G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
|
|
|
- Hugo Ove Lindqvist
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö Ð Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ø ØØ ÑÑ Ò ØØ Òº Ø Ö ÐÐØ ÐÑÔÐ Ø ØØ Ù ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ö ØØ Ù Ö ØÖ Òº Ë ÙÖ Ð ØØ Ö ØÙÖ Òºµ Ê ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò Ñ Ò Ú ÐÒ Ô ½ ѵ Ò ÓÑ ÒØ ÒÚÒ Ö ØØ Ò ÐÝ Ö ØÖÙ ØÙÖ Ò Ó Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ö Ðº ØØ ÖÓÖ Ô ØØ Ö Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ò ÙÒ Ö Ö ÓÑ ØØ ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐØ Ö Ø ÓÒ ¹ ØØ Öº ËØÖÐÒ Ò Ò ÔÖ ÖÒ Ú Ö ØÓÑ Ó Ú Ö ØÒ Ò Ö ÒØ Ö Ö Ö Ö ØÖÐÒ Ò Ò ÖÒ ÓÐ ØÓÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ø Úغ ½º½º ÃÖ Ø ÐÐÔÐ Ò ÌÖ ØØ ÖÔÙÒ Ø Ö Ú Ð Ð Ö Ô Ò ÖØ Ð Ò Ò Ö Ö ØØ Ö Ø ÐÐÔÐ Òº ÇÑ Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ð ÓÒ Ð µ ÒÒ ÓÒ Ð Ø ÑÒ ØØ ÖÔÙÒ Ø Ö ØØ Ö Ø ÐÐÔÐ Òº Ì ÐÐ Ú Ö ØØ ÖÔÙÒ Ø Ö Ò Ø Ò Ú Ò ÐÐ Ö Ö ØÓÑ Öº Ò ÔÐ Ò Ö Ö ÑÒ Ò Ú ÐÐ Ö Ø ÐÐÔÐ Ò Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ñ ØØ Ú Ø Ö Ø ÐÐÔÐ Òº ÈÐ Ò Ö Ò Ô Ö Ú Å ÐÐ Ö Ò Ü (h r k r l r ) Ú Ð Ò Ò Ö Ñ ÙØ Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ Ñ ÐÐ Ò ØØ Ú ÔÐ Ò Ò Ó ÜÐ ÖÒ Ø Ú ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØØ ÖÚ ØÓÖ ÖÒ a b c ÙÔÔ ÔÒ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø ÙÖ Ð ØØ Ö ØÙÖ Òµº Î ÒÚÒ Ö Ö ØØ Ù Ò Ü r Ö ØØ Ñ Ö Ö ØØ Å ÐÐ Ö Ò Ü Ö Ö Ù Ö Ú ÒÒ ÐÐ Ö Ò ÓÒ Ñ Ò Ñ ÐØ Ð ØÓÖ > 1º Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ Ò Ù Ú Ö Ø ÐÐÔÐ Ò ÔÐ Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ú d(h r k r l r ) ÐÐ Ö ÓÖØ ØØ Ø dº ÈÐ Ò Ö Ò Ò ¹ Ú Ú Ð ÒØ Ô Ö Ú Ò Ú ØÓÖ G(h r k r l r ) Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ö Ø ÐÐÔÐ Ò Ò Ó Ñ Ñ Ò ØÙ Ò G = 2π/dº ÁÒØÙ Ø ÚØ Ò Ñ Ò ÐÐØ G(h r k r l r ) ÓÑ Ò Ú Ú ØÓÖ ÓÑ Ö Ú Ö Ò Ø ÐÐ Ø Ò Ú Ö Ö Ð Ö Ö Ø ÐÐÔÐ ¹ Ò Ò Ö Ú ÖÓÒØ ÖÒ Ó d Ö Ú ÐÒ Ò º½µºµ Î ØÓÖÒ G(h r k r l r ) Ö Ò º º Ö ÔÖÓ ØØ ÖÚ ØÓÖ ÐÚ Ú Ö Ø Ø ÐÐ ÑÑ Ò Ñ Ò ÑÓØÖ Ø Ó Ð ØÓÖ Ú ØÓÖÒ G(h r k r l r ) = G(h r k r l r )µ Ò ÓÖØ Ø Ö ÔÖÓ ØØ ÖÚ ØÓÖ ÓÑ Ö Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ö Ú Ö Ò ÔÐ Ò Ö º Å ÐÐ Ö Ò Ü (h r k r l r ) Ö Ù Ø ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö ÒÒ Ú ØÓÖ Ø Ö ÔÖÓ ØØÖ Ø Ú G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1) Ö A,B,C Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ú ØÓÖ ÖÒ Ø Ö ÔÖÓ ØØÖ Øº ÐÐ Ò Ö Ö ÔÖÓ ØØ ÖÚ ØÓÖ Ö Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ö Ø ÐÐÔÐ Ò ÒÓÑ ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö G(h r k r l r ) ÐÐ Ö G(h r k r l r )µ Ñ ØØ ÐØ Ð n > 1 Ú Ö ÓÖÑ Ò G = nh r A + nk r B + nl r Cº ½
2 º½º Ò ÔÐ Ò Ö Ó ÑÓØ Ú Ö Ò Ö ÔÖÓ ØØ ÖÚ ØÓÖº ½º¾º Ö Ð ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ú ÒØ Ö Ö Ò Ú ÔÖ Ò Ò Ú Ö ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò ÑÓØ Ò Ö Ø ÐÐ º º Ö Ö Ø ÓÒµ ÓÑ Ö Ð Ö ÙÔÔ ÝÐÐ º Ö Ð Ò Ö Ú 2d sin θ = nλ (2) Ö λ Ö Ö ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò Ò Ú ÐÒ d Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ Ò Ù Ú Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ö Ø ÐÐÔÐ Ò Ò ÔÐ Ò Ö ÓÑ Ú Ö Ö Ö Ö Ø ÓÒ Ò Ö θ Ò º º Ð Ò Ú Ò ÐÒ Ö Ú Ò ÐÒµ Ó n ØØ ÐØ Ð n = 1,2,3,...º ÃÖ Ø ÐÐÔÐ Ò Ò ÙÒ Ö Ö ÙÒ Ö ÓÑ Ô ÖØ ÐÐØ ÒÓÑ ÒÐ Ô Ð Ö Ú ÖÚ Ö Ö Ø ÓÒ Ò ØÖÐÒ Ò ÓÑ Ö Ø Ö Ù Ú Ö Ø ÐÐÔÐ Ò ÒØ Ö Ö Ö Ö ÓÒ ØÖÙ Ø Úغ Ð Ò Ú Ò ÐÒ θ Ö Ò ÐÐ ¹ Ó Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ð Ö Ò Ô Ð ØÖÐÒ Ò Ò Ö Ð Ø ÚØ Ö Ø ÐÐÔÐ Ò Òº ËØÖÐ Ò Ö ØÒ Ò Ò Ö Ñ Ø ÓÒ Ú Ò ÐÒ 2θº ÓÑ ØÖ Ò º¾º º¾º ÓÑ ØÖ Ö Ö Ø ÓÒº ÒØ ØØ ØØÖ Ø Ö Ù Ø Ú ÑÔÐ Ù Ò ÐØ Ù Øµ Ó Ý ÒØ Ö Ù ÖÝÑ ÒØÖ¹ Ö Ø Ù Øµ ÐÐ Ö ÒØ Ö Ù ÝØ ÒØÖ Ö Ø Ù Øµº Î ÒÚÒ Ö ØØ Ò ÐØ Ù Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐØ ØØ Ö Ö ØØ Ö Ú ¹ Ó ¹ ØØÖ Òº ÄØ ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò Ó ØØ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ ØØ Ö Ú Ò ÓÒ¹ Ú ÒØ ÓÒ ÐÐ ÐÐ Ò ÒØÐÒ µ Ú Ö aº Ø Ö ÔÖÓ ØØÖ Ø Ö ÙÖ Ð ØØ Ö ØÙÖ Òµ Ó Ò ÐØ Ù Ø Ñ ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò 2π/aº ÀÖ Ú Ð Ö ØØ G(h r k r l r ) = (2π/a) (h 2 r + k 2 r + l 2 r) 1/2 (3) Ú Ö Ú ÒÐ Ø ÓÚ Ò Ð Ò ÓÖÑ Ð Ö ÔÐ Ò Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ Ò Ù Ú Ö Ø ÐÐÔÐ Ò Ò ÔÐ Ò Ö Ñ Ö Ù Ö Å ÐÐ Ö Ò Ü (h r k r l r ) a d = (4) (h 2 r + kr 2 + lr) 2 1/2 ÃÓÑ Ò Ö ØØ Ñ ½µ Ú Ð Ø ÐÑÔÐ Ò Ò Ö Ú sinθ = nλ 2a (h2 r + k 2 r + l 2 r) 1/2 (5) sin 2 θ = λ2 4a 2 (h2 + k 2 + l 2 ) (6) Ö ÐØ Ð Ø n Ò º º ÓÖ Ò Ò Ò µ Ö Ò ÐÙ Ö Ø Å ÐÐ Ö Ò Ü ÓÑ Ú Ø Ò Ö (hkl) Ú h = n h r Ó Úºµº Å ÐÐ Ö Ò Ü Ö ÐÐØ ÐÐÑÒ Ø Ö Ù Ö Ø Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ñ Ò ÑÑ ÐØ Ð ØÓÖÒ ¾
3 nº Ö ØØ ÒØÝ Ø Ô Ö Ò Ú Ö Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÔÖ Ø Ø ØØ Ò Ù Ø ¹Ö Ù Ö Å ÐÐ Ö Ò Ü (hkl)º ØØ Ô Ö Ö Ù ÓÖ Ò Ò Ò n Ó Ú Ð Ò ÔÐ Ò Ö Ø Ö Ö Ò ÓÑ Ó ÒÐ Ø Úº µ Ó Ð Ò Ú Ò ÐÒ θº Ø Ö ÒÑÒ ØØ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÖÙ Ö Ú Ò Ö Ù Ö Å ÐÐ Ö Ò Ü Ø Ò (hkl) Ò ÐÐÒ ÓÑ Ö ØÝ Ð Ø Ò ÙÐÐ ÔÔ Ø Ö ÖÙ Ö ÐÐÑÒ Ø Ú Ö ÙÒ Ö Ö Ø ºµ Ò Ö Ö Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ú Ú Úº µ ÒØÖ Ö k = G(hkl) (7) Ö k Ö ÐÐÒ Ò Ú Ú ØÓÖ Ñ ÐÐ Ò Ò ÔÖ Ó Ò Ò ÐÐ Ò ØÖÐÒ Ò Ò Ó (hkl) Ö ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò Ö ÔÖÓ ØØ ÖÚ ØÓÖ G(hkl) Ø Ö ÔÖÓ ØØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñº ½º º ËØÖÙ ØÙÖ ØÓÖ Ó ØÓÑÖ ÓÖÑ ØÓÖ ÁÒØ Ò Ø Ø Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ ÑÔÐ ØÙ Ò Ú Ö Øµ Ó Ò Ò Ö Ö Ø ÓÒ (hkl) ÔÖ ØÖÐÒ Ò Ò Ö ÖÐ Ò Ò ÙÖ Ð ØØ Ö ØÙÖ Òµ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ Ú Ö Ø Ò Ô ÐÓÔÔ Ø Ú Ò º º ØÖÙ ØÙÖ ØÓÖÒ S hkl = j f j exp[ 2πi(hx j + ky j + lz j )] (8) Ö (x j,y j,z j ) Ö ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö ØÓÑ ÒÖ j Ò ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Ö ÜÐ ÖÒ ÙØ Ö Ú Ú ØÓÖ Ö a b c ÓÑ ÙÔÔ ÔÒÒ Ö Ò Ø ÐÐ Òº ÃÓ ÒØ Ò f j Ö Ò ØÓÑÖ ÓÖÑ ØÓÖÒ Ö ØÓÑ ÒÖ j Ó Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ ÑÔÐ ØÙ Ò Ó Ò ØÖÐÒ Ò ÓÑ ÔÖ ÖÒ ØÓÑ Ò Ö º ØÓÖÒ exp[ 2πi(hx j + ky j + lz j )] Ö Ú Ö ÒØ Ö Ö Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ú ÓÖ ÔÖ ÖÒ ÓÐ ÔÙÒ Ø Ö Ò Ö ØÓÑ ÖÒ ØØ Öº Ò ØÓÑÖ ÓÖÑ ØÓÖÒ f j Ö Ú Ö ÒØ Ö Ö Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ú ÓÖ ÔÖ ÖÒ ÓÐ Ð Ö Ú ØÓÑ ÒÖ jº Ò ØÓÑÖ ÓÖÑ ØÓÖÒ ØÑ Ö Ö ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò µ Ú Ð ØÖÓÒ Ö ÐÒ Ò Ò ÒÙØ ØÓÑ Ò Ó ÖÓÖ Ô Ú ÐÒ Ò Ó ØÖÐÒ Ò Ò Ó Ô ÔÖ Ò Ò Ú Ò ÐÒ Ú f j Ö ÒØÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ f j = f j (λ,θ)º Á ÐÐÑÒ Ø Ñ Ò Ö f j Ñ Ò θ Ó Ñ Ò Ò λº Ë º ºµ ÔÖÓÚ ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö ÒÒ Ð ÓÖ Ø ÓÒ Ö ÒØ Ò Ò Ò Ð ÝØ ÒØÖ Ö ØÖÙ ØÙÖ µ ÐÐ Ö Ò Ð ÖÝÑ ¹ ÒØÖ Ö ØÖÙ ØÙÖ µº Å Ò Ð Ú ØØ Ö Ø ÐÐ Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ø ØØ Ð ØÓÑ Ö Ó ØØ Ø ØØ Ö Ò Ò ØÓÑ Ú Ú Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ØØ ÖÔÙÒ Ø Ü ÑÔ Ð Ñ Ø ÐÐ ÓÔÔ Ö µº Î Ö ÐÐØ Ò Ò ØÓÑÖ ÓÖÑ ØÓÖ f(λ,θ) Ò Ü j Ò ÐÓÔ µº Ö ØÖÙ ØÙÖ Ö Ð Ö ØÖÙ ØÙÖ ØÓÖÒ Ö S hkl = 4f ÓÑ (hkl) ÐÐ Ö Ù ÐÐ Ö ÐÐ ÑÒ Ð Ø Ö S hkl = 0 Ö S hkl = 2f ÓÑ h + k + l = ÑÒØ Ø Ð S hkl = 0 ÓÑ h + k + l = Ù Ø Ðº Ù Ö Ú ÖØÝ ÓÑ ØØ Ù Ò Ú ØØ Ñ ÐÔ Ú Úº µº ¾º ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ñ ØÓ º ¾º½º Ý ¹Ë ÖÖ Ö¹Ñ ØÓ Ò Ö ÙÔÔØ Ò Ò Ò Ú Ô ØÖÙÑ Ö Ò º º Ý ¹Ë ÖÖ Ö Ñ ØÓ ÒÚÒØ º Ø ÔÓÐÝ Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓÚ Ø ÚÖØ ÐÐ Ò Ñ Ø ÐÐØÖ µ ØÖÐ Ñ Ö ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÒÓ Ú ÓÔÔ Ö ÓÑ Ö Ö Ñ Ð ØÖÓÒ Öº ØÖ Ö ÓÔÔ Ö Ö Ø Ö Ø Ú ÐÒ ÖÒ K α1 K α2 Ó K β Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ ØÖ ÙÒ Ö Ð ÓÖÑ Ô ØÖ ÐØ Ð ÓÖÑ Ø Ö ÓÑ Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò θ Ó λ ÒØ Ö Ð Ò Öغµ ÈÖÓÚ Ø ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ø ÐÐ Ö ÓÖ ÒØ Ö ÐÐ Ö ØÒ Ò Ö Ó Ú ÐÐ ÓÖ Ø Ö Ö Ö Ü ÓÒ Ñ Ò Ú ÙÔÔ ØØÒ Ò Å ÐÐ Ö Ò Ü (hkl) Ú ÑÓØ Ú Ö Ò Ú Ø d n Ó θ ÓÑÑ Ö ØØ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö ÑÒ Ñ Ö Ø ÐÐ Ö Ñ ÓÐ ÓÖ ÒØ Ö Ò Ö Ð Ø ÚØ Ò Ò ÐÐ Ò ØÖÐÒ Ò Ò Ö ØÒ Ò º ËØÖÐÒ Ò Ò ÔÖ Ö Ö Ñ Ø ÓÒ Ú Ò ÐÒ 2θ ÓÒ ÒØÖ Ø Ö Ò ÒÒ Ö ØÒ Ò Ó Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ð Ú Ò Ö Ò µ Ô Ò ÓØÓ Ö ÐÑ Òº Ë º º
4 º º ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ ÙÔÔ ØÐÐÒ Ò Ý ¹Ë ÖÖ Ö¹Ñ ØÓ Òº ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ý ¹Ë ÖÖ Ö¹ Ô ØÖ ÓÑ Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖ Ø ÓÒ Ò ÓÑÑ Ö ÖÒ µ Ð µ Ù µ Ù µ Ï µ Ó α µº Å ÒÒ ÓÑ ÓÑ ÐÑÝÐ Ò ÖÒ Ö R f Ò Ð Ò Ú Ò Ð ÖÒ θ Ö ÓÐ Ö Ü ÖÒ ØÑÑ º Ê Ò Ñ Ø ÖÒ s ÑØ º µ Ó Ñ Ò Ö ÐÐ Ö Ó ÖÚ Ö Ð Ò Ú Ò Ð Ö θ obs ÙÖ s = R f 4θ obs (9) ÚÐ Ø ÚÖ Ò θ obs Ñ Ø Ó ÓÖÖ Ö Ôº º º Ò ÓÑ ØÖ Ø Ú ÓÖÔØ ÓÒ Ò Ú Ö ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò ÔÖÓÚ Ø Ú Ò ØØ Ò Òµº º º Ò Ö Ø Ö Ø Ö ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò Ò K β Ö Ú ÐÒ Ò λ β = º Î ÐÒ Ò Ó K α1 Ö λ α1 = Ó ÒØ Ò Ø Ø Ö Ö Ø ÖÖ Ò ÒØ Ò Ø Ø Ò Ó K β º Î ÐÒ Ò Ó K α2 Ö λ α2 = Ó ÒØ Ò Ø Ø ¾ Ö Ø ÖÖ Ò K β º Ⱥ º º Ò Ð ÙÔÔÐ Ò Ò Ò ØÚ K α ¹ Ö Ò Ð Ò Ö Ó Ò Ð ÓÑ ØÖÐÒ Ò Ñ Ú ÐÒ Ò ½º ¾ Ó ÒØ Ò Ø Ø Ò Ö Ð Ø ÚØ K β º ¾º¾º Ö ÓÑ ØØ Ð Ø º º Ö ÓÑ ØØ Ð Ø n hkl ÓÑÑ Ö Ò Ö Ñ Ý ¹Ë ÖÖ Ö Ñ ØÓ Ø Ö ÓÑ ÔÖÓÚ Ø Ö ØÖ Ú ØØ ØÓÖØ ÒØ Ð ÐÙÑÔÑ Ø ÓÖ ÒØ Ö Ö Ø ÐÐ Öº ÌÝ Ð Ò ÓÑÑ Ö ÒØ Ò Ø Ø Ò Ó Ö Ö Ü ÓÒ Ö ÓÑ ÙÔÔ ØÖ Ú ÔÖ Ò Ò ÑÓØ ÔÐ Ò ÖÓÖ Ñ ØØ Ú Ø ÔÐ Ò Ú ØÒ d ØØ Ú Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ ÒÒÓÐ Ø Ò ÑÓØ ØØ Ò Ò ÔÐ Ò Ö Ö ÖØØ ÓÖ ÒØ Ö Ò Ó ÒÒ ÒÒÓÐ Ø ÓÑÑ Ö ØØ Ú Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ Ø ÒØ Ð Ò ÔÐ Ò ÖÓÖ ÓÑ ÒÒ Ö Ø ÐÐ Òº ØØ ÒØ Ð Ö n hkl º
5 Î Ö ÔÐ Ò Ö Ñ ÔÐ Ò Ú ØÒ Ø d ÑÓØ Ú Ö Ú Ò Ö ÔÖÓ ØØ ÖÚ ØÓÖ Ñ ÐÒ Ò 2π/d Ó Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ö Ö Ü ÓÒ ÓÑ Ú ØÓÖÒ Ö ÐÑÔÐ Ö ØÒ Ò º ËÐ Ö n hkl Ð Ñ ÒØ Ð Ø Ö ÔÖÓ ØØ ÖÚ ØÓÖ Ö Ñ ÒÒ ÐÒ º Ü ÑÔ Ð ½ ÔÐ Ò Ö Ñ Å ÐÐ Ö Ò Ü (100)º ÅÓØ Ú Ö Ò Ö ÔÖÓ ØØ ÖÚ ØÓÖ Ö Ù ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ (100)º Ú Ú Ð ÒØ Ö ÔÖÓ ØØ ÖÚ ØÓÖ Ö Ú Ñ ÑÑ ÐÒ ¹ Úº µµ Ö (010) (001) (100) (010) Ó (001)º ËÐ n 100 = 6º Ü ÑÔ Ð ¾ ÔÐ Ò Ö Ñ Å ÐÐ Ö Ò Ü (123)º Î Ö ÓÐ ØØ ØØ ÝØ Ø Ò Ô Ò ÐÐ Ö Ö Ú Ò Ü Ü ÑÔ Ð Ô ÝØ (1,2,3)µº ÙØÓÑ Ò ½¾ Ô ÖÑÙØ Ö Ô ÓÐ Øغ ËÐ n 123 = 6 8 = 48º Ö ÓÑ ØØ Ð Ø Ö Ù ØÖÙ ØÙÖ Ö ÑÑ Ò ØØ Ò Ò Ø Ò Ø Ðк ÌÝÔ Ú ÔÐ Ò Ö Ð ¼¼ ¼ ¼ Ð Ð n hkl ½¾ ¾ ¾ ÁÒØ Ò Ø Ø Ò Ó Ò Ð Ò Ý ¹Ë ÖÖ Ö¹ Ô ØÖÙÑ Ò ÒÐ Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÖÚÒØ Ú Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ I ber = S hkl 2 n hkl I λ (10) Ö I λ Ö Ò Ö Ð Ø Ú ÒØ Ò Ø Ø Ò Ó ÑÓØ Ú Ö Ò Ö Ø Ö Ø Ò ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò º Ò Ö Ð Ø Ú ÒØ Ò Ø Ø Ò Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ ÓØÓ Ö Ø Ö ØÖ Ö Ô ØÖ Ø Ò ÖÓÚØ ÙÔÔ ØØ ÓÑ Ú Ù ÐÐØ Ó ÖÚ Ö Ö Ð Ø Ú ÚÖØÒ Ò ÜÔÓÒ Ö Ò Ô Ö ÝØ Ò Øµº Ë Ù ÓÒ Ò Òºµ º ÃÓÖÖ Ø ÓÒ Öº Î ÐÐ ØØ Ú Ò ØØ Ò Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú ÓÖÖ Ø ÓÒ Ö Ø ØÙÑ ØØ Ö ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò Ò Ø ÐÐ ØÓÖ Ð ÓÖ Ö ÔÖÓÚ Ø Ñ Ø ÐÐØÖ Òµº ÓÖÔØ ÓÒ Ò ÓÖ Ú ÓØÓ Ø Ò ÓØÓ Ð ØÖ Ø Òµ Ú ÓØÓÒ Ò ÒÒ Ð Ö Ó Ò Ö Ö Ø Ø ÐÐ ØØ Ü Ø Ö Ò ÙÒ Ò Ð ØÖÓÒ Ñ Ø ÐÐ Òº ÙØÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ñ Ò Ö ÙØ ØÖ Ò Ò Ò Ð Ø ÔÖ Ò Ò ÒÓÑ ÓÑÔØÓÒ Ø Ò Ú ÑÓØ Ö Ð Ø ÙÒ Ò µ Ð ØÖÓÒ Ö ÑØ Ð Ø ÔÖ Ò Ò º º Ê ÝÐ ¹ ÔÖ Ò Ò ÑÓØ Ö Ö ÙÒ Ò Ð ØÖÓÒ Ö Ø Ö Ò Ò Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ö ÒØ Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ö ÔÖ Ò Ò ºµ Ò Ö ÔÖ Ò Ò ÓÑ ØØ Ö Ö Ö ÙÚÙ Ð Ò ÒÖ ÝØ Ò Ú ØÖ Òº Ø Ö ÓÑ ØÖ Ò Ö Ò ÖÒ ÒÓÐÐ Ð Ö Ö ØØ ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ð Ø Ò ÖÒ Ö Ò Ú ÓÑ ØÖ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ú Ö Ö Úº µ Ñ Ø ÓÖÖ Ö º ÙØÓÑ ÐÐ Ú Ö Ø Ó ÙÔÔ ØØ Ö Ò Ó Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÖÒ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ô ØÖ Øº Î Ö ÐÐ Ú ÙØ Ö ÒØ Ò Ø Ø ÓÖÑ ÐÒ ½¼µº
6 º½º ÓÖÔØ ÓÒ Ú Ö ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò ÔÖÓÚ Ø Î Ò Ö Ò ÙÔÔ ØØÒ Ò Ú ØÖÐÒ Ò Ò ÒØÖÒ Ò Ò ÙÔ ÔÖÓÚ Ø ÓÖØ ÖÒ ÓÑÔØÓÒ Ø Ó Ê ÝÐ ¹ ÔÖ Ò Ò Ú Ú Ø Ö Ò Ø ÓØÓ Øº Ⱥ º º ÓØÓ Ø ÚØ Ö Ö ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò Ò ÒØ Ò Ø Ø I Ñ Ò ØÖ x ѵ ÓÑ ØÖÐÒ Ò Ò ØØ Ø ÓÖ Ö Ò Ñ Ø Ö Ð Ø ÒÐ Ø ÓÖÑ ÐÒ I(x) = I(0)e µρx (11) Ö µ Ö Ò ÓØÓ Ð ØÖ ÓÖÔØ ÓÒ Ó ÒØ Ò Ñ 2» µ Ó ρ Ò Ø Ø Ò»Ñ 3 µ Ó Ñ Ø Ö Ð Øº Ö Ù K α ¹ ØÖÐÒ Ò Ñ Ú ÐÒ Ò 1.54 ÓÖÔØ ÓÒ Ó ÒØ Ò ÖÒ Øº ܺ ØÓÑ Ø Ò ÆÙÐ Ö Ø Ì Ð ÚÓк ½ µº Î Ò ÖÙÖ Ö Ò Ò ØÖ Ô Ú Ð Ò ÒØ Ò Ø Ø Ò ÚØ Ö Ø ÐРغ ܺ ± Ú ØØ Ò Ø ÐÚÖ Ú Ð Ø Ú Ò ÐÐ ØÖÐÒ Ò Ò ÒØÖÒ Ò Ò ÙÔ δº Ê ÙÐØ Ø Ø Ò Ò Ø Ò Ø Ðк µ(cm 2 /g) δ(mm) Ð º ¼º¾ ¼¼º ¼º¼½ Ù ¼º ¼º¼ ¾¼ º ¼º¼½ Ï ½ º ¼º¼¼ Ù ¾¼ º ¼º¼¼ º¾º ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú ÑÓ ÐÐ Ú Ö ÔÖ Ò Ò Ò ÐÓ Ð Ö Ò ÔÖÓÚ Øº ÈÖÓÚ Ø Ñ Ø ÐÐØÖ Òµ Ö Ò Ö R t Ú Ö Ü Ø ÚÖ Ö ÒØ Ø ØÓÖ Ñ ÐÐ ÖØ Ú Ö ¼º¾ ÑѺ ØØ Ö Ñ ÙÒ ÒØ Ö Ð Ó Ù ØÝ Ð Ø Ø ÖÖ Ò δº Å Ò Ö Ö Ö ÓÑ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú ÑÓ ÐÐ ÙÒÒ ØÒ ØØ Ò Ö ÔÖ Ò Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ö Ô ÝØ Ò Ú Ñ Ø ÐÐØÖ Òº Î Ö Ð Ò Ö Ò Ð Ò ÒØ Ò Ò ½µ Ö ÔÖ Ò Ò Ö Ò Ø ÖÒ ÝØ Ò Ú ØÖ Òº ¾µ Ò Ð Ú ÝØ Ò ÓÑ Ö Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ø ÖÒ Ò ÔÐ Ø Ö Ð Ò Ò ÜÔÓÒ Ö Ø Ô Ò ÓØÓ Ö ÐÑ Ò Ó ÓÑ ÑØ Ø Ö Ö Ø ÐÝ Ø Ú Ò Ò ÐÐ Ò ØÖÐÒ Ò Òº µ Ø Ö ÓÑ ÐÑ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ñ Ð Ò Ú ÒØ ØØ ØÖÐ Ò Ò Ö ØØ ÔÐ Ò Ú Ò ÐÖØØ ÑÓØ Ñ Ø ÐÐØÖ Òº º ÐÐÙ ØÖ Ö Ö ÑÓ ÐÐ Ò ÓÑ ØÖ Ö ÐÐ Ò θ < π/4 Ó θ > π/4 Ñ Ð ÚÖ Ò Ö Ù 0 < θ < π/2µº Ú ÙÖ Ò Ö Ñ Ö ØØ Ò ÔÖ Ò ÝØ Ò ÓÑ ØØ Ö ØØ Ú Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ 2θ Ú Ò ÙØ Ö Ò ÚÓØ θ/π Ú ØÖ Ò Ð Ñ ÒØ ÐÝØ º Î Ò Ö Ö ÚÒØ Ó ØØ Ò Ù ÖÙÒ Ò ÓÖ Ú ÓÑÔØÓÒ¹ Ó Ò Ó Ö ÒØ Ê ÝÐ ¹ ÔÖ Ò Ò µ Ö Ø ÖÖ Ú ØÓÖ Ú Ò Ð Ö θº ÙØÓÑ ÒØÝ Ö º ØØ Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÖÒ Ö Ö Ñ Ò θº
7 º º ÅÓ ÐÐ Ú Ö ÔÖ Ò Ò Ò ÐÓ Ð Ö Ò Ô ÝØ Ò Ú ÔÖÓÚ Øº
8 º º ÃÓÖÖ Ø ÓÒ Ú ÙÔÔÑØØ Ø ÓÒ Ú Ò Ðº Î Ö ÒÙ Ò Ò Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ö Ò Ò Ú Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ò Ø ÓÒ Ú Ò Ð 2θ ÓÑ ÐÐ ÒÚÒ Ö ÓÖÑ Ð µ Ó Ò Ó ÖÚ Ö Ñ Úº µ Ö ÐÐÒ µ Ø ÓÒ Ú Ò ÐÒ 2θ obs º Ö ØØ Ö Ú ÝØØ ÖÐ Ö ØØ ÒØ Ò ÒÑÐ Ò µ Ò ÖÒ ÔÖÓÚ Ø ÔÖ ØÖÐÒ Ò Ò Ò Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ö Ò Ò Ú θ obs ÒØ Ú Ö ÔÖ ÖÒ Ò ÓÒ Ð Ø Ñ Ð Ñ ÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÐÐ ÐÐ ØÖ ÔÐ Ö Ñ ØØ Ô Ò ÔÖ Ò Ð Ò Ú ÔÖÓÚ Ø ÝØ Ú ÔÙÒ Ø Ò P º º Ú º ØØ P ÒÒ Ö Ô Ú ØÒ Ø R t cos θ ÖÒ Ò Ð Ò ÒÓÑ ÔÖÓÚ Ø Ñ ØØÔÙÒ Ø Ò Ò ÐÐ Ò ØÖÐ Ò Ö ØÒ Ò º ØØ Ö ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò º Ö R f Ö ÐÑ Ò Ö Ú Ú ØÒ Ø ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ñ ØØÔÙÒ Øº Ú º ØØ º º ÅÓ ÐÐ Ö ÓÖÖ Ø ÓÒ Ú ÙÔÔÑØØ Ø ÓÒ Ú Ò Ð R f (2θ obs 2θ) R t cos θ (12) Ø Ö ÓÑ θ ÔÖ Ø Ò Ö ÑÝ Ø ÒÖ Ð Ñ θ obs Ò Ú ÓÑ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ØØ Ø ÖÑ Ò R t cos θ Ñ R t cos θ obs Ó Ö 2θ 2θ obs R t R f cos θ obs (13) ØØ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú ÓÖÑ Ð Ö ØØ ÓÖÖ Ö Ø ÓÒ Ú Ò ÐÒ Ñ Ò Ú Ò ÒØ ÒÚÒ Ò Ö Ø Ú ÒØ ÒÒ Ö Ø Ü Ø ÚÖ Ø Ú R t /R f º Î Ö Ó ØØ Ð Ø Ò Ó ÖÚ Ö Ø ÓÒ Ú Ò ÐÒ Ñ Ò Ö Ñ Ò Ú Ò Ð 2θ obs Ó Ð Ö ÒÓÐÐ Ú 2θ obs = º º º ÃÓÖÖ Ø ÓÒ Ú Ö Ò Ò Ò Ú ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò a ÇÑ ÐÐÒ Ò Ñ ÐÐ Ò θ Ó θ obs Ò Ö ÙÑÑ Ò ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò a Ö Ò ÙÖ Úº µ ÓÑ ÐÑÔÐ Ò Ö Ú a 2 = λ2 4sin 2 θ (h2 + k 2 + l 2 ) (14) ÇÑ Ñ Ò Ö Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÙÔÔÑØØ Ø ÓÒ Ú Ò ÐÒ 2θ ÑØ ÐÝ Ø ÒØ Ö Å ÐÐ Ö Ò Ü (hkl) Ó Ú ÐÒ Ò λ Ò Ñ Ò ÙÖ ½ µ Ö Ò ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò aº ÇÑ Ò ÐÝ Ò Ú Ö ÓÖÖ Ö ÐÐ ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ö ÑÑ ÚÖ Ô a ÒÓÑ Ð ÖÒ ÖÒ µº
9 ÇÑ θ obs ÔÔÐ Ö ÙØ Ò ÓÖÖ Ø ÓÒ ½ µ a 2 = λ 2 4sin 2 θ obs (h 2 + k 2 + l 2 ) (15) ÀÖ Ø Ò Ö Ú ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò Ñ a Ö ØØ Ñ Ö Ö ØØ ØØ Ö Ø ÓÖÖ Ö ÚÖ Øº ÃÓÖÖ Ø ÓÒ Ò Ú θ Ò Ò ÐÙ Ö Ô Ð Ò Øغ ÍÖ Úº ½ µ ØØ sinθ sinθ obs cos((r t /2R f )cos θ obs ) cos θ obs sin((r t /2R f )cos θ obs ) sin θ obs R t 2R f cos 2 θ obs (16) Ö Ø Ø Ð Ø Ð Ö Ñ ÒÚÒ Ò Ò Ú ØØ R t /R f << 1µ Ú ØØ cos α 1 Ó sin α α ÓÑ α Ö Ò Ú Ò Ð << 1 Ö Ò Öµº Úº ½ µ Ö sin 2 θ sin 2 θ obs R t R f sinθ obs cos 2 θ obs = = sin 2 θ obs [1 R t cos 2 θ obs R f sinθ obs ] (17) Ö Ú Ø Ö Ò ÒÚÒØ ØØ (R t /R f ) << 1º ÍÖ Úº ½ µ Ó ½ µ Ñ ÐÔ Ú ½ µ Ú Ð Ø Ú Ò Ö Ú a 2 a 2 = 1 R t cos 2 θ obs R f sin θ obs (18) a 2 = a 2 a2 R t R f cos2 θ obs sinθ obs (19) ÇÑ Ñ Ò ÐÐØ ÔÐÓØØ Ö Ø ÒÐ Ø ½ µ Ö Ò a 2 ÑÓØ Ú Ö ÐÒ (cos 2 θ obs /sin θ obs ) Ö Ñ Ò ÒÐ Ø Úº ½ µ ÖÐ ÙÖ ÚÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú ÑÓ ÐÐ Ò ÖØ Ð Ò Ú Ö ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø Ñ ÓÖ Ò Ø Ò Ú θ obs = π/2) Ö Ø ÓÖÖ Ø ÚÖ Ø a 2 Ô Ú Ö Ø Ò Ú ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Òº º º ÍÔÔ ØØÒ Ò Ú Ð Ò Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÖÒ Ö B Ô Ò ÓØÓ Ö ÐÑ Ò Ò Ú Ö ÙÑÑ Ò Ú Ö ÓÐ Ö º Ö Ø ÖÒ ØÖ Ò Ø Ó Ð Ö ÒÐ Ø º Ú Ö B t = R t (1 cos 2θ) (20) ØØ Ö Ö ÐÐØ Ñ Ò θº Ö Ø ÖÒ Ò Ò ØÙÖÐ Ð Ò Ö Ò dλ Ó Øº ܺ K α1 ¹ ØÖÐÒ Ò Ò Ò Ö Ò Ô Ð Ò Øغ Úº µ Ò Ö Ú Ö ÒØ Ö Ò Ö ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú ¾½µ Ó ¾¾µ Ö Ö Ø ÖÒ ØØ Ø ÐÐ Ð Ò Ö Ò Ð Ö sin θ = λ 2a (h2 + k 2 + l 2 ) 1/2 (21) cos θ dθ = dλ 2a (h2 + k 2 + l 2 ) 1/2 (22) dθ tan θ = dλ λ (23) B λ = R f dθ = R f tan θ dλ λ (24) Ò ØÓØ Ð Ö Ò Ð Ö ÒÐ Ø ÓÚ Ò B = B t + B λ º ØØ ÖÐ Ö Ö Ò Ø ÐÐ ÓÑÑ Øº ܺ ÓÑ Ò Ò ÐÐ Ò ØÖÐ Ò Ö Ò ÓØ Ú Ö Òغ Ä ØØ Ö ØÙÖ Ø ØÓÑ Ø Ò ÆÙÐ Ö Ø Ì Ð ÚÓк½ º¾ µ ÒØÝ Ö ØØ (dλ/λ) º ÇÑ R t Ö ¼º¾ ¹ ¼º ÑÑ ØØ B t Ö Ò ØÓÖÐ ÓÖ Ò Ò Ø ÖÖ Ò B λ Ú Ò Ø Ò Ú ØÖ Ò Ø Ó Ð ØÝ Ú Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ò ÓÖ Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ö Òº º º Ù ÓÒ Ú ÒØ Ò Ø Ø ÓÖÑ ÐÒ Ò ØÓØ Ð ÑÒ ØÖÐÒ Ò ÓÑ Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ú Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ Ò ØÓÖ Y (θ) ÓÑ ÖÓÖ Ô Ò Ö ÔÖ Ò Ð Ò Ú ÔÖÓÚ Ø ÝØ Ó ÓÑ ÐÐØ Ö Ñ Ò Ú Ò Ð θ Ð Ø
10 Ñ Ò Ù ÖÙÒ Òµº Ò ÖÓÚ ÙÔÔ ØØÒ Ò Ú Y (θ) Ò Ú Ö ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò Ú Ò ÔÖ Ò Ð Ò Ú ÔÖÓÚ Ø ÝØ Ô ØØ ÔÐ Ò Ú Ò ÐÖØØ ÑÓØ Ò Ò ÐÐ Ò ØÖÐÒ Ò Òº Ú º ØØ Y (θ) = R t R t cos 2θ 2R t (24) Ö ØØ ÒØ Ò Ø Ø Ò ÚÖØÒ Ò Òµ Ó Ö Ò Ò Ö Ú Ó Ú Ö Ñ Ö Ò Ò Ö Bº Ø Ö ÓÑ B B t (1 cos 2θ) ÓÑÑ Ö Ú Ò Ð ÖÓ Ò Ø Ó Y ØÝ Ð Ò ÒØ ØØ ÔÚ Ö ÒØ Ò Ø Ø Òº Ñ ÐÐ ÖØ Ö Ó ÖÚ Ö ØØ ØÖÙ ØÙÖ ØÓÖÒ S hkl Ò ÐÙ Ö Ö Ò ØÓÑÖ ÓÖÑ ØÓÖÒ f(λ,θ) Ú Ð Ò Ñ Ò Ö Ñ Ò θº Ü ÑÔ Ð º º ÙØÓÑ Ò ÒÒ Ò Ö Ú Ò Ð ÖÓ Ò Ø Öº º º ÍÖ ÒÝÐÓÔ Ó È Ý ºËº Ð µ ÎÓк ¾ Ò ÔÖ Ø ÙÔÔ ØØÒ Ò Ò Ú ÒØ Ò Ø Ø Ò Ö ÖÓÚ ØØ Ø Ò ÔÔ Ø Ö Ñ Ò Ò ÙÐÐØ ØØ ÒÓÑ Ö Ò Ø Ð Ö Ö Ò Ò º ËÒ Ö Ö Ò Úº ½¼µ ÒÚÒ Ö Ø Ú ÖÚ Ú Ò Ð ÖÓ Ò Ø Ó f Ò Ö ÙÑÑ º Ó ØÓÖ Úº ½¼µ Ú Ö Ò ÓÖÐÙÒ Ø ÐÐ ÖÐ ØÐ Ò Ø Ø ÐÐ Ö Ñ Ö Ð Ú Ö Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ ÒÖ Ú Ö ÒÒº ÀÖÚ Ô Ð Ö Ù θ¹ ÖÓ Ò Ø Ó f 2 Ó Ò Ö ÓÑ ØÖ Ø Ö Ñ Ò Ö ÖÓÐк Ä ÓÖ Ø ÓÒ ÙÔÔ Ø Ä ÓÖ Ø ÓÒ ÙÔÔ Ø Ò Ö ØØ Ñ ÐÔ Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ý ¹Ë ÖÖ Ö¹ Ô ØÖ ÜÔÓÒ Ö ÓØÓ Ö ÐÑ Öµ Ö ØÚ ÓÐ ÔÖÓÚ Ö ØÑÑ ÔÖÓÚ Ø ØØ ÖØÝÔ ÐÐ Ö µ ÑØ ÒØ Ö Ò Ñ Ø ÐÐ ÓÑ ÔÖÓÚ Ø ØÖ Úº ËÓÑ ÐÔ Ó Ð ØØ Ö ØÙÖÚÖ Ò Ô ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ö ÓÐ Ö Ø ÐÐ Ò ÑÒ Òº º Ú Ö Ò ÓÔ Ú Ô ØÖÙÑ Ö ØØ Ú ÔÖÓÚ Òº ËÓÑ ÐÔ ÒÒ ÙÖ Ò Ö Ø Ö Ø Ú ÐÒ Ò Ö Ú Ö Ô ØÖ ÐÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ö Ò µ ÑØ Å ÐÐ Ö¹ Ò Ü Ö Ò Ö Ú Ð Ò ÖÒ º Å Ð Ò Ò Ö Ú Ö Ù ÙÒÒ ÙÒ Ö ÙØ ØØ ÖØÝÔ ÑØ Å ÐÐ Ö¹ Ò Ü Ö ÚÖ Ð Ò ÖÒ º Ç ÖÚ Ö ØØ Ð Ò ÖÒ ½¼ Ó ½ Ö Ò Ø Ò Ó ÝÒÐ Ô ÐÑ Ò Ó Ö Ö ÐØØ ØØ Ñ º ËÝÑ ÓÐ Ò α 12 Ø Ò Ö Ð Ò Ö ÖÒ α 1 ¹ ØÖÐÒ Ò Ó α 2 ¹ ØÖÐÒ Ò ÐÐ ÑÑ Ò ÐÐ Ö ÒÓÑ ÑØÒÓ Ö ÒÒ Ø Òµº Ë ÐÚ ÑØÒ Ò Ò Ú Ö Ò Ñ ØÖ Ö Ñ Ø Ù Ú ØÚ Ö Ô Ò ÓØÓ Ö ÐÑ Òº Á ÒØ Ö Ò Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ø Ò Ö ÔÖÓÚ Ø Ô ØÖÙÑ Ö Ù ÐØ Ó ÐÐ Ø ÐÚº Ù ÓÑÑ Ö ÒØ Ð Ò ØØ ÒÒ ØØ Ò ÐÝ Ú ØØ Ô ØÖÙÑ ÓÖ Ö Ö Ý Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ó Ò Ò Öº ½¼
11 º º Ë Ú Ò Ö Ø ÓÒ Ñ Ò ØÖ Ø Ó ÐÑ Ö ÑÖ Ø º Ê ØÐ Ò Ö Ó Ø Ô Ö ÒÓÑ Ö Ò ½º Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÖÒ Ñ ØÖ Ö s ÑØ Ó Ö Ó ÖÚ Ö ÒØ Ò Ø Ø Ö I obs ÙÔÔ ØØ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ð ¼ ¹ º ÎÖ Ò Ñ ÙÔÔ ØØ Ð ÖÒ Ö Ö ÓÚ Ø Ðк ÚÖ Ò Ø ÐÐ ÑÑ Ò Ñ Ò ÚÒ Ú ÐÒ Ö Ó Ò Ò ÐÐ Ò ØÖÐÒ Ò Ò Ö Ò Ö Ø Ö Ò ÐÝ Òº Ù Ò ÓÑ Ù Ú ÐÐ ÒÚÒ Ó Ö Ð Ø ÐÐ Ö Ø Ø ÐÐ Ú Ò Ò ÐÝ Ó Ó Ò Ø ÐÐ Ò Ö ÔÔÓÖغµ ¾º Ò ÓÖÖ Ö µ Ð Ò Ú Ò ÐÒ θ obs sin 2 θ obs ÑØ cos 2 θ obs /sin θ obs Ö Ò Ö Ú Ö Ö Ø ÓÒ Ö Ò º º Ö ØØ ÔÖ Ð Ñ ÒÖØ Ð Ö Ö Ú Ð Ö Ò Ö ÓÑ ÖÖ Ö ÖÒ K α1 K α2 Ó K β ¹ ØÖÐÒ Ò º º Ú µ Ö Ñ Ö ØØ Ö Ò Ú Ò Ú ÐÒ Ö sin 2 θ Ö Ò Ö Ò Ú Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ ÐØ Ð ÚÖ Ø (h 2 +k 2 +l 2 )º ÃÚÓØ Ö Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÓÐ sin 2 θ Ú Ö Ò ÑÓØ ÑÑ Ú ÐÒ Ö ÐÐØ Ú Ö Ð Ñ ÚÓØ Ò Ú ØÚ ÐØ Ð (h 2 + k 2 + l 2 )º ØØ ÓÖ Ö Ö ØØ Ò Ò Ò ØÖ Ò Ú ÐÒ ÔÙÒ Ø Ö Ö Ø ºµ ÐØ Ð ÓÑ Ò Ò ÒÒ ØÐ Ö Ó ÒÑÒ Ö Ö ÐÐØ ÒÖ ÓÑ Ô Ò Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ Ò Ñ ØÓÖ Ð Ñ (h 2 +k 2 +l 2 )¹ ÚÖ Ò Ö Ö Ô Ø Ú Ö Ò Öº Ö ÒÒ ÚÖ Òº º ÍÖ (h 2 + k 2 + l 2 )¹ÚÖ Ò Ò Ñ Ò Ö Ú µ ÐÙØ Ø ÐÐ Å ÐÐ Ö¹ Ò Ü (hkl) Ö Ö Ô Ø Ú Ö Ò Öº º ÍÖ Ö ÓÑÑ Ò Å ÐÐ Ö¹ Ò Ü Ö Ñ Ò ÙÒÒ ÐÙØ Ø ÐÐ ØØ ÖØÝÔ ÐÐ Ö µº ÃÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ ÜÔ Ö ¹ Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ö ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ò ÑÓ ÐÐ Ù ÓÑÑ Ø Ö Ñ Ø ÐÐ º ØØ ÔÖ Ð Ñ ÒÖØ ÚÖ a 2 Ö Ò Ñ ÐÔ Ú Úº ½ µ Ö Ú Ö Ö Ø ÓÒ Ö Ò º º ØØ ÓÖÖ Ö Ø ÚÖ a 2 ØÑ ÒÐ Ø Úº ½ µ ÒÓÑ ØØ ÔÐÓØØ a 2 ÑÓØ cos 2 θ obs /sin θ obs º ÀÖ Ú ØØ ÚÖ Ô ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò aº º Ò Ð Ð ÝÐ Ú Ò Ø Ö ÐÐÒ ÚÖ Ø a ÒÓÑ Ö º Ù Ö Ö Ø ÚÐ Ð Ò Ó ÚÖ Ò Ö Ú Ö Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÓÑ ÔÖ Ò Ò Ò Ö Ò Ò Ð Ò ÓÑ ÖÚÒØ ÒÐ Ø Úº ½ µº Ø Ò Ó Ð ØÙ ÐÐØ ØØ ÖÙÒ Ú ÒØÙ ÐÐ Ý Ø Ñ Ø Ðº ½¼º Ø Ö ÐÐÒ ÚÖ Ø a Ñ Ö Ñ Ó Ð ØØ Ö ØÙÖÚÖ Òº ØØ Ö Ö Ø Ñ Ð Ø ØØ ÒØ Ö ÔÖÓÚ Øº ½½
12 ½½º ÇÑ Ö ÙÐØ Ø Ø Ö Ö Ø Ø ÐÐ Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò ÒÒ ÐÐ ØØ ÐØ ÒØ Ð ØÓÑ Öº Ö Ò Ö Ö ÓÑ ÓÒØÖÓÐÐ ÒØ Ð Ø ØÓÑ Ö n ÐÐ Ò ÒÐ Ø ÓÖÑ ÐÒ n = a 3 ρ N a /A Ö ρ Ö Ð ØØ Ö ØÙÖÚÖ Ø Ô Ò Ø Ø Ò N a Ö ÚÓ ÖÓ Ø Ð Ó A ØÓÑÚ Ø Òº ½¾º Ö Ò ÖÚÒØ ÒØ Ò Ø Ø I ber ÙÖ Úº ½¼µ Ó Ñ Ö Ñ Ó ÖÚ Ö ÒØ Ò Ø Ø I obs º ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ö Ê Ó Ö Ð Ê Ó Ö Ð Ò ÐÐ ÓÑ ØØ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ó Ö Ò Ø Ó Ö Ñ Ð Ò Ð Ö Ö ÚÒ Ò Ú Ò Ö Ò Ò Ö Ó Ò Ò ÐÝ º Ù Ú Ö ÒØ Ö Ó Ö Ö Ø ÓÖ Ò ÒÒ Ø Ò ÓÑ Ù Ñ Ö ØØ Ø Ø ÐÐ Ò ÓÒ Ð Ò Ú Ö ÐÑÔÐ Ø Ö ÑÑ Ò Ò Ø ÙÐÐ Ñ Ò Ò ÑØØ Ó Ö Ò ÚÖ Ò Ó Ò Ò ÐÝ Ñ ØÓ Ñ Ø Ö Ñ Ð ÖØ Ó ØÝ Ð Øº Ĺ ½¾
13 ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ ÁÁ Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì Ä Í Ë Å ÌÇ ÁÒÐ Ò Ò Ê ÒØ Ò Ö Ø ÓÒ ÒÐ Ø Ä Ù Ñ ØÓ Ø ÐÐ Ö ÒÐ Ø º½º Ê ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò Ö Ð Ú Ö ØØ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ô ØÖÙÑ Ú Ú ÐÒ Ö λ Ö ÐÐ ÖÒ Ö ÒØ ÒÖ Ö Ø Ê Ú Ð Ø Ð ØÖÓÒ Ö ÓÑ Ð Ö Ö Ø Ú Ò ÔÒÒ Ò ØÓÖÐ ÓÖ Ò Ò Ò Î ÓÑ Ö Ö Ö Ò ÒÓ º Ò Ñ Ò Ø Ö ÐÐÒ Ú ÐÒ Ò λ min Ú E = hc λ min (1) Ö h Ö ÈÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ c Ð Ù Ø Ø Ò Ó E Ð ØÖÓÒ ÖÒ Ò Ø Ò Ö ØÖ Ö ÒÓ Òº º½ºË Ñ Ø Ð Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ ÙÔÔ ØÐÐÒ Ò Ö Ö ÒØ Ò Ö Ø ÓÒ ÒÐ Ø Ä Ù ¹Ñ ØÓ Òº ËØÖÐÒ Ò Ò ÓÐÐ Ñ Ö Ñ ÐÝ ÖÑ Ö Èµ Ø ÐÐ Ò Ñ Ð ØÖÐ ÓÑ Ö ØÖ Ò ÑÓÒÓ Ö Ø ÐРú ÓØÓ Ö ÔÐØ Ö Ò ÑÓÒØ Ö ÚÐ Ö ÑØÖ ØÒ Ò Ò µ ÓÑ ØÖ ØÒ Ò Ò µº ÒÓÑ Ö Ö Ø ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ ÚÐÒ Ò Ò Ú ØÖÐ Ò Ú Ö ØÒ Ò Ö Ú Ð Ø Ö ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ ØØ Ñ Ò Ø Ö Ú Ñ Ö Ö Ø ÓÒ ÔÓØ µ Ô ÔÐØ ÖÒ º º¾ Ú Ö ÙÖ Ö Ø ÓÒ Ñ Ò ØÖ Ø Ò Ø º Ú Ø Ò Ñ Ö Ð Ò ÚÒ Ò Ö ØØ Ò ÒÖÑ Ö Ò Ø Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ö Ó Ö Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Òº ½
14 º¾º Ä Ù ¹ ÓØÓ Ö Ú Ò Ò Ð Ù Ö Ø Ðк Ê ÒØ Ò ØÖÐÒ Ò Ò Ò ÐÐ Ö Ú Ò ÐÖØØ ÑÓØ Ò Ù ÝØ º Ð Ò ÑØ ÙÖ ÊºÏºÂ Ñ Ó ÇºÏºÊ Ö ÓÒ ¹Ö Ý Ö Ø ÐÐÓ Ö Ô Ý Å Ø Ù Ò ² Ó ½ Ì ÓÖ Î ØÖ Ø Ö Ö Ø Ö Ø ÓÒ ØØ Ò ÐØ Ù Ø ØØ Ö µ Ñ ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò aº Ö Ú ¹ ØØÖ Ø ÔÒÒ ÙÔÔ Ú ØÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ú ØÓÖ ÖÒ a b Ó c Ú Ö Ö Ñ ÐÒ aµ Ú Ð ÐÐØ ÙØ Ö Ú ØÓÖ Ö ØØ ÖÓÖ ÒØ Ö Ø ÖØ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñº Ø Ö ÔÖÓ ØØÖ Ø Ö ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò 2π/a Ó ÔÒÒ ÙÔÔ Ú ØÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ú ØÓÖ ÖÒ A = 2π a â (2) B = 2π a b C = 2π a ĉ Ö â Ö Ò Ø Ú ØÓÖÒ a/a b = b/a Ó Úº Ò ÐÐÑÒ Ö ÔÖÓ ØØ ÖÚ ØÓÖ ÐÐØ Ú G = ha + kb + lc = G(hkl) (3) Ö h,k,l ÐÐ Å ÐÐ Ö¹ Ò Ü Ö ÐØ Ðº Î Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ø Ò Ò Ö k i = Ò ÐÐ Ò ØÖÐÒ Ò Ò Ú Ú ØÓÖ k r = Ö Ø Ö ØÖÐÒ Ò Ò Ú Ú ØÓÖ k λ = k i = k r = 2π/λ θ Ö Ú Ò Ð 2θ Ø ÓÒ Ú Ò Ðº ËÔÖ Ò Ò ÓÑ ØÖ Ò ÒÐ Ø Ø Ò Ú ÐÐ ÓÖ Ø k = G Ö Ö ¹Ö Ü ÓÒ º º Ú ÙÖ Ò Ö G = G º 1 2 G = k λ sin(θ) (4) Î ÒØ Ö ÒÙ ØØ Ò Ò ÐÐ Ò ØÖÐÒ Ò Ò Ö Ö ØÒ Ò Ò â Ú ØØ k i Ö Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ñ [ 100] Ó Ð Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò Ù ÝØ º Ø Ö ÒØ ÚÖØ ØØ Ò Ö Ð Ö Ð Ò Ö Ò Ò ÖÒ Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ò ØÖÐÒ Ò Ó ØÝ Ð Ö ØÒ Ò ºµ ½
15 º º ËÔÖ Ò Ò ÓÑ ØÖ º ÃÖÝ Ò Ñ Ö Ö Ö Ö ÔÖÓ ØØ ÖÔÙÒ Ø Öº Î Ö º µ Ú Ö Ú ÓÒØÖÓÐÐ Ö µ sin(θ) = cos(α) = (G/G) â (5) sin(θ) = h (h2 + k 2 + l 2 ) (6) Å ÐÔ Ú Úº µ Ö Ú ÓÒØÖÓÐÐ Ö µ λ = 2a h h 2 + k 2 + l 2 (7) Ç ÖÚ Ö ØØ Ø ÐÐ Ú Ö ÙÔÔ ØØÒ Ò Å ÐÐ Ö Ò Ü (hkl) Ö ÐÐØ Ò Ú Ú ÐÒ λº Å Ò Ö ÒÑÖ Ø ØØ ÓÑ Ä Ù ¹ Ö Ø ÓÒ ÙÒ Ö Ñ ÝÒÐ Ø Ð Ù ÙÐÐ Ö Ø ÓÒ Ñ Ò ØÖ Ø ØÝ Ð Ò Ø Ú ÓÐ Ö Öº ÁÒÓÑ Ô Ö ÒØ Ò Ù ÒÓØ Ö ØØ Úº µ Ó µ ÓÑ Ò Ö Ö nλ = 2d sin(θ) (8) Ö d Ö Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ Ò Ö Ø ÐÐÔÐ Ò ÓÑ Ö Ö Ø ÓÒ Ò Ó n Ò Ñ Ò Ñ ÐØ Ð ØÓÖ Ó h,k Ó l Ú Ö Ð º Ø ÓÒ Ú Ò ÐÒ Ö 2θ º µº Î Ö Ð Ø Ú Ò Ö Ø ÓÒ Ô ÓØÓÔÐØ Ò º ÇÑ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ Ò Ã Ó Ö L ØØ Ú ØÒ Ø r ÖÒ ÔÐØ Ò ÒØÖÙÑ Ú Ò ÔÙÒ Ø Ö ÔÐØ Ò ØÖ Ú Ò Ø Ö ØÖÐ Ò ¹ Ó Ø Ö ÒÒ Ð Ú ÔÐØ Ò ÓÖØ ÙÖ Òµ Ø ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ò Ö r = Ltan(2θ) (9) Î Ö ÐÙØÐ Ò x¹ Ó y¹ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö Ö Ø ÓÒ Ò ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Ö ÜÐ ÖÒ Ö Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ñ Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ú ØÓÖ Ö b Ö Ô Ø Ú cº Ø Ö ÓÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ Ú k r ÓØÓÔÐØ Ò ÔÐ Ò Ú Ò Ð¹ ÖØØ ÑÓØ k i µ Ö Ù Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÒ ØØ ÔÐ Ò Ú G Ú kb Ö Ô Ø Ú lcµ Ó ÐÙÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ k Ö Ô Ø Ú l ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ k x = r (10a) (k2 + l 2 ) y = r l (k2 + l 2 ) (10b) ½
16 ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ñ Ò ÒÚÒ ØØ Ö Ø ÓÒ Ò ÒÒ Ö Ô Ú ØÒ Ø r ÖÒ ÔÐØ Ò ÒØÖÙÑ Ò Ö ØÒ Ò Ò ØØ y : x = l : kºµ ËÝÑÑ ØÖ Ö ÆÓØ Ö ØØ Å ÐÐ Ö¹ Ò Ü ØØ ÑÑ Ò Ò Ú ØÚ Ö Ö Ù Ö Ø ÐÐ Ñ Ò Ø ÐØ Ð Ú Ö ØØ h > 0 Ú Ð Ø Ö Ñ Ö Ú ÓÑ ØÖ Ò º ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ Ù Ö ØÖ ØØ µ Ñ Ò Ö ÑÓØ Ò Ü Ò k Ó l Ò Ò Ø Ú ÚÐ ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÚÖ Òº Ú ÓÚ Ò ÖÐ ÓÖÑÐ ÖÒ Ð Ò ¹ ÇÑ (h,k,l ) = n (h,k,l) ÓÑÑ Ö Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ú Ö Ò ÑÓØ Ö Ö Ü ÓÒ Ö Ñ Å ÐÐ Ö Ò Ü (h k l ) Ó (hkl) ØØ ÑÑ Ò ÐÐ º Ü ÑÔ Ð (20 4) Ó (10 2)ºµ ¹ Ì Ò ÝØ Ô k ÐÐ Ö l Ò Ö Ö ÒØ Ú ØÒ Ø rº Î Ö Ö ÖÒ (hkl) Ó (hlk) ÑÑ Ú ØÒ r Ó Ö ÔÐ Ö ÝÑÑ ØÖ Ø Ö Ò Ò Ð Ò ÓÑ Ð Ö 45 0 Ú Ò Ð Ñ x¹ Ü ÐÒº ÀÖ Ú Ö Ñ Ö ØØ Ö Ø ÓÒ Ñ Ò ØÖ Ø Ö Ò ¹ Ð ÝÑÑ ØÖ Ú Ð Ø Ò ÙØÒÝØØ Ú Ö Ò Ò Ú ÖÒ Ð º ¹ ØØ Ø Ô Ö Ò Ø Ö Ø Ö Ø ÐÓÑ Ð Ð Ò Ò Ñ Ò ØÖ Ø º¾ Ò Ö Ø ÒÓÑ ØØ ØÙ Ö Ú Ò Ö Ú ØÝÔ Ò (h0l),(h1l),(h2l),...,(hll). ÚÒ Ò ÒÓÑ Ö Ó Ö ÓÚ Ð Ò ÙÔÔ Ø Öº ½º ËÚ Ö Ô Ð Ò Ö ÓÖ ¹ ½ º Î Ö Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ú Ö Ò ÑÓØ Å ÐÐ Ö¹ Ò Ü (101) Ú Ö Ò Ô ¹ ÐÐ Ö ¹ÔÐØ Ò ¹ ½ º Î Ð Å ÐÐ Ö¹ Ò Ü (hkl) ÑÓØ Ú Ö Ö ÔÖ Ò Ò ¾º ÒØ ÓÑ ÓÚ Ò ØØ Ò Ò ÐÐ Ò ØÖÐÒ Ò Ò Ö Ö ØÒ Ò Ò [ 100]º ÒØ Ú Ö ØØ Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ñ ØØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò a = 4 ÑØ ØØ ØÖÐÒ Ò Ò Ö Ö Ð Ô ØØ ÓÒØ ÒÙÙÑ Ú Ú ÐÒ Ö Ö Ò Ñ Ò Ø Ú ÐÒ Ò Ö λ min = 1 º Ö Ò Ä Ù ¹ Ö Ø ÓÒ Ñ Ò ØÖ Ø Ô ÓØÓÔÐØ Ò Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ð Ö 2θ < 70 0 º Ú ØÒ Ø ÖÒ Ö Ø ÐÐ Ø ÐÐ ÔÐØ ÒØ Ú Ö L = 5 Ѻ Ê ÓÚ Ö ÙÐØ Ø Ø ÓÑ Ò Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ñ Ò ØÖ Ø Ô ØØ ÑÑ¹Ô ÔÔ Ö Ú ÒØÙ ÐÐØ Ò ØÓÖÔÖÓ Ù Ö Ð Ñ Ò Ú Ò Ð ØØ x¹ Ó y ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ò ÚÐ µº Ò Å ÐÐ Ö¹ Ò Ü (hkl) Ú Ú Ö Ñ Ö Ö º Ò Ú Ò Ú ÐÒ λ Ö ÓÐ ÖÒ º Ê ÓÚ Ò Ö Ò Ò Ñ ØÓ º Ì Ô ÙÒ Ö Ú Ð Ñ Ü Ñ Ð ÚÖ Ò Å ÐÐ Ö¹ Ò Ü (hkl) Ò ÙÒ Ö ÓÚ Ò Ò ÚÒ Ú ÐÐ ÓÖº ÍÒ Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ú Ñ Ð (hkl) Ú ÒØÙ ÐÐØ Ñ ÐÔ Ú ØØ Ð Ø Ø ØÓÖÔÖÓ Ö Ñºµ º ÒØ ØØ Ö Ø ÐÐ Ò ØÐÐ Ø Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ñ ÚÖ Ø Ó ÖÒ Ö ÒØ Ò Òº Ê ÓÚ Ø Ö Ø ÓÒ¹ Ñ Ò Ø Ö ÓÑ ÐÐ Ö ÐÐ º Ê ÓÚ ÓÖØ ØØ Ø Ò Ñ ØÓ º º ÒÓÑ Ö ÑÑ ÙÔÔ Ø ÓÑ µ Ñ Ò ÒØ ØØ Ö Ø ÐÐ Ò Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖº Ä ¹» Ë ¹¼ ½
Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
Ö ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
Ö Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
s N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
a = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
Stapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
Multivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December
Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
ËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
Självorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ
¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
Från det imaginära till normala familjer
Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ
ËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
Imperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
ËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
ÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008](/thumbs/57/41044285.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008")
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ
Article available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:
Imperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007](/thumbs/95/124973666.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007")
Ð Ñ ÒØ Ó Ê Ó Ï Ú arxiv:0712.4029v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ö Ò ÓÖ Á ÑÓ À Ð ÂÙ ÅØØÐ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Å ÜÛ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º
arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008
![arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008](/thumbs/103/160116641.jpg "arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008")
Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ
Vindkraft och försvarsintressen på Gotland
Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,
Frågetimmar inför skrivningarna i oktober
MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober
Errata. by Afif Osseiran. August 17, 2006
Ú Ò ÒØ ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó¹ÐÓ Ø ² ØÖ ÙØ Á ÇËË ÁÊ Æ ÓØÓÖ Ð Ì ËØÓ ÓÐÑ ËÛ Ò ¾¼¼ ÌÊÁÌ ¹Á ̹ Ç˹¼ ¼¾ ÁËËÆ ½ ¹ ÁËÊÆ ÃÌÀ»ÊË̻ʹ¹¼»¼¾¹¹Ë ÃÌÀ Á Ì Ë ¹½ ¼ ËØÓ ÓÐÑ ËÏ Æ Ñ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ñ Ø ÐÐ ØÒ Ú ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor
PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS
TKK Dissertations 195 Espoo 2009 PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS Doctoral Dissertation Johnny-Stefan Lönnroth Helsinki University of Technology Faculty
15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c
½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet
Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-08-29 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
1 k j = 1 (N m ) jk =
ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ
=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ
Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Måndag 9 jan 212, kl 8.3-12.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics
ÁÒÐÒÒ Ú ØÖØÖ Ú Ò Ø ÒÒ ÐÐ ÖÚØ ÓÑ ÒÖ Ú ØØ Ò ÚĐÖÔÔÔÖ ÒĐÑÐÒ Ò Øº ØÒ ÔÖ Ú ØÒ Ø ØÒ Ñ Ë Øµº ÄØ ÒÙ Ì ÚÖ ØØ ÚØ ÖÑØ ØÙÑ Ó ÒØ ØØ ØØ Ú Ø ÖÚØ ØÒ Ò ÒÐĐÓ Ú ØÒ Ì Ó ÙØ
½º ÓÑÒÒ ÔÖÒÔÒ ØØ ÚĐÖÔÔÔÖ ÓÑ ÒÖ ØÖÑÖ Ú ÒÖ ÚĐÖÔÔÔÖ ÐÐ ØØ ¹ ÒÒ ÐÐØ ÖÚغ ÊĐØØØÒ ÑÒ ÝÐØÒ ØØ ĐÓÔ ØØ ÚØ ÚĐÖÔÔÔÖ ØØ ÖÑØ ØÙÑ ØÐÐ ØØ ĐÓÖÚĐ ÙÔÔÓÖØ ÔÖ ÐÐ Ò ĐÓÔÓÔØÓÒº ¹ ØÖ Ó ÓÔØÓÒ ÓÒØÖØ ĐÖ ÑÝØ ÑÐ ĐÓÖØÐ Öº ØÖ Ö ÚÖØ
markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart
PLANERING MATEMATIK - ÅK 8 Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Bråk och procent Kapitel : 2 Bråk och potenser Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-12-16 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat