Laboration 4: Integration på olika sätt
|
|
- Joakim Eklund
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Laboration 4: Integration på olika sätt I detta arbetsblad finns dels ett antal exempel på hur man kan använda Mathematica för att beräkna integraler och sedan ett exempel på Monte-Carlo integration. Exempel på exakt integration Mathematica klarar i stort sett av att hitta alla de primitiva funktioner som du klarar av med tekniker från analyskursen. Du har redan sett exempel på detta. Här kommer fler exempel som även omfattar multipelintegraler. Så här hittar man en primitiv funktion: In[]:= Out[]= Integrate@x * Sin@3 xd, xd - x Cos@3 xd + 3 Sin@3 xd 69 Om Mathematica inte klarar av att hitta en primitiv funktion, så returnerar den bara det uttryck du skrivit in. In[]:= ^ * xd à Sin@x Cos@xDD â x Ibland blir dock svaret i termer av funktioner som du inte hört talas om. Dessa kan emellertid användas som vilka andra funktioner som helst. ^ D, xd FresnelSB Out[3]= xf Vi kontrollerar att Mathematica kan beräkna derivatan och ett värde av funktionen FresnelS[x] som ingick i svaret.
2 In[4]:= DB FresnelSB xf, xf N Out[4]= D Out[5]= Exempel på numerisk integration Hur ska vi då göra om Mathematica inte kan hitta en primitiv funktion? I så fall kan vi ändå beräkna en integral numeriskt, och får förstås bara ett närmevärde. Här med integralen från förra sektionen. In[6]:= ^ * 8x, 0, <D Vill vi ändå ha ut den primitiva funktionen, kan vi få den som en interpolerad funktion, t.ex. genom att lösa motsvarande differentialekvation. Vi såg i laboration hur man gjorde. Man måste specificera intervallet, och manipulera med ersättningsoperatorn för att verkligen få ut en funktion. In[7]:= Out[7]= In[8]:= Out[8]= funktion = y. '@xd ^ * y@0d 0<, y, 8x, 0, 0 <D@@DD InterpolatingFunction@880., 0.<<, <>D
3 In[9]:= 8x, 0, 0 <D Out[9]= Exempel på multipelintegraler In[0]:= ^ y, 8x, 0, <, 8y, 0, <D Out[0]= 6 Integral över en region 0 x och 0 y x: In[]:= Out[]= + xd, 8x, 0, <, 8y, 0, x<d 3 CosB F - SinB F SinB F För att integrera över mer komplicerade områden kan man använda funktionen Boole, som returnerar på ett instoppat påstående som är sant och 0 om det är falskt. Områden kan t ex beskrivas med olikheter, som x^ + y^ <. Boole[x^ + y^ < ] är alltså precis när x^ + y^ < är sann. Vi kan se det på grafen:
4 4 In[]:= y_d := ^ + y ^ < D Plot3D@ch@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <D Out[3]= Integrerar vi över det här området, återupptäcker vi enhetsdiskens area. In[4]:= Out[4]= Integrate@ch@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <D Ovanstående funktion kallas för den karaktäristiska funktionen för enhetsdisken. För att integrera en godtycklig funktion över enhetsdisken är det bara att multiplicera med den karaktäristiska funktionen och sedan integrera över ett vanligt rektangulärt område.
5 In[5]:= 5 Plot3D@Sin@xD ^ ch@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <D 0.6 Out[5]= In[6]:= Out[6]= - Integrate@Sin@xD ^ ch@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <D N Regioner kan ges som logiska sammansättningar av olikheter. Det logiska konnektivet "och" betecknas i mathematica &&. Här är en integral som beräknar arean av området som ges av olikheterna < x^ - y^ < 4 och x y < samt att x,y är positiva. In[7]:= a = Integrate@Boole@ < x ^ - y ^ < 4 && x y < && x > 0 && y > 0D, 8x, -, <, 8y, -, < D Out[7]= 4 ArcCsch@D + ArcSinh@D + 4 Log@D - Log@4D - LogB 4 In[8]:= Out[8]= a N Vi kan se hur området ser ut med kommandot RegionPlot. J + 5 NF
6 6 In[9]:= < x ^ - y ^ < 4 && x y < && x > 0 && y > 0, 8x,, 5 <, 8y, 0, <D Out[9]= Rä kna area genom att räkna antalet sandkorn som hamnar i ett områ de när man kastar en näve grus på det. Antag att vi vill beräkna ett område A : s yta, men inte har något bra exakt sätt att göra det på. En användbar idé är baserad på att beräkna sannolikheten att en slumpvis vald punkt ligger i A. Detta är grunden för det som kallas Monte Carlo-integration. Hitta en rektangel R som omfattar A. Fyll sedan rektangeln R med 000 slumpvis valda punkter. Om t ex hälften av alla punkter hamnar inuti A, borde A ha halva arean mot R. Mer precist : beteckna antalet punkter som hamnar inuti A med antal (A). Då gäller antal (A) /000» Area (A)/Area (R). Ur detta får vi ett närmevärde på Area (A). Vi tillämpar detta på ett område vars area vi vet : A är cirkelskivan x^ + y^ <=, som ju har arean, och den är innehållen i kvadraten R = [-, ] [-, ], som har arean 4. (Vi får alltså ett närmevärde på Pi.) Först ska vi hitta 000 slumpvis valda punkter i kvadraten. För att få en slumpmässig punkt kan vi använda kommanot RandomReal.
7 som har arean 4. (Vi får alltså ett närmevärde på Pi.) 7 Först ska vi hitta 000 slumpvis valda punkter i kvadraten. För att få en slumpmässig punkt kan vi använda kommanot RandomReal. In[0]:= Out[0]= <, D , < Detta talar om för Mathematica att slumpa fram en lista vars element består av två tal mellan - och, vilket får representera en punkt i planet. För att i stället få tusen punkter, skriver vi: In[]:= punkter = <, 8000, <D; Nu gör vi en funktion test som testar om en punkt ligger på enhetsdisken. In[]:= y_ <D := x ^ + y ^ ; För att illustrera hur funktionen fungerar, testar vi med en punkt utanför enhetsdisken och en punkt på. In[3]:= <D <D Out[3]= False Out[4]= True Nu kan vi använda ett par av Mathematicas inbyggda listhanteringsfunktioner för att välja ut de punkter som ligger i cirkeln. In[5]:= icirkel = punkter, test D; ejicirkel = punkter, icirkel D; För tydlighetens skull ritar vi ut vad vi har:
8 8 In[7]:= p = ^ + y ^, 8x, -, <, 8y, -, <D; p = ejicirkel <, PlotStyle 8Green, Blue <D; p, p D Out[9]= Nu är det bara att räkna antal gröna sandkorn. In[30]:= Out[30]= Antal = D 795 Insättning i formeln Antal/000 = Area/4 ger In[3]:= Out[3]= Area = N@HAntal * 4L 000 D 3.8 vilket blir vårt närmevärde på. Som synes är det ganska dåligt. För att få acceptabel nogrannhet måste man använda många fler punkter. Vi gör beräkningarna igen med fler punkter. Om vi inte bryr oss om att rita figurer, kan vi skriva det hela i kompaktare form. En av fördelarna är att vi slipper skapa långa punktlistor som äter upp datorns minne. Med tanke på övningarna sedan, inför vi en parameter dim som står för dimensionen av den integral vi vill beräkna. I det här fallet har vi en dubbelintegral för area i planet, så dim=. Observera att kvadraten vi jämför med då har arean ^dim=4.
9 In[3]:= Out[35]= 9 n = ; dim = ; Antal <, dim DDD, 8i,, n<d; Area = Antal * ^ dim n N Notera att vi åter igen använder kommandot Boole. För att bena ut vad som händer, kan vi köra kommandona ett och ett. In[36]:= <, dim D Out[36]= 853, < Out[37]= False Out[38]= 0 Vi summerar alltså över en "funktion" som slumpvis tar värdet 0 eller. Närmevärdet vi får fram är fortfarande inte speciellt bra, och det finns naturligtvis många metoder som ger bättre resultat. I övningarna kommer vi dock att se att metoden trots det är användbar i vissa situationer.
Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 3
Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Matematiska Vetenskaper 28 september 2012 3 Multipelintegraler 3.1 ubbelintegraler I detta kapitel skall vi studera olika sätt på vilket man kan
Läs merFlervariabelanlys och Matlab Kapitel 3
Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Carl-Henrik Fant Matematiska Vetenskaper 17 september 2009 1 3 Multipelntegraler 3.1 ubbelintegraler Exempel. Vi skall beräkna dubbelintegralen (y
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merI detta arbetsblad finns ett antal exempel på hur man kan använda Mathematica för att få översikt över funktioner och datamängder.
Laboration 2: Grafritning och visualisering av data I detta arbetsblad finns ett antal exempel på hur man kan använda Mathematica för att få översikt över funktioner och datamängder. Du har redan förra
Läs merMathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x
Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon
Läs merTexten är en omarbetning av en text skriven av Rikard Bögvad för kursen Matematik I (30 hp).
Introduktion Med hjälp av dator kan man utföra omfattande matematiska beräkningar, men också få datorn att producera lösningar på icke-triviala uppgifter. I det här momentet av kursen ska vi bekanta oss
Läs merMATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...
Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»
Läs mer3.3. Symboliska matematikprogram
3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Läs merVi antar att f och g ar begränsade och integrerbara funktioner på givna mätbara ( kvadrerbara) områden och att a, b ar konstanter.
GNSKAPR HOS UBBLINTGRALR. Vi antar att f och g ar begränsade och integrerbara funktioner på givna mätbara ( kvadrerbara) områden och att a, b ar konstanter. å gäller:., 0 om arean() =0 ( dvs. om är en
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-03-09 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merKap Dubbelintegraler.
Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )
Läs merKonsten att bestämma arean
Konsten att bestämma arean Lektion Ett (Matematiskt område - Talmängder) Vad är viktigast? Introducera tanken om att felet skulle kunna vara viktigare än svaret. Vad väger äpplet? Gissa. Jämför med mätvärdet
Läs mer8-6 Andragradsekvationer. Namn:..
8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merVariabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:
TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merLaboration 3: Rekursiva definitioner, listor och ett olöst problem
Laboration 3: Rekursiva definitioner, listor och ett olöst problem I detta arbetsblad finns ett antal exempel på hur man kan använda Mathematica för att få översikt över listor och dessutom ett antal exempel
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merAnvändarmanual till Maple
Användarmanual till Maple Oktober, 006. Ulf Nyman, Hållfasthetslära, LTH. Introduktion Maple är ett mycket användbart program för symboliska och i viss mån numeriska beräkningar. I Maple finns ett stort
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU 2/22 Matematiska vetenskaper Inledning Mer om funktioner och grafik i Matlab Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och cosinus
Läs merAllmänt om Mathematica
Allmänt om Mathematica Utvecklades av Wolfram Research (Stephen Wolfram) på 80-talet Programmet finns bl.a. till Windows, Mac OS X, Linux. Finns (åtminstone) installerat i ASA B121 (Stansen), i matematik
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 19 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 1 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 218, Period 3 2 / 19 SF1626 Flervariabelanalys agens Lektion ubbelintegraler: Avsnitt 14.1-14.2
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merStudio 6: Dubbelintegral.
Studio 6: Dubbelintegral. Analys och Linjär Algebra, del C, K1/Kf1/Bt1, vt09 20 februari 2009 1 Repetition av enkelintegral I ALA B skrev du en MATLAB-funktion minintegral som beräknar integralen av en
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merKap Generaliserade multipelintegraler.
Kap 4.3. Generaliserade multipelintegraler. 50. Beräkna följande generaliserade multipelintegraler: A a. dxdy, ges av x, 0 xy x A b. A c. A d. A e. K x ( + x 2 )( + x 2 y 2 ) dxdy, ges av x > 0, xy x dxdy,
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration
10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive
Läs merf (a) sin
Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merDubbelintegraler. 1 Inledning. 2 Rektangelregeln. CTH/GU LABORATION 5 MVE /2018 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABOATION MVE - 7/8 Matematiska vetenskaper Dubbelintegraler Inledning Vi skall börja med att approimera dubbelintegralen av en funktion över ett rektangulärt område f(,y)da där = {(,y): a b, c
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,
Läs merVeckoquiz lv4 (stängs morgonen tisdag 27/9) Total Questions: 10
09/23/2016 Veckoquiz lv4 (stängs morgonen tisdag 27/9) Total Questions: 10 Most Correct Answers: #2 Least Correct Answers: #3 1. Vilka av följande påståenden är sanna för en dubbelintegral av en kontinuerlig
Läs merÖvningar - Andragradsekvationer
Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs mer5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor
5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift
Läs merUppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.
NpMa3c ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merLåt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.
UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och
Läs merLaboration 1. Grafisk teknik (TNM059) Introduktion till Matlab. R. Lenz och S. Gooran (VT2007)
Laboration 1 Grafisk teknik (TNM059) Introduktion till Matlab R. Lenz och S. Gooran (VT2007) Introduktion: Denna laboration är en introduktion till Matlab. Efter denna laboration ska ni kunna följande:
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merLösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson
, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Linjär Algebra, Villkor och Logik 1 Linjär Algebra Programsystemet Matlab utvecklades ursprungligen för att underlätta beräkningar från linjär
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merJavaScript del 3 If, Operatorer och Confirm
JavaScript del 3 If, Operatorer och Confirm Under förra uppgiften så kollade vi på hur användaren kan ge oss information via promt(), vi använde den informationen både för att skriva ut den och för att
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 8906 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs merxmax f d x. Om du tycker att texten i arbetsbladet är för liten kan du förstora den genom att ändra Magnification under Windows i den övre menyn.
Arbetsblad 2 Vi fortsätter i samma stil som i arbetsblad 1. Det finns fyra avsnitt som alla åtföljs av övningar. För att lösa övningarna kan man ibland behöva söka i Documentation Center. Om man redan
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 4. Funktioner 1 Egna Funktioner Uppgift 1.1 En funktion f(x) ges av uttrycket 0, x 0, f(x)= sin(x), 0 < x π 2, 1, x > π 2 a) Skriv en Matlab funktion
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merLaboration: Grunderna i MATLAB
Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Läs merPoolbygge. fredag 11 april 14
Poolbygge Första lektionen vart jag klar med att rita och skriva ritningen. Först skrev jag poolen i skalan 1:60 vilket vi inte fick göra så jag gjorde den till 1:30, alltså har jag minskat den 30 gånger
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 14-18, 14:e Mars, 2017 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merfredag den 11 april 2014 POOL BYGGE
POOL BYGGE KLADD Såhär ser min kladd ut: På min kladd så bestämde jag mig för vilken form poolen skulle ha och ritade ut den. På min kladd har jag även skrivit ut måtten som min pool skulle vara i. Proportionerna
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merMatematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler
Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning
Läs merLinköpings Tekniska Högskola Instutitionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson, Erik Nilsson Lab 2: Underprogram
Mål Lab 2: Underprogram Följande laboration introducerar underprogram; procedurer, funktioner och operatorer. I denna laboration kommer du att lära dig: Hur man skriver underprogram och hur dessa anropas.
Läs merNär du gjort detta kan du öppna motsvarande övning i WebWork: Självstudie 3(algebra), och lösa problemen där med samma metoder.
Tillämpning 3: Mathematica och vektorer Vi ska nu använda Mathematica för att lösa problem med vektorer. Läs, som de andra noteböckerna, först igenom denna text, medan du löpande evaluerar de celler som
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merx (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB DATORLABORATION 1: TIDSSERIER.
MATEMATISKA INSTITUTIONEN Tillämpad statistisk analys, GN STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB 2011-03-24 DATORLABORATION 1: TIDSSERIER. I Tarfala har man under en lång följd av
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merTekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson Plot och rekursion
Tekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson 2010-11-19 Plot och rekursion I denna laboration skall du lära dig lite om hur plot i MatLab fungerar samt använda
Läs merPRÖVNINGSANVISNINGAR
PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.
Läs merIndex. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26
TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera
Läs merSKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna
Läs merNågot om Taylors formel och Mathematica
HH/ITE/BN Taylors formel och Mathematica Något om Taylors formel och Mathematica Bertil Nilsson 207-0-0 I am the best Ett av Brooks många ödmjuka inlägg i den infekterade striden som under början av 700
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs mer