Algebra och talteori MMGL31

Transkript

1 Algebra oh talteori MMGL3 Lärarprogrammet, Göteborgsuniversitet VT 008 Samuel Bengmar

2 Lite om mig Dotorerat i Algebrais geometri Letor vid Matematisa vetensaper, Chalmers oh Göteborgs universitet Anställd på Chalmers, men undervisar på båda universiteten. Driver Resursentrum MV Programansvarig Informationteniprogrammet på Chalmers Gift oh har tre barn. Bor i Billdal men just nu i Durban, Sydafria

3 Lite om er På övningen vill jag höra lite om er: Namn Inritning oh åldersgrupp Pendlar Personligt

4 Kursintrodution

5

6

7

8 På distans - Mindre personlig ontat Jobbigare att ommuniera Säert lite tenistrul Variation Nya pedagogisa lärdomar Borde anse ingå i lärarutbildning? Låt oss tillsammans försöa göra detta till en bra oh lärori upplevelse.

9

10

11

12

13

14

15

16 Oej, då börjar vi

17 Pytagoreisa trippler Minns pytagoras sats: a b Definition En trippel (a,b,) av nollsilda heltal som uppfyller sambandet a b allas en pytagoreis trippel. Eempel (a,b,)(3,4,5) (a,b,)(6,8,0)

18 Hur hittar man dem? Man an leta på måfå men det ger myet sällan en pytagoreisa trippel Ej heltal 5 Har man väl hittat en, (a,b,), finns oändligt många eftersom om d är ett heltal så är även (da,db,d) en pytagoreis trippel då ( da ) ( db) ( d) d ( a b ) d a b

19 Primitiva pytagoreisa trippler Definition En primitiv pytagoreis trippel (PPT) är en pytagoreis trippel som uppfyller SGD(a,b,). Eempel

20 Fler eempel från Plimpton3

21 I bas 60 width diagonal. :59 :49. 56:7 :0:5 3. :6:4 :50: :3:49 5:09:0 5. :05 : :9 8: : 59:0 8. 3:9 0: :0 :49 0. ::4 :6:0. 45 :5. 7:59 48:49 3. :4 4: :3 53: :46

22 I deimalform width diagonal

23 Att finna PPTer Hur fann babylonierna dessa? Jag vet inte men vi sall ni se två sätt på vilet vi an finna alla PPTer. Vi sall börja med ett talteoretist sätt oh sedan sall vi se ett geometrist sätt. Båda metoderna använder myet algebra.

24 Först lite repetition: delbarhet Definition Heltalet m sägs dela heltalet n om det finns ett heltal så att nm. Man sriver m n. Eempel 3 eftersom 3 4

25 Mer repetition: ongruens Definition Två heltal oh y sägs vara ongruenta modulo n om n -y. Man sriver y mod n eller n y Mängden av alla ongruenslasser utgör en mängd som vi betenar Z n. Obs: Varje tal är ongruent med något av talen 0,, n- modulo n, dvs Z n {0,,,,n-}. Eempel , (paritet bevaras vid vadrering) 0 4 0, 4, 4 0, 3 4 (inga vadrater 4 eller 3)

26 Talteoretis metod Vi söer bara primitiva pytagoreisa trippler Betrata a b Om a oh b jämna: är jämn, dvs ej primitiv a oh b udda: betrata evationen mod 4. I VL är varje term eftersom vadrat av udda är mod 4. Detta ger att VL 4. Men HL är vadrat oh sådana an inte bli mod 4. a udda, b jämn: ger udda. Slutsats: a oh udda, b jämn.

27 Talteoretis metod Antag att (a,b,) är en PPT. Flyttar över b i oh får Påstående. SGD(,y).. oh y är vadrater ( )( ) y b b y b b b a b a

28 Bevis för påstående : SGD(,y) Antag att d delar oh y. Då måste d även dela deras summa, differens oh produt dvs d y d ( b) ( b) d d y d ( b) ( b) d d ( y)( y) d a b Eftersom b oh inte har någon gemensam delare (de är relativt prima) så ger de två översta att d. Den nedre ger att d är udda eftersom a är udda. Slutsats: d, dvs enda delaren till oh y är.

29 Bevis för påstående : oh y är vadrater Minns att om p primtal gäller att p nm p n eller p m Tag en godtylig primtalsfator p i y. Då ommer p dela den ena fatorn, säg. Den an då inte dela y (eftersom oh y är relativt prima). Eftersom p a måste p a, dvs p a y. Slutsats varje primtalsfator föreommer ett jämnt antal gånger i, dvs är en vadrat. Pss med y.

30 Sätter nu, dvs Löser nu ut a,b oh där > t s t y s t s y t s y b st y a ( )( ) t y b s b t s y b b b a

31 Slutsats ( a, b, ) ( st, s t, s t ) Där s oh t är udda heltal som uppfyller s>t ger alla primitiva pytagoreisa trippler.

32 Geometris metod Ser att a b a b Söer nu rationella punter på irel y Eempel

33 (, y) Linjens evation ym. Vår linje passerar (-,0) ger att dvs y ( ) ( ) m m 0

34 Särningspunt mellan linje oh irel Evationsystem Ger dvs en andragradsevation i. ( ) y y ( ) ( ) ( ) ( )

35 Löses med polynomdivision dvs För den andra särningspunten gäller att ( ) ) ) (( ) ( ) ( ) ( y

36 Får nu PPTer Givet rationell lutning ), ( ) ) (, ) ( ) ( ( ), ( ), ( v u uv v u v u v u v u v u v u b a v u u v uv b u v a

37 Övning i eftermiddag Sal MVF33 Denna gång loan utan paus. Uppgifterna inte alltid fullständigt lösbara, te i.4 är frågan: Tror du att