Funktionsteori Datorlaboration 2
|
|
- Berit Abrahamsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Funktionsteori Funktionsteori Datorlaboration 2 Fourierserier Inledning Största delen av denna laboration handlar om Fourierserier, men vi startar med seriesummation. Vissa filer kan du behöva hämta på kursens hemsida. Förbered dig genom att titta igenom denna handledning och anvisningarna nedan. Komplettera motiveringen på sidan 2. Jämför sidan 122 i läroboken och lösningen av övning Läs också igenom kapitlet om Fourierserier i läroboken, om du inte gjort det innan. Seriesummation Vi skall nu utföra numerisk summation av några serier. För att förstå bättre vad som händer skall du i alla exemplen beräkna delsummorna (med cumsum) och titta på dem, t ex med kommandot stairs. 2.1 Serien k 4 har summan π 4 /90. Beräkna seriens summa med tre riktiga (korrekta) k=1 decimaler. Tre riktiga decimaler betyder att vi tolererar ett fel vars absolutbelopp högst är lika med tol = Jämförelse med integral ger resttermsuppskattningen och r n tol om r n 1 3n 3, ( ) 1 1 1/3 tol n 3n3 3tol Bestäm hur många termer som behövs för att få seriens summa med 3 decimaler (använd Matlab för räkningen). Bilda nu detta antal av seriens termer och summera. Beräkna närmevärdet på π 4 /90. Detta kan göras genom att på en rad skriva så här: format long; tol = 5e-4; n = ceil(1/(3*tol)ˆ(1/3)), k = 1:n;a = 1./k.ˆ4; summa = sum(a) Kontrollera vad ceil gör för någonting. I detta fall kan vi jämföra med Matlabs inbyggda värde. fel = (piˆ4)/90 - summa Gör nu om alltsammans (format long behöver inte upprepas) med 6 och 9 decimalers noggrannhet. Använd tangenten pil uppåt för att återkalla raden med Matlabkommandon. Det går givetvis att tillverka en skriptfil som gör räkningarna. 1
2 Summa Antal termer Antal riktiga decimaler Fel enligt Matlab fel =π 4 /90 summa Räkningarna i exemplet ovan kan användas för att ge ett numeriskt värde på π. Vi tar nu en serie som med framgång kan jämföras med en geometrisk serie. 2.2 Målet nu är att beräkna e 6. För detta skall vi approximativt summera serien k=0 6 k k! på följande sätt. Vi har alltså rekursionsformeln a 0 = 1, a k+1 = 6 k + 1 a k för termerna. Om vi avbryter summan efter n termer, så har vi ett fel (restterm) som måste uppskattas. Motivera resttermsuppskattningen r n 2a n+1 om n 10. Motivering: 0 r n = a n+1 + a n+2 + a n+3 + a n a n a n+1 a n a n a n+1 a n+4...? Fortsätt och avsluta resonemanget Beräkna nu iterativt termer och delsummor tills resttermen blir så liten som önskat. Man kan göra så här: Gå till File, New, M-file Skriv in eller hämta (från kursens hemsida) filen 2
3 function [s,antaltermer]=expsum(tol) %s anger närmevärdet av eˆ6 %tol = toleransen a = 1; s = 0; k = 0; while ((2*a> tol) (k<11)) s = s + a; a = a*6/(k+1); k=k+1; end; antaltermer=k; Spara filen under namnet expsum. Du har nu skapat Matlab-funktionen expsum. Genom att i Matlab skriva [s,antaltermer]=expsum(5e-4) så får du ett närmevärde till e 6 med tre riktiga decimaler. Jämför värdet med Matlabs exp(6) Kör om beräkningen igen för att få 6 decimalers noggrannhet och jämför än en gång med Matlabs exp(6). Avsluta med format så återgår Matlab till att visa normalt antal siffror. (I mån av tid) Ändra funktionen ovan så att den i stället beräknar e x, där x (I mån av tid) Beräkna cos x. Använd metoden att summera serien k=0 ( 1) k x2k (2k)! Använd att termerna är u k = ( 1) k x 2k /(2k)! och delsummorna s n uppfyller rekursionerna x 2 u k+1 = (2k + 2)(2k + 1) u k, s k+1 = s k + u k+1. Vilka är begynnelsevärdena? Jämför med Matlabs värde för cos x. Tillverka en Matlab-funktion, t ex cosinus, som beräknar cos x och slutar då felet garanterat är mindre än en given tolerans. Exempelvis kan funktionsfilen inledas med function[s,antaltermer]=cosinus(x,tol). Använd funktionen för att beräkna cos 10, cos 20, cos 30 och cos 40. Jämför också med Matlabs värde. Se på termerna i serien (grafiskt) och försök förklara vad som sker. Förklaring: 3
4 Fourierserier i Matlab Vi skall nu göra ett experimentellt studium av trigonometriska Fourierserier, dvs funktionsserier av formen a 0 + a k cos(kt) + b k sin(kt), k=1 där a = a k och b = b k är reella talföljder. En term i en sådan serie kan också skrivas som u k (t) = a k cos(kt) + b k sin(kt) = A k cos(kt + δ k ) och är alltså en harmonisk svängning med vinkelfrekvens k och period 2π/k. Amplituden ges av formeln A k = a 2 k + b2 k. Vi skall alltså addera sinusformade funktioner med högre och högre frekvenser. 2.4 Förberedelser: Hämta m-filerna fourkoeff.m, visafunk.m, visaserie.m och visadelsummor.m från datorövningens hemsida. Definiera två följder genom K = 1:100; t = -10:0.05:10; Variabeln K svarar mot index k ovan, och t är tidsvariabeln. Ändra inte dessa variabler i fortsättningen. Koefficienterna a och b skall lagras i den skalära variabeln anoll och i vektorerna akoeff och bkoeff. 2.5 Slå in Vi skall nu beräkna delsummor till funktionsserien» anoll = 0; k=1» akoeff = zeros(size(k)); sin kt k» bkoeff = ones(size(k))./k; = sin t + sin 2t 2 + sin 3t Plotta successivt» s0 = anoll/2*ones(size(t)); plot(t,s0)» s1 = s0+bkoeff(1)*sin(t); plot(t,s1)» s2 = s1+bkoeff(2)*sin(2*t); plot(t,s2)» s3 = s2+bkoeff(3)*sin(3*t); plot(t,s3) och så vidare, tills du tröttnar. 1 Här motsvarar 1 a0 det som i formelsamlingen och föreläsningarna kallas c0. 2 4
5 2.6 Vill man slippa skriva in så mycket så kan man göra så här:» s=anoll/2*ones(size(t));» for k=1:100; s=s+bkoeff(k)*sin(k*t); plot(t,s), title([ delsumma s_{ int2str(k) } ]), pause, end Tag reda på vad pause innebär innan du startar körningen. Det går att bryta med Ctrl-C, om alla 100 stegen tar för lång tid. Verkar Fourierserien konvergera? Rita in vad du tror är seriesumman då 4π < t < 4π. y π/2 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π t π/2 Konvergerar den trigonometriska Fourierserien likformigt t. ex då 2π < t < 2π? Lägg märke till att alla sinustermer, och därmed även delsummorna, är udda funktioner. 2.7 Slå nu in koefficienter a k = 2 π cos(kπ/2) 1 k 2, k 1, a 1 = 1 2, b k = 0 och rita upp några delsummor. Hur ser resultatet ut? (Förklaringen finns till största delen i övning Se också svaret till övningen.) 5
6 Skiss av summan y 1 π 2π 3π π π/2 π/2 3π/2 5π/2 t För att förenkla hanteringen kan du använda skriptet visaserie.m som visar termer och delsummor serier av typen ovan för koefficienter som är angivna på tidigare nämnd form. 2.8 Hämta visaserie.m och övriga m-filer från kursens hemsida. Använd hjälpfunktionen, help visaserie Skriv in ymin=-0.5; ymax=1.5; i Matlab. Kör visaserie för att se på seriens termer och delsummor. Med normal upplösning på skärmen är det inte lönt att ta med mer än ca 50 termer. Bryt sedan med Ctrl-C. 2.9 Då 0 t π gäller att k=0 cos(2k + 1)t (2k + 1) 2 = π 4 (π t). (1) 2 I mån av tid kan du visa detta genom handräkning genom att bestämma cosinusserien för högerledet i (1). Med hjälp av Matlab går det emellertid att snabbt göra det troligt att (1) gäller. Innan du använder visaserie behöver du skriva in anoll, akoeff och bkoeff. Glöm inte ymin=-1.5;ymax=1.5; innan du använder visaserie. Jämför restultatet genom att plotta högerledet. Använd tex hold on och hold off för att se flera plottar i samma figur. För vilka t verkar likheten stämma? Svar: 2.10 Om seriens summafunktion är känd från början, så kan man även beräkna och rita upp dess resttermer. Detta går att göra med skriptet visadelsummor.m. I 2.7 är summafunktionen en halvvågslikriktad cosinusvåg. Skriv återigen in anoll, akoeff och bkoeff. Skriv också in» funktion = max(cos(tid),0) och kör visadelsummor. I mitten visas den senast tillagda termen u n i rött och resttermen r n i blått. Överst visas delsumman i blått och nederst seriens summa i grönt (om man angivit den rätt i funktion). Förstora gärna figurfönstret lite (genom att dra med musen i nedre högra hörnet). Tryck på valfri tangent (= mellanslag) för att få nästa delsumma. Bryt med Ctrl-C. 6
7 Med hjälp av visadelsummor kan man kontrollera alla svar i övningarna på Fourierkoefficienter. Om man inte tycker om att partialintegrera, så kan man låta Matlab räkna ut koefficienterna. Detta sker med den numeriska metoden snabb Fouriertransformation (FFT). Det finns naturligtvis ett Matlabkommando som heter fft. Med hjälp av m-filen fourkoeff kan man använda detta för att beräkna Fourierkoefficienterna för en given funktion. Titta på fourkoeff.m, och lägg märke till att index är förskjutna ett steg, eftersom Matlab indicerar vektorer med början på k = 1. Vi låter fourkoeff beräkna 2 8 = 256 koefficienter numeriskt (vilket svarar mot 128 termer i den trigonometriska Fourierserien) Vi skall nu se på utvecklingen av en fyrkantsvåg. Den kan definieras genom funktion = (tid < pi) - (tid > pi) Om tid är en vektor, så blir (tid < pi) en vektor med samma antal element som tid. Den har ettor i de element där villkoret tid < pi är sant i tid och nollor för övrigt. Rita nu upp fyrkantsvågens partialsummor med hjälp av kommandona fourkoeff, visadelsummor 2.12 Undersök på samma sätt triangelvågen, som kan beskrivas som funktion = tid.*(tid < pi) + (2*pi-tid).*(tid >= pi) 2.13 (I mån av tid.) Definiera nu en lagom komplicerad funktion, med språng och olika utseenden på olika delintervall. Ett förslag är» funktion= (tid<pi/2).*tid - (tid>4*pi/3).*(tid<3*pi/2) Kör nu fourkoeff, så beräknas koefficienterna. Dessutom ritas funktionen upp. Kör sedan visadelsummor och kontrollera att delsummorna närmar sig den givna funktionen. Hitta gärna på ett eget exempel på en konstig funktion och undersök dess Fourierserie. Ljud i Matlab Matlab är försett med en primitiv ljudfunktion, som sänder ut följder till högtalaren med hastighet av 2 13 = 8192 element i sekunden (på en del system kan man ändra samplingsfrekvensen). Kommandot för att skicka en vektor x till högtalaren är sound(x). Testa med x = cos(2*pi*440/8192*(1:8192)); sound(0.1*x) för en ren ton och x = randn(1,8192); sound(0.1*x) 7
8 för rent brus Hämta filen temple.mat från hemsidan och ladda den genom att skriva load temple. Denna innehåller en samplad signal f samt samplingsfrekvens samprate. Testa att spela upp signalen. För att titta på frekvensinnehållet så kan du skriva plot(abs(fftshift(fft(fftshift(f))))); Operationen fftshift har med centrering (förskjutning) att göra. Definiera fyra filter w1=1; w2=[1-1]; w3=ones(10,1);w4=conv(w2,w3); Räkna ut faltningen mellan signalen f och de olika filtren genom att använda kommandot g=conv(f,w). Spela upp g och titta på dess frekvensinnehåll. Vad händer? 8
Funktionsteori Datorlaboration 2
Funktionsteori Datorlaboration 2 Funktionsteori vt1 2012 Fourierserier Inledning Största delen av denna laboration handlar om Fourierserier, men vi startar med seriesummation. Hela laborationen, utom uppgift
Läs merDatorlaboration 2. 1 Serier (kan göras från mitten av läsvecka 4)
Datorlaboration 2 ht 2016 Funktionsteori, vt 2016 Inledning Denna laboration handlar om serier och likformig konvergens. Hela laborationen, utom uppgift 3.9 där Maple är att föredra, bygger på Matlab.
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Läs merKontinuerliga system, Datorövning 1
Vårterminen 2001 Kontinuerliga system, Datorövning 1 Inledning Syftet med denna datorlaboration är att Du skall bli bekant med Matlab som räkne- och visualiseringshjälpmedel, experimentellt studera Fourier-,
Läs mer5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor
5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift
Läs merKontinuerliga system, Datorövning 1
Vårterminen 2003 Kontinuerliga system, Datorövning Inledning Syftet med denna datorlaboration är att Du skall bli bekant med Matlab som räkne- och visualiseringshjälpmedel, experimentellt studera Fourier-,
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merSignalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör
Läs merLaboration: Grunderna i Matlab
Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid
Läs merDatorövning 2. - Tag med lärobok och övningshäfte till övningen. - Fyll före övningenen i svaren på frågorna på sidan 5 i denna handledning.
Kontinuerliga system vt 2015 Datorövning 2 Inledning Syftet med denna datorövning är att du med hjälp av Maple skall få ökad förståelse av vissa begrepp presenterade i kapitel H. Exempelvis behandlas skalärprodukt,
Läs merLaboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den laborationen har syften: dels att visa lite hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man den an dels att
Läs merLaboration: Grunderna i MATLAB
Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar
Läs merFlerdimensionella signaler och system
Luleå tekniska universitet Avd för signalbehandling Magnus Sandell (reviderad av Frank Sjöberg) Flerdimensionell signalbehandling SMS033 Laboration 1 Flerdimensionella signaler och system Syfte: Den här
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 3. Repetitionssatser och Programmering 1 Introduktion Denna övning syftar till att träna programmering med repetitionssatser och villkorssatser. Undvik
Läs merIndex. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26
TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merSF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2
Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 27 oktober 2015 Sida 1 / 31
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 27 oktober 2015 Sida 1 / 31 TANA17 Kursmål och Innehåll Målet med kursen är att Ge grundläggande färdighet
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 8-12, 20 Mars, 2015 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merLaboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Läs merUppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln
Matlab-föreläsning (4), 10 september, 015 Innehåll m-filer (script) - fortsättning från föreläsning 1 In- och utmatning Sekvenser, vektorer och matriser Upprepning med for-slingor (inledning) Matlab-script
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merMMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen
Läs merIntroduktion till MATLAB
29 augusti 2017 Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB är ett interaktivt program för numeriska beräkningar med matriser. Med enkla kommandon kan man till exempel utföra matrismultiplikation, beräkna
Läs merTSBB16 Datorövning A Samplade signaler Faltning
Name: ID number: Passed: LiU-ID: Date: TSBB16 Datorövning A Samplade signaler Faltning Utvecklad av Klas Nordberg Computer Vision Laboratory, Linköping University, Sweden 24 augusti 2015 Introduktion Denna
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration
10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT Spektrala transformer Tentamen 72 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 15 januari 2016 Sida 1 / 26
TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 15 januari 2016 Sida 1 / 26 TAIU07 Kursmål och Innehåll Målet med kursen är att Ge grundläggande färdighet i att
Läs merVariabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:
TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger
Läs merLinjär algebra med tillämpningar, lab 1
Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 2 november 2015 Sida 1 / 23 Föreläsning 2 Index. Kolon-notation. Vektoroperationer. Summor och medelvärden.
Läs merMMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB
MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer
Läs merFixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merBeräkningsverktyg HT07
Beräkningsverktyg HT07 Föreläsning 1, Kapitel 1 6 1.Introduktion till MATLAB 2.Tal och matematiska funktioner 3.Datatyper och variabler 4.Vektorer och matriser 5.Grafik och plottar 6.Programmering Introduktion
Läs merDatorövning 1 Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merKursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:
Inlämningsuppgifter i Funtionsteori För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa. Enligt
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merMatriser och Inbyggda funktioner i Matlab
CTH/GU STUDIO 1 TMV036a - 2012/2013 Matematiska vetenskaper Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1 Moore: 2.3, 3.1-3.4, 3..1-3.., 4.1, 7.4 1 Inledning Nu
Läs merMatriser och Inbyggda funktioner i Matlab
Matematiska vetenskaper 2010/2011 Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab 1 Inledning Vi skall denna vecka se på matriser och funktioner som är inbyggda i Matlab, dels (elementära) matematiska funktioner
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merNewtons metod och arsenik på lekplatser
Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht10 1 Inledning Ni kommer använda Matlab i nästan alla kurser i utbildningen. I matematikkurserna kommer vi ha studio-övningar nästan
Läs merLAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merMATLAB övningar, del1 Inledande Matematik
MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik Övningarna på de två första sidorna är avsedda att ge Dig en bild av hur miljön ser ut när Du arbetar med MATLAB. På de följande sidorna följer uppgifter som behandlar
Läs merNär man vill definiera en matris i MATLAB kan man skriva på flera olika sätt.
"!$#"%'&)(*,&.-0/ 177 Syftet med denna övning är att ge en introduktion till hur man arbetar med programsystemet MATLAB så att du kan använda det i andra kurser. Det blir således inga matematiska djupdykningar,
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 3 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merLaboration i Fourieranalys för F2, TM2, Kf2 2011/12 Signalanalys med snabb Fouriertransform (FFT)
Laboration i Fourieranalys för F2, TM2, Kf2 2011/12 Signalanalys med snabb Fouriertransform (FFT) Den här laborationen har två syften: dels att visa hur den snabba Fouriertransformen fungerar och vad man
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU 2017/2018 Matematiska vetenskaper Mer om funktioner och grafik i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och
Läs merUlrik Söderström 20 Jan Signaler & Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 20 Jan 2009 Signaler & Signalanalys Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,
Läs merInstruktion för laboration 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för matematisk statistik MD, ANL, TB (rev. JM, OE) SANNOLIKHETSTEORI I Instruktion för laboration 1 De skriftliga laborationsrapporterna skall vara
Läs merUlrik Söderström 19 Jan Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 9 Jan 200 Signaler & Signalanalys l Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merMatlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab
Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom PM:et. Gå sedan igenom exemplen
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merMATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...
Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs mer2 Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter.
Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter. ktuella ekvationer: Se formelsamlingen och förberedelsehäftet. För effektivvärdet av en summa av N ortogonala signaler gäller: ν rms = ν rms1 + ν rms +...
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Vektorberäkningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall vi träna på
Läs merf (a) sin
Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan
Läs merLaboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning
1 SF1520 VT2017 NA, KTH 16 januari 2017 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,
Läs merParametriserade kurvor
CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 4 GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merTSKS21 Signaler, Information och Bilder Lab 2: Digitalisering
TSKS21 Signaler, Information och Bilder Lab 2: Digitalisering Mikael Olofsson 8 februari 2017 Fyll i detta med bläckpenna Laborant Personnummer Datum Godkänd 1 1 Allmänt Denna laboration syftar till att
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-17 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar
Läs mer3 Man kan derivera i Matlab genom att approximera derivator med differenskvoter. Funktionen cosinus deriveras för x-värdena på följande sätt.
Kontrolluppgifter 1 Gör en funktion som anropas med där är den siffra i som står på plats 10 k Funktionen skall fungera även för negativa Glöm inte dokumentationen! Kontrollera genom att skriva!"#$ &%
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 8-12, 11 Juni, 2015 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merInnehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi.
Grunderna i MATLAB eva@it.uu.se Innehåll Vad är MATLAB? Användningsområden MATLAB-miljön Variabler i MATLAB Funktioner i MATLAB Eempel och smakprov: Grafik Beräkningar Bilder GUI Vad är MATLAB? Utvecklat
Läs merKompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter & Giampiero Salvi Komplex analys Om man endast använder den reella tallinjen är det inte
Läs merLaboration 1. Ekvationslösning
Laboration 1 Ekvationslösning Sista dag för bonuspoäng, se kursplanen. Kom väl förberedd och med välordnade papper till redovisningen. Numeriska resultat ska finnas noterade. Båda i laborationsgruppen
Läs merLägg märke till skillnaden, man ser det tydligare om man ritar kurvorna.
Matlabövningar 1 Börja med att läsa igenom kapitel 2.1 2 i läroboken och lär dig att starta och avsluta Matlab. Starta sedan Matlab. Vi övar inte på de olika fönstren nu utan återkommer till det senare.
Läs merLab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer.
Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Starta gärna en dagbok genom att ge kommandot diary lab1. Skriv in alla beräkningar som efterfrågas i uppgifterna i dagboken. Glöm inte diary off om det skrivna
Läs merTekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson Plot och rekursion
Tekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson 2010-11-19 Plot och rekursion I denna laboration skall du lära dig lite om hur plot i MatLab fungerar samt använda
Läs merOrdinära differentialekvationer (ODE) 1 1
TMV151/TMV181 Matematisk analys i en variabel M/TD 2009 Ordinära differentialekvationer (ODE) 1 1 I förra datorövningen löste vi begynnelsvärdesproblem av formen u (x) = f(x), x [0, b] (b > 0) u(0) = u
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en
Läs merLaboration 4: Integration på olika sätt
Laboration 4: Integration på olika sätt I detta arbetsblad finns dels ett antal exempel på hur man kan använda Mathematica för att beräkna integraler och sedan ett exempel på Monte-Carlo integration. Exempel
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5. hp, 215-3-17 Skrivtid: 14 17 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merLogik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter.
TAIU07 Föreläsning 3 Logik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter. 27 januari 2016 Sida 1 / 21 Logiska variabler
Läs merNumeriska metoder, grundkurs II. Dagens program. Hur skriver man en funktion? Administrativt. Hur var det man gjorde?
Numeriska metoder, grundkurs II Övning 1 för I2 Dagens program Övningsgrupp 1 Johannes Hjorth hjorth@nada.kth.se Rum 163:006, Roslagstullsbacken 35 08-790 69 00 Kurshemsida: http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/2d1240/numi07
Läs mer2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
Läs merLösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Läs merLaboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning
1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 5 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer