Kursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:

Transkript

1 Inlämningsuppgifter i Funtionsteori För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa. Enligt ursplanen sa inlämningsuppgifterna och datorövningar vara godända innan den sriftliga tentamen. En veca före varje omtentamenstillfälle tar vi emot missade inlämningsuppgifter. I dessa fall sa samtliga uppgifter lämnas in. Det an därför vara lot att spara det man hunnit göra med inlämningsuppgifterna under ursens gång. Varför har vi inlämningsuppgifter? Kursens mål är, förutom fataunsaper om ursinnehållet, att ge: förmåga att läsa och bedöma de matematisa resultaten i andras arbeten, färdighet i egen problemlösning, träning i att för andra redovisa matematisa överläggningar, träning i att använda matematisa datorprogram. Detta är svårt att göra enbart under letioner och ännu svårare att testa vid en femtimmarstentamen. Därför har vi inlämningsuppgifter. Eftersom uppgifterna inte enbart är till för att träna problemlösning läggs en hel del vit även vid presentationen. Som ett allmänt mål an du ta att sriva lösningarna så att du själv och ursamraterna sall unna läsa och förstå dem även efter några månader (innan ursen blivit helt bortglömd). Rättning av uppgifterna Dina inlämningsuppgifter rättas av någon av lärarna som är inblandade i ursen. Eventuellt får vi hjälp av ytterligare någon. Se information på urshemsidan för vem du sa lämna in dina lösningar till. Vi använder salan G/U vid rättningen. Om du får U på någon uppgift, måste du lämna in en omplettering av denna. Ni får två rättningschanser per uppgift. Efter två underända försö så får ni lämna in efter att ursen är slut och an därmed inte tentera vid ordinarie tillfälle. Några regler för utförandet Arbetet sa göras två och tvåoch ni lämnar in en gemensam lösning. Mär försättsbladet tydligt med bådas namn och personnummer. Redogörelserna sa vara prydligt handsrivna. Inled redogörelsen med ett försättsblad. Sortera uppgifterna i nummerordning. Redogörelserna sall vara läsbart uppställda och utsrivna. Se till att svara på alla frågor som som ställs i uppgiften! Det händer ofta att man får U på någon uppgift, just för att man inte besvarat frågorna. Alla räningar sall vara insrivna. 1

2 Räningarna an vara utförda för hand. Använd gärna Maple eller Matlab för att ontrollera dina beräningar och på så sätt undvia onödiga slarvfel. Förlara de betecningar som du inför. Förlara de olia stegen och ge logisa motiveringar till dem. Sriv text, helst fullständiga meningar, och namnge om möjligt de resultat du använder (geometris summa, telesopserie, Cauchy Riemanns evationer... ). Börja om möjligt med en ort presentation av det problem du löser och sluta om det passar med en sammanfattning av resultaten. Du behöver förstås inte göra det överdrivet detaljerat utan får förutsätta att läsaren har problemtexten tillgänglig. Rita figurer varje gång det an förbättra förståelsen. Alla örningar i Matlab eller Maple redovisas genom att en örjournal bifogas - om inget annat sägs i uppgiften. Kommentera resultaten av datorräningarna, försö att förlara eventuella överrasningar! Checlista för bedömning av inlämningsuppgifter Ni sall ocså själva pröva att bedöma lösningar, för att träna flera av ursmålen ovan. Det an då vara bra att ha en liten checlista: Går lösningen att läsa? Förlarar författaren sina betecningar? Är räningarna ordentligt uppställda i logis ordning? Talar författaren om vila (inte självlara) formler och satser som används? Svarar författaren på den fråga som ställs i uppgiften? Är framställningen språligt orret? Är resultatet rimligt (använd sunt förnuft)? Är resultatet ritigt?

3 Funtionsteori Inlämningsuppgift 1 Inlämning: Lösningarna sa lämnas in senast l 17 måndagen i veca 4. Kontrollera att du har srivit namn och ursprogram på dina lösningar. 1.1 Lös reursionsevationen { xn+ 8x n x n = 9n + 3, n = 0, 1,,... x 0 = 0, x 1 = Lös reursionsevationen { xn 10x n x n = 0, n =, 3,... x 0 = 0, x 1 = 10. Sriv svaret på reell form. Använd ditt beränade x n och bestäm x 3 dels med Matlab, dels med Maple. Eftersom det inte är säert att de båda programmen ommer fram till samma svar är det bra om du besriver hur du har gjort då du använt programmen. Lämna ocså in en utsrift av vad du gjort med Maple respetive Matlab. 1.3 Bestäm alla lösningar till evationen e z = 5i. Vila lösningar hittar Maple? Om du bara får fram en lösning så sriv i Maple: EnvAllSolutions:=true:. Lös sedan evationen igen och använd evalc på lösningen. Fic Maple samma lösning som du fic vid handräning? Glöm inte att lämna in en utsrift av dina Mapleräningar. 1.4 Bestäm alla lösningar till evationen 4 sin z = Med följande Matlab-ommandon t=0:pi/100:pi/; r=0.5:0.1:1; x=r *cos(t); y=r *sin(t); z=x+i*y; w=log(z.^1); surfc(x,y,imag(w)) y x ritas grafen till funtionen w = Im(Log p (z 1 )) om definitionsområdet är den fjärdedels cirelring, som är avbildad ovan. Matlabgrafen tycs göra tre språng. Vad är värdet på t i respetive språng? Motivera ditt svar och avläs inte bara i den figur, som du får fram med Matlab. Tän på att Matlab använder logaritmfuntionens principalgren. (Vad blir z 1 om z = re it?) 1.6 Låt Log p betyda logaritmfuntionens principalgren. Ge exempel på tal z 1 och z sådana z 1 z 1 att Log p z 1, Log p z och Log p är definierade men Log z p Log z p z 1 Log p z. 3

4 1.7 Bestäm den reella onstanten a så att v(x, y) = x 3 + axy 3x y + y 3 blir imaginärdelen av en hel funtion f sådan att f(0) = 1. Uttryc ocså f(z) som en funtion av z, där z = x + iy. (Efter datorövning 1 an du använda Maple för att ontrollera om du ränat rätt. Du behöver inte lämna in några Mapleörningar i detta fall.) 4

5 Funtionsteori Inlämningsuppgift Inlämning: Lösningarna sa lämnas in senast l 17 måndagen i veca 6. Kontrollera att du har srivit namn och ursprogram på dina lösningar..1 Vila av serierna a) b) 3 ( + 1) c) ( 1) d) 3 3 e) e i f) 1 1+1/ g) ( 1) arctan änner Maple igen och an ange en summa eller? För att t ex summera serien 1 an du i Maple sriva sum(1/^,..infinity);. Avgör utan att använda Maple vila av serierna som är onvergenta respetive divergenta. Ge noggranna och fullständiga motiveringar. Detta är den uppgift som bruar orsaa flest U:n. (Varning: Om man med Maple försöer beräna ett närmevärde för en divergent serie an man få vilseledande resultat. Exempelvis är serien ( 1) givetvis divergent men i Maple ger evalf(sum((-1)^,..infinity)); värdet ). Sriv i Matlab K=1:100; t=-10:0.05:10; cnoll=3*pi/4; aoeff=1/pi*((-1).^k-1)./(k.^); boeff=1./k; ymin=-0.5; ymax=4; Använd Matlab-funtionen visaserie.m från laboration för åsådliggöra delsummorna till Fourierserien 3π 4 + ( 1) 1 π cos t + 1 sin t Använd Matlabillustrationen som underlag för att gissa vilen sträcvis linjär funtion som Fourierserieutveclas. Visa att du har gissat rätt genom att räna ut för hand Fourieroefficienterna för den funtion du gissar på. 5

6 .3 Den π-periodisa funtionen f är jämn och uppfyller { 0 då 0 < t < π f(t) = π då π < t < π. Funtionens trigonometrisa Fourierserie är + sin ( 1) cos t. a) Bestäm seriens summa S(t) dels då t = 0, dels då t = π. b) Bestäm seriesummorna sin och sin. (Använd Parseval för att beräna den andra seriesumman.) c) Konvergerar den trigonometrisa Fourierserien liformigt på intervallet 0 < t < π?.4 Det är änt (bl a från Maclaurinutveclingar ) att ln(1 + x) = ( 1) 1 x, då 1 < x 1 (1) a) Då x = 1 ger det att ln = ln approximeras med 50 ( 1) 1. Uppsatta felets absolutbelopp då ( 1) 1 b) Eftersom ln 1 + x 1 + x = ln(1+x) ln(1 x) ger (1) att ln 1 x 1 x = Med x = 1 3 ger det att ln = 50. Uppsatta felet då ln ap- ( 1)3 1 proximeras med ( 1)3 1. Observera att för felet gäller att =51 ( 1) x 1 =51 6 = [ange summan] Kontrollera din uppsattning genom att låta Maple beräna det verliga felet evalf(sum(/(*-1)/3^(*-1),=51..infinity)). Blir det samma sa som evalf(ln()-sum(/(*-1)/3^(*-1),..50))? 6