= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

Transkript

1 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd är helt eelt e följd av tal a, a, a, Tale a, som allas följdes elemet, a vara heltal, reella tal eller omplexa tal och följde a vara ädlig eller oädlig, äve om det seare är det valigaste i matematie När ma allmät disuterar talföljder så bruar umrerige av elemete a börja på, me det är ite ödvädigt; iblad a det vara ädamålseligt att umrera dem på ågot aat sätt Det fis flera olia sätt att defiiera elemete i e talföljd: Med hjälp av e formel som i Exempel och Reursivt, vilet iebär att a uttrycs med hjälp av ett eller flera av de föregåede elemete Följdera i Exempel 9, och är reursivt defiierade Geom ågo egesap, t ex att vote mella två på varadra följade elemet alltid har samma värde (e geometris talföljd, se eda och boe Exempel 5 samt avsitt ) På ågot aat, mer eller midre fatasifullt sätt Exempelvis sulle ma ua låta a vara atalet bostäver i ord ummer i Krig och fred Tolstojs roma är visserlige gasa tjoc, me följde blir förstås ädå ädlig Avsitt Aritmetisa följder och summor är, till sillad frå geometrisa, ite så valiga i tillämpigar Sats är därför betydligt vitigare ä Sats Sist i Sats står e meig som förmodlige är felformulerad De bör lyda så här i stället: Summa S allas e geometris summa Efter Exempel 7 iförs det vitiga begreppet serie E summa har alltid bara ädligt måga termer, meda e serie a ha oädligt måga Eftersom ma ite a lägga ihop oädligt måga termer, så är det ite självlart vad ma sall mea med summa av e serie I apitlet om gräsvärde ommer detta att disuteras Att ma måste vara atsam är ma maipulerar serier framgår av följade halsbrytade räig: Betrata talföljde a ( ),,,, och motsvarade serie a + a + a Låt oss sätta i pareteser på två olia sätt och försöa räa ut summa: å ea sida är ( ) + ( ) + ( )

2 och å de adra sida är ( ) ( ) Följde a är ju dessutom geometris med vote Formel i Sats a) ger att summa av serie är ( ) Har vi fuit e motsägelse i matematie? Nej, lösige på de här paradoxe är att ma får ite maipulera serier på samma sätt som ädliga summor Formel i Sats gäller till yttermera visso bara då vote uppfyller < Avsitt Summasymbole äer du förmodlige till seda tidigare, och om ite, så är det bra om du lär dig aväda de u Sats 4 iehåller bara två självlarheter och beviset a du hoppa över (det är ite ett dugg upplysade) Produttecet är ett stort pi E särsilt vitig produt är faultete som defiieras geom j j Således är! (då har produte bara e eda fator),!,! 6 osv Räa ut 4!, 5! och 6! själv Observera att för gäller ( ) ( )! De här formel aväder ma då ma sall defiiera! Om vi vill att de sall gälla äve då, så måste! ( )!! och ma sätter därför! Jämför det här med hur ma gör för att defiiera a Faulteter uppträder aturligt i måga matematisa sammahag, som du ommer att se i urse För seare bru sall vi bara äma ett sådat Låt f(x) x, där är ett positivt heltal, dvs,,, Deriverar vi f upprepade gåger så får vi f (x) x f (x) ( )x f () (x) ( )( )x f (4) (x) ( )( )( )x 4 f (5) (x) ( )( )( )( 4)x 5 och allmät f () (x) ( ) ( ( ))x

3 (betecige f () betyder alltså derivata av ordig till f) Derivata av ordig blir således f () (x) ( ) x Äve produte ( ) ( ( )) a uttrycas med hjälp av faulteter: ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ) ( )( ) ( )! Sammafattigsvis är alltså f () (x) Vi sall aväda de här formel eda Avsitt 5 ( )! x () Ett biom är ett uttryc med två termer, t ex a + b Eligt vadrerigsregel är (a + b) a + ab + b och uberigsregel säger att (a + b) a + a b + ab + b De vitiga biomialsatse är geeraliserige av de här formlera till högre poteser (a + b) För att ua formulera satse behöver ma iföra de s biomialoefficietera ( ) När och är heltal sådaa att så sätter ma!( )! () Det ommer sart att visa sig att biomialoefficietera är heltal, me det är ite självlart ur defiitioe () De här tale har massor av itressata egesaper, av vila vi sall se ågra eda Till att börja med a vi otera att Vidare är eftersom!!( )! ( )!( ( ))!!( )!

4 E yttig räig med brå är ( ) ( ) + Sammafattig: + ( )!( ( ))! +!( )! ( )!( + )! +!( )! ( + ) +!( + )!!( + )! ( + + ) ( + )!( + )! ( + )!!( + )!!( + )! + () (4) + för (5) Pascals triagel är ett slags tabell över biomialoefficietera i vile rad ummer iehåller tale ( ), ( ), ( ),, ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( 5 4 ) ( 4 4) 5) Numrerige av radera börjar alltså med, så det översta talet i toppe av triagel är ( ) och av egesape () följer att de begräsas av ettor Formel (4) iebär att triagel är symmetris med avseede på lodlije och (5) att ett visst tal i de är summa av de två tal som står ärmast i rade ovaför, exempelvis är ( ) ( ) !!! + 4! ( ) 5! !!!! 4

5 De här egesape gör att ma lätt a ostruera triagel successivt med börja i toppe: Sriv som övig er hela triagel t o m rad! Det här successiva sättet att ostruera Pascals triagel visar att de består av positiva heltal, vilet i si tur visar att biomialoefficietera fatist är heltal Lägg märe till att de defiieras som vissa ratioella tal och att det ite är uppebart att ma alltid a förorta bort ämara Vi a u formulera biomialsatse: (a + b) a b Om ma aväder ( ( ) ) och a b så blir detta utsrivet ( ) ( ) ( ) (a + b) a + a b + a b + + ab + b Ma a ju lägga märe till att ( ) ( )!( )! Beviset för biomialsatse igår ite i urse och framför allt sall du ite försöa läsa det bevis som fis i boe (det aväder e tei som allas idutio som vi ite sall prata om) För de som är särsilt itresserad följer här ett aat, lite elare bevis som aväder derivata Sätt f(x) ( + x) ; då är f ett polyom av grad Vad häder är ma multiplicerar ihop de paretesera ( + x) ( + x)( + x) ( + x)? Jo, ma får e summa i vile termera uppstår geom att ma tar atige eller x ur var och e av paretesera och multiplicerar ihop dem Termera i summa har alltså utseedet x för,,,,, så det fis tal c sådaa att ( + x) c x + c x + c x + + c x + c x 5

6 E term x a ma få bara geom att ta :a ur alla pareteser och e term x får ma geom att ta x ur e paretes och :a ur de adra paretesera E term av forme x får ma geom att ta x ur pareteser och :a ur de övriga Allmät gäller att c är atalet sätt att få e term x, vilet är lia med atalet sätt att välja ut x ur pareteser och :a ur reste Eftersom c :a tydlige betyder atalet sätt att göra ågot, så måste de vara positiva heltal Lihete ( + x) c + c x + c x + + c x gäller för alla x, speciellt gäller de för x Me då blir västerledet lia med och i högerledet blir bara c var Alltså är c Om vi deriverar båda lede så får vi ( + x) c + c x + c x + + c x och sätter vi x här så får vi c Här påstår vi alltså att derivata av f(x) (+x) är f (x) (+x) ; för e motiverig av detta se eda För att bestämma oefficiete c sall vi derivera gåger Vi har för det första Alltså är f () (x) ( ) ( ( ))( + x) f () () ( )! ( + x) ( )! (6) Eligt formel () ova är derivata av ordig av x j lia med då j <! då j då j >! (j )! xj De termer i f () (x) som iehåller ett eller flera x blir då vi sätter x och de eda term som överlever är!, dvs Eligt (6) och (7) är således!c f () ()!c (7) ( )!, så att c!( )! Vi har u visat att ( + x) c x x 6

7 För att härur få biomialsatse gör vi så här: Om a är satse självlar (båda lede är lia med b ) Om a så a vi göra omsrivige ( ( (a + b) a + b )) a ( + x), där x b a a Alltså är (a + b) a x a a a b ( ) ( ) b a a b Beviset är lart, så är som på att vi sall motivera varför derivata av f(x) ( + x) är f (x) ( + x) Defiitiosvis är f f(x + h) f(x) ( + x + h) ( + x) (x) lim lim h h h h Sätt ett ögoblic + x t; då är f (t + h) t (x) lim h h Me gräsvärdet i högerledet är ju iget aat ä derivata av t, som vi eligt gymasiematematie vet är lia med t Alltså är f (x) t ( + x) Lösigar till ågra övigar d) Ledig: Tale, 4, 6 och 56 osv är poteser av 5 Beteca radie frå börja med R och radie efter 4 dagar med R Motsvarade volymer är V 4πR / respetive V 4πR / 4 dagar är 4-dagarsperioder, så V V 8V Härav får vi R 8R och R R 9 Om det :te talet är a och vote, så gäller a a Alltså är a a, vilet ger 7 a ( /) och a 8 Det sjätte talet blir a 6 8( /) 5 7/8 Låt orgaismes vit frå börja vara m Efter e matig väger de och efter två matigar m m + m m( +, 5), 5m m m +, 5m, 5 m 7

8 osv, så att m, 5 m För att få reda på är de har fördubblat si vit måste vi lösa evatioe, 5, som ger l / l, 5 4, Svaret är alltså efter 5 timmar 9b) p p p+ 8 p+ p p p 8 8 p 8 ( 8 Detta är e geometris serie med vot /8 /4 Eftersom vote ligger mella och så är serie overget och dess summa är 8 /4 d) Som de står är serie ite geometris, me ma a dela upp de i två geometrisa serier: p ) p i i + 5 i i i i i + i 5 i i i /5 /5 + / / 5 4 ( ) i + 5 i ( ) i Observera att serieras voter /5 och / ligger mella och så att seriera är overgeta e) Sätt t + : t e t 4 t+ e 4 e ( e ) e 4 eftersom vote e/4 ligger mella och f) ( ( ) p p ( ) ) p p e/4 4 e (4 e) ( ( ) ) p ( ) p p (/) / eftersom votera (/) och / ligger mella och 8

9 c) Biomialsatse ger ( ) 4 x + x (x + x) ( ) 4 x (4 )+ ( ) 4 (x ) 4 (x) 4 ( ) 4 x 4 x x + 6 4x + 4 8x + 6x 4 x x x + 6x 4 4 Eligt biomialsatse är ( ) x x (x / x ) ( ) ( ) x ( ) ( ) (x / ) (x ) ( ) ( ) x 5 5/ För att e term sall vara oberoede av x måste 5 5/, dvs Terme i fråga är ( ) ( ) 45 5a) Efter dagar har populatioera storleara a ( +, ), respetive b, Biomialsatse ger a ( +, ) ( +, +, +, ) ( +, +, +, ), och b ( +, +, +, ) b) Vi måste bestämma det mista värde på sådat att b a, dvs,, Olihete a srivas,, och logaritmerig ger dvs Svaret är således efter 9 dagar ( ), l l,, l ) 8, l (,, 9