ö º Î ÒÖ ÈËà ÈËõ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ÐÐ ØÒ¹ Ò 0 Ó 1 Ñ Ò Ð ÖÒ s 0 (t) = cos(πf b t), s 1 (t) = cos(πf b t+π) = cos(πf b t). º½º¾ µ º½º ¼µ Ò Øº ܺ Ò Ò Ø Ð Ò Ð Ò {0,1} Ú Ö Ö ÒÓÑ ØØ Ò ¹ Ò Ò Ð Ò s b (t) = { cos(πfb t), 0 t < T b, cos(πf b t+π), T b t < T b, º½º ½µ ÙÖ º º Ì ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø T b ØÑÑ Ö Ú Ö Ö Ò Ø Ø Ò T 1 b Ø Ö Ô Ö ÙÒ µ Ó Ö Ú Ö Ø ÐÐÖ Ð Ø ÐÒ Ø Ö ØØ ÑÓØØ Ö Ò ÐÐ ÙÒÒ

Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ

Läs mer

ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö

ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ

Läs mer

ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾

ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò

Läs mer

Ö ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ

Läs mer

Ö Ò histogramtransformationº

Ö Ò histogramtransformationº ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò

Läs mer

ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú

ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ

Läs mer

Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к

Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö

Läs mer

s N = i 2 = s = i=1

s N = i 2 = s = i=1 ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ

Läs mer

x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2

x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2 ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ

Läs mer

Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ

Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö

Läs mer

u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)

u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ) Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ

Läs mer

Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK

Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15

Läs mer

ËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ

Läs mer

Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.

Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen. Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ

Läs mer

ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö

Läs mer

ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ

ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð

Läs mer

f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0

f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0 ½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ

Läs mer

2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS

2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ

Läs mer

¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ

Läs mer

Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø

Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ

Läs mer

Självorganiserande strömningsteknik

Självorganiserande strömningsteknik Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò

Läs mer

ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ

ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò

Läs mer

Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ

Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ

Läs mer

σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ

σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò

Läs mer

Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø

Läs mer

0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n

0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó

Läs mer

Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ

Läs mer

Multivariat tolkning av sensordata

Multivariat tolkning av sensordata Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär

Läs mer

Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =

Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) = ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ

Läs mer

Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó

Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò

Läs mer

Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò

Läs mer

Stapeldiagram. Stolpdiagram

Stapeldiagram. Stolpdiagram Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø

Läs mer

Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem

Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability

Läs mer

ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼

ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ

Läs mer

ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼

ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú

Läs mer

¾

¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ

Läs mer

ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô

Läs mer

G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)

G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1) ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö

Läs mer

ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½

ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ

Läs mer

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ

Läs mer

½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº

½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ

Läs mer

Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring

Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December

Läs mer

ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º

Läs mer

u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)

u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω) Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ

Läs mer

ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½

ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ

Läs mer

Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼

Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ

Läs mer

1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt

1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º

Läs mer

Från det imaginära till normala familjer

Från det imaginära till normala familjer Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas

Läs mer

Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø

Läs mer

Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º

Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ

Läs mer

Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur

Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:

Läs mer

º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º

º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½

Läs mer

a = ax e b = by e c = cz e

a = ax e b = by e c = cz e ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ

Läs mer

Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø

Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.

Läs mer

B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;

B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2; ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾

Läs mer

x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0

x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210

1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210 ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð

Läs mer

ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ

ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ

Läs mer

¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½

¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø

Läs mer

Imperativ programering

Imperativ programering Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË

Läs mer

( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =

( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) = ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)

Läs mer

Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ

Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½

Läs mer

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:

Läs mer

Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼

Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:

Läs mer

Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi

Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò

Läs mer

ÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë

Läs mer

Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ

Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº

Läs mer

¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó

¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström

Läs mer

ËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ

Läs mer

Article available at or

Article available at   or Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus

Läs mer

ËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]

Läs mer

Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }

Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code } ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:

Läs mer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons

Läs mer

Imperativ programering

Imperativ programering Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i

Läs mer

huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser

huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº

Läs mer

arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008

arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008 Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ

Läs mer

Errata. by Afif Osseiran. August 17, 2006

Errata. by Afif Osseiran. August 17, 2006 Ú Ò ÒØ ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó¹ÐÓ Ø ² ØÖ ÙØ Á ÇËË ÁÊ Æ ÓØÓÖ Ð Ì ËØÓ ÓÐÑ ËÛ Ò ¾¼¼ ÌÊÁÌ ¹Á ̹ Ç˹¼ ¼¾ ÁËËÆ ½ ¹ ÁËÊÆ ÃÌÀ»ÊË̻ʹ¹¼»¼¾¹¹Ë ÃÌÀ Á Ì Ë ¹½ ¼ ËØÓ ÓÐÑ ËÏ Æ Ñ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ñ Ø ÐÐ ØÒ Ú ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò

Läs mer

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ð Ñ ÒØ Ó Ê Ó Ï Ú arxiv:0712.4029v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ö Ò ÓÖ Á ÑÓ À Ð ÂÙ ÅØØÐ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Å ÜÛ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º

Läs mer

15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c

15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c ½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ

Läs mer

Frågetimmar inför skrivningarna i oktober

Frågetimmar inför skrivningarna i oktober MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober

Läs mer

Vindkraft och försvarsintressen på Gotland

Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,

Läs mer

Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg

Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet

Läs mer

PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov

PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor

Läs mer

PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS

PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS TKK Dissertations 195 Espoo 2009 PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS Doctoral Dissertation Johnny-Stefan Lönnroth Helsinki University of Technology Faculty

Läs mer

markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart

markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart PLANERING MATEMATIK - ÅK 8 Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Bråk och procent Kapitel : 2 Bråk och potenser Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-08-29 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat

Läs mer

Programmering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning.

Programmering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning. Programmering med Java Programmering med Java Programspråket Java Källkodsexempel Källkod Java API-exempel In- och utmatning Grunderna Erik Forslin ÓÒ º Ø º Rum 1445, plan 4 på Nada 08-7909690 Game.java

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-12-16 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Måndag 9 jan 212, kl 8.3-12.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap

Läs mer

=

= ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ

Läs mer

1 k j = 1 (N m ) jk =

1 k j = 1 (N m ) jk = ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ

Läs mer