2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem"

Transkript

1 TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan pivotering (radbyten). Gauss-elimination kan tolkas så att man först beräknar matrisens LU-faktorisering. För att få lösningen x löses sedan två triangulära ekvationssystem. 1.1 Innehåll Du ska 1. använda MATLAB för att LU-faktorisera matriser och lösa linjära ekvationssystem. 2. utnyttja LU-faktoriseringen för att lösa ekvationssystem med samma matris men olika högerled. 3. undersöka aritmetiska komplexiteten vid lösning av ekvationssystem 4. studera hur pivotering påverkar noggrannheten i olika situationer. 5. studera hur storleken på konditionstalet påverkar noggrannheten. 6. använda minsta kvadratmetoden. 1.2 Att komma igång, OBS! Kopiera programmen på kurshemsidan till din egen hemkatalog. 2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem Vi skall lösa ekvationssystemet Ax = b: x = Uppgift 2.1 Skapa matrisen och högerledet i MATLAB. Beräkna matrisens faktorisering. Skriv: [L, U, P] = lu(a) Ange L, U och P. Bilda L U och ange vad du erhöll. Har pivotering använts? Ange hur du avgjorde det. Uppgift 2.2 Vi ska nu lösa ekvationssystemet Ax = b på några olika sätt. 1

2 (a) Lös ekvationssystemet genom att utnyttja LU-faktoriseringen. Använd programmen fram och bak (help fram och help bak ger information). Beskriv anrop och ange resultat och mellanresultat. Beräkna Ax b för att kontrollera resultatet. Fick vi exakt lösning? (b) Använd \-operatorn för att bestämma x. Jämför med resultatet från (a) och ange ev. skillnad. (c) Bestäm Ax 1 = b genom att använda A:s invers. Beräkna Ax 1 b och förklara vad som är nackdelen med att bilda inversen. Matrisfaktoriseringen kan även utnyttjas för att lösa mer komplicerade problem. Ett exempel är ekvationen A 4 x = b dvs A A A Ax = b där A är en godtycklig, icke-singulär matris. Vi kan införa beteckningar enligt A A 3 x }{{} z1 = b, A A 2 x }{{} z2 = z1, A }{{} Ax = z2, Ax = z3 z3 Uppgift 2.3 (frivillig) Skriv ett MATLAB-skript som först LU-faktoriserar en matris och sedan utnyttjar faktoriseringen för att beräkna x på ett effektivt sätt, dvs utan att bilda A 4. Du ska utnyttja MATLAB:s standardrutiner och fram och bak. Skriv ner ditt program: Uppgift 2.4 (frivillig) Fortsätt med samma A och b som tidigare. Beräkna lösningen x till ekvationssystemet A 4 x = b. Använd programmet från uppgift 2.3. Ange lösningen. x = 2

3 3 Aritmetisk komplexitet Undersök effektiviteten vid beräkning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b genom att mäta tidsåtgången med hjälp av tic och toc. Uppgift 3.1 Slumpmatriser av storlek n n skapas genom kommandot A = rand(n,n); och vektorer av längd n skapas genom b = rand(n,1); Välj t.ex. n = Skapa en matris och en vektor, lös ekvationssystemet med \-operatorn och mät tiden. Skriv: n=1000; A=rand(n,n); b=rand(n,1); tic; x=a\b; toc Använd inversen i stället och mät tiden. (tic; x=inv(a)*b; toc) Dubbla matrisstorleken några gånger så länge tiderna inte överstiger några sekunder. Fyll i tiderna, t(n), i tabellen samt räkna ut kvoterna mellan dem. n t(n) med \ t(2n)/t(n) t(n) med inversen t(2n)/t(n) Antag att tiden beror på matrisens storlek som t(n) c n p. Bestäm p för \-operatorn resp. inversen. p = för \-operatorn p = för inversen Uppgift 3.2 Vad drar du för slutsatser när det gäller att lösa ekvationssystem med hjälp av inversen? Motivera ditt svar! Uppgift 3.3 (frivillig) Gör en liknande undersökning av tiden för att lösa ett övertriangulärt ekvationssystem, dvs. göra en bakåtsubstitution. n=1000; A=triu(rand(n,n)); b=rand(n,1); tic; x=a\b; toc Dubbla matrisstorleken några gånger. n t(n) med \ t(2n)/t(n) Antag att tiden beror på matrisens storlek som t(n) c n p. Bestäm p för bakåtstubstitution. p = 3

4 4 Effekten av partiell pivotering Uppgift 4.1 Varför bör pivotering användas vid faktorisering av en godtycklig icke-singulär matris? Vi söker en lösning till ekvationssystemet Ax = b, där A = och b = norm(a) Ger 2-normen för matrisen A. norm(a, inf) Ger max-normen för matrisen A. cond(a) Ger konditionstalet i 2-norm för matrisen A. cond(a, inf) Ger konditionstalet i max-norm för matrisen A. Uppgift 4.2 Bestäm konditionstalet i max-norm för A. κ (A) = Eftersom konditionstalet är litet är det möjligt att få god noggrannhet när vi löser Ax = b. Uppgift 4.3 Utan pivotering Använd format short e Vi beräknar först lösningen x utan pivotering. Beräkna matrisens faktorisering A = L u U u med programmet gauss. Ange största elementet i L u : Utnyttja faktoriseringen för att beräkna lösningen x. Ange x = x u = Uppgift 4.4 Med pivotering Vi beräknar lösningen x till ekvationssystemet i uppgift 4.3 på nytt. Denna gång ska pivotering användas. Använd \-operatorn, det är enklast. Ange x = x m = Ange det största elementet i L då pivotering används (kan anges utan att L beräknas). Uppgift 4.5 Slutsatser Vilken lösning (med/utan pivotering) kan vi lita på? Motivera svaret! 4

5 5 Felanalys MATLAB:s avrundningsenhet är µ = Vid lagringen av högerledet, b, görs ett avrundningsfel. Det relativa felet vid lagringen av ett element, b i, i b är µ så det absoluta felet är b i µ b i. Vi kan då uppskatta b µmax b i så b µ och feluppskattningsfor- i b meln blir x x κ (A) b b κ (A) µ. Återskapande av en deformerad bild Uppgift 5.1 I Småland finns ett intressant besöksmål för turister. Objektet beskrivs med en vektor a R 101 i programmet bild. Skriv bild En turist befinner sig långt borta och ser objektet endast vagt. Programmet bild har skapat en matris A som beskriver hur bilden har försämrats för turisten. Den försämrade bilden betecknas med b och bildas med b = A a. Bilda och rita b ( plot(b) ). Skissa bilderna a och b. Turisten har en laptop med sig och försöker att återskapa den riktiga bilden a. Då måste ekvationssystemet Ax = b lösas. Uppgift 5.2 Lös ekvationssystemet i MATLAB. Plotta lösningen. (a) Skissa lösningen x. (b) Verkar lösningen rimlig? (c) Hur stort är det verkliga felet x i den beräknade lösningen ungefär? Vi ska nu teoretiskt undersöka noggrannheten hos den beräknade lösningen. Uppgift 5.3 Beräkna konditionstalet κ (A) ( cond(full(a), inf) ) samt den övre teoretiska gränsen för relativa felet uttryckt i max-norm. Beräkna slutligen x. κ (A) = x x x Uppgift 5.4 Jämför feluppskattningen i uppgift 5.3 med det verkliga felet som du bestämde i uppgift 5.2. Förutsäger den teoretiska uppskattningen vad som händer vid den praktiska beräkningen? Är problemet att beräkna lösningen x välkonditionerat? Motivera svaren. 5

6 6 Minsta kvadratmetoden Gauss prediktion av Ceres bana. Carl Friedrich Gauss var den mest betydande och inflytelserika matematikern under första hälften av 1800-talet. Gauss var också intresserad av tillämpad matematik, t.ex var han skicklig i att utföra komplicerade uträkningar för hand. Ceres upptäcktes på nyårsdagen 1801 av astronomen Giuseppe Piazzi. Med en diameter på ca 950 km är den den största och mest massiva asteroiden i asteroidbältet. Piazzi fortsatte att observera Ceres till den 11 februari då han hindrades att fortsätta på grund av sjukdom. När han återupptog sina observationer hade Ceres försvunnit då dess bana skymdes av solen. För att återfinna asteroiden utvecklade Gauss (han var då 23 år) minsta kvadratmetoden. Metoden visade sig fungera då Ceres blev återfunnen av tyska astronomer påföljande år precis där Gauss förutsagt. Vi ska återupprepa (något förenklat) Gauss metod och ansätter därför följande modell för att beskriva en elliptisk bana i planet: c 0 y 2 +c 1 xy +c 2 x+c 3 y = x 2. Tabellen ceres (fås genom att skriva ceres i matlab-fönstret) innnehåller m = 9 observationer av asteroidens läge {x i,y i } m 1. x = (0,1,2,3,4,5,6,5,4), y = (0,1.5,2.5,3,2.75,2,0, 1, 2) Skriv in det överbestämda ekvationssystemet i MATLAB. Tips. Matrisen kan skrivas in som A=[y.ˆ2 x.*y x y] Hur fås högerledet b? Bilda sedan normalekvationerna och lös dem i Matlab. Ange nedan vilka MATLAB kommandon som du använde samt värdena på c 0, c 1, c 2 och c 3. Matlab-kommandon: c 0 = c 1 = c 2 = c 3 = Plotta den beräknade kurvan. Tips. Kurvor kan enkelt ritas med kommandot ezplot. Exempel: kurvan 1 x 2 +2x 3 = y 2 ritas med kommandot ezplot( 1-x^2+2*x^3-y^2 ) Observera att numeriska värden på koefficienterna måste användas. Det räcker att ta med 2 decimaler i de uträknade värdena på koefficienterna c 0 c 3. Plotta sedan tabellvärdena i samma figur (skriv först hold on och sedan plot(x,y, * )). Redovisa figuren antingen med en utskrift eller handritad skiss nedan. 6

Laboration: Vektorer och matriser

Laboration: Vektorer och matriser Laboration: Vektorer och matriser Grundläggande om matriser Begreppet matris är en utvidgning av vektorbegreppet, och det används bl a när man löser linjära ekvationssystem. Namnet Matlab står för MATrix

Läs mer

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

5.7. Ortogonaliseringsmetoder

5.7. Ortogonaliseringsmetoder 5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig

Läs mer

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Del A Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på

Läs mer

1.1 MATLABs kommandon för matriser

1.1 MATLABs kommandon för matriser MATLABs kommandon för matriser Det finns en mängd kommandon för att hantera vektorer, matriser och linjära ekvationssystem Vi ger här en kort sammanfattning av dessa kommandon För en mera detaljerad diskussion

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi

Läs mer

Varning!!! Varning!!!

Varning!!! Varning!!! Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H04 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den

Läs mer

Matriser och linjära ekvationssystem

Matriser och linjära ekvationssystem Linjär algebra, I1 2011/2012 Matematiska vetenskaper Matriser och linjära ekvationssystem Matriser En matris är som ni vet ett rektangulärt talschema: a 11 a 1n A = a m1 a mn Matrisen ovan har m rader

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!!

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!! Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H4 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Laboration: Grunderna i MATLAB

Laboration: Grunderna i MATLAB Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en

Läs mer

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab Kurvanpassning jfr lab Kurvanpassning Beräkningsvetenskap II Punktmängd approximerande funktion Finns olika sätt att approximera med polynom Problem med höga gradtal kan ge stora kast Kurvanpassning jfr

Läs mer

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar.

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar. INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Kurskod: HF1006, HF1008 Skolår: 2016/17 armin@kth.se www.sth.kth.se/armin Redovisas under sista två (av totalt fem) labbövningar i Analys-delen. Preliminärt:

Läs mer

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU STUDIO 1 TMV06b - 2012/201 Matematiska vetenskaper Linjär algebra Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1 1 Inledning Vi fortsätter även denna läsperiod att arbete med Matlab i matematikkurserna

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD9) STS ES W K1 Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på ett kladdpapper,

Läs mer

Datorövning 1 Fördelningar

Datorövning 1 Fördelningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet

Läs mer

Ordinära differentialekvationer,

Ordinära differentialekvationer, Sammanfattning metoder Ordinära differentialekvationer, del 2 Beräkningsvetenskap II n Eulers metod (Euler framåt, explicit Euler): y i+1 = y i + h i f (t i, y i ) n Euler bakåt (implicit Euler): y i+1

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4. Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration. Enkel Tredimensionell Design

SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4. Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration. Enkel Tredimensionell Design 1 Beatrice Frock KTH Matematik 4 juli 2013 SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4 Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration Enkel Tredimensionell Design Efter den här laborationen skall

Läs mer

Dagens program. Programmeringsteknik och Matlab. Administrativt. Viktiga datum. Kort introduktion till matlab. Övningsgrupp 2 (Sal Q22/E32)

Dagens program. Programmeringsteknik och Matlab. Administrativt. Viktiga datum. Kort introduktion till matlab. Övningsgrupp 2 (Sal Q22/E32) Programmeringsteknik och Matlab Övning Dagens program Övningsgrupp 2 (Sal Q22/E2) Johannes Hjorth hjorth@nada.kth.se Rum 458 på plan 5 i D-huset 08-790 69 02 Kurshemsida: http://www.nada.kth.se/kurser/kth/2d2

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 Ove Edlund LTU 2014-11-07 Ove Edlund (LTU) M0043M, M1 2014-11-07 1 / 14 Några elementära funktioner i Matlab Exempel exp Beräknar e

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Laboration 1: Linjär algebra

Laboration 1: Linjär algebra MALMÖ HÖGSKOLA Centrum för teknikstudier MA119A VT 2010, Yuanji Cheng Viktigt information om labb Vid laborationen gäller följande: 1. Labben görs i grupp av två studenter, och redovisningsuppgifterna

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Laboration: Grunderna i Matlab

Laboration: Grunderna i Matlab Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2

SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera

Läs mer

MAM283 Introduktion till Matlab

MAM283 Introduktion till Matlab Rum: A3446 E-post: ove.edlund@ltu.se Hemsida: www.math.ltu.se/ jove Översikt: Matlab i MAM283 Några fakta Introduktion till Matlab. Omfattning: 0,4 p En föreläsning och tre datorövningar Examineras genom

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-06-07 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars

Läs mer

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod. Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt, vt0 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer Som exempel kan vi ta, x = 0, x = 0, som är ett system

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Linjär Algebra, Villkor och Logik 1 Linjär Algebra Programsystemet Matlab utvecklades ursprungligen för att underlätta beräkningar från linjär

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08 Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas

Läs mer

Matlabföreläsningen. Lite mer och lite mindre!

Matlabföreläsningen. Lite mer och lite mindre! Inmatning: Här är lite exempel på inmatning i Matlab: >> pi 3.1416 >> format long >> ans 3.141592653589793 Matlabföreläsningen Lite mer och lite mindre! >> format %återställer format (%- tecknet gör att

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik

MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik Övningarna på de två första sidorna är avsedda att ge Dig en bild av hur miljön ser ut när Du arbetar med MATLAB. På de följande sidorna följer uppgifter som behandlar

Läs mer

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning 1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,

Läs mer

Linjära ekvationssystem i Matlab

Linjära ekvationssystem i Matlab CTH/GU LABORATION 2 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper Linjära ekvationssystem i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på matriser, vilket är den grundläggande datatypen i Matlab, sedan skall vi

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20 TANA09 Föreläsning 7 Interpolation Interpolationsproblemet. Introduktion. Polynominterpolation. Felanalys. Runges fenomen. Tillämpning. LED display. Splinefunktioner. Spline Interpolation. Ändpunktsvillkor.

Läs mer

Laboration 1, M0039M, VT16

Laboration 1, M0039M, VT16 Laboration 1, M0039M, VT16 1 Förberedelser Ove Edlund, Staffan Lundberg LTU (1) Gör dig bekant med Matlab-manualen finns för nedladdning på Fronter. (2) Läs igenom laborationens teoridel, avsnitt 2 nedan.

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Newtons metod och arsenik på lekplatser Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 18:e augusti klockan

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 18:e augusti klockan MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 18:e augusti klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.

Läs mer

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och... Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»

Läs mer

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde: TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393 - nya versionen, 5hp!)

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393 - nya versionen, 5hp!) Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393 - nya versionen, 5hp!) Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Kapitel 4. Programmet MATLAB

Kapitel 4. Programmet MATLAB Kapitel 4. Programmet MATLAB MATLAB (namnet härlett ur MATrix LABoratory) är ett matematikprogram baserat på matrisalgebra, som blivit mycket använt för fysikaliska och tekniska tillämpningar. Den ursprungliga

Läs mer

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer.

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Starta gärna en dagbok genom att ge kommandot diary lab1. Skriv in alla beräkningar som efterfrågas i uppgifterna i dagboken. Glöm inte diary off om det skrivna

Läs mer

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Institutionen för Matematik Göteborg F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Heath 1: a) -01416 resp -0046 b) -0001593 resp -000051 c) 000165

Läs mer

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer