Variansjämförelse av excess-of-loss-kontrakt med och utan aggregerat självbehåll

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Variansjämförelse av excess-of-loss-kontrakt med och utan aggregerat självbehåll"

Transkript

1 Matematis statisti Stocholms universitet Variansjämförelse av excess-of-loss-ontrat med och utan aggregerat självbehåll Sabina Jusupovic Examensarbete 003:9

2 Postadress: Matematis statisti Matematisa institutionen Stocholms universitet 06 9 Stocholm Sverige Internet:

3 Matematis statisti Stocholms universitet Examensarbete 003:9, Variansjämförelse av excess-of-loss-ontrat med och utan aggregerat självbehåll Sabina Jusupovic November 003 Abstract The aim of this wor is to compare the variance of the loss claim amount caused by two different reinsurance contracts, given that they have the same expected value. The reinsurance contracts considered are ordinary excess of loss and excess of loss with aggregate retention. A parametric distribution is fitted to observed claim amounts from the Swedish insurance company Trygg-Hansa. The distributions taen into consideration are Pareto and lognormal and parameter estimation is made by the maximum lielihood method and the method of moments. Sammanfattning Den här rapporten är resultatet av en studie som jag utfört vid Trygg-Hansa. Målet har varit att jämföra effeten av olia typer av återförsäringslösningar inom sadeförsäring. Jämförelsen går ut på att undersöa hur sadeostnadens varians påveras av valet av återförsäringsontrat, givet att de har samma väntevärde. De två ontrat som analyseras är ett vanligt excess of loss ontrat och ett excess of loss ontrat med aggregerat självbehåll. För att unna göra jämförelsen bestämdes en parametris fördelning för sadebeloppen inom återförsäring, vilen sedan användes för att beräna den förväntade ostnaden och variansen. Fördelningar som betratas är Pareto- och lognormalfördelning. Parametersattningar görs med ML- och momentmetoden. Uppgiften är utförd utifrån önsemål från Trygg-Hansa och de står för saderegisterdata. E-post: Handledare: Esbjörn Ohlsson.

4 Innehållsförtecning Sammannfattning... Innehållsförtecning... Förord... 3 Företagsfata... 3 Introdution... 4 Återförsäring Allmänt om återförsäring Kortfattad projetbesrivning Inflation Excess of loss med och utan aggregat Statistis modell Parametersattningar Val av fördelning för antalet sador Val av fördelning för sadeostnad Kriterier vid val av sadeostnadsfördelning... 4 Simulering Slumptalsgenerering Fördelning för den totala ostnaden Resultat Civilförsäring Jämförelse mellan fördelningar Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian Kontroll av simuleringens noggrannhet Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess loss återförsäring 5. Företagsförsäring Jämförelse mellan fördelningar Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian Kontroll av simuleringens noggrannhet Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess of loss återförsäring Kasoförsäring Jämförelse mellan fördelningar Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian Kontroll av simuleringens noggrannhet Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess of loss återförsäring Slutsats Referenser... 4 Appendix... 43

5 Förord Detta arbete utgör ett 0 poängs examensarbete vid Stocholms Universitet, i matematis statisti. Studien har genomförts på försäringsbolaget Trygg-Hansa. Jag sulle vilja taca alla som hjälpt mig under arbetet med denna uppsats. Förs och främst vill jag taca min handledare på Trygg-Hansa, Eri Hevreng, samt Roland Svens och Anders Lindstöm, atuarier på Trygg-Hansa. Jag har haft stor glädje och nytta av att samarbeta med Er. Ett speciellt tac vill jag säga till min handledare på Stocholms Universitet, Esbjörn Ohlsson för allt stöd och för all värdefull hjälp. Företagsfata Trygg-Hansa är ett av de ledande sadeförsäringsbolagen i Sverige med.8 miljoner under. Företaget finns idag på 34 orter och har ca 600 anställda. Bolaget erbjuder ett heltäcande sortiment av saförsäringar till privatpersoner och företag. Trygg-Hansa startades 88 men då under namnet Städernas Allmänna Brandstodsbolag. Fram till 970-talet var företaget med om ett 30-tal fusioner och namnet ändrades ett flertal gånger. 97 fic bolaget det namnet som fortfarande används. Sedan otober 999 ingår Trygg-Hansa i den dansa försäringsoncernen Codan, vilen i sin tur ägs av Royal & Sun Alliance, som är ett av världens största försäringsbolag. 3

6 Introdution Trygg-Hansa behöver unna uppsatta hur många sador, över en viss nivå, som ommer att inträffa under ett år, samt deras ostnad. Genom att beräna den förväntade ostnaden väljer bolaget om det sa behöva öpa återförsäring samt vilen typ av återförsäringssydd som passar bäst för dem. Syfte med detta arbete är att ge vägledning vid utvärdering av olia återförsäringsalternativ genom att jämföra effeten av olia typer av återförsäringslösningar. Uppgiften är att jämföra ett vanligt excess of loss ontrat med ett excess of loss ontrat med aggregerat självbehåll ur varianssynpunt. Jämförelsen går ut på att undersöa hur den totala sadeostnadens varians påveras av utformningen av de olia ontraten vid samma väntevärde. Genom att utnyttja information från sador som inträffade under tiden försöte vi göra en bedömning om sadeostnaden för återförsäringsbolaget. Datamaterialet som vi använde var observationer av sadeostnad som inträffade under perioden Varje observation i datamaterialet är den sadeostnad som återförsäringsbolaget betalar. Data som använts an delas upp enligt Ansvar Trafi Olycsfall Egendom Där ansvar är ansvarsdelen från företagsförsäring och ansvarsmomentet i boendeförsäringar, olycsfall är individuellt tecnade sju & olycsfallsförsäringar och trafiförsäring är trafimomentet i motorförsäring. Slutligen är egendom all övrig civil- hem, villa, villahem, fritidshus, fastighet..., motoraso och företagsförsäring. Uppgiften sa oncentreras på egendom. Sadegrenarna civil, företag och aso ommer att analyseras var för sig. För analysen används SAS samt Microsoft Excel. Rapporten är sriven i Microsoft Word. 4

7 Återförsäring. Allmänt om återförsäring Detta avsnitt bygger på Gustafsson [6]. Försäringsbranschen har drabbats hårt av reordmånga naturatastrofer under 990-talet. Förluster som har orsaats av sådana sador överstiger ofta försäringsbolagens apacitet. För att förhindra detta samt att utjämna resultatet väljer ofta försäringsbolag att sälja bort bitar av stora riser man eonomist bedömer sig inte vilja eller unna ta till en annan försäringsgivare. Reassurans eller återförsäring är i princip försäring i ytterligare ett led och går ut på att ett försäringsbolag, som i detta sammanhang allas cedent, överför en större eller mindre del av en försärad ris, eller en samling försärade riser, på en eller flera återförsärare mot en återförsäringspremie. Från den ursprunglige försäringstagarens synpunt ser ingen förändring, hans försäringsgivare står för hela det ansvar som försäringsavtalet innebär. Återförsäringen uppstod ursprungligen ur transportförsäringen någon gång på 300-talet och ordet återförsära dyer då för första gången upp i Florens. Återförsäring är till sin aratär start internationell. Genom återförsäringsförfarandet sprids de stora riserna över hela värden. Nordameria och Västeuropa dominerar den globala återförsäringsmarnaden. Återförsäringen har två huvuduppgifter:. Att sydda det ensilda bolaget mot atastrofsador. Att utjämna det ensilda bolagets årliga affärsresultat Definitionsmässigt an återförsäringen indelas i dels obligatoris och faultativ, dels proportionell och ice proportionell återförsäring. Med obligatorist menas återförsäring som avtalats på förhand med bindande veran för båda parter medan faultativ innebär att varje ris eller försäring återförsäras individuellt 5

8 och ingen av parterna är i förväg bunden av något avtal. I modern återförsäring tillämpas den faultativa typen endast för mycet stora och omplicerade riser. Med proportionell återförsäring menas att återförsäraren tar ansvaret för en viss andel av den ursprungliga försäringen, och erhåller en motsvarande del av premien som cedenten i sin tur erhåller från försäringstagaren. I en ice-proportionell återförsäring ansvarar återförsäraren för sadebelopp som överstiger en avtalad sadegräns, vilen an bestämmas per ris, per sadehändelse eller för en viss period. Fördelen med en ice-proportionell återförsäring är att cedenten lättare an förutsäga resultaten, eftersom han vet att han inte ommer att betala för sador som överstiger en viss gräns. Man an ombinera olia typer av återförsäring beroende på behovet och de omständigheter som föreommer. Ett självbehåll innebär att återförsäringsbolaget inte ersätter sador vilas ostnader understiger en viss gräns, den så allade excesspunten. Den proportionella återförsäringen an indelas i:. Kvotåterförsäring. Excedentåterförsäring Kvotåterförsäring innebär att alla försäringar delats enligt en given vot t ex 0 % självbehåll och 90 % återförsäring. Metoden innebär att även den minsta sada, som bolaget mycet väl sulle unna ta helt för egen del, återförsäras. Excedentåterförsäring är numera den vanligaste formen av proportionell obligatoris återförsäring. Sedan cedenten fastställt sitt självbehåll excesspunt på den individuella risen återförsäras det översjutande beloppet excedenten - automatist under excedentontratet inom ramen för dettas totala apacitet. Procentuellt an självbehållet därigenom variera från 00 % på de mindre riserna som alltså inte blir föremål för återförsäring ned till en eller ett par procent på de största riserna. 6

9 Den ice-proportionella återförsäringen an indelas i. Excess of loss. Stop loss Gemensamt för dem båda är att endast de sador som översrider en viss gräns betalas av återförsärarna. Småsador betalas i sin helhet av försäringsbolaget. Excess of loss är den vanliga formen av ice-proportionell återförsäring och an vara såväl obligatoris som faultativ. Excess of loss-återförsäring innebär att återförsärarens betalningsansvar inträder först när en individuell sada överstiger en på förhand avtalad gräns eller när det sammanlagda ersättningsbeloppet för sador som orsaats av en och samma sadehändelse överstiger en sådan gräns. Gränsen för återförsärarens inträde benämns excesspunt och omfattningen av syddet som oftast är beloppsbegränsat allas för cover. En excess of loss återförsäring byggs ofta upp på så sätt att det totala syddet spjälas upp i ett antal layers som staplas ovanpå varandra upp till en nivå som cedenten anser som betryggande sydd för varje tänbar sadehändelse. Sadebelopp som överstiger syddets övre gräns bruar allas spill over och faller diret tillbaa på cedentens självbehåll. Stop loss-återförsäring arbetar med det acumulerade sadeutfallet under en period. Den är alltid obligatoris och följatligen ontratsbunden. Återförsäraren ommer in i bilden då summan av alla sador passerar ett bestämt belopp under ett år, i övrigt fungerar det som excess of loss. Stopp loss-återförsäring är lämpligt inom områden där sadeutfallet växlar mycet mellan olia år. Exempel på detta är stormförsäringar. Val av återförsäringsmetod påveras av en mängd fatorer. I den här rapporten ommer vi endast att betrata excess of loss återförsäring.. Kortfattad projetbesrivning.. Inflation Eftersom datamaterialet spänner över en 7-årsperid under vilen penningvärdet ändrats behöver man orrigera sadeostnaderna med ett lämpligt prisindex till atuella dagsvärden. 7

10 Tidigare års sadeostnader ränas upp med KPI så att alla data är i penningvärdet som gällde år Excess of loss med och utan aggregat Trygg-Hansa bestämmer sig för ett självbehåll c Mr i varje sada, och tecnar sydd med excesspunt c i MSK och obegränsad limit. Excess-of-loss-avtal fungerar så att återförsäringsbolaget för varje sada betalar den del av sadeostnaden som överstiger c i. Det ersättningsbelopp som är av intresse är den delen som återförsäringsbolaget betalar. På förslag av uppdragsgivaren ommer vi bara att räna med självbehåll i intervallet.00 Mr till 5.00 Mr. Datamaterialet från Trygg-Hansa innehåller bara de sador som är större än eller lia med c.00 Mr. Låt Z i betecna hela ostnaden för en sada. Dessa sadebelopp betratas som utfall av oberoende och liafördelade stoastisa variabler. Den del som översrider självbehållet c allar vi storsadeostnaden och betecnar betalar återförsäringsbolaget beloppet X i 0 Z i C om i om Z i < Ci Z i > Ci X i.om ersättningsbelopp uppgår till Z i ronor I pratien finns alltid en övre gräns limit för återförsäringssyddet. Denna sätts normalt så högt att risen för spillover sadebeloppen som översrider limiten är väldigt liten. För enelhets sull ränar vi i detta arbete utan någon limit. Återförsäringssyddet är oftast uppdelat på flera återförsärare som täcer olia s.. layers. Vi an bortse från detta eftersom vi betratar problemet ur Trygg-Hansas synvinel. Nästa steg är att försöa finna en fördelningsfuntion som passar bra till detta modifierade datamaterial. Fördelningen som anpassats gäller i intervallet [0,. Vi sa jämföra två olia återförsäringsontrat vad gäller deras varians vid givet väntevärde. Den första typen av återförsäringsontrat allas för excess of loss med aggregerad återförsäring medan den andra är vanlig excess of loss återförsäring. Excess of loss med 8

11 aggregerad återförsäring innebär att man betratar det totala sadebeloppet, T, över excesspunten. Återförsäraren betalar bara den delen, S, som översrider aggregatet a, dvs. 0 S T a om annars T < a För att unna jämföra ontraten ommer vi att välja a, givet excesspunterna C och C, så att deras väntevärde blir detsamma. Vi förlarar detta i ett exempel: Först bestäms ett självbehåll C för ontrat ett. Därefter beränas väntevärdet för den totala sadeostnaden. Sedan görs samma sa för ontrat två fast med ett nytt självbehåll C, som måste vara är större än C. Eftersom deras väntevärde sa vara samma så måste man med hjälp av numeris lösning bestämma ett aggregat så att detta rav blir uppfyllt. Om vi exempelvis har ett datamaterial som ser ut på följande sätt År Sadeostnad före återförsäring Trygg-Hansa bestämmer att de sa stå för det första C resp. C ronor i varje sada, och tecnar sydd med excesspunt C resp. C. 9

12 År Sadeostnad som År Sadeostnad som återförsäringsbolag står för med C återförsäringsbolag står för med C Väntevärde för den totala sadeostnaden i detta fall är: Väntevärde: Väntevärde: Ett aggregat bestäms så att Väntevärde Väntevärde. I detta fall blir aggregatet Efter detta får man gå tillbaa till ontrat ett och införa det aggregerade värde som vi har fått. I så fall betalar återförsäringsbolaget följande: År Sadeostnad som återförsäringsbolag står för med C +aggregat Därefter beränar man variansen för båda ontraten. Varianspåveran ommer att studeras vid dessa olia typer av ontrat. 0

13 3 Statistis modell 3. Parametersattningar Parametrarna till de olia fördelningarna sattas dels med maximum lielihood metoden MLmetoden och dels med momentmetoden. ML-metoden sattar parametrarna genom att lielihoodfuntionerna maximeras. Momentmetoden sattar parametrarna så att de första momenten för fördelningen överensstämmer med de sattade momenten för försäringstypen. 3. Val av fördelning för antalet sador En Poissonfördelning uppträder då händelser inträffar slumpmässigt i tiden, d.v.s. när händelserna är oberoende av varandra och an inträffa när som helst. Dessutom förutsätts det att händelserna inträffar med en onstant frevens så att λ händelser inträffar i genomsnitt per tidsenhet. Poissonfördelningen är allmänt använd inom försäringsbranschen, inte minst inom återförsäring. Vi antar att antalet sador, N, under en viss tidsperiod är Poissonfördelat. Sadefrevensen, λ, är medelvärdet av antalet sador som inträffat per år under och som är över C.00 Mr. 3.3 Val av fördelning för sadeostnad Målet är att hitta en modell som passar data och som an användas för att beräna hur stor sadeostnad återförsäringsbolaget förväntas ha under ett år. Den totala ostnaden är summan av dessa sadeostnader. Karateristist för en fördelning för sadeförsäringsdata inom återförsäring är att den är sev och tjocsvansad. De fördelningar som är lämpade att använda för detta ändamål och som används mest för att modellera storleen på sadebeloppen inom återförsäringen är Pareto och lognormalfördelning. Man an säga att Pareto och lognormalfördelning är

14 farliga fördelningar, där mycet stora sador är möjliga. Anpassningen av dessa två fördelningar till den empirisa fördelningen har jämförts för varje sadegren. Not: Varför anpassa en parametris fördelning och inte använda den empirisa fördelningen? Nacdelen med den empirisa fördelningen är att sannoliheten, för att få en observation som är större än den största sadan, som har inträffat hittills, är lia med noll. Detta är väldigt olämpligt eftersom man vet att större sador än den hittills största mycet väl an inträffa och inom återförsäringen är man speciellt intresserad av just sannoliheten för sådana sador. Därför ommer vi att använda den empirisa fördelningen bara som hjälpmedel för att i den här rapporten unna avgöra vilen parametris fördelning som passar bäst. 3.4 Kriterier vid val av sadeostnadsfördelning Målsättningen är att hitta en fördelning som stämmer så bra överens med den empirisa fördelningen som möjligt. Ett bra sätt för att utesluta den fördelning som inte passar till data, är att räna ut den empirisa och parametrisa fördelningen för observationerna och plotta dem i samma diagram. Ju närmare de ligger varandra desto bättre passar den parametrisa fördelningen med givna data. För att få ytterligare ett mått på hur väl en fördelning passar den empirisa fördelningen ommer vi att studera Chi--statistian Lindgren [4] samt Kolmogorov-Smirnovs statistia Hjorth [5], sid.3. Testet görs här bara för att göra en jämförelse mellan olia modeller och för att få en bild på hur väl en fördelning passar och ej för att förasta en eventuell modell. Nacdelen med chi- testet är att indelningen av data i intervall blir godtyclig och på det sättet är resultatet inte entydigt. Det är därför vi även betratar ett avståndsmått som man definierar diret på den empirisa och den parametrisa fördelningsfuntionen. Kolmogorov-Smirnovs test går ut på att jämföra den empirisa fördelningsfuntionen Gx med motsvarande parametris fördelningsfuntion Fx. Dess test-statistia definieras enligt

15 D + och D sup x sup x D max D G x F x n F x G x +, D n 3

16 4 Simulering 4. Slumptalsgenerering Simulering ligger ofta till grund för prognoser. Med simulering menas att man besriver ett system eller förlopp med en matematis modell som vanligen realiseras i ett dataprogram. Eftersom en simuleringsmodell endast är en mer eller mindre bra approximation av verligheten an simulering aldrig helt ersätta verliga experiment. I detta fall ommer vi att simulera dels antalet sador och dels sadeostnader för dessa. Sadestorleen för dessa sador simuleras ensilt från den sattade sadefördelningen. Vid all stoastis simulering utgår man från slumptal. Slumptal som är oberoende och liformigt fördelade över 0, får vi med hjälp av SAS inbyggda slumptalsgenerator. För att erhålla andra fördelningar, använder vi den så allade Invers fördelningsfuntion metoden. Denna metod bygger på iattagelsen att vilen ontinuerlig fördelning X än har så blir fördelningsfuntionen värde i den dragna punten alltid U0,, och an därför genereras diret genom att dra ett slumptal U. Slumptalet X erhålles som det värde där F X U U är liformigt fördelad på 0, P U u u, 0 u Det gäller vidare att P X x P U F x F x Om F är inverterbar an vi alltså sätta X F U Ett Paretofördelat slumptal X an erhållas som X F U α * γ U se Hogg och Klugman [7] 4

17 Lognormal SAS har en algoritm för att generera normalfördelade slumptal, nämligen funtionen RANNOR som ger N 0,-fördelade slumptal. Om R är ett sådant slumptal så blir Y µ + σ * R ett N µ,σ - fördelat slumptal. Ett slumptal X som är lognormal fördelat med parametrarna µ och σ erhålles nu som X e µ + σ * R e Y 3 Ett slumptal som är Poissonfördelat med parameter λ får vi hjälp av funtion RANPOI. Ett års sador har simulerats gånger 4. Fördelning för den totala ostnaden Modellen som vi ommer att använda här är den olletiva modellen, i vilen man bortser från vila försäringstagare som drabbas av sador och endast betratar följden av sador som drabbar sadegrenen. S är summan av ett stoastist antal stoastisa variabler och har en sammansatt fördelning. Som vi tidigare har sagt så betecnar N det totala antalet sador. N är Poissonfördelat med parameter λ. X i betecnar ersättningsbeloppet över C. I så fall ommer den totala ersättningen för sadegrenen att bli S N X i i Vidare antar vi att alla X i är oberoende, liafördelade stoastisa variabler med fördelningsfuntion F och att dessa är oberoende av den stoastisa variabel N. S är det totala beloppet som återförsäringsbolaget får betala ut för sadegrenen och den har en sammansatt Poissonfördelning. Vi använder betecningen S SaPo λ,f. 5

18 5 Resultat 5. Civilförsäring Totalt fanns det 54 observationer som ingic i analysen, vila har inträffat från 995 och fram till 3 december, 00. Den totala ostnaden under denna period var på r. Tabell Resultat av parametersattningar ML-metodens sattningar via ML-evationerna Lognormal Pareto my.769 sigma.387 alfa gamma 6.06 Momentmetodens sattningar Lognormal Pareto my.999 sigma.08 alfa gamma

19 5.. Jämförelse mellan fördelningar, 0,8 0,6 empir log_ml 0,4 0, 0 9,E+03 3,E+04 8,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06,E+06 Figur visar empiris och lognormal fördelning parametrar sattade med ML- metoden., 0,8 0,6 0,4 empir 0, log_mom 0 9,E+03 3,E+04 8,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06,E+06 Figur visar empiris och lognormalfördelning med momentmetoden 7

20 , 0,8 0,6 empir 0,4 0, 0 pareto_ml 9,E+03 3,E+04 8,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06,E+06 Figur 3 visar empiris fördelning och Paretofördelning med ML-metoden., 0,8 0,6 empir 0,4 0, 0 pareto_mom 9,E+03 3,E+04 8,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06,E+06 Figur 4 visar empiris fördelning och Paretofördelning med momentmetoden. 8

21 Val av fördelning Figurer och 3 visar att det inte är helt självlart vilen fördelning som har den bästa anpassningen. Speciellt när det gäller fördelningen för de sador vars sadeostnad överstiger två miljoner var det lite svårt att bedöma vilen fördelning som passar bäst eftersom Pareto och lognormalfördelning följer varandra och den empirisa rör sig runt dessa två. Däremot ser man diret att lognormal med momentmetoden gav den sämsta anpassningen. För att unna bedöma med hjälp av grafer vilen fördelning som passar bäst har vi indelat sadeostnaden i följande intervall: 0 till.00 Mr,.00 Mr till 0.00 Mr. 0,8 0,6 log_ml 0,4 0, empir pareto_ml 0 9,E+03 3,E+04 6,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 4,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05 Figur 5 visar den empirisa samt lognormal och Pareto fördelningen med parametrar sattade med ML-metoden för sadeostnad <.00 Mr. 9

22 pareto_ml 0,9 log_ml 0,8 0,7 empir,0e+6,e+6,e+6,5e+6,8e+6,0e+6,4e+6 4,E+6 Figur 6 visar den empirisa samt lognormal och Pareto fördelningen med parametrar sattade med ML-metoden för sadeostnad >.00 Mr. 5.. Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian Q_statistia K_S_statistia Lognormal ML-metoden Lognormal momentmetoden Pareto ML-metoden Pareto momentmetoden Slutsats Valet av fördelningen utifrån ovanstående grafer är lognormalfördelning med parametrar sattade med ML-metoden för sador vars sadeostnad ligger i intervallet 0 till.00 Mr. Det är den fördelning som stämmer bäst med den empirisa fördelningen. När det gäller fördelningen för de sador vars sadeostnad överstiger.00 Mr var det lite svårt att bedöma vilen fördelning passar bäst eftersom både Pareto och lognormalfördelning följer varandra och den empirisa rör sig runt dessa två. Valet blir lognormalfördelning med ML metoden då den fördelningen ligger närmare i de flesta fall. Lognormalfördelning med parametrarna sattade med momentmetoden ger sämsta anpassning. 0

23 5..3 Kontroll av simuleringens noggrannhet För att ontrollera simuleringens noggrannhet jämför vi dess väntevärde och standardavvielse för s med de exata analytisa värdena enligt A5. Log_ML Log_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet Väntevärde Standardavvielse Pareto_ML Pareto_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet Väntevärde Standardavvielse Tabell 3 jämförelse av den totala sadeostnaden Överensstämmelsen är ritigt bra.

24 5..4 Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess loss återförsäring Där: C är ett självbehåll för excess of loss med aggregerad återförsäring C är ett självbehåll för excess of loss återförsäring µ är väntevärde för den totala sadeostnaden för excess of loss återförsäring σ är standardavvielse för den totala sadeostnaden för excess of loss återförsäring µ _ agg är väntevärde för den totala sadeostnaden för excess of loss med aggregerat självbehåll σ _ agg är standardavvielse för den totala sadeostnaden för excess of loss med aggregerat självbehåll Lognormalfördelning med parametrar sattade med ML-metoden C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,00, ,063, ,09, ,03 3, ,04 3, ,0 4, ,097 4, ,09 5, ,084 Tabell 4 Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan de två återförsäringsontrarater σ _ agg och σ för σ_αγγ σ ,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 Figur 7 visar standaravvielsen för de två återförsäringsontrat då C. 00 Mr.

25 C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,50, ,046, ,069 3, ,079 3, ,08 4, ,087 4, ,079 5, ,076,00, ,035 3, ,054 3, ,06 4, ,066 4, ,067 5, ,066,50 3, ,07 3, ,04 4, ,050 4, ,053 5, ,054 3,00 3, ,0 4, ,034 4, ,040 5, ,043 3,50 4, ,07 4, ,07 5, ,033 4,00 4, ,04 5, ,0 4,50 5, ,0 Tabell 5 Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan aggregerad och vanlig standardavvielse för de två återförsäringsontrat med olia excesspunter 3

26 ,0,00,080,060,040,00,000 C.00 C.50 C.00 C.50 C Figur 8 visar voten mellan standaravvielsen för de 5 först excesspunterna Slutsats Standardavvielsen för den aggregerade återförsäringsontrat är större än standardavvielsen för den vanliga återförsäringsontrat. Om vi öar C så avtar sillnaden mellan dem. Om man däremot öar C så är denna sillnad nästan onstant. 4

27 5. Företagsförsäring Data Från 995 och fram till 3 december inträffade 98 observationer som ingår i analysen. Deras ostnad uppgic till r. Tabell 6 Resultat av parametersattningar ML-metodens sattningar via ML-evationerna Lognormal my sigma.74 Pareto alfa gamma 9.44 Momentmetodens sattningar Lognormal my 4.5 sigma.559 Pareto alfa gamma.067 5

28 5.. Jämförelse mellan fördelningar 0,8 log_ml 0,6 0,4 0, empir 0,E+03 6,E+04,E+05 3,E+05 4,E+05 6,E+05,E+06,E+06,E+06,E+06 3,E+06 4,E+06 7,E+06,E+07 Figur 9 visar empiris och lognormal fördelning med parametrar sattade med ML- metoden., 0,8 0,6 0,4 empir 0, log_mom 0,E+03 6,E+04,E+05 3,E+05 4,E+05 6,E+05,E+06,E+06,E+06,E+06 3,E+06 4,E+06 7,E+06,E+07 Figur 0 visar empiris och lognormalfördelning med momentmetoden. 6

29 , 0,8 0,6 0,4 empir 0, pareto_ml 0,E+03 6,E+04,E+05 3,E+05 4,E+05 6,E+05,E+06,E+06,E+06,E+06 3,E+06 4,E+06 7,E+06,E+07 Figur visar empiris fördelning och paretofördelning med ML-metoden., 0,8 0,6 0,4 empir 0, 0 pareto_mom,e+03 6,E+04,E+05 3,E+05 4,E+05 6,E+05,E+06,E+06,E+06,E+06 3,E+06 4,E+06 7,E+06,E+07 Figur visar empiris fördelning och Paretofördelning med momentmetoden. Slutsats Pareto och lognormalfördelning med parametrar sattade med ML-metoden passar ungefär lia bra till data. För att se om det finns någon sillnad i olia intervall har ersättningsostnaden indelats i följande intervall: 0 till 3.00 Mr och 3.00 Mr till Mr. 7

30 0,7 0,6 0,5 log_ml 0,4 0,3 empir 0, 0, pareto_ml 0,E+03 5,E+04,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 8,E+05,E+06,E+06,E+06,E+06 3,E+06 Figur 3 visar sadeostnad i intervallet 0 till 3.00 Mr. 0,9 pareto_ml empir 0,8 log_ml 0,7 3,E+06 3,E+06 4,E+06 4,E+06 4,E+06 5,E+06 5,E+06 6,E+06 7,E+06 8,E+06,E+07,E+07,E+07 Figur 4 visar sadeostnad i intervallet 3.00 Mr till 35 Mr. 8

31 5.. Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian Q_statistia K_S_statistia Lognormal ML-metoden Lognormal momentmetoden Pareto ml-metoden Pareto momentmetoden Slutsats Valet av fördelningsfuntionen utifrån ovanstående resultaten är lognormalfördelning med parametrar sattade med ML-metoden för sador vars sadeostnad ligger i intervallet 0 till 3.00 Mr. När det gäller de sador vars sadeostnader överstiger tre miljoner så är det Pareto fördelningen som passar bäst. Den fördelningen som passar sämst är lognormal med momentmetoden. Det som var lite förvånande här är att Pareto med momentmetoden har ocså väldigt bra anpassning för sadeostnader som är mindre än 3.00 Mr. Vi väljer lognormalfördelning med ML-sattningar Kontroll av simuleringens noggrannhet Log_ML Log_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet Väntevärde Standardavvielse Pareto_ML Pareto_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet 0. Går ej att räna ut Väntevärde Standardavvielse Tabell 7 jämförelse av den totala sadeostnaden 9

32 5..4 Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess of loss återförsäring Lognormalfördelning med parametrar sattade med ML-metoden C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,00, ,006, ,0, ,05 3, ,00 3, ,03 4, ,06 4, ,08 5, ,03 Tabell 8 Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan σ _ agg och σ för de två återförsäringsontrarater σ_αγγ σ ,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 Figur 5 visar standaravvielsen för de två återförsäringsontrat då C. 00 Mr. 30

33 C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,50, ,005, ,00 3, ,04 3, ,08 4, ,0 4, ,04 5, ,07,00, ,005 3, ,009 3, ,03 4, ,07 4, ,00 5, ,03,50 3, ,005 3, ,009 4, ,03 4, ,06 5, ,09 3,00 3, ,004 4, ,008 4, ,0 5, ,05 3,50 4, ,004 4, ,008 5, ,0 4,00 4, ,004 5, ,008 4,50 5, ,004 Tabell 9 Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan aggregerad och vanlig standardavvielse för de två återförsäringsontrat med olia excesspunter 3

34 ,035,030,05,00,05,00,005,000 C.00 C.50 C.00 C.50 C Figur 6 visar voten mellan standaravvielsen för de 5 först excesspunterna Slutsats Standardavvielsen för det aggregerade återförsäringsontratet är lite större än standardavvielsen för vanlig excess of loss. Här är medelvärdet så stort att sillnaden mellan metoderna blir lite. Den öar med öande C. 3

35 5.3 Kasoförsäring Data Den totala antalet sador som ingår i analysen var 7 och deras ostnad uppgic till 6 r. Tabell 0 Resultat av parametersattningar Ml-metodens sattningar via Ml-evationerna Lognormal my.635 sigma 0.94 Pareto alfa gamma.696 Momentmetodens sattningar Lognormal my.768 sigma 0.70 Pareto alfa gamma

36 5.3. Jämförelse mellan fördelningar 0,8 0,6 0,4 empir 0, 0 log_ml 5,E+04 8,E+04 9,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06 Figur 7 visar empiris och lognormal fördelning med parametrar sattade med ML- metoden. 0,8 0,6 0,4 empir 0, log_ml 0 5,E+04 8,E+04 9,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06 Figur 8 Empiris och lognormalfördelning med momentmetoden 34

37 0,8 0,6 pareto_ml 0,4 0, empir 0 5,E+04 8,E+04 9,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06 Figur 9 visar empiris fördelning och Paretofördelning med ML-metoden. 0,8 0,6 pareto_mom 0,4 empir 0, 0 5,E+04 8,E+04 9,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06 Figur 0 visar empiris fördelning och Paretofördelning med momentmetoden. 35

38 5.3. Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian Q_statistia K_S_statistia lognormal ML-metoden lognormal momentmetoden Pareto ML-metoden Pareto momentmetoden Chi- samt Komogorov-Smirnovs värdena i tabell visar att både lognormal och Pareto fördelningen med ML-metoden har bra anpassning i denna sadegren. Slutsats Efter att ha studerat plottarna står valet mellan Pareto och lognormalfördelning med MLmetoden. Eftersom det var lite svårt att bedöma tittade vi även på resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian. Lognormal fördelning med momentmetoden har ocså här det sämsta anpassning medan Paretofördelning med ML metoden passar bäst Kontroll av simuleringens noggrannhet Log_ML Log_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet Väntevärde Standardavvielse Pareto_ML Pareto_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet Går ej att räna ut Går ej att räna ut Väntevärde Standardavvielse Tabell jämförelse av den totala ersättningsostnaden. Överensstämmelse är ritigt bra. 36

39 5.3.4 Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess of loss återförsäring Paretofördelning med parametrar sattade med ML-metoden C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,00, ,059, ,050, ,037 3, ,04 3, ,0 4, ,004 4, ,00 5, ,000 Tabell Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan σ _ agg och σ för de två återförsäringsontrarater σ_αγγ σ ,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 Figur visar standaravvielsen för de två återförsäringsontrat då C. 00 Mr. 37

40 C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,50, ,05, ,05 3, ,09 3, ,07 4, ,00 4, ,004 5, ,00,00, ,0 3, ,03 3, ,00 4, ,008 4, ,00 5, ,00,50 3, ,005 3, ,006 4, ,005 4, ,003 5, ,00 3,00 3, ,003 4, ,003 4, ,003 5, ,00 3,50 4, ,00 4, ,00 5, ,00 4,00 4, ,00 5, ,00 4,50 5, ,00 Tabell 3 Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan aggregerad och vanlig standardavvielse för de två återförsäringsontrat med olia excesspunter 38

41 ,05,04,03 C.00 C.50,0,0,00 C.00 C.50 C Figur visar voten mellan standaravvielsen för de 5 först excesspunterna Slutsats Standardavvielsen för det aggregerade återförsäringsontratet är nästan samma som standardavvielsen för det vanliga återförsäringsontratet. Sillnaden mellan metoderna avtar då man öar C. 39

42 6 Slutsats Målet med detta arbete har varit att jämföra effeten av olia typer av återförsäringslösningar inom sadeförsäring. Jämförelsen går ut på att undersöa hur sadeostnadens varians påveras av valet av ontrat, givet att väntevärdena hålls lia. För att unna göra jämförelsen bestämdes först en parametris fördelning för sadebeloppen inom återförsäring. De fördelningar som studerades var Pareto- och lognormalfördelning. Efter att ha studerat de två olia ontraten an man sammanfatta resultatet för de olia sadegrenarna som följer. Civilförsäring För denna sadegren visade lognormalfördelningen den bästa anpassningen till sadeostnaderna. Standardavvielsen för det aggregerade återförsäringsontratet är genomgående större än standardavvielsen för det vanliga excess of loss-ontratet. Om vi öar självbehållet i den förra metoden C så avtar sillnaden mellan dem. Om man däremot öar självbehållet i det vanliga ontratet C så är denna sillnad nästan onstant. Företagsförsäring Här passade lognormalfördelningen bäst för sadeostnader upp till 3.00 Mr, däröver är det Pareto-fördelningen som passar bäst. Standardavvielsen för det aggregerade återförsäringsontratet är återigen lite större än standardavvielsen för vanlig excess of loss. Här är medelvärdet så stort att sillnaden mellan metoderna blir liten. Sillnaden öar med öande C. Kasoförsäring Paretofördelning gav bäst anpassning till sadeostnaderna för denna sadegren. Standardavvielsen för det aggregerade ontratet är nästan densamma som standardavvielsen för det vanliga ontratet. Sillnaden mellan metoderna avtar då man öar C. 40

43 Den övergripande slutsatsen blir alltså att sillnaden i standardavvielse för de två ontraten är liten utom för civilförsäring. 4

44 7 Referenser [] Johansson, B. 997: Matematisa modeller inom saförsäring, Kompendium, Matematis Statisti, Stocholms Universitet [] Blom, G., Holmquist, B. 998: Statistiteori med tillämplingar, Studentlitteratur, Lund, tredje upplagan [3] Råde, L.987: Simulering, Studentlitteratur, Lund. [4] Lindgren, B. 997: Statistical Theory, Fourth edition [5] Hjorth, U. 998: Statistis slutledning i eonomi och teni, Studentlitteratur, Lund, tredje upplagan [6] Gustafsson, B. 993: Återförsäring i sadeförsäring, IFU, 5: e upplagan [7] Hogg, Robert V. och Stuart A. Klugman 984: Loss Distributions, Wiley 4

45 43 Appendix Sannolihetsfördelningar Nedan presenteras de sannolihetsfördelningar som har använts i denna rapport. A Lognormalfördelning,, σ µ LogN X Fördelnings- och täthetsfuntion för X 0 }, ln exp{ ln > Φ x x x x f x x F x σ µ πσ σ µ Väntevärde: σ µ+ e X E Varians : + σ σ µ e e X Var σ σ σ σ σ e e e e e X Sevhet Parametersattningar med momentmetoden log log ˆ log log ˆ x x s x s x + + σ µ Parametersattningar med maximum-lielihood-metoden n n x n x n ˆ log ˆ log ˆ µ σ µ

46 A Paretofördelningen, X Pa α, γ Fördelnings- och täthetsfuntion för X α F X α + x f x γα γ α + x, > 0 x γ + γ, x > 0 Väntevärde: α E X, γ > γ γα Varians : Var x, γ > γ γ γ Sevhet X * γ γ +, γ > 3. 5 γ γ 3 Parametersattningar med momentmetoden s + x αˆ x s x αˆ γˆ s x Fungerar ej om γ<. Ty variansen existerar inte då. Parametersattningar med maximum-lielihood-metoden αˆ löses numeris ur a αˆ och b αˆ γˆ n n n n a αˆ a αˆ αˆ αˆ + x αˆ log αˆ + x a ˆ α + b α ˆ där 44

47 A3 Empirisa fördelningen Den antagande vi utgår från är att vi observerar utfallen x,..., xn av n observationer på de oberoende stoastisa variablerna X,... X, alla med samma fördelningsfuntion F. n Den empirisa fördelningsfuntionen sattas som andelen observationer som är mindre än eller lia med x. D.v.s. Fˆ x : x x n A4 Poisson-fördelning, Poλ X, λ>0 λ! λ Sannolihetsfördelning: P X e, 0,,,... Väntevärde: E X λ Varians: Var X λ Sevhet X λ Parametersattningar med momentmetoden λˆ x Parametersattningar med maximum-lielihood-metoden λˆ x 45

48 46 A5 Fördelning för den totala ostnaden Ms, Mn, M betecnar de momentgenererande funtionerna för S, N respetive X som antas existera. Då gäller att [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. log log t M M N P e N P t M N P E e N P N P e E N P N P E e N P N P N E e N P N P N E e E e t M N t M i tx i tx X X t X X t ts ts S i i där Ψ är den umulantgenererande funtion som definieras av t t log M Ψ. Eftersom Ψ t t S λ i Poissonfallet blir den umulantgenererande funtion för S * Ψ Ψ Ψ Ψ t M e t T t N S λ λ Genom att derivera detta uttryc en, två, respetive tre gånger och sätta in t 0, erhåller vi följande relationer mellan umulanterna { } s j, { } N j och { } j för S, N och X :. 3,, N N N S N N S N S + + +

49 47 Det följer att den j: te umulanten för S är [ ] [ ] [ ] * * * 0 * 0 α λ σ α λ µ α α λ λ Ψ S S S j j j S S j S Var S E X E där M

Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB

Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Rederiet Sealine AB har undersöt specialfartygsmarnaden under senaste året för 700 000 r och funnit en lämplig fartygsstorle, som det an tecna ontrat på. Vid

Läs mer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer TNG006 F7 25-04-2016 Centrala gränsvärdessatsen (CGS. Approximationer 7.1. Centrala gränsvärdessatsen Vi formulerade i Sats 6.10 i FÖ6 en vitig egensap hos normalfördelningen som säger att en linjär ombination

Läs mer

Tentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE3 Sannolihet, statisti och ris 215-6-4 l. 8.3-13.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Johan Jonasson, telefon: 76-985223 31-7723546 Hjälpmedel: Typgodänd

Läs mer

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su.

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su. Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ê ÔÖÓ Ð Ö Ö Ö Ò ÓÐ Ú Ö Ä Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½ ostadress: Matematis statisti Matematisa institutionen Stocholms universitet 106 91 Stocholm Sverige Internet: http://www.math.su.se/matstat

Läs mer

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER. L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden

Läs mer

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 juni 8 Ten i ursen HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF ( Tidigare n 6H3), KÖTEORI OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF4, (Tidigare

Läs mer

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara

Läs mer

6.4 Svängningsrörelse Ledningar

6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.166 b) Krafterna i de båda fjädrarna är lia stora och lia med raften på roppen (inses genom att man frilägger roppen och de två fjädrarna var för sig). Kroppens förflyttning

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Jämförande skogsvärderingar för områdesskydd

Jämförande skogsvärderingar för områdesskydd Jämförande sogsvärderingar för områdessydd rapport 6450 otober 2011 Jämförande sogsvärderingar för områdessydd Slutrapport NATURVÅRDSVERKET Beställningar Ordertel: 08-505 933 40 Orderfax: 08-505 933 99

Läs mer

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS012 [UPPDATERAD ] Sannolikhetsteorins grunder

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS012 [UPPDATERAD ] Sannolikhetsteorins grunder LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS02 [UPPDATERAD 2007-09-2] Sannolihetsteori Sannolihetsteorins grunder Följande gäller för sannoliheter:

Läs mer

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour RSA-rytering Torbjörn Tambour RSA-metoden för rytering har den seciella och betydelsefulla egensaen att metoden för rytering är offentlig, medan metoden för derytering är hemlig. Detta an om man funderar

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6): EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer

Läs mer

Om register och imputering av binära variabler. Preliminär version:

Om register och imputering av binära variabler. Preliminär version: Om register och imputering av binära variabler av Thomas Laitila 1,2, Anders Holmberg 1, Emma Snölilja 1 1 Statistisa Centralbrån, SE-701 89 Örebro 2 Handelshögsolan, Örebro universitet, SE-701 82 Örebro

Läs mer

Återförsäkringsbranschens verktyg för att föra över risk från direktbolag till återförsäkringsbolag eller mellan återförsäkringsbolag

Återförsäkringsbranschens verktyg för att föra över risk från direktbolag till återförsäkringsbolag eller mellan återförsäkringsbolag Återförsäkringsbranschens verktyg för att föra över risk från direktbolag till återförsäkringsbolag eller mellan återförsäkringsbolag Denna framställning beskriver branschens grundverktyg såsom typer och

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F10: Intensiteter och Poissonmodeller Frågeställningar Konstant V.v.=Var Cyklister Poissonmodeller för frekvensdata Vi gör oberoende observationer av de (absoluta) frekvenserna n 1, n 2,..., n k från den

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Faktorer som påverkar aktiefondsparandet

Faktorer som påverkar aktiefondsparandet Kandidatuppsats vårterminen 2006 Nationaleonomisa institutionen EKONOMIHÖGSKOLAN VID LUNDS UNIVERSITET Fatorer som påverar atiefondsparandet en studie av fem grupper fondsparare på den svensa atiefondsmarnaden

Läs mer

Identification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm

Identification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm Identification Label Student ID: h Student Name: Elevenät Fysi Solveret Bo Palaszewsi, Proetledare 106 20 Stocholm International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA,

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

5 Klämkraft och monteringsmoment

5 Klämkraft och monteringsmoment 5 Klämraft och monteringsmoment 5 Klämraft och monteringsmoment Målsättningen med ett sruvförband är att sapa en lämraft mellan de sammanfogade delarna. Sruvförbandets målvärde är således dess lämraft.

Läs mer

Uppföljning av Ky- och Yh-utbildning 2011

Uppföljning av Ky- och Yh-utbildning 2011 Uppföljning av Ky- och Yh-utbildning 2011 Tenis rapport 2011-11-28 1(9) Inledning Enheten för statisti om utbildning och arbete vid Statistisa centralbyrån (SCB) genomförde under hösten 2011 en postenät

Läs mer

LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg

LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg Simulering i MINITAB Det finns goda möjligheter att utföra olika typer av simuleringar i Minitab. Gemensamt för dessa är att man börjar

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING III

PROGRAMFÖRKLARING III Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING III Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p./22 Statistik

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

Modellering av kostnaden för excess of loss

Modellering av kostnaden för excess of loss Matematisk statistik Stockholms universitet Modellering av kostnaden för excess of loss återförsäkring Andreas Ericsson Examensarbete 2004:14 Postadress: Matematisk statistik Matematiska institutionen

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

Automatiska registreringar i lösdriftsstallar som indikatorer på begynnande hälsoproblem - Slutrapport

Automatiska registreringar i lösdriftsstallar som indikatorer på begynnande hälsoproblem - Slutrapport Automatisa registreringar i lösdriftsstallar som indiatorer på begynnande hälsoproblem - Slutrapport Inledning För att effetivisera arbetet i stora besättningar är det önsvärt att all information om den

Läs mer

Arbetsutvecklingsrapport

Arbetsutvecklingsrapport Arbetsutveclingsrapport Vad tycer bruarna? Den andra länsgemensamma bruarundersöningen för personer med insatsen bostad med särsild service enligt LSS Författare: Eva Rönnbäc Rapport: nr 2011:7 ISSN 1653-2414

Läs mer

Biomekanik, 5 poäng Kinetik

Biomekanik, 5 poäng Kinetik Teori: F = ma Dessutom gäller, som i statien, Newtons 3: lag! Newtons lagar 1. Tröghetslagen: En ropp utan yttre raftpåveran förblir i sitt tillstånd av vila eller liformig, rätlinjig rörelse.. Accelerationslagen:

Läs mer

Laboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08

Laboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka

Läs mer

STATISTISKA CENTRALBYRÅN

STATISTISKA CENTRALBYRÅN STATISTISKA CENTRALBYRÅN 2013-04-12 1(7) Kalibreringsrapport 1 Inlening I en urvalsunersöning är allti sattningarna behäftae me urvalsfel beroene på att enast en elmäng (urval) av populationen stueras.

Läs mer

Driftskostnader -150 tkr

Driftskostnader -150 tkr Uppgift övning I4: Uppgift nr 1 Bima AB Bima AB tär öppna en biltvättanläggning och har därför öpt in en anläggning som är installerad och färdig att tas i drift vid årssiftet. Följande gäller för biltvättanläggningens

Läs mer

Riktlinjer för rapportering av räntestatistikblankett MIR

Riktlinjer för rapportering av räntestatistikblankett MIR (5) Ritlinjer för rapportering av räntestatistiblanett MIR (200-09-30) 2 2(5) Innehållsförtecning sida Posternas innehåll... 3. Referensperiod... 3.2 Löptidsfördelning av utlåning... 4.3 Definition av

Läs mer

Europaparlamentsval, valdeltagandeundersökningen

Europaparlamentsval, valdeltagandeundersökningen Statistisa centralbyrån SCBDOK 3.2 1 (18) Europaparlamentsval, valdeltagandeundersöningen 2014 ME0110 Inneåll 0 Allmänna uppgifter... 2 0.1 Ämnesområde... 2 0.2 Statistiområde... 2 0.3 SOS-lassificering...

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

Gamla tentauppgifter i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)

Gamla tentauppgifter i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120) Gamla tentauppgifter i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120) Lärandemål I uppgiftena nedan anger L1, L2 respektive L3 vilket lärandemål de olika uppgifterna testar: L1 Ta risker som i förväg är

Läs mer

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P. Stat. teori gk, ht 2006, JW F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.4-5.6) Binomialfördelningen Används som modell i situation av följande slag: Ett slumpförsök upprepas n gånger (oberoende upprepningar). Varje

Läs mer

Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen

Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, HT-16 Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Syftet med den här laborationen

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder I

Bayesianska numeriska metoder I Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall

Läs mer

Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer

Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Information om laborationerna I andra halvan av MASA01 kursen ingår två laborationer.

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:

Läs mer

Oberoende stokastiska variabler

Oberoende stokastiska variabler Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 013-08-7 Examinator och jour: Mattias Sunden, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkänd räknare och formelsamling (formelsamling delas ut med tentan). Betygsgränser:

Läs mer

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tid: Måndagen den 2015-06-01, 8.30-12.30. Examinator och Jour: Olle Nerman, tel. 7723565, rum 3056, MV, Chalmers. Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 31:E MAJ 2012 KL 08.00 13.00. Examinator: Tobias Rydén, tel 790 8469. Kursledare: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466.

Läs mer

Föreläsning 8: Konfidensintervall

Föreläsning 8: Konfidensintervall Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga

Läs mer

4. Stokastiska variabler

4. Stokastiska variabler 4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan

Läs mer

Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar.

Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar. Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysialisa lagar. 1. Newtons gravitationslag och Newtons andra lag. Vi placerar ett rätvinligt oordinatsystem i solsystemet med solens medelpunt

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Instruktioner för rapportering av räntestatistikblankett MIR

Instruktioner för rapportering av räntestatistikblankett MIR 1 1(13) Instrutioner för rapportering av räntestatistiblanett MIR NOVEMBER 2014 Rapporteringen av räntestatisti för monetära finansinstitut (MFI) görs i den så allade MIR-blanetten. I RBFS 2014:2 ges generella

Läs mer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, TORSDAGEN DEN 7 JUNI 2012 KL 14.00 19.00 Examinator:Gunnar Englund, 073 3213745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Kalibreringsrapport. Bilaga 1(6)

Kalibreringsrapport. Bilaga 1(6) Bilaga 1(6) Kalibreringsrapport 1 Inlening I en urvalsunersöning är allti sattningarna behäftae me urvalsfel beroene på att enast en elmäng (urval) av populationen stueras. Ett annat fel uppommer om vi

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 15 december 2010 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

Statistisk analys av komplexa data

Statistisk analys av komplexa data Statistisk analys av komplexa data Trunkerade data och Tobitregression Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 10, 2015 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Trunkerade data

Läs mer

Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT2007. Laboration. Simulering

Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT2007. Laboration. Simulering Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT007 Laboration Simulering Grupp A: 007-11-1, 8.15-.00 Grupp B: 007-11-1, 13.15-15.00 Introduktion Syftet

Läs mer

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer Om användning av potensserier på ombinatori och reursionsevationer Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmailcom Sammanfattning Vid analys av både ombinatorisa problem och för att lösa reursionsevationer

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

ARIMA del 2. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

ARIMA del 2. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 8 ARIMA del 2 Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 28 Undersöker funktionerna ρ k och ρ kk Hittills har vi bara sett hur autokorrelationen och partiella autokorrelationen ser ut matematiskt

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15 Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 6 april 004, klockan 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad

Läs mer

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2011-10-28 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade

Läs mer

Fördjupad dokumentation av statistiken

Fördjupad dokumentation av statistiken Jordbrusveret FÖRDJUPAD DOKUMENTATION AV STATISTIKEN 1(30) Fördjupad doumentation av statistien Arrendepriser på jordbrusmar 2008 Referensperiod: 2007-2008 Produtod(er): JO 1002 Senast uppdaterad: 2009-08-24

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid:

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen 013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka

Läs mer

Statistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs

Statistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs Statistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs TE/RC Datorövning 4 Syfte: 1. Lära sig beräkna konfidensintervall och täckningsgrad 2. Lära sig rita en exponentialfördelning 3. Lära sig illustrera

Läs mer

Gamla tentamensuppgifter i stokastik

Gamla tentamensuppgifter i stokastik Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Gamla tentamensuppgifter i stokastik Hjälpmedel: Godkänd räknare och utdelade formelblad OBS Motivera lösningarna i rimlig omfattning. Exakta svar skall helst

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A0 och STA A3 (9 poäng) 6 januari 004, kl. 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogade formel-

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematisk statistik MSTA16, Statistik för tekniska fysiker A Peter Anton TENTAMEN 2004-08-23 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistik för tekniska

Läs mer

Monte Carlo-simulering. EG2205 Föreläsning 15 18, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Monte Carlo-simulering. EG2205 Föreläsning 15 18, vårterminen 2015 Mikael Amelin Monte Carlo-simulering EG2205 Föreläsning 15 18, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Tillämpa Monte Carlo-simulering för att beräkna förväntad driftkostnad och risk för effektbrist på en elmarknad,

Läs mer

b) Förekommer A- och B-fel oberoende av varandra? (Motivering krävs naturligtvis!) (5 p)

b) Förekommer A- och B-fel oberoende av varandra? (Motivering krävs naturligtvis!) (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FREDAGEN DEN 8 MAJ 010 KL 14.00 19.00. Eaminator: Gunnar Englund, tel. 79074 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Vektorberäkningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall vi träna på

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Vad är statistik?

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2014-06-05 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Jesper

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

2010-08-30 Fysikexperiment, 7.5 hp 1

2010-08-30 Fysikexperiment, 7.5 hp 1 Presentation av data Medelvärde av grupperade data Slumptal Gränsvärdesfunktioner Normalfördelningsfunktionen Parameterbestämning Minsta kvadratmetoden 010-08-30 Fysikexperiment, 7.5 hp 1 1 Presentation

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Exciterat tillstånd hos β-naftol.

Exciterat tillstånd hos β-naftol. Exciterat tillstånd hos β-naftol. Laboration på ursen emis fysi Exciterat tillstånd hos β-naftol. nledning den här laborationen sa vi med hjälp av absorptions- och fluorescensmätningar studera protolysen

Läs mer

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Repetition Kvantil Presentation Slumptal Transformer Inversmetoden Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 13 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F3 1/19 Repetition

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

Anvisningar till del 2 av den obligatoriska inlämningsuppgiften (HT 2007)

Anvisningar till del 2 av den obligatoriska inlämningsuppgiften (HT 2007) Statistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber & Nicklas Pettersson 007-1-06 Anvisningar till del av den obligatoriska inlämningsuppgiften (HT 007) Den obligatoriska inlämningsuppgiften består av två

Läs mer

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)

Läs mer

1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-04. 2.2 Angående grafisk presentation

1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-04. 2.2 Angående grafisk presentation LUNDS TEKNISKA HÖSKOLA ATEATIKCENTRU ATEATISK STATISTIK ATEATISK STATISTIK, AK FÖR L, FS 33, HT-4!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av begreppen

Läs mer