SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del I

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del I"

Transkript

1 SF2715 Tillämpad ombinatori Kompletterande material och övningsuppgifter Del I Jaob Jonsson 2 augusti 2009 Detta häfte innehåller ompletterande material till Del I av ursen SF2715 Tillämpad ombinatori, som ges på KTH under andra halvan av våren Häftet utgör ett omplement till ursboen: Peter J. Cameron, Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, Cambridge University Press, Det huvudsaliga syftet med häftet är att ge studenten tillgång till rimliga mängder övningsuppgifter att arbeta med. Ett problem med ursboen är nämligen bristen på just bra övningsuppgifter. Uppgifterna i häftet är utformade för att svara mot de uppsatta målen för ursen. Jag har försöt göra en bedömning av uppgifternas svårighetsgrad genom att gradera dem från A till E; graderingen anger den betygsnivå som jag anser att problemet motsvarar. Observera att graderingen är mycet ungefärlig. Sica gärna synpunter på graderingen, i synnerhet om min bedömning av en uppgifts svårighetsgrad verar vara helt galen. Lösningsförslag till uppgifterna ommer att finnas tillgängliga på urshemsidan. Fler uppgifter att öva på finns på tidigare års srivningar. Dessa srivningar an laddas ned från ursens hemsida. Ytterligare häften med material för de övriga delarna i ursen ommer att finnas tillgängliga inom en snar framtid. Utöver övningsuppgifter innehåller häftet även några avsnitt med teori: Avsnitt 1: Urvalsproblem. Vi disuterar fyra lassisa varianter på problemet att välja element ur en mängd med n element. Detta avsnitt utgör ett omplement till avsnitt 3.7 i Cameron. Avsnitt 2: Multipliationsprincipen för genererande funtioner. Vi ger en ombinatoris tolning av produten av två eller flera genererande funtioner. Detta avsnitt utgör ett omplement till avsnitt 4.2 i Cameron. 1

2 Avsnitt 3: Räna ord som undvier vissa delord av längd 2. Vi studerar problem som ger upphov till linjära reursioner, alltså evationer i stil med a n = 3a n 1 2a n. En vitig lass av problem av denna typ handlar om att räna ord som undvier vissa givna delord av längd två. Sådana problem an lösas antingen med ombinatorisa ad hoc-metoder eller med mer systematisa metoder baserade på linjär algebra. Detta avsnitt utgör ett omplement till avsnitt 4.3 i Cameron. Avsnitt 4: Catalantalen. Vi benar ut detaljerna i Camerons uträning av den genererande funtionen för Catalantalen. Detta avsnitt utgör ett omplement till avsnitt 4.5 i Cameron. Innehåll 1 Urvalsproblem 3 2 Multipliation av genererande funtioner 4 3 Räna ord som undvier vissa delord av längd Catalantalen 8 Ö Övningsuppgifter 10 Ö.1 Binomialoefficientens värde Ö.2 Ännu en reursion för binomialoefficienterna Ö.3 Binomialsatsen I Ö.4 Binomialsatsen II Ö.5 Vem vet mest? Ö.6 Växande följder av tal I Ö.7 Växande följder av tal II Ö.8 Genererande funtion för tärningsast Ö.9 Slantsingling Ö.10 Summor på formen t + 2u + 3v Ö.11 Ord som undvier Ö.12 Ord som undvier 00 och Ö.13 Ord som undvier Ö.14 Ord som undvier ij om i j Ö.15 Grannfria onfigurationer av bricor på ett bräde Ö.16 Delmängders ardinalitet modulo Ö.17 Hopparningar av tal på avstånd högst Ö.18 Hopparningar av tal på avstånd högst Ö.19 Växande följder av tal III Ö.20 Ice-särande hopparningar Ö.21 Oavgjord tävling där den ena spelaren aldrig leder

3 1 Urvalsproblem Följande är ett av de mest lassisa problemen inom enumerativ ombinatori: På hur många sätt an man välja element från en mängd med n element? Som problemet är formulerat är det doc inte helt uppenbart vad det är vi sa beräna. För det första framgår det inte om det spelar någon roll i vilen ordning vi väljer de elementen. För det andra är det inte lart om upprepade föreomster av ett och samma element är tillåtna. Beroende på hur vi väljer att precisera problemet på dessa båda punter får vi fyra olia varianter av problemet. De fyra varianterna disuteras ortfattat i avsnitt 3.7 i Cameron, och i det här avsnittet gör vi några tillägg och förtydliganden. Ordningen spelar ej roll, upprepning är ej tillåten. I detta fall studerar vi delmängder av storle till en mängd av storle n. Antalet sådana delmängder är lia med binomialoefficienten ( n ) = n!! (n )!. Vi har följande mängder av storle 3 med element från mängden {1, 2, 3, 4, 5}; vi sriver abc = {a, b, c}: 123, 124, 125, 134, 135, 145,234, 235, 245, 345. Antalet delmängder av storle till en mängd av storle n sammanfaller med antalet heltalsföljder (a 1, a 2,...,a ) sådana att 1 a 1 < a 2 < < a n. Vi har nämligen en bijetion mellan sådana växande följder och delmängder till {1,...,n} av storle, där bijetionen ges av att avbilda följden (a 1,...,a ) på mängden {a 1,..., a }. Ordningen spelar ej roll, upprepning är tillåten. I detta fall blir problemet evivalent med att räna antalet multimängder av storle med element från en mängd av storle n. En multimängd är en mängd av element där samma element tillåts föreomma flera gånger. Två multimängder betratas som identisa om antalet föreomster av varje element är detsamma i båda multimängderna. Vi har följande multimängder av storle 3 med element från mängden {1, 2, 3}; vi sriver abc = {a, b, c}. 111, 112, 113, 122, 123, 133,222, 223, 233, 333. Antalet multimängder av storle över 1 en mängd av storle n sammanfaller med antalet heltalsföljder (a 1, a 2,...,a ) sådana att 1 a 1 a 2 a n. Vi har nämligen en bijetion mellan sådana svagt växande heltalsföljder och multimängder av storle med element från {1,..., n}, där bijetionen ges av 1 över = med element från. 3

4 att avbilda följden (a 1,..., a ) på multimängden {a 1,..., a }. På sidan 33 i Cameron visas att antalet är ( ) ( ) n + 1 n + 1 =. n 1 I uppgift Ö.7 ges ett alternativt bevis. Ordningen spelar roll, upprepning är ej tillåten. Eftersom olia element an ordnas på! olia sätt finns det i detta fall! gånger så många sätt som i det första fallet, alltså! ( ) n = n! (n )!. I fallet då = n erhåller vi en permutation av den givna mängden, alltså en ordnad följd där varje element i mängden föreommer precis en gång. Vi har följande följder av 3 olia element från mängden {1, 2, 3, 4}; vi sriver abcd = (a, b, c, d). 123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, , 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432. Ordningen spelar roll, upprepning är tillåten. Detta är det enlaste fallet; vi har n möjligheter på varje position och olia positioner, vilet ger totalt n möjligheter. Vi har följande följder av 3 element från mängden {1, 2, 3}; vi sriver abc = (a, b, c): 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211,212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233, 311, 312, 313, 321, 322, 323,331, 332, Multipliation av genererande funtioner Multipliationsprincipen för genererande funtioner ger en ombinatoris tolning av produten av två eller flera genererande funtioner. Principen an formuleras på många olia sätt; vi formulerar den i termer av poängsummor i ett spel. Vi studerar ett spel för en person bestående av ett antal omgångar. I varje omgång tilldelas spelaren ett visst antal poäng, och antalet sätt att få n poäng i en given omgång är a n. Exempel: En omgång består i att singla slant tills man får lave, och poängen ges av det nödvändiga antalet slantsinglingar, inlusive den sista som ger lave. Vi har då att a n = 1 för n 1 och a 0 = 0, för det enda sättet att få poängen n är att först få rona n 1 gånger och sedan få en avslutande lave. En omgång består i att asta två sexsidiga tärningar, och poängen i en omgången ges av det totala antalet pricar. Vi får då att (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9, a 10, a 11, a 12 ) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1). 4

5 Exempelvis är a 6 = 5, för vi har de möjliga utfallen 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, och Multipliationsprincipen för genererande funtioner ger en formel för antalet sätt att få totalt n poäng efter omgångar. Sats 2.1 Låt 1, och låt a n, vara antalet sätt att få exat n poäng efter omgångar. Då gäller att a n, x n = A, där A = n 0 a nx n. n 0 Bevis. Antalet sätt att få poängraden (n 1, n 2,..., n ) i de omgångarna är a n1 a n2 a n. Det totala antalet sätt att få poängsumman n är alltså a n, = a n1 a n2 a n. n 1+n 2+ +n =n Högerledet är lia med oefficienten framför x n i utveclingen för A, vilet ger det önsade resultatet. Mer allmänt an man täna sig att antalet sätt att få en given poängsumma siljer sig åt från omgång till omgång. Anta exempelvis att spelet består av två omgångar. Låt a n vara antalet sätt att få n poäng i den första omgången och låt b n vara antalet sätt att få n poäng i den andra omgången. Om vi låter s n vara antalet sätt att få totalsumman n får vi på samma sätt som i Sats 2.1 att s n x n = a n x n b n x n. n 0 n 0 n 0 Om vi har ytterligare en omgång där c n är antalet sätt att få n poäng erhåller vi att antalet sätt s n att få totalsumman n på tre omgångar uppfyller sambandet s n x n = a n x n b n x n c n x n. n 0 n 0 n 0 n 0 Den allmänna multipliationsprincipen framgår förhoppningsvis av ovanstående exempel. 3 Räna ord som undvier vissa delord av längd 2 Studera följande två problem. På hur många sätt an man bilda ett torn bestående av n röda och gula bygglossar, om regeln är att det måste finnas minst en gul loss mellan varje par av röda lossar? För exempelvis n = 4 har vi möjligheterna GGGG, GGGR, GGRG, GRGG, RGGG, GRGR, RGGR, RGRG, där G = gul och R = röd. 5

6 En partiel rör sig mellan fyra tillstånd som vi betecnar 0, 1, 2 och 3. Partieln vill hela tiden lättra uppåt, vilet innebär att om den befinner sig i tillståndet i 2 vid en given tidpunt så ommer den att befinna sig i ett tillstånd j > i vid nästa tidpunt. När den väl befinner sig i tillståndet 3 ommer den doc att hala ner till tillståndet 0 vid nästa tidpunt. På hur många sätt an partieln hoppa mellan tillstånden i n steg? För exempelvis n = 3 har vi möjligheterna 012, 013, 023, 030,123, 130, 230, 301, 302, 303, där abc betecnar följden (a, b, c) av tillstånd. Denna typ av problem är väldigt vanligt föreommande inom ombinatorien. I båda exemplen an vi notera att problemen an omformuleras i termer av ord som undvier förbjudna delord av längd två. I det första exemplet sa orden undvia delordet RR, ty det måste alltid finnas minst ett G mellan varje par av R. I det andra exemplet sa orden undvia delorden 00, 10, 11, 20, 21, 22, 31, 32 och 33, ty partieln rör sig alltid uppåt från tillstånden 0, 1 och 2 och alltid ner till 0 från tillståndet 3. Vi sa ge en allmän metod för att attacera problem av det här slaget. Låt Q vara en uppsättning symboler; för enelhetens sull antar vi att Q = {0,..., 1}. Ett ord över Q är en ordnad följd av symboler från Q. 000, 012 och är exempel på ord över {0, 1, 2}. Låt X vara en uppsättning ord över Q av längd 2. Varje ord består alltså av två symboler. Vi säger att ett ord över Q är tillåtet om ordet inte innehåller något delord som tillhör X. Ordet får alltså inte innehålla två på varandra följande symboler som bildar ett ord i X. Låt a n vara antalet tillåtna ord av längd n. Vi sa ge en systematis metod för att hitta en linjär reursion för talen a n. Metoden bygger på Cayley- Hamiltons sats: Sats 3.1 Låt M vara en vadratis -matris med arateristist polynom Då gäller att χ M (λ) = det(λi M) = χ M (M) = r i λ i. r i M i = 0. Bevis bruar gå att hitta i grundläggande läroböcer i linjär algebra. En vanlig bevisidé är att sriva M på Jordans normalform. Låt M = (m ij ) vara en -matris vars rader och olumner indexeras av symbolerna i Q. Vi sätter m ij = 0 om ij X och m ij = 1 om ij / X; värdet på m ij beror alltså på huruvida ij är ett förbjudet eller tillåtet delord. Sats 3.2 För alla n 1 gäller att där χ M (λ) = r iλ i. r i a n+i = 0, 6

7 Bevis. För i Q, låt a n,i vara antalet tillåtna ord av längd n som slutar med i. Definiera v n = (a n,0, a n,1,..., a n, 1 ). Notera att v 1 = (1, 1,...,1), ty alla ord av längd 1 är tillåtna. Vi har nu sambandet v n+1 = v n M, (1) eller, annorlunda uttryct, 1 a n+1,j = a n,i m ij. j=0 för n 1. Om w är ett tillåtet ord som slutar med i är nämligen wj ett tillåtet ord om och endast om ij är ett tillåtet delord. Genom upprepad användning av identiteten (1) får vi att v n+i = v n M i för alla i 0 och n 1. Studera nu det arateristisa polynomet χ M (λ) = r iλ i. Cayley-Hamiltons sats 3.1 ger att r im i = 0, vilet medför att v n r i M i = 0 r i v n M i = 0 r i v n+i = 0. Om vi summerar oordinaterna i varje vetor v n+i får vi slutligen för n 1, ty r = 1. 1 r i a n+i = 0 a n+ = r i a n+i Naturligtvis an vi sriva om den sista evationen i beviset som där nu n a n = r i a n +i, Som en tillämpning studerar vi problemet med röda och gula lossar från inledningen. Låt a n vara antalet ord av längd n över {R, G} som inte innehåller delordet RR. Vi vill visa att a n = a n 1 + a n 2 och att a n är ett Fibonaccital (se avsnitt 4.1 i Cameron). Lösning. Vi definierar matrisen M som i avsnitt 3: ( ) 0 1 M =. 1 1 Vi har en nolla i det övre vänstra hörnet eftersom delordet RR är förbjudet. På övriga positioner har vi ettor, ty RG, GR och GG är alla tillåtna delord. M:s arateristisa polynom är lia med χ M (λ) = λ 2 λ 1. 7

8 Enligt Sats 3.1 ger detta reursionen a n a n 1 a n 2 = 0 a n = a n 1 + a n 2, vilet är den söta reursionen. Eftersom a 1 = 2 och a 2 = 3 blir varje tal a n ett Fibonaccital. Det går att lösa sådana här problem även med mer direta ombinatorisa metoder. Som ett exempel ger vi en alternativ lösning till ovanstående problem. För {R, G}, låt a n, betecna antalet tillåtna ord av längd n som slutar med. Vi ser att a n,r = a n 1,G, a n,g = a n 1,R + a n 1,G. Ett ord av längd n 1 som slutar med R an nämligen utvidgas till ett ord av längd n genom att man lägger till G, medan ett ord som slutar med G an utvidgas genom att man lägger till antingen R eller G. Vi drar slutsatsen att Nu får vi med samma resonemang att vilet ger att a n = a n 1,R + 2a n 1,G. a n 1,G = a n 2,R + a n 2,G, a n = a n 1,R + 2a n 1,G = a n 1,R + a n 1,G + a n 2,R + a n 2,G = a n 1 + a n 2. Att a n blir ett Fibonaccital visar man på samma sätt som ovan. 4 Catalantalen Observera: Det vi här allar för C n allar Cameron för C n+1. Ett vitigt exempel på en icelinjär reursion är den för Catalantalen: n 1 C n = C i C n i 1 ; C 0 = 1. Sätt C(x) = n 0 C nx n. Denna formella potensserie uppfyller ett vitigt samband som Cameron ger en mycet ortfattad förlaring till (se sidan 61). För att bena ut sambandet i mer detalj noterar vi att C(x) = C 0 + C n x n = 1 + n 1 C i C n i 1 x n n 1 n 1 = 1 + C i C n i 1 x n i 0 n i+1 [j = n i 1] = 1 + C i C j x i+j+1 i 0 j 0 = 1 + x i 0 C i x i j 0 C j x j = 1 + x(c(x)) 2. 8

9 Notera bytet av summationsordning på andra raden. Alltså har vi att (C(x)) 2 = C(x) x 1 x. Om vi löser denna andragradsevation i C(x) får vi att C(x) = 1 1 4x, 2x där vi väljer ett minustecen (och inte ett plustecen) framför rottecnet för att täljarens onstantterm sa bli 0. Att vi, i motsats till Cameron (se sidan 61), har ett x i nämnaren beror på att det vi allar C n är C n+1 i boen. Se Cameron för en härledning av formeln C n = 1 n + 1 ( 2n n ). 9

10 Ö Övningsuppgifter Ö.1 Binomialoefficientens värde Syftet med denna uppgift är att ge ett bevis för att binomialoefficienten ( ) n uppfyller identiteten ( ) n n! =! (n )!. Låt 0 n. Använd följande procedur för att bilda en permutation av elementen i en mängd X av storle n. 1. Välj ut element. 2. Bilda en ordnad följd av dessa element. 3. Bilda en ordnad följd av de återstående n elementen. 4. Bilda en permutation genom att sätta ihop de två följderna. Visa med hjälp av ovanstående procedur att ( ) n n! =! (n )!. Ö.2 Ännu en reursion för binomialoefficienterna Visa att ( ) n = ( ) n Ö.3 Binomialsatsen I ( ) n ( n 2 ) + Använd binomialsatsen för att visa att n ( ) n ( 2) = ( 1) n. =0 Ö.4 Binomialsatsen II Använd binomialsatsen för att visa att n =0 ( ) n x (2 + x) = 2n =0 ( ) n ( ) 2n x. Svårighetsgrad: E ( ) n 3. 1 Svårighetsgrad: E Svårighetsgrad: E Svårighetsgrad: C 10

11 Ö.5 Vem vet mest? Vem vet mest? är en frågesporttävling på Sveriges Television där tolv deltagare tävlar om tre finalplatser. Kvalificeringstävlingen är uppdelad i två omgångar. I den första omgången får deltagarna svara på två frågor, och de som svarar fel på båda frågorna är utslagna. Den andra omgången är en sinnrit onstruerad utslagstävling som pågår tills bara tre deltagare återstår. Dessa tre deltagare går vidare till finalen. (Vi antar att antalet personer som går vidare till den andra omgången alltid är minst tre.) (a) Med spelregler som ovan, visa att det finns sätt för de tolv deltagarna att fördela sig mellan grupperna utslagna i första omgången, utslagna i andra omgången och valificerade för final. (b) Ge ett ombinatorist bevis för identiteten n r= ( )( ) n r r = ( ) n 2 n. (Det är tillåtet att lösa (a) genom att först lösa (b) och sedan stoppa in lämpligt valda parametrar.) (c) Ge ett algebraist bevis för identiteten i (b). Ö.6 Växande följder av tal I Svårighetsgrad: (a): E, (b): D, (c): C (a) Låt och n vara positiva heltal sådana att n. Beräna antalet heltalsföljder (y 1,..., y ) sådana att 1 y 1 y 2 y n. med egensapen att vart och ett av talen 1, 2,...,n föreommer minst en gång bland talen y 1, y 2,...,y. (b) Låt och n vara positiva heltal sådana att n 2n. Beräna antalet heltalsföljder (y 1,..., y ) sådana att 1 y 1 y 2 y n. med egensapen att vart och ett av talen 1, 2,...,n föreommer minst en gång och högst två gånger bland talen y 1, y 2,..., y. Svårighetsgrad: D 11

12 Ö.7 Växande följder av tal II Ge ett) diret bevis för att följande två antal sammanfaller och är lia med : ( n+ 1 Antalet heltalsföljder (a 1, a 2,..., a ) sådana att (strita oliheter). 1 a 1 < a 2 < < a n + 1 Antalet heltalsföljder (b 1, b 2,...,b ) sådana att 1 b 1 b 2 b n (ej strita oliheter). Detta är lia med antalet multimängder av storle över en mängd av storle n. Ledning. Försö transformera en följd av det andra slaget till en följd av det första slaget genom att addera lämpliga onstanter C till vart och ett av talen b 1, b 2,...,b. Vi vill alltså att 1 b 1 + C 1 < b 2 + C 2 < < b + C n + 1. Ö.8 Genererande funtion för tärningsast Svårighetsgrad: C Låt n 1, och låt a n, vara antalet sätt att få summan n då man astar stycen vanliga sexsidiga tärningar. Ange ett slutet uttryc för den genererande funtionen 6 a n, x n. Beräna a 10,3. Ö.9 Slantsingling n= Svårighetsgrad: E För 1 n r, låt a n,r vara antalet sätt att singla slant r gånger så att lave dyer upp exat n gånger och så att vi får lave vid den sista slantsinglingen. (a) Visa att a n,r = ( ) r 1. n 1 (b) Visa att r n ( ) r 1 x r = n 1 x n (1 x) n. Ledning: Dela in ovanstående slantsingling i n omgångar, och använd multipliationsprincipen. Svårighetsgrad: (a): E, (b): C, (c): D 12

13 Ö.10 Summor på formen t + 2u + 3v Låt a n vara antalet tripplar (t, u, v) av icenegativa heltal sådana att t+2u+3v = n. Ge en sluten formel för n 0 a nx n. Svårighetsgrad: C Ö.11 Ord som undvier 00 Låt Q betecna alfabetet {0, 1, 2}, och låt a n vara antalet ord över Q av längd n som inte innehåller delordet 00. Exempelvis är a 1 = 3, a 2 = 8 och a 3 = 22. (a) Visa att för n 3. (b) Visa att a n = 2a n 1 + 2a n 2 a n x n = n 1 3x + 2x2 1 2x 2x 2. Ö.12 Ord som undvier 00 och 11 Svårighetsgrad: D Låt Q betecna alfabetet {0, 1, 2}, och låt a n vara antalet ord över Q av längd n som inte innehåller delorden 00 och 11. Exempelvis är a 1 = 3, a 2 = 7 och a 3 = 17. (a) Visa att det finns tal r och s sådana att a n = ra n 1 +sa n 2 för alla n 3, och bestäm r och s. (b) Sriv n 1 a nx n som en rationell funtion. Ö.13 Ord som undvier 01 Svårighetsgrad: D Låt Q betecna alfabetet {0, 1, 2}, och låt a n vara antalet ord över Q av längd n som inte innehåller delordet 01. Exempelvis är a 1 = 3, a 2 = 8 och a 3 = 21. Visa att det finns tal r och s sådana att a n = ra n 1 +sa n 2 för alla n 3, och bestäm r och s. Svårighetsgrad: D 13

14 Ö.14 Ord som undvier ij om i j 2 Låt Q = {0, 1, 2, 3}, och låt X bestå av alla ord ij sådana att i j 2. Vi har alltså att X = {02, 03, 13, 20, 30, 31}. Låt a n vara antalet ord över Q som undvier delorden i X. (a) Visa att för n 1. a n+4 = 4a n+3 3a n+2 2a n+1 + a n (b) Man an räna ut att a 1 = 10, a 2 = 26, a 3 = 68 och a 4 = 178. Använd detta för att visa att a n = 2F 2n+2 för n 1, där F i är det i:te Fibonaccitalet; F 0 = F 1 = 1. Ledning. Ett sätt att förenla uträningarna är att först visa att F 2+4 = 3F 2+2 F 2 för 0. Svårighetsgrad: (a): D, (b): C Ö.15 Grannfria onfigurationer av bricor på ett bräde Studera ett bräde med två rader av vadratisa rutor med n + 1 rutor i varje rad. Ploca nu bort nedre vänstra och övre högra rutan från brädet. Figur 1 illustrerar fallet n = 7. Ange en reursionsformel för antalet sätt att placera bricor på de 2n återstående rutorna, där regeln är att man inte får lägga bricor på två rutor med gemensam ant. Svårighetsgrad: B Figur 1: Brädet i uppgift Ö.15 för n = 7. Ö.16 Delmängders ardinalitet modulo 3 För varje heltal n 0 och {0, 1, 2}, låt β n, vara antalet delmängder till {1,..., n} vars ardinalitet är ongruent med modulo 3. (a) Använd ett ombinatorist resonemang för att bevisa att för n 0 och {0, 1, 2}. β n+3, = 3 2 n β n, (b) Använd identiteten i (a) för att visa att { (8 β 3m, = m + 2( 1) m )/3 om = 0, (8 m ( 1) m )/3 om {1, 2} för alla m 0. Svårighetsgrad: (a): B, (b): E 14

15 Ö.17 Hopparningar av tal på avstånd högst 2 Låt a n vara antalet sätt att dela in mängden {1,..., 2n} i n par så att avståndet mellan talen i varje par är högst 2. Exempelvis är a 2 = 2, ty hopparningarna {1 2, 3 4} och {1 3, 2 4} är tillåtna, medan hopparningen {1 4, 2 3} inte är det; avståndet mellan 1 och 4 i det första paret är större än 2. Visa att a n = a n 1 + a n 2 för alla n 2. Eftersom a 0 = a 1 = 1 får vi alltså Fibonacciföljden. Svårighetsgrad: C Ö.18 Hopparningar av tal på avstånd högst 3 Låt nu a n vara antalet sätt att dela in mängden {1,..., 2n} i n par så att avståndet mellan talen i varje par är högst 3. Visa att a n = 2a n 1 + a n 2 a n 4 för alla n 4. Svårighetsgrad: A Ö.19 Växande följder av tal III Som beant är a n, = ( ) n+ 1 lia med antalet heltalsföljder (b1, b 2,...,b ) som uppfyller oliheterna 1 b 1 b 2 b n. (a) Låt A n (x) = 0 a n, x n. Ge ett ombinatorist bevis för att A n (x) = 1 + x n A i (x). i=1 Ledning: Studera det sista elementet b i en given följd. (b) Använd (a) för att visa att A n (x) = 1 (1 x) n. Svårighetsgrad: C 15

16 Ö.20 Ice-särande hopparningar Representera talen 1,...,2n som punter på en cirel, utspridda i växande ordning medurs. För en given hopparning av dessa 2n punter, dra ett linjestyce mellan varje par av hopparade punter. Om linjestycena inte sär varandra inuti cireln säger vi att hopparningen är ice-särande. Exempelvis är hopparningen {1 5, 2 8, 3 4, 6 7, 9 12, 10 11} av talen 1,...,12 särande, ty linjestycet mellan punt 1 och punt 5 sär motsvarande linjestyce mellan 2 och 8 (studera urtavlan på en loca). Algebraist an vi uttryca detta som att vi inte tillåter hopparningar som innehåller par a c och b d med egensapen att a < b < c < d. Visa att antalet ice-särande hopparningar av 1,...,2n är lia med det n:te Catalantalet C n (C n+1 med Camerons notation). Ledning. Bilda en reursionsformel för det söta antalet genom att studera det par som innehåller punten 2n. Svårighetsgrad: B Ö.21 Oavgjord tävling där den ena spelaren aldrig leder Två personer A och B spelar 2n partier luffarschac och vinner n partier var. Efter varje omgång har A vunnit minst lia många partier som B. Visa att antalet sätt detta an se på är lia med det n:te Catalantalet C n (C n+1 med Camerons notation). Ledning: Bilda en reursionsformel för det söta antalet genom att studera det första tillfället i tävlingen då A och B har vunnit lia många partier. Bortse från tillfället i början av tävlingen då ställningen är 0-0. Svårighetsgrad: A 16

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer Om användning av potensserier på ombinatori och reursionsevationer Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmailcom Sammanfattning Vid analys av både ombinatorisa problem och för att lösa reursionsevationer

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematisa Institutionen KTH Lösningar till tentamenssrivning på ursen Disret Matemati, moment A, för D2 och F, SF161 och SF160, den 9 mars 2009 l 14.00-19.00. DEL I 1. (p Lös reursionsevationen med

Läs mer

Binomialtal. Olof Bergvall. Algebra och Kombinatorik Stockholms Universitet 1 / 13

Binomialtal. Olof Bergvall. Algebra och Kombinatorik Stockholms Universitet 1 / 13 1 / 13 Olof Bergvall Algebra och Kombinatori Stocholms Universitet 2 / 13 Definition: Antalet sätt att välja en delmängd med element ur en mängd med n element betecnas. Talen ( n ) allas binomialtal eller

Läs mer

1 Föreläsning II, Vecka I, 5/11-11/11, avsnitt 2.3

1 Föreläsning II, Vecka I, 5/11-11/11, avsnitt 2.3 1 Föreläsning II, Veca I, 5/11-11/11, avsnitt 2.3 1.1 Kombinatori Ex 2.1 I ett rutnät går man åt höger eller uppåt. Hur många vägar finns det mellan A och B? B A Vi har 8 (del-)sträcor att välja uppåt

Läs mer

SF2715 Tillämpad kombinatorik, 6hp

SF2715 Tillämpad kombinatorik, 6hp SF75 Tillämpad kombinatorik, 6hp Fortsättningskurs i matematik 7 mars 7 maj 009 Kursledare: Jakob Jonsson Upplägg 6 hp = p enligt gamla systemet 8 dubbeltimmar med teori och problemlösning Kursbok och

Läs mer

Kombinatorik. Karl-Heinz Fieseler. Uppsala 2016

Kombinatorik. Karl-Heinz Fieseler. Uppsala 2016 Kombinatori Karl-Heinz Fieseler Uppsala 2016 1 Contents 1 Enumeration 2 2 Reursion 13 3 Genererande funtioner 21 4 Inlusion och Exlusion 29 1 Enumeration Referens: Jf. Cameron, Ch.3 och 10; se ocså SK,

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på sammandragningarna.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på sammandragningarna. Uppsala Universitet Matematisa Institutionen Bo Styf Basurs, 5 hp Distans 0-0-3 Genomgånget på sammandragningarna. Sammandragning, 5/ 0: Handlade om ombinatori multipliationsprincipen, permutationer, ombinationer,

Läs mer

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER. L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden

Läs mer

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I Matemati 5 Kap 1 Disret matemati I Inledning Konretisering av ämnesplan (län) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matemati/strutur_äm nesplan_matemati/strutur_ämnesplan_matemati.html Inledande ativitet

Läs mer

1 Jag själv lärde om detta av en kollega som, kanske, heter Joel Andersson

1 Jag själv lärde om detta av en kollega som, kanske, heter Joel Andersson 1 Kryptering 11 Vi sall 1 idag titta lite på ryptering, och mera specifit hur elliptisa urvor används i ryptering, såallad ECDSA Vi sall ocså se ett atuelt exempel på hur detta inte sall användas 12 Problemet

Läs mer

IV. Ekvationslösning och inversa funktioner

IV. Ekvationslösning och inversa funktioner Analys 360 En webbaserad analysurs Grundbo IV. Evationslösning och inversa funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com IV. Evationslösning och inversa funtioner 1 (11) Introdution

Läs mer

SF2715 Applied Combinatorics// Extra exercises and solutions, Part 2

SF2715 Applied Combinatorics// Extra exercises and solutions, Part 2 SF2715 Applied Combinatorics// Extra exercises and solutions, Part 2 Jakob Jonsson April 5, 2011 Ö Övningsuppgifter These extra exercises are mostly in Swedish. If you have trouble understanding please

Läs mer

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del II

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del II Lösningsförslag till övningsuppgifter del II Obs! Preliminär version! Ö.1. För varje delare d till n låt A d var mängden av element a sådana att gcd(a n = d. Partitionen ges av {A d : d delar n}. n = 6:

Läs mer

1 Föreläsning II, Vecka I, 21/1-25/11, 2019, avsnitt

1 Föreläsning II, Vecka I, 21/1-25/11, 2019, avsnitt 1 Föreläsning II, Veca I, 1/1-5/11, 019, avsnitt.3 1.1 Kombinatori Exempel 1.1 I ett rutnät går man åt höger eller uppåt. Hur många vägar finns det mellan A och B? B A Vi har 8 (del-)sträcor att välja

Läs mer

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour RSA-rytering Torbjörn Tambour RSA-metoden för rytering har den seciella och betydelsefulla egensaen att metoden för rytering är offentlig, medan metoden för derytering är hemlig. Detta an om man funderar

Läs mer

6.4 Svängningsrörelse Ledningar

6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.166 b) Krafterna i de båda fjädrarna är lia stora och lia med raften på roppen (inses genom att man frilägger roppen och de två fjädrarna var för sig). Kroppens förflyttning

Läs mer

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara

Läs mer

1 Föreläsning IV; Stokastisk variabel

1 Föreläsning IV; Stokastisk variabel 1 FÖRELÄSNING IV; STOKASTISK VARIABEL 1 Föreläsning IV; Stoastis variabel Vi har tidigare srivit P (1, 2, 3, 4, 5) = P (C) för sannoliheten för att få 1, 2, 3, 4 eller 5 vid ett tärningsast. Vi sall använda

Läs mer

dt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.

dt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning. Lösningsförslag till tentamenssrivning i SF633 Differentialevationer I Måndagen den 5 otober 0, l 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handboo Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräningar och

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning det finns ett tal k så att A=kB

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning det finns ett tal k så att A=kB MATEMATISK MODELLERING Att ställa upp en differentialevation som besriver ett förlopp Följande uttryc används ofta i olia problem som leder till differentialevationer: Text A är proportionell mot B (A

Läs mer

Tentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag

Tentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag Tentamen SF1661 Perspetiv på matemati Lördagen 18 februari 01, locan 09.00 1.00 Svar och lösningsförslag (1) Sissera den mängd i xy-planet som består av alla punter som uppfyller oliheten (x + ) + (y )

Läs mer

Lösningsförslag envariabelanalys

Lösningsförslag envariabelanalys Lösningsförslag envariabelanalys 2 28-8-3. Evationen är linjär och har det arateristisa polynomet p(r) r 3 r 2 + 4r 4 (r 2 + 4)(r ). Således ges lösningarna till den homogena evationen p(d)y h av y h C

Läs mer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer TNG006 F7 25-04-2016 Centrala gränsvärdessatsen (CGS. Approximationer 7.1. Centrala gränsvärdessatsen Vi formulerade i Sats 6.10 i FÖ6 en vitig egensap hos normalfördelningen som säger att en linjär ombination

Läs mer

SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del IV

SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del IV SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del IV Jakob Jonsson 28 april 2009 Detta häfte innehåller kompletterande material till del IV av kursen SF2715 Tillämpad kombinatorik,

Läs mer

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V Obs! Preliminär version! Ö.1. (a) Vi kan lösa uppgiften genom att helt enkelt räkna ut avståndet mellan vart och ett av de ( 7 ) = 1 paren. Först noterar vi

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen MVE465, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf

Lösningsförslag till tentamen MVE465, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf Lösningsförslag till tentamen MVE4, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf 64 l. 8.3.3 Examinator: Thomas Wernstål, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat:, telefon: Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Läs mer

Prov i matematik Fristående kurs Analys MN1 distans UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström

Prov i matematik Fristående kurs Analys MN1 distans UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Anders Källström Prov i matemati Fristående urs Analys MN1 distans 6 11 Srivtid: 1-15. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna sall åtföljas av förlarande

Läs mer

Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar.

Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar. Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysialisa lagar. 1. Newtons gravitationslag och Newtons andra lag. Vi placerar ett rätvinligt oordinatsystem i solsystemet med solens medelpunt

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen 013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

KOMBINATORIK. Multiplikationsprincipen

KOMBINATORIK. Multiplikationsprincipen KOMBINATORIK How to count without counting. Mar Kac In some cases, theanswermaybenothingmorethan a matter of common nowledge In other cases, the answer may require technical information. But our concern

Läs mer

Potensserier och potensserieutvecklingar av funktioner

Potensserier och potensserieutvecklingar av funktioner Analys 36 En webbaserad analysurs Analysens grunder Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com Potensserier och potensserieutveclingar

Läs mer

Deltentamen. TMA044 Flervariabelanalys E2

Deltentamen. TMA044 Flervariabelanalys E2 Deltentamen godäntdelen, del TMA44 Flervariabelanalys E 4-9-7 l. 8:3-:3 Eaminator: Peter Hegarty, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,

Läs mer

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den 2 juni 2015, kl

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den 2 juni 2015, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den juni 015, kl 1.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Läs mer

Sammanfattning av Hilbertrumteorin

Sammanfattning av Hilbertrumteorin Sammanfattning av Hilbertrumteorin 9.1 Hilbertrum DEFINITION 9.1 Ett eulidist rum (prehilbertrum, rum med salärprodut, inreprodutrum) är ett lineärt rum försett med en salärprodut x y, och normen definierad

Läs mer

Lösningar till problemtentamen

Lösningar till problemtentamen KTH Meani 2006 05 2 Meani b och I, 5C03-30, för I och BD, 2006 05 2, l 08.00-2.00 Lösningar till problemtentamen Uppgift : En platta i form av en lisidig triangel BC med sidolängderna a och massan m står

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 1 juni 2011 kl

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 1 juni 2011 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik moment B för D2 och F SF63 och SF63 den juni 2 kl 8.- 3.. Examinator: Olof Heden tel. 7354789. Hjälpmedel: Inga

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q

Läs mer

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij. Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij. Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000 1) Beräkna x 4 + 2x 3 + 3 för alla värden på x i Z 5. Lösning: Det nns bara fem

Läs mer

Svar till tentan

Svar till tentan UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Sigstam, Styf Prov i matemati Alla program o frist urs ENVARIABELANALYS 0-08- Svar till tentan 0-08-. Del A Bestäm alla punter P 0 på urvan y = x + sådana att

Läs mer

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 25 augusti 2017 Skrivtid 8:00 12:00

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 25 augusti 2017 Skrivtid 8:00 12:00 Kurs: HF9 Matemati Moment TEN Linjär lgebra Datum: augusti 7 Srivtid 8: : Eaminator: rmin Halilovic För godänt betyg rävs av ma poäng. etygsgränser: För betyg D E rävs 9 6 respetive poäng. Komplettering:

Läs mer

Algebra och talteori MMGL31

Algebra och talteori MMGL31 Algebra oh talteori MMGL3 Lärarprogrammet, Göteborgsuniversitet VT 008 Samuel Bengmar Lite om mig Dotorerat i Algebrais geometri Letor vid Matematisa vetensaper, Chalmers oh Göteborgs universitet Anställd

Läs mer

Analys av polynomfunktioner

Analys av polynomfunktioner Anals av polnomfuntioner Anals360 (Grundurs) Blandade uppgifter När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort. Tän igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tdligt

Läs mer

Tentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Tentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering KTH Matemati Tentamen del 2 SF1511, 2017-03-16, l 800-1100, Numerisa metoder och grundläggande programmering Del 2, Max 50p + bonuspoäng (max 4p) Inga hjälpmedel Rättas endast om del 1 är godänd Betygsgränser

Läs mer

Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB

Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Rederiet Sealine AB har undersöt specialfartygsmarnaden under senaste året för 700 000 r och funnit en lämplig fartygsstorle, som det an tecna ontrat på. Vid

Läs mer

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

Modelltentamen. Ditt svar ska vara ett ändligt uttryck utan summationstecken.

Modelltentamen. Ditt svar ska vara ett ändligt uttryck utan summationstecken. SF2715 Tillämpad kombinatorik, våren 2009 Jakob Jonsson Modelltentamen Denna modelltentamen är tänkt att illustrera svårighetsgraden på en riktig tentamen. Att en viss typ av uppgift dyker upp här innebär

Läs mer

Kursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:

Kursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge: Inlämningsuppgifter i Funtionsteori För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa. Enligt

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematsa Insttutonen KTH Lösnngar tll tentamenssrvnng på ursen Dsret Matemat, moment A, för D och F, SF1631 och SF1630, den 4 jun 009 l 08.00-13.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tllåtna på tentamenssrvnngen.

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF63 och SF63, den 25 maj 2 kl 8.-3.. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 0..0 BESKRIVNING AV GODA SVAR De besrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens bedömning.

Läs mer

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden PROVET I MATEMATIK, LÅNG LÄROKURS 5.9. BESKRIVNING AV GODA SVAR De besrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga

Läs mer

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel Lösningsförslag till deltentamen i IM601 Fasta tillståndets fysi Onsdagen den 5 maj, 011 Teoridel Magnetism i MnF 1. a) Vi ser från enhetscellen att den innehåller 8 1 =1 Mn-atom med spinn upp (hörnen)

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN) 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.

Läs mer

x 23 + y 160 = 1, 2 23 = ,

x 23 + y 160 = 1, 2 23 = , Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar, inför tentan moment B, på de avsnitt som inte omfattats av lappskrivningarna, Diskret matematik för D2 och F, vt08.. Ett RSA-krypto har n =

Läs mer

12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER

12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER 122 12 NUMERISKA SERIER 12. Numerisa serier Vi har tidigare i avsnitt 10.9 sett ett samband mellan summor och integraler. Vi har ocså i avsnitt 11 definierat begreppet generaliserade integraler och för

Läs mer

Lösningar till Matematisk analys

Lösningar till Matematisk analys Lösningar till Matematis analys 0820. Stationära punter. f (x, y) = 8x(x 2 y), f 2(x, y) = 4(y x 2 )). Vi ar alltså att f (x, y) = f 2(x, y) = 0 { x(x 2 y) = 0 y x 2 = 0. Första evationen ovan är uppfylld

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Lösningsförslag, v0.4

Lösningsförslag, v0.4 , v.4 Preliinär version, 6 februari 28, reservation för fel! Högsolan i Sövde Tentaen i ateati Kurs: MA52G Mateatis analys MA23G Mateatis analys för ingenjörer Tentaensdag: 27-5-2 l 8:3-3:3 Hjälpedel :

Läs mer

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a

Läs mer

Analys o linjär algebra. Fortsatt analys.. p.1/81

Analys o linjär algebra. Fortsatt analys.. p.1/81 Analys o linjär algebra Fortsatt analys. p.1/81 Konvergenshastighet Har sett att bisetion och fixptsiteration, under lämpliga förhållanden, ger en följd, dvs onvergerar mot en lösning till den givna ev.

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om kombinatorik Mikael Hindgren 24 september 2018 Vad är kombinatorik? Huvudfråga: På hur många sätt kan en viss operation utföras? Några exempel: Hur många gånger

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl

Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild

Läs mer

KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN

KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN PERMUTATIONER (Ordnade listor med n element, så kallade n- tipplar) 1. (permutationer av n olika element) Vi betraktar ordnade listor med n olika element,,, Varje bestämd

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

1. (3p) Ett RSA-krypto har parametrarna n = 77 och e = 37. Dekryptera meddelandet 3, dvs bestäm D(3). 60 = = =

1. (3p) Ett RSA-krypto har parametrarna n = 77 och e = 37. Dekryptera meddelandet 3, dvs bestäm D(3). 60 = = = Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF63 och SF630, den 20 maj 2009 kl 08.00-3.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Lösningar till udda övningsuppgifter

Lösningar till udda övningsuppgifter Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

Arbeta vidare med aritmetik 2018

Arbeta vidare med aritmetik 2018 Arbeta vidare med aritmetik 2018 I det här materialet har vi samlat problem inom aritmetik från flera olika tävlingsklasser, från Ecolier till Student. Årtal Varje år förekommer det problem som utgår från

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik, SF1610 och 5B1118, torsdagen den 21 oktober 2010, kl

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik, SF1610 och 5B1118, torsdagen den 21 oktober 2010, kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik, SF6 och 5B8, torsdagen den 2 oktober 2, kl 4-9 Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars 2016 Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Tävlingen ska genomföras under perioden 17 mars 1 april. Uppgifterna får inte användas

Läs mer

KONTROLLSKRIVNING 2 Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 14 apr 2014 Skrivtid: 13:15-15:00

KONTROLLSKRIVNING 2 Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 14 apr 2014 Skrivtid: 13:15-15:00 KONTROLLSKRIVNING Kurs: HF atematis statisti Lärare: Armin Halilovic Datum: ar Srivtid: :-: Tillåtna hjälmedel: iniränare av vilen ty som helst. Förbjudna hjälmedel: Telefon lato och alla eletronisa medel

Läs mer

Kvalificeringstävling den 29 september 2009

Kvalificeringstävling den 29 september 2009 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 29 september 2009 Förslag till lösningar Problem Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 7 positiva heltal som endast

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Identification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm

Identification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm Identification Label Student ID: h Student Name: Elevenät Fysi Solveret Bo Palaszewsi, Proetledare 106 20 Stocholm International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA,

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 55, 1972 Första häftet 2863. Lös ekvationssystemet { 2sin x cos x = 1 (Svar: π + 2nπ, n Z) 2864. Visa att (1,000001) 1000000 > 2. sin x 2cos x = 2 2865. Visa att ekvationen x 4 x 2 + 2x + 3 = 0

Läs mer

KVADRATISKA FORMER. Definition 1. ( av en kvadratisk form) En kvadratisk form är ett uttryck av typ. Några exempel på kvadratiska former:

KVADRATISKA FORMER. Definition 1. ( av en kvadratisk form) En kvadratisk form är ett uttryck av typ. Några exempel på kvadratiska former: KVADRAISKA FORMER Definition. ( av en vadratis form) En vadratis form är ett uttryc av typ nn nn aa iiii xx ii xx jj ii= jj= Några exempel på vadratisa former: QQ = 4xx + 5xx xx + 8xx xx 3 + 9xx + xx xx

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET

EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET INLEDNING Ett polyom ( i variabel λ ) av grad är ett uttryc på forme P( λ) a λ + aλ + aλ + a, där a Polyomets ollställe är lösigar ( rötter) till evatioe

Läs mer

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Finaltävling i Stockholm den november 008 Förslag till lösningar Problem 1 En romb är inskriven i en konve fyrhörning Rombens sidor är parallella

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOMBINATORIK I kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av antalet sätt på vilket element i en given lista kan arrangeras i dellistor. Centrala frågor i kombinatoriken är: " Bestäm antalet..."

Läs mer

Kappa 2014, lösningsförslag på problem 5

Kappa 2014, lösningsförslag på problem 5 Kappa 2014, lösningsförslag på problem 5 Lag Spyken Roger Bengtsson, Sten Hemmingsson, Magnus Jakobsson, Susanne Tegler Problemet I det här problemet betraktas m n stora rektangulära rutnät, där m avser

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen 011-03-17 Tentamen i Meani SG1130, basurs P1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och srivdon får användas! KTH Meani 1. Problemtentamen Ett tunt hyllplan (plana) med massan m är fäst i en led (gångjärn)

Läs mer

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, ht 2018

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, ht 2018 Inlämningsuppgifter i Funtionsteori, ht 208 För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa.

Läs mer