Analys av polynomfunktioner
|
|
- Birgitta Abrahamsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Anals av polnomfuntioner Anals360 (Grundurs) Blandade uppgifter När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort. Tän igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tdligt har srivit ner dem, så att en oberoende person an förstå hur du resonerat (även om de inte förstår själva lösningen). Det är lätt att slarva med den delen, men den är nästan mer lärori än att lösa talet. Disutera gärna med en amrat om hur man bör sriva ner lösningen! Lösningar till dessa uppgifter sa inte massproduceras eller läggas ut på internet! Övning Bestäm en funtion f () för vilen a) f ( + ) = 3 +, för alla reella, b) f (/) = + + för alla = 0, c) f ( + ) = + för alla = 0. Övning Rita graferna till funtionerna + då a) f () = + då < då > då < 0 b) g() = + då 0 < då Övning 3 Figuren nedan föreställer grafen = f () för en funtion f Sissera i en figur följande grafer: = f (), = f ( ), = f ( + ), = f (), = f ( ). Övning 4 Vid en järnvägsstation fanns för påfllning av ånglo en vattentan som rmmer 5000 liter. Vid ett tillfälle flldes tanen helt. Efter 0 minuter ontrollerades tanen och man upptäcte att den sprungit läc: vattennivån hade sjunit till 3700 liter. Efter tterligare 7 minuter var nivån nere på 00 liter. Vi antar att läcaget var onstant, att lia mcet vatten rinner ut per seund hela tiden. a) När hade tanen varit tom om inget hade gjorts? b) När uppstod läcan? c) Eftersom man snart väntade sig ett tåg som måste få vatten, beslutade man sig för att försöa flla tanen utan att först täta läcan. Påfllningsröret hade apacitet att ge ett onstant vattenflöde på 600 liter/minut. Den na påfllningen påbörjades 4 minuter efter den sista mätningen av vattennivån. Hur lång tid tog det att flla tanen? d) 6 minuter efter att den na påfllningen påbörjats, anlände tåget. Hur mcet vatten fanns då i tanen? e) Hur stor apacitet borde påfllningsröret ha haft för att unna flla tanen på 6 minuter? Övning 5 Är funtionen en ontinuerlig funtion? då = f () = 3 då = Övning 6 Bestäm onstanterna a och b så att blir deriverbar. f () = { + a + b då + då > Övning 7 För vila värden på parametrarna a och b är funtionen f () = { b, 0 < 5 + a, > ontinuerlig. För vila värden är den deriverbar? Övning 8 a) Beräna f () = = ( + ) för alla och avgör om vi får en ontinuerlig funtion av. b) Om f () inte är ontinuerlig, an vi då ändra dess värde i en enda punt och få den ontinuerlig? Vilen punt och vilet värde i så fall? Övning 9 Sätt f () = och g() = 3. Beräna alla särningspunter mellan funtionernas grafer och ange för vila som f () > g(). Övning 0 Från toppen av det lutandet tornet i Pisa (höjd 54.5 m) astar man en sten rat uppåt med hastigheten 7.8 m/s på så sätt att den på nervägen faller till maren. Efter hur lång tid träffar stenen maren, om man bortser från luftmotståndet? Tngdaccelerationen är 9.8 m/s. Övning Från Eiffeltornets topp (höjd över maren: 89 m) sjuter man en pistolula rat upp i luften. Kulan slår i maren med en hastighet av 00 m/s. a) Hur högt har ulan varit? b) Hur lång tid har ulans luftfärd tagit? Man bortser från luftmotståndet och tngdaccelerationen sätts till 9.8 m/s. Övning En turistbuss an ta 50 passagerare och hrs ut av ett bussbolag till grupper på mellan 35 och 50 personer. Om gruppen omfattar precis 35 personer blir ostnaden 300 r/person. För större grupper reduceras ostnaden så att per capita-ostnaden minsar med 5 r för varje etra gruppmedlem (utöver antalet 35). Vilen gruppstorle ger störst inomst för bussbolaget? Övning 3 En äppelträdgård ger en viss dag 00 g äpplen som då an säljas för 4 r/g. Väntar odlaren med att sörda ommer sörden att öa med 0 g äpplen per veca, men ilopriset han an sälja för minsar ontinuerligt med 0 öre per veca. Vid vilen tidpunt sa han sörda för att maimera sin vinst?
2 Övning 4 Bestäm evationen för tangenten till urvan = 3 8 i de punter där den sär -aeln samt i de punter där den sär - aeln. Övning 5 Bestäm evationen för tangenten till urvan i de punter där den sär -aeln. = Övning 6 Bestäm i vilen punt tangenten i punten (, 3) till urvan = sär -aeln. Övning 7 Bestäm särningspunterna mellan parabeln = och dess normal i punten (a, a ). Övning 8 I vila punter på urvan = är dess tangent parallell med -aeln? Bestäm ocså de punter i vila tangenten är parallell med linjen =. Övning 9 En bilist ser att trafiljuset 65 m framför honom slår över till gul-grönt. Han vet att signalen ommer att slå över till rött 5 seunder senare och börjar öa farten så att accelerationen hela tiden är onstant. Efter seund visar hastighetsmätaren 36 m/h och efter tterligare seund på 45 m/h. Kommer han att passera trafiljuset innan det visar rött? Övning 0 Över vila intervall är funtionen f () = en väande funtion? Övning Visa att evationen = 0 har precis en rot i vart och ett av intervallen ]0, [, ], [ och ], 3[. Anmärning Motivera först varför det finns minst en rot i vart och ett av intervallen. Hur får man därefter att det finns precis en rot i varje intervall? Övning Sissera grafen till följande funtioner: a) b) c) d) Övning 3 Låt f () = a) Bestäm alla stationära punter till f. Bestäm ocså de intervall där f är väande respetive avtagande. Har funtionen ett största/minsta värde? b) Om vi som definitionsmängd endast tar 0, har f då ett största/minsta värde? Bestäm i så fall dessa. Vad gäller om definitionsområdet är < 0? Övning 4 Bestäm antalet reella nollställen till polnomet Bestäm därefter ett intervall som har längden och som säert innehåller minst ett av dessa nollställen. (Försö inte gissa en rot och glöm inte att motivera dina påståenden.) Övning 5 Sissera urvorna a) = ( )( )( 3) b) = ( ) Övning 6 Ur en trädstam i form av en ra cirulär clinder med radien r sall sågas en bal med retangulärt tvärsnitt. Böjmotståndet W hos en sådan bal ges av formeln W = 6 där betecnar bredden och höjden av retangeln. Hur sall balen dimensioneras för att böjmotståndet sall bli maimalt? Övning 7 Bestäm alla loala etrempunter och deras tp till funtionen f () = ( + )( + ) 4. Övning 8 Bestäm den mest eonomisa hastigheten och den minsta ostnaden för en 300 m lång transport med lastbil under följande förutsättningar: Chaufförens timpenning är 86 r och olja och drivmedel ostar 6 r/l. Vid hastigheten m/h förbruar lastbilen + /300 liter olja och drivmedel per timme. Vidare antas Övning 9 Vilen punt på parabeln = ligger närmast origo? Anmärning När man sa minimera ett avstånd an man minimiera avståndet i vadrat. Varför? Det blir enlare eftersom man slipper hantera en vadratrot. Övning 30 Ett 8 cm långt snöre lipps i två bitar så att den ortaste biten är minst 4 cm. Den ena biten används för att forma en vadrat och den andra biten för att forma en cirel. Hur sa snöret lippas och bitarna formas för att summan av vadratens och cirelsivans area sall bli a) minimal? b) maimal? Övning 3 Bestäm största och minsta värde av uttrcet då,. + Övning 3 Om, är två ice-negativa tal, vilet är det största och minsta värde som uttrcet 3 an anta om summan av talen sa vara? Övning 33 En fabri sa tillvera clinderformade metallburar vars basdiameter och höjd tillsammans sa vara 9 längdenheter. Hur stor an volmen hos en sådan bur maimalt vara? Svara i volmenheter. Övning 34 Bestäm alla polnom av lägsta möjliga grad som är sådana att de är noll då = 0, har en terrasspunt där, samt har ett loalt minimum i = och ett loalt maimum i =. Vad gäller för polnomet då och då? Övning 35 Bestäm alla fjärdegradspolnom p() sådana att a) punten = 0 är en loal etrempunt till p() och motsvarande värde är, b) p() är en jämn funtion, d.v.s. p( ) = p() för alla, c) högstagradsoefficienten har absolutbeloppet, d) p() har ett största värde som är 3. Övning 36 Funtionen f () = 3 + b +, där b är ett reellt tal, har en loal minimipunt i =. Finn alla loala etrempunter till f samt ange deras aratär. Övning 37 Per, som är lantbruare, sa bgga en silo för förvaring av säd. Den sa bestå av en (ra, cirulär) clinder ovanpå vilen en halvsfär är lagd som ta (samma radie som clindern). Kostnaden för väggen (alltså clindern) är 000 r per m, medan ostnaden
3 för taet är 4000 r per m. Han an doc endast spendera summan 44000π r totalt, och för det priset vill han ha så stor volm som möjligt. Hur sa silon dimensioneras? Golv sa inte läggas. Övning 38 Bestäm den onstanta termen (d.v.s. den term som sanar ) i polnomet ( + 3 ) Övning 39 Vilen är högstagradstermen i ( 3 ) 6 ( 4 + 3)? Övning 40 Koefficienten för 8 i utveclingen av (a + ) 0 är 80. Bestäm möjliga värden på onstanten a. Övning 4 Bestäm oefficienten för 3 -termen i polnomet 3 5 ( + )( ) 9. Övning 4 Lös oliheten ( ) <. Övning 43 Visa de två identiteterna n =0 = n och att udda = jämn. Övning 44 Visa att + = ( ) ( ) n n +. Anmärning Denna identitet ger upphov till en metod att beräna binomialoefficienterna reursivt som allas Pascals triangel. Dess fem första rader är Kan du förlara hur den är onstruerad? Övning 45 Bestäm oefficienten framför 50 i polnomet ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Övning 46 Visa att om f är deriverbar i punten a så gäller att f (a) = lim h 0 f (a + h) f (a h) h. Om vi istället tog som vår definition av derivata att detta gränsvärde eisterar, sulle då samma funtioner bli deriverbara? Kan du ge ett eempel på en funtion som är deriverbar med denna definition, men inte med den ritiga? Övning 47 En funtion f har följande Maclaurinutvecling: f () = B(), där B() är en begränsad funtion i en omgivning av = 0. Vad är f (0) och f (5) (0)? Övning 48 Nedan är en datorritad graf till en funtion. Sissera så gott du an grafen till dess derivata.
4 Svar Övning a) f () = ( ) 3( ) + = Övning 3 Efter 5 vecor Övning 4 = 4 respetive = 8 b) f () = + + c) f () =. Övning a) till vänster och b) till höger Övning 5 = då = 0, = då = och = 4 då =. Övning 6 = / Övning 7 (a, a ) samt, om a = 0, ( (a + a ), (a + a ) ). Övning 8 Den är parallell med -aeln då = och då = 3. Den är parallell med = då = ± / Övning 9 Ja Övning 0 Då [4, ) och (, ]. Övning 3 Kurvorna är i grafen nedan enligt färgerna: blå: = f (), röd: = f ( ) (som har definitionsområdet [, 0]), grön: = f ( + ) (med definitionsområde [, ]), brun: = f () (med definitionsområdet [0, ]) samt svart: = f ( ) (med definitionsområde [, ]). Övning Använd först satsen om mellanliggande värden. I slutargumentet der fatorsatsen upp. Övning Se nedan a) b) c) d) Notera att f ( ) = f ( ( )), så den svarta urvan är en förflttning av den röda ett steg till höger. Övning 4 a) 6. min b) 4.3 min c) 0.3 min d) 3.44 L e) 864 L/min Övning 5 Ja Övning 6 a = och b = 3. Övning 7 Den är ontinuerlig om a = för alla b, men deriverbar endast om dessutom b = 9. Övning 8 a) f () = om = 0, men f (0) = 0 b) Sätt den till i = 0. Övning 9 Särningspunterna är ( +, 4 3 ) och (, ). Oliheten är uppflld då < eller > +. Övning 0 4. s Övning a) 50 m b) 6.9 s Anmärning Börja med att betrata fallet då man står på maren och sjuter iväg ulan med en utgångshastighet av 00 m/h. Vilen höjd når den, och hur länge är den i luften? Med vilen hastighet slår den i maren? Vilen är nu relationen mellan detta problem och det i uppgiften? Övning grupper om 47 och 48 personer ger båda maimal inomst. (Andragradsfuntionen har maimum i.5, men lösningen måste vara ett heltal.) Övning 3 a) De stationära punterna är = och =. Funtionen är avtagande i (, ] och väande i [, ) ( = är en terrasspunt). Den antar sitt minsta värde /6 då = / men sanar största värde. b) Ja, största värdet 080 antas då = 0. Det minsta som tidigare. Däremot finns inget största värde om definitionsområdet är < 0 (funtionen an då omma godtcligt nära värdet 080 men inte anta det). Övning 4 Ett nollställe i intervallet ( /, 0). Övning 5 a) till vänster och b) till höger Övning 6 Bredden sa vara 3r 3 och höjden 6r 3. Övning 7 I = är där ett loalt maimum och i = 6/5 ett loalt minimum. Övning 8 hastigheten är 70 m/h och ostnaden 840 r. Övning 9 Punterna (±/, /).
5 Övning 30 a) Kvadratens snöre sa vara π+4 cm och cirelns snöre π+4 8π cm. b) Kvadratens snöre sa vara 4 cm och cirelns snöre 4 cm. Övning 3 Sätt t =. Då gäller det att hitta största och minsta värde av g(t) = t + t = (t ) 4 då t. Minsta värdet är alltså /4 och antas då = /, medan största värde är och antas då =. Övning 3 Största värde är 7 64, minsta är noll. Övning 33 7π v.e. Övning 34 Derivatan sa vara (gör en tecentabell) proportionell mot ( )( + ) = 4. En funtion som har det polnomet som derivata är p() = 5 /5 3 /3. Svaret är därför alla funtioner på formen Ap() där A är en positiv onstant. Övning 35 p() = Övning 36 = är en loal minimipunt och = /3 är en loal maimipunt. Övning 37 Silons radie sa vara 3 m och dess höjd 6 m. Funtionen som sa maimeras är Övning Övning Övning 40 a = ±/8. Övning 4 67 V(r) = π(36r 4r 3 /3), 0 < r < 8. Övning 4 < < och = 0. Denna uppgift an lösas både med hjälp av anals och genom att enbart arbeta algebraist. I båda fallen blir det enlare om man först gör variabelbtet t =. Övning 43 Använd binomialteoremet. Övning 44 Det är bara att räna på med hjälp av definitionen av binomialoefficienterna. ( ) 00 Övning Övning 46 Med den definitionen sulle f () = bli deriverbar även i origo och där ha derivatan noll. Övning 47 f (0) = 0, f (5) (0) = 0. Övning 48 Derivatan i rött 0 3 0
IV. Ekvationslösning och inversa funktioner
Analys 360 En webbaserad analysurs Grundbo IV. Evationslösning och inversa funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com IV. Evationslösning och inversa funtioner 1 (11) Introdution
Läs merProv i matematik Fristående kurs Analys MN1 distans UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström
UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Anders Källström Prov i matemati Fristående urs Analys MN1 distans 6 11 Srivtid: 1-15. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna sall åtföljas av förlarande
Läs merL HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.
L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning det finns ett tal k så att A=kB
MATEMATISK MODELLERING Att ställa upp en differentialevation som besriver ett förlopp Följande uttryc används ofta i olia problem som leder till differentialevationer: Text A är proportionell mot B (A
Läs merTentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag
Tentamen SF1661 Perspetiv på matemati Lördagen 18 februari 01, locan 09.00 1.00 Svar och lösningsförslag (1) Sissera den mängd i xy-planet som består av alla punter som uppfyller oliheten (x + ) + (y )
Läs merYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden PROVET I MATEMATIK, LÅNG LÄROKURS 5.9. BESKRIVNING AV GODA SVAR De besrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens
Läs merSvar till tentan
UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Sigstam, Styf Prov i matemati Alla program o frist urs ENVARIABELANALYS 0-08- Svar till tentan 0-08-. Del A Bestäm alla punter P 0 på urvan y = x + sådana att
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematis analys 0820. Stationära punter. f (x, y) = 8x(x 2 y), f 2(x, y) = 4(y x 2 )). Vi ar alltså att f (x, y) = f 2(x, y) = 0 { x(x 2 y) = 0 y x 2 = 0. Första evationen ovan är uppfylld
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs merKursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:
Inlämningsuppgifter i Funtionsteori För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa. Enligt
Läs merLösningar kapitel 10
Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merOm användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer
Om användning av potensserier på ombinatori och reursionsevationer Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmailcom Sammanfattning Vid analys av både ombinatorisa problem och för att lösa reursionsevationer
Läs merYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 0..0 BESKRIVNING AV GODA SVAR De besrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens bedömning.
Läs mer3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
Läs merDigital signalbehandling Kamfilter och frekvenssamplande filter
Institutionen för eletroteni 999--9 Kamfilter och frevenssamplande filter I frevenssamplande filter utgår vi från en filterstrutur som har ett stort antal nollställen i frevensgången och modellerar filtrets
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs merLösningar till problemtentamen
KTH Meani 2006 05 2 Meani b och I, 5C03-30, för I och BD, 2006 05 2, l 08.00-2.00 Lösningar till problemtentamen Uppgift : En platta i form av en lisidig triangel BC med sidolängderna a och massan m står
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merLösningsförslag, v0.4
, v.4 Preliinär version, 6 februari 28, reservation för fel! Högsolan i Sövde Tentaen i ateati Kurs: MA52G Mateatis analys MA23G Mateatis analys för ingenjörer Tentaensdag: 27-5-2 l 8:3-3:3 Hjälpedel :
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs mer12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER
122 12 NUMERISKA SERIER 12. Numerisa serier Vi har tidigare i avsnitt 10.9 sett ett samband mellan summor och integraler. Vi har ocså i avsnitt 11 definierat begreppet generaliserade integraler och för
Läs merbetecknas = ( ) Symmetriska egenskaper hos derivator av andra ordningen. (Schwarzs sats)
PARTIELLA DERIVATOR Partiella derivator deinieras enom ränsvärden Deinition Låt vara en reellvärd untion deinierad på en öppen mänd n n Ω R Den partiella derivatan av i punten Aa a n Ω med avseende på
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L - 00 S 600 = 3 3 5 3850 = 5 7 847 = 7 största gemensamma delare till 600 och 3850: 5 minsta gemensamma multipel till 3850 och 847: 5 7 S a) +6+9 b)
Läs merProv 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9
Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merLösningsförslag till tentamen MVE465, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf
Lösningsförslag till tentamen MVE4, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf 64 l. 8.3.3 Examinator: Thomas Wernstål, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat:, telefon: Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
Läs merRepetitionsuppgifter. Geometri
Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna
Läs merPotensserier och potensserieutvecklingar av funktioner
Analys 36 En webbaserad analysurs Analysens grunder Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com Potensserier och potensserieutveclingar
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA4 7-3-7. Funktionen f() 5 arctan + 4 arctan(/), med den föreskrivna definitionsmängden D f { R : > }, ar derivatan f () 5 + () + 4 ( / ) + (/) + 4 4 + + (4 + 6 ) ( + )( + 4 ) Detta
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merHur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar.
Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysialisa lagar. 1. Newtons gravitationslag och Newtons andra lag. Vi placerar ett rätvinligt oordinatsystem i solsystemet med solens medelpunt
Läs mer1 Jag själv lärde om detta av en kollega som, kanske, heter Joel Andersson
1 Kryptering 11 Vi sall 1 idag titta lite på ryptering, och mera specifit hur elliptisa urvor används i ryptering, såallad ECDSA Vi sall ocså se ett atuelt exempel på hur detta inte sall användas 12 Problemet
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merDeltentamen. TMA044 Flervariabelanalys E2
Deltentamen godäntdelen, del TMA44 Flervariabelanalys E 4-9-7 l. 8:3-:3 Eaminator: Peter Hegarty, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merBiomekanik, 5 poäng Kinetik
Teori: F = ma Dessutom gäller, som i statien, Newtons 3: lag! Newtons lagar 1. Tröghetslagen: En ropp utan yttre raftpåveran förblir i sitt tillstånd av vila eller liformig, rätlinjig rörelse.. Accelerationslagen:
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på sammandragningarna.
Uppsala Universitet Matematisa Institutionen Bo Styf Basurs, 5 hp Distans 0-0-3 Genomgånget på sammandragningarna. Sammandragning, 5/ 0: Handlade om ombinatori multipliationsprincipen, permutationer, ombinationer,
Läs merInlämningsuppgifter i Funktionsteori, ht 2018
Inlämningsuppgifter i Funtionsteori, ht 208 För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa.
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen
013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs merInlämningsuppgifter i Funktionsteori, vt1 2012
Inlämningsuppgifter i Funtionsteori, vt1 01 För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa.
Läs merInledande kurs i matematik, avsnitt P.4
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.4 P.4. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen f() = +. så ser vi att den har värdemängden [0, ). Eftersom funktionen G har utseendet någonting där
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merdt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.
Lösningsförslag till tentamenssrivning i SF633 Differentialevationer I Måndagen den 5 otober 0, l 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handboo Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräningar och
Läs mer2. Vid konsumtionen av varorna X och Y har en person nyttofunktionen
Tidigare prov i Matematik A. Eempel 1. Tillåtet hjälpmedel: Miniräknare enligt Utbildningsnämndens beslut. Formler och uträkningar skall redovisas. Lösningar skall vara väl motiverade och lätt kunna följas.
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 26..208 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar
Läs merKOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merMatematisk statistik
HF, repetitionsblad Mateatis statisti Uppgift Fördelningsfuntionen för en ontinuerlig stoastis variabel X är F ( x) cx x < x x > Bestä värdet på onstanten c, edianen och täthetsfuntionen för X a) Enligt
Läs merExperimentversion av Endimensionell analys 1
Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker
Läs merTips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.
ASYMPTOTER Definition. Den räta linjen är en lodrät (vertikal) asmptot till funktionen om å dvs om minst en av följande påståenden gäller lim, lim, lim lim Tips : Vertikala asmptoter kan finnas bland definitionsmängdens
Läs merKurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 25 augusti 2017 Skrivtid 8:00 12:00
Kurs: HF9 Matemati Moment TEN Linjär lgebra Datum: augusti 7 Srivtid 8: : Eaminator: rmin Halilovic För godänt betyg rävs av ma poäng. etygsgränser: För betyg D E rävs 9 6 respetive poäng. Komplettering:
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten > 4 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3( ) < (3 + ), och uttrck lösningen som ett intervall
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM79 08-0-04 a Binomialsatsen medför att b Eftersom 5 = 3 + 4i 3 i 5 5 k 5 k k = 3 5 80 4 + 80 3 40 + 0 4i 3 = 3 + 4i3 + i 0 gäller att realdelen blir 9 4 + 3 = + i3 5 = 9 + i3, c Summan
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 07-06-0 - Lösningssisser. y ( ) y( ) e är linjär av första ordningen. Välj integrerande fator Multipliation av (*) med IF ger oss IF ln( ) e d e (Obs! ty vi har y(0) 0 ). ( )
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()
Läs merSvar och anvisningar till arbetsbladen
Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merInlämningsuppgifter i Funktionsteori, vt 2016
Inlämningsuppgifter i Funtionsteori, vt 2016 För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa.
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merUppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB
Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Rederiet Sealine AB har undersöt specialfartygsmarnaden under senaste året för 700 000 r och funnit en lämplig fartygsstorle, som det an tecna ontrat på. Vid
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merx 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).
Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merTATM79: Föreläsning 4 Funktioner
TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merx 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs merAnalys av polynomfunktioner
Aals av polomfutioer Aals36 (Grudurs) Istuderigsuppgifter Dessa övigar är det tät du sa göra i aslutig till att du läser huvudtete. De flesta av övigara har, om ite lösigar, så i varje fall avisigar till
Läs mera k . Serien, som formellt är följden av delsummor
Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematisa Institutionen KTH Lösningar till tentamenssrivning på ursen Disret Matemati, moment A, för D2 och F, SF161 och SF160, den 9 mars 2009 l 14.00-19.00. DEL I 1. (p Lös reursionsevationen med
Läs merAlgebra och talteori MMGL31
Algebra oh talteori MMGL3 Lärarprogrammet, Göteborgsuniversitet VT 008 Samuel Bengmar Lite om mig Dotorerat i Algebrais geometri Letor vid Matematisa vetensaper, Chalmers oh Göteborgs universitet Anställd
Läs merKONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:
KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson oc Staffan Linnæus Niclas
Läs merNär vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)
GRAFRITNING För att skissera (rita) grafen till en funktion y f () undersöker vi först några viktiga egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med och y-aeln, gränsvärdena f ( ), f ( )
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs merAnalys o linjär algebra. Fortsatt analys.. p.1/81
Analys o linjär algebra Fortsatt analys. p.1/81 Konvergenshastighet Har sett att bisetion och fixptsiteration, under lämpliga förhållanden, ger en följd, dvs onvergerar mot en lösning till den givna ev.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014
SF1626 Flervariabelanals Tentamen Måndagen den 26 maj, 214 Skrivtid: 14:-19: Tillåtna hjälpmedel: inga Eaminator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fra poäng. Del A
Läs merx(t) =A cos(!t) sin(!t)
Lösningsförslag. Rörelseevationen för roen ger som vanligt ẍ +! =,! = som tillsamman med begynnelsevilloren () = A, ẋ() = ger a) Så varför mavärdet av hastighetens belo är!a. q m A (t) =A cos(!t) ẋ(t)
Läs mer