Funktionsteori Datorlaboration 2
|
|
- Thomas Viklund
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Funktionsteori Datorlaboration 2 Funktionsteori vt Fourierserier Inledning Största delen av denna laboration handlar om Fourierserier, men vi startar med seriesummation. Hela laborationen, utom uppgift 2.15 där Maple är att föredra, bygger på Matlab. Ha din Matlabmanual lättillgänglig. Vissa filer kan du behöva hämta på kursens hemsida. Förbered dig genom att titta igenom denna handledning och anvisningarna nedan. Komplettera motiveringen på sidan 2. Jämför sidan 122 i läroboken och lösningen av övning Läs också igenom kapitlet om Fourierserier i läroboken, om du inte gjort det innan. Seriesummation Vi skall nu utföra numerisk summation av några serier. För att förstå bättre vad som händer skall du i alla exemplen beräkna delsummorna (med cumsum) och titta på dem, t ex med kommandot stairs. 2.1 Serien k 4 har summan π 4 /90. Beräkna seriens summa med tre riktiga (korrekta) k=1 decimaler. Tre riktiga decimaler betyder att vi tolererar ett fel vars absolutbelopp högst är lika med tol = Jämförelse med integral ger resttermsuppskattningen och r n tol om r n 1 3n 3, ( ) 1 1 1/3 tol n 3n3 3tol Bestäm hur många termer som behövs för att få seriens summa med 3 decimaler (använd Matlab för räkningen). Bilda nu detta antal av seriens termer och summera. Beräkna närmevärdet på π 4 /90. Detta kan göras genom att på en rad skriva så här: format long; tol = 5e-4; n = ceil(1/(3*tol)ˆ(1/3)), k = 1:n;a = 1./k.ˆ4; summa = sum(a) Kontrollera vad ceil gör för någonting. I detta fall kan vi jämföra med Matlabs inbyggda värde. fel = (piˆ4)/90 - summa Gör nu om alltsammans (format long behöver inte upprepas) med 6 och 9 decimalers noggrannhet. Använd tangenten pil uppåt för att återkalla raden med Matlabkommandon. Det går givetvis att tillverka en skriptfil som gör räkningarna. 1
2 Summa Antal termer Antal riktiga decimaler Fel enligt Matlab fel =π 4 /90 summa Räkningarna i exemplet ovan kan användas för att ge ett numeriskt värde på π. Det relativa felet i värdet av π beräknat med denna metod kan relativt lätt visas 1 vara 1/4 av det relativa felet i seriesumman, så det är lämpligt att beräkna seriesumman med samma antal decimaler som man önskar i π. Vi tar nu en serie som med framgång kan jämföras med en geometrisk serie. 2.2 Målet nu är att beräkna e 6. För detta skall vi approximativt summera serien k=0 6 k k! på följande sätt. Vi har alltså rekursionsformeln a 0 = 1, a k+1 = 6 k + 1 a k för termerna. Om vi avbryter summan efter n termer, så har vi ett fel (restterm) som måste uppskattas. Motivera resttermsuppskattningen Motivering: r n 2a n+1 om n r n = a n+1 + a n+2 + a n+3 + a n a n a n+1 a n a n a n+1 a n+4...? Fortsätt och avsluta resonemanget Beräkna nu iterativt termer och delsummor tills resttermen blir så liten som önskat. Man kan göra så här: Gå till File, New, M-file Skriv in eller hämta (från kursens hemsida) filen 1 Fråga handledaren om du inte är övertygad. 2
3 function [s,antaltermer]=expsum(tol) %s anger närmevärdet av eˆ6 %tol = toleransen a = 1; s = 0; k = 0; while ((2*a> tol) (k<11)) s = s + a; a = a*6/(k+1); k=k+1; end; antaltermer=k; Spara filen under namnet expsum. Du har nu skapat Matlab-funktionen expsum. Genom att i Matlab skriva [s,antaltermer]=expsum(5e-4) så får du ett närmevärde till e 6 med tre riktiga decimaler. Jämför värdet med Matlabs exp(6) Kör om beräkningen igen för att få 6 decimalers noggrannhet och jämför än en gång med Matlabs exp(6). Avsluta med format så återgår Matlab till att visa normalt antal siffror. (I mån av tid) Ändra funktionen ovan så att den i stället beräknar e x, där x (I mån av tid) Beräkna cos x. Använd metoden att summera serien k=0 ( 1) k x2k (2k)! Använd att termerna är u k = ( 1) k x 2k /(2k)! och delsummorna s n uppfyller rekursionerna x 2 u k+1 = (2k + 2)(2k + 1) u k, s k+1 = s k + u k+1. Vilka är begynnelsevärdena? Jämför med Matlabs värde för cos x. Tillverka en Matlab-funktion, t ex cosinus, som beräknar cos x och slutar då felet garanterat är mindre än en given tolerans. Exempelvis kan funktionsfilen inledas med function[s,antaltermer]=cosinus(x,tol). (Om du efter fem minuter inte lyckats åstadkomma en fungerande funktion kan handledaren tipsa dig om var hjälp finns att hämta.) Använd funktionen för att beräkna cos 10, cos 20, cos 30 och cos 40. Jämför också med Matlabs värde. Se på termerna i serien (grafiskt) och försök förklara vad som sker. Förklaring: Tag bort procenttecknet på andra raden i den fil handledaren kan tillhandahålla. Beräkna ånyo cos 40. Bättre? Varför? Svar: 3
4 Fourierserier i Matlab Vi skall nu göra ett experimentellt studium av trigonometriska Fourierserier, dvs funktionsserier av formen a 0 + a k cos(kt) + b k sin(kt), k=1 där a = a k och b = b k är reella talföljder. En term i en sådan serie kan också skrivas som u k (t) = a k cos(kt) + b k sin(kt) = A k cos(kt + δ k ) och är alltså en harmonisk svängning med vinkelfrekvens k och period 2π/k. Amplituden ges av formeln A k = a 2 k + b2 k. Vi skall alltså addera sinusformade funktioner med högre och högre frekvenser. 2.4 Förberedelser: Hämta m-filerna fourkoeff.m, visafunk.m, visaserie.m och visadelsummor.m från datorövningens hemsida (använd högerknappen i Firefox). Definiera två följder genom K = 1:100; t = -10:0.05:10; Variabeln K svarar mot index k ovan, och t är tidsvariabeln. Ändra inte dessa variabler i fortsättningen. Koefficienterna a och b skall lagras i den skalära variabeln anoll och i vektorerna akoeff och bkoeff. 2.5 Slå in Vi skall nu beräkna delsummor till funktionsserien» anoll = 0; k=1» akoeff = zeros(size(k)); sin kt k» bkoeff = ones(size(k))./k; = sin t + sin 2t 2 + sin 3t Plotta successivt» s0 = anoll/2*ones(size(t)); plot(t,s0)» s1 = s0+bkoeff(1)*sin(t); plot(t,s1)» s2 = s1+bkoeff(2)*sin(2*t); plot(t,s2)» s3 = s2+bkoeff(3)*sin(3*t); plot(t,s3) och så vidare, tills du tröttnar. 2 Här motsvarar 1 a0 det som i formelsamlingen och föreläsningarna kallas c0. 2 4
5 2.6 Vill man slippa skriva in så mycket så kan man göra så här:» s=anoll/2*ones(size(t));» for k=1:100; s=s+bkoeff(k)*sin(k*t); plot(t,s), title([ delsumma s_{ int2str(k) } ]), pause, end Tag reda på vad pause innebär innan du startar körningen. Det går att bryta med Ctrl-C, om alla 100 stegen tar för lång tid. Verkar Fourierserien konvergera? Rita in vad du tror är seriesumman då 4π < t < 4π. y π/2 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π t π/2 Konvergerar den trigonometriska Fourierserien likformigt t. ex då 2π < t < 2π? Matlab tycker inte om för långa rader, så det är bättre att skapa en skriptfil som innehåller raden ovan och köra den från kommandoraden. Lägg märke till att alla sinustermer, och därmed även delsummorna, är udda funktioner. 2.7 Slå nu in koefficienter genom a k = 2 π cos(kπ/2) 1 k 2, k 1, a 1 = 1 2, b k = 0» anoll = 2/pi;» akoeff=2/pi*cos(k*pi/2)./(ones(size(k))-k.*k); % akoeff(1) odefinierad» akoeff(1)=1/2;» bkoeff=zeros(size(akoeff)); och rita upp några delsummor genom» s = anoll/2*ones(size(t));» for k = 1:100; s = s + akoeff(k)*cos(k*t); plot(t,s); pause; end Du kan även ha en titel i kommandraden som ovan. Hur ser resultatet ut? (Förklaringen finns till största delen i övning Se också svaret till övningen.) 5
6 Skiss av summan y 1 t π π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π Det är ganska besvärligt att slå in raderna ovan rätt. För att förenkla hanteringen har jag skrivit ett skript visaserie.m som automatiskt visar upp termer och delsummor serier av typen ovan, om koefficienterna är angivna som ovan. 2.8 Hämta (om det inte redan är gjort) visaserie.m och övriga m-filer från kursens hemsida. Använd hjälpfunktionen, help visaserie Skriv in ymin=-0.5; ymax=1.5; i Matlab. Kör visaserie för att se på seriens termer och delsummor. Med normal upplösning på skärmen är det inte lönt att ta med mer än ca 50 termer. Bryt sedan med Ctrl-C. 2.9 Då 0 t π gäller att k=0 cos(2k + 1)t (2k + 1) 2 = π 4 (π t). (1) 2 I mån av tid kan du visa detta genom handräkning genom att bestämma cosinusserien för högerledet i (1). Med hjälp avmatlab går det emellertid att snabbt göra det troligt att (1) gäller. Innan du använder visaserie behöver du skriva in anoll, akoeff och bkoeff. Du kan använda att» akoeff = 1/2*(1-(-1).ˆK)./(K.ˆ2); Glöm inte ymin=-1.5;ymax=1.5; innan du använder visaserie. Sedan du använt visaserie för att rita vänsterledet kan du i samma fönster genom kommandot subplot(211),hold on, plot(t,pi/4*(pi/2*ones(size(t))-t), r ) rita även högerledet med röd färg. För vilka t verkar likheten stämma? Svar: 2.10 (I mån av tid.) Låt i uppgift 9.3 l vara π. Rita funktionen f och dess cosinus- och sinusserier. Koefficienterna kan du hämta från facit till uppgiften. Dock finns vissa tryckfel i facit men handledaren tillhandahåller rätt värden Om seriens summafunktion är känd från början, så kan man även beräkna och rita upp dess resttermer. Detta går att göra med skriptet visadelsummor.m. I 2.7 är summafunktionen en halvvågslikriktad cosinusvåg. Skriv ånyo in anoll, akoeff och bkoeff (se sidan 5 i denna handledning). Skriv också in» funktion = max(cos(tid),0) 6
7 och kör visadelsummor. I mitten visas den senast tillagda termen u n i rött och resttermen r n i blått. Överst visas delsumman i blått och nederst seriens summa i grönt (om man angivit den rätt i funktion). Förstora gärna figurfönstret lite (genom att dra med musen i nedre högra hörnet). Tryck på valfri tangent (= mellanslag) för att få nästa delsumma. Bryt med Ctrl-C. Med hjälp av visadelsummor kan man kontrollera alla svar i övningarna på Fourierkoefficienter. Om man inte tycker om att partialintegrera, så kan man låta Matlab räkna ut koefficienterna. Detta sker med den numeriska metoden snabb Fouriertransformation (FFT). Det finns naturligtvis ett Matlabkommando som heter fft. Med hjälp av m-filen fourkoeff kan man använda detta för att beräkna Fourierkoefficienterna för en given funktion. Titta på fourkoeff.m, och lägg märke till att index är förskjutna ett steg, eftersom Matlab indicerar vektorer med början på k = 1. Vi låter fourkoeff beräkna 2 8 = 256 koefficienter numeriskt (vilket svarar mot 128 termer i den trigonometriska Fourierserien) Vi skall nu se på utvecklingen av en fyrkantsvåg. Den kan definieras genom funktion = (tid < pi) - (tid > pi) Detta kanske kräver en förklaring. Matlab har lättare för logiska villkor än många teknologer. Om tid är en vektor, så blir (tid < pi) en vektor med samma antal element som tid. Den har ettor i de element där villkoret tid < pi är sant i tid och nollor för övrigt. Rita nu upp fyrkantsvågens partialsummor med hjälp av kommandona fourkoeff, visadelsummor 2.13 Undersök på samma sätt triangelvågen, som kan beskrivas som funktion = tid.*(tid < pi) + (2*pi-tid).*(tid >= pi) 2.14 (I mån av tid.) Definiera nu en lagom komplicerad funktion, med språng och olika utseenden på olika delintervall. Ett förslag är» funktion= (tid<pi/2).*tid - (tid>4*pi/3).*(tid<3*pi/2) Kör nu fourkoeff, så beräknas koefficienterna. Dessutom ritas funktionen upp. Kör sedan visadelsummor och kontrollera att delsummorna närmar sig den givna funktionen. Hitta gärna på ett eget exempel på en konstig funktion och undersök dess Fourierserie För denna uppgift passar nog Maple bättre än Matlab. Om en funktion f är reell, kontinuerlig och b a f(x) 2 dx = 0 så är f(x) = 0 för varje x i intervallet [a, b]. Likaså gäller att om f och g är reella, kontinuerliga och f(x) = g(x) för varje x i intervallet [a, b]. 7 b a (f(x) g(x)) 2 dx = 0 så är
8 Hur vi än väljer de reella talen a 0, a 1, a 2, b 1 och b 2 blir däremot integralen 2π 0 (e x ( a a 1 cos x + a 2 cos 2x + b 1 sin x + b 2 sin 2x)) 2 dx (2) aldrig 0. Hur ska koefficienterna a 0, a 1,..., b 3 väljas för att integralen (2) ska bli så liten som möjligt? Gör några experiment med Maple. För att kunna lätt jämföra olika integralvärden kan det vara lämpligt med kommandot evalf(%) efter det att en integral beräknats. Uttrycket (2) kan uppfattas som en funktion av variablerna a 0, a 1,..., b 2. Från den flerdimensionella analysen vet du att en minimipunkt är en stationär punkt. Maple kan nu hjälpa dig bestämma koefficienterna a 0, a 1,..., b 2. Känner du igen talen? Byt nu i (2) e x mot f(x) och bestäm talen a 0, a 1,..., b 2 så att 2π 0 blir minimal. (f(x) ( a a 1 cos x + a 2 cos 2x + b 1 sin x + b 2 sin 2x)) 2 dx Svar: a k = och b k = 2.16 (överkurs) Operationen att byta alla sinus i en Fourierserie mot cosinus (och alla cosinus mot sinus) kallas för en Hilberttransformation. Kontrollera figurerna på omslaget till teorikompendiet på följande sätt: beräkna först Fourierkoefficienterna för en fyrkantsvåg som ovan och gör sedan bytet genom mellan = akoeff; akoeff = bkoeff; bkoeff = -mellan; anoll = 0; och kör visaserie. Gör motsvarande sak med triangelvågen (överkurs) Fourierserier kan användas inte bara för att representera funktioner givna av formler utan även sådant som brukar kallas för brus. Sådant kan man få genom att välja koefficienterna slumpvis och inte allt för snabbt avtagande. Gör nu ett numeriskt experiment med detta. Normalfördelade slumptal genereras med funktionen randn. För att få samma antal koefficienter som innan (beräknade av fourkoeff) kan vi göra så här. Summafunktionen är nu okänd och det är därför lämpligast att använda visaserie.» L=1:127; % K får vi ju inte ändra på» anoll=0;» akoeff=randn(size(akoeff))./(l+2);» bkoeff=randn(size(bkoeff))./(l+2);» visaserie; Storleksordningen på Fourierkoefficienterna väljs ungefär samma som för fyrkantsvågen. Upprepa experimentet ännu en gång genom att köra om kommandona som tillverkar koefficienterna slumpvis. Man får då en annan funktion, men med liknande utseende. Ännu vackrare brus får man om man sätter t ex de tre första koefficienterna till 0. 8
9 » akoeff(1:3)=[0 0 0]; bkoeff(1:3)=[0 0 0];» visaserie; Ljud i Matlab (I mån av tid.) Matlab är försett med en primitiv ljudfunktion, som sänder ut följder till högtalaren med hastighet av 2 13 = 8192 element i sekunden (på en del system kan man ändra samplingsfrekvensen). Kommandot för att skicka en vektor x till högtalaren är sound(x). Testa med x = cos(2*pi*440/8192*(1:8192)); sound(0.1*x) för en ren ton och x = randn(1,8192); sound(0.1*x) för rent brus. Den som vill kan hämta m-filen tongenerator.m och testköra. Denna använder en rekursionsekvation av andra ordningen för att generera en cosinusföljd och skicka den till högtalaren. Testa till exempel tongenerator(440,1,0.5) och tongenerator(880,2,0.2). Det första argumentet anger frekvensen, det andra varaktigheten och det tredje amplituden. Maximalfrekvensen ligger på ungefär 4 khz (och knappt det på grund av den approximativa cosinusberäkningen med Maclaurinutveckling). En förklaring av tongeneratorn finns att hämta på kursens hemsida (psfil). Kan du spela musik med tongenerator? 9
Funktionsteori Datorlaboration 2
Funktionsteori Funktionsteori Datorlaboration 2 Fourierserier Inledning Största delen av denna laboration handlar om Fourierserier, men vi startar med seriesummation. Vissa filer kan du behöva hämta på
Läs merDatorlaboration 2. 1 Serier (kan göras från mitten av läsvecka 4)
Datorlaboration 2 ht 2016 Funktionsteori, vt 2016 Inledning Denna laboration handlar om serier och likformig konvergens. Hela laborationen, utom uppgift 3.9 där Maple är att föredra, bygger på Matlab.
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merDatorövning 2. - Tag med lärobok och övningshäfte till övningen. - Fyll före övningenen i svaren på frågorna på sidan 5 i denna handledning.
Kontinuerliga system vt 2015 Datorövning 2 Inledning Syftet med denna datorövning är att du med hjälp av Maple skall få ökad förståelse av vissa begrepp presenterade i kapitel H. Exempelvis behandlas skalärprodukt,
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merLaboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning
1 SF1520 VT2017 NA, KTH 16 januari 2017 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Läs merKontinuerliga system, Datorövning 1
Vårterminen 2003 Kontinuerliga system, Datorövning Inledning Syftet med denna datorlaboration är att Du skall bli bekant med Matlab som räkne- och visualiseringshjälpmedel, experimentellt studera Fourier-,
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merLAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merLaboration: Grunderna i MATLAB
Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merMaclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Läs merVariabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:
TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger
Läs mer5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor
5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift
Läs merLaboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning
1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,
Läs merf (a) sin
Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan
Läs merLaboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka
Läs merMatriser och Inbyggda funktioner i Matlab
CTH/GU STUDIO 1 TMV036a - 2012/2013 Matematiska vetenskaper Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1 Moore: 2.3, 3.1-3.4, 3..1-3.., 4.1, 7.4 1 Inledning Nu
Läs merLaboration: Grunderna i Matlab
Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid
Läs merIndex. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26
TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht10 1 Inledning Ni kommer använda Matlab i nästan alla kurser i utbildningen. I matematikkurserna kommer vi ha studio-övningar nästan
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merSignalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör
Läs merKontinuerliga system, Datorövning 1
Vårterminen 2001 Kontinuerliga system, Datorövning 1 Inledning Syftet med denna datorlaboration är att Du skall bli bekant med Matlab som räkne- och visualiseringshjälpmedel, experimentellt studera Fourier-,
Läs merMatriser och Inbyggda funktioner i Matlab
Matematiska vetenskaper 2010/2011 Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab 1 Inledning Vi skall denna vecka se på matriser och funktioner som är inbyggda i Matlab, dels (elementära) matematiska funktioner
Läs merIntroduktion till MATLAB
29 augusti 2017 Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB är ett interaktivt program för numeriska beräkningar med matriser. Med enkla kommandon kan man till exempel utföra matrismultiplikation, beräkna
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, 2008-2-9 Skrivtid: 4 00 7 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel:
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5. hp, 215-3-17 Skrivtid: 14 17 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merNär man vill definiera en matris i MATLAB kan man skriva på flera olika sätt.
"!$#"%'&)(*,&.-0/ 177 Syftet med denna övning är att ge en introduktion till hur man arbetar med programsystemet MATLAB så att du kan använda det i andra kurser. Det blir således inga matematiska djupdykningar,
Läs merFixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 3. Repetitionssatser och Programmering 1 Introduktion Denna övning syftar till att träna programmering med repetitionssatser och villkorssatser. Undvik
Läs merLaboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den laborationen har syften: dels att visa lite hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man den an dels att
Läs merMMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB
MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merMVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 07-08-4 kl. 4.00 8.00 Tentamen MVE500, TKSAM- Telefonvakt: Anders Hildeman 03 77 535 Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merDatorövning 1 Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet
Läs merUppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln
Matlab-föreläsning (4), 10 september, 015 Innehåll m-filer (script) - fortsättning från föreläsning 1 In- och utmatning Sekvenser, vektorer och matriser Upprepning med for-slingor (inledning) Matlab-script
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 2 november 2015 Sida 1 / 23 Föreläsning 2 Index. Kolon-notation. Vektoroperationer. Summor och medelvärden.
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 15 januari 2016 Sida 1 / 26
TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 15 januari 2016 Sida 1 / 26 TAIU07 Kursmål och Innehåll Målet med kursen är att Ge grundläggande färdighet i att
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 27 oktober 2015 Sida 1 / 31
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 27 oktober 2015 Sida 1 / 31 TANA17 Kursmål och Innehåll Målet med kursen är att Ge grundläggande färdighet
Läs merNewtons metod och arsenik på lekplatser
Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare
Läs merMatlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab
Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom PM:et. Gå sedan igenom exemplen
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merTekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson Plot och rekursion
Tekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson 2010-11-19 Plot och rekursion I denna laboration skall du lära dig lite om hur plot i MatLab fungerar samt använda
Läs merKursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:
Inlämningsuppgifter i Funtionsteori För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa. Enligt
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration
10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs merMMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Vektorberäkningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall vi träna på
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU 2017/2018 Matematiska vetenskaper Mer om funktioner och grafik i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar
Läs merMATLAB övningar, del1 Inledande Matematik
MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik Övningarna på de två första sidorna är avsedda att ge Dig en bild av hur miljön ser ut när Du arbetar med MATLAB. På de följande sidorna följer uppgifter som behandlar
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Läs merFlervariabelanalys och Matlab Kapitel 3
Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Matematiska Vetenskaper 28 september 2012 3 Multipelintegraler 3.1 ubbelintegraler I detta kapitel skall vi studera olika sätt på vilket man kan
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 8-12, 20 Mars, 2015 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 4 GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer3 Man kan derivera i Matlab genom att approximera derivator med differenskvoter. Funktionen cosinus deriveras för x-värdena på följande sätt.
Kontrolluppgifter 1 Gör en funktion som anropas med där är den siffra i som står på plats 10 k Funktionen skall fungera även för negativa Glöm inte dokumentationen! Kontrollera genom att skriva!"#$ &%
Läs merSF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2
Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera
Läs merTMA226 datorlaboration
TMA226 Matematisk fördjupning, Kf 2019 Tobias Gebäck Matematiska vetenskaper, Calmers & GU Syfte TMA226 datorlaboration Syftet med denna laboration är att du skall öva formuleringen av en Finita element-metod,
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 4. Funktioner 1 Egna Funktioner Uppgift 1.1 En funktion f(x) ges av uttrycket 0, x 0, f(x)= sin(x), 0 < x π 2, 1, x > π 2 a) Skriv en Matlab funktion
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merLösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Läs merMatlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab
Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom hela PM:et. Gå sedan igenom
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en
Läs merDatorövningar i funktionalanalys och harmonisk analys
Datorövningar i funktionalanalys och harmonisk analys Sven Spanne 28 september 21 1 Normer och approximation Inledning Funktionalanalys är ett abstrakt område, och för att förstå innebörden av begrepp,
Läs merInstruktion för laboration 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för matematisk statistik MD, ANL, TB (rev. JM, OE) SANNOLIKHETSTEORI I Instruktion för laboration 1 De skriftliga laborationsrapporterna skall vara
Läs merFacit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1
Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD9) STS ES W K1 Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på ett kladdpapper,
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs merLogik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter.
TAIU07 Föreläsning 3 Logik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter. 27 januari 2016 Sida 1 / 21 Logiska variabler
Läs merLinjär algebra med tillämpningar, lab 1
Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-17 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs merLaboration 1. Grafisk teknik (TNM059) Introduktion till Matlab. R. Lenz och S. Gooran (VT2007)
Laboration 1 Grafisk teknik (TNM059) Introduktion till Matlab R. Lenz och S. Gooran (VT2007) Introduktion: Denna laboration är en introduktion till Matlab. Efter denna laboration ska ni kunna följande:
Läs merLAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning
TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merLaboration 4: Integration på olika sätt
Laboration 4: Integration på olika sätt I detta arbetsblad finns dels ett antal exempel på hur man kan använda Mathematica för att beräkna integraler och sedan ett exempel på Monte-Carlo integration. Exempel
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU 2/22 Matematiska vetenskaper Inledning Mer om funktioner och grafik i Matlab Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och cosinus
Läs merBeräkningsverktyg HT07
Beräkningsverktyg HT07 Föreläsning 1, Kapitel 1 6 1.Introduktion till MATLAB 2.Tal och matematiska funktioner 3.Datatyper och variabler 4.Vektorer och matriser 5.Grafik och plottar 6.Programmering Introduktion
Läs merFlervariabelanlys och Matlab Kapitel 3
Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Carl-Henrik Fant Matematiska Vetenskaper 17 september 2009 1 3 Multipelntegraler 3.1 ubbelintegraler Exempel. Vi skall beräkna dubbelintegralen (y
Läs merTSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D
TSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D Utvecklad av Maria Magnusson med mycket hjälp av Lasse Alfredssons material i kursen Introduktionskurs i Matlab, TSKS08 Avdelningen för Datorseende, Institutionen
Läs merI situationer där det inte råder någon oklarhet om vilken funktion f som avses, nöjer vi oss med att skriva c n istället för c n Hf L.
Fourierserien Fourierkoefficienter I avsnittet trigonometriska olynom har vi härlett en integralformel för koefficienterna i n c n  n W t när summan är lika med f HtL. Med integralformeln som utgångsunkt
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merLaboration i Fourieranalys för F2, TM2, Kf2 2011/12 Signalanalys med snabb Fouriertransform (FFT)
Laboration i Fourieranalys för F2, TM2, Kf2 2011/12 Signalanalys med snabb Fouriertransform (FFT) Den här laborationen har två syften: dels att visa hur den snabba Fouriertransformen fungerar och vad man
Läs merOrdinära differentialekvationer (ODE) 1 1
TMV151/TMV181 Matematisk analys i en variabel M/TD 2009 Ordinära differentialekvationer (ODE) 1 1 I förra datorövningen löste vi begynnelsvärdesproblem av formen u (x) = f(x), x [0, b] (b > 0) u(0) = u
Läs mer