Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning..."

Transkript

1 Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7 Talföljder som ges av rekursiosformler...7 Fiboaccital och adra likade tal...8 Summor...10 Algoritmer och programmerig...11 Uppgift Uppgift 2404, logiska val...11 Upprepigar...12

2 Grafräkare och diskret matematik I Natur och Kulturs lärobok Matematik 3000 diskret matematik fis då och då e grafräkarsymbol i margiale. De markerar att du kaske ka behöva hjälp med hur räkare ska avädas. Här fis hjälp och tips till dessa uppgifter. Här fis förslag till hur du ka aväda di räkare också till e del adra uppgifter, ite mist i avsitte om programmerig. Hjälpe är framför allt apassad till modellera CFX-9850GB+ och fx- 9750G. De övriga grafräkara i Casios utbud är såpass lika i uppbyggad och logik, att du kappast ska ha ågra problem att följa istruktioera som ges på hjälpsidora, äve om du t ex har e CASIO FX-2.0. När du köpte di Casio grafräkare, ska du ha fått e cd-skiva, som heter Upptäck Matematike. De är gjord som e kompletterig till di matematikbok, för att du ska få maximal glädje av di grafräkare, och för att du ska lära dig matematik så effektivt som möjligt med grafräkares hjälp. Upptäck Matematike iehåller över femtio aimerade filmer om matematik och grafräkare, som täcker i det mesta iom samtliga gymasiets matematikkurser. Filmera ka spelas upp på sveska eller på egelska, så skiva är också avädbar om du vill lära dig matematik på egelska. Till cd-skiva fis e Aktivitetsbok med e hel del laborativa matematikuppgifter. Boke, liksom cd-skiva, ka di lärare beställa kostadsfritt frå: Sese Office AB, De fis också som pdf-fil, som ka hämtas frå Seses hemsida eller frå Broma Plaetariums hemsida, Därifrå ka du också titta på filmera i Upptäck Matematike. På Sese hemsida fis ytterligare material speciellt för lärare. Där fis bl a ett femtiosidigt kompedium som beskriver grafräkare i udervisige och bilder som uderlag till t ex OH-bilder av de olika räkara. Där fis också ett kompedium som beskriver de olika versioera av de tekiska räkare CASIO fx-82, och hur de ka yttjas i matematikudervisige. När vi beskriver hur du ska trycka på di räkare, skriver vi alltid med fet, kursiv stil, t ex: 2 ( ) EXE. Ord iom hakpareteser, t ex [Solve], refererar till meyer, där du väljer med ågo av kappara F1... F6. Om du trycker på OPTN, så får du e mey, där det sista meyvalet är e högerpil. De ager att det fis mera. Kappe F6 bläddrar då mella de sidomeyer som fis. Vad hadlar diskret matematik om? På s 7 i läroboke fis e ruta lite allmät om diskret matematik. E uppgift som fis där lyder: Visa att alla tal på forme är delbara med 16. Att kua lösa e såda uppgift hadlar ofta om att kua fia ågot slags möster. Om du skapar e tabell över tal på forme 5 4 1, så är ett möster svårt att fia. Me om du tittar på tal av forme 5, så utkristalliseras sart ett: 1

3 Öppa RUN-föstret och skriv: 5 EXE 5 EXE EXE EXE... Alla tal med mist fyra siffror slutar på 3125, 5625, 8125 eller 0625, och dea svit av slutsiffror upprepas gåg på gåg. Talet är delbart med 16. (Kotrollera detta!) Om därför de sista fyra siffrora i ett tal är delbara med 16, så är hela talet delbart med 16. Vi kotrollerar delbarhete i de fyra tale ova miskade med ett: Talet 3124 är ite delbart med 16, me 3120 är det. Lägg u märke till att ursprugliga formel hade vi = = 5. I de 5624 behöver på motsvarade sätt miskas med 8 för att bli delbart med 16, och 8124 behöver miskas med 12. Tal vars fyra sista siffror är 0624 är delbara med 16. I ästa sekves får vi osv. Bevisgåge går att formalisera mera med hjälp av modulusoperator, som beskrivs lägre fram i boke. Exemplet här är ett exempel på de ytta ma ka ha av räkare, är ma experimeterar med ett uttryck som ma vill bevisa ågot om. 2

4 Permutatioer och kombiatioer Öppa RUN-föstret och välj OPTN. I första sidomey fis valet [PROB]. Där fis de fuktioer du behöver för att beräka atalet permutatioer och atalet kombiatioer. Där fis också e slumptalsgeerator, som gör det möjligt att experimetera med saolikheter. Att ur e föreig med 4 medlemmar välja e ordförade, e sekreterare och e kassör ka göras på P(4, 3) olika sätt. På räkare ka du skriva 4 [Pr] 3 EXE. Atalet sätt att placera 30 elever i 30 bäkar ka bestämmas geom P(30, 30), me det är ju faktiskt detsamma som 30!. Skriv 3 0 [x!] EXE. Om tre persoer ur föreige med fyra medlemmar ska åka på e koferes, så beräkas 4 atalet kombiatioer med eller C(4, 3). Motsvarade fuktio på räkare heter [Cr], 3 och du ka skriva 4 [Cr] 3 EXE. Atalet pokerhäder med 5 kort ur e kortlek med 52 kort beräkar vi också med [Cr]. 3

5 Något om heltalsräkig Här arbetar vi uteslutade i RUN-föstret om iget aat sägs. Talteori hadlar om egeskaper hos framför allt heltal. Det går att ställa i räkare för just heltalsräkig. Uder SHIFT SET UP fis alla olika iställigar du ka göra på di räkare. De översta iställige hadlar just om decimalräkig eller heltalsräkig. [Comp] är iställige för valig räkig, meda de övriga ger heltalsräkig i basera 10 (decimala tal), 16 (hexadesimala tal), 2 (biära tal) resp 8 (oktala tal). Vi har i bilde ställt i räkare för räkig i base 10. När du gjort omställige och tryckt på EXIT, så får du e mey med vale [d~o] och [LOG]. Det första meyvalet låter dig skriva i tal i e aa bas ä de som just u är aktuell. För att räka om talet 1234 åtta till ett tal i base tio, så skriver du [o] EXE, där alltså [o] ager att det iskriva talet är oktalt. För att skriva 769 tio i base åtta, så ställer du först i Mode: [Oct] uder SHIFT SET UP, och skriver seda [d] EXE. Modulusoperator Heltalsdivisio, m, på räkare ger som resultat det största heltal som är midre ä eller lika med motsvarade operatio i [Comp]-läge. Egetlige är 27 3 = 2, vilket vi ofta uttrycker som 2 med reste 3. Det vi egetlige beräkar, är vi beräkar 27 (mod 12) är reste i divisioe Det ka vi göra på räkare med följade beräkig: EXE. 4

6 I heltalsaritmetike på räkare är = = = 3. Visserlige har divisio och multiplikatio lika prioritet (me högre ä subtraktio), me de beräkas i de ordige de står. Faktoriserig i primfaktorer Som du kaske reda märkt, eller åtmistoe sart kommer att märka, så har ma stor ytta av att dela upp tal i primfaktorer. Hadlar det om små tal, är det gaska lätt att göra i huvudet, me stora tal blir strax svårare. Är det t ex så självklart att talet är ett primtal? Det ka vara bra att ha ett program för faktoriserig på räkare. När du vill skriva ett program på räkare, så börjar du med att gå i i PRGM-föstret. Där fis e lista över de program som reda fis i räkares programmie samt e mey. När du ska skriva ett ytt program, så trycker du på [NEW], vilket ger ett föster där du ger ditt ya program ett am. Avsluta med EXE, så får du ett föster, där du ka skriva programmet. På ästa sida fis hela programmet listat och kommeterat. När du skrivit programmet, gått ur programmerigsläget med EXIT, och vill köra det, så är det eklast att markera programmet och välja [EXE]. Vi provar med att faktoruppdela 15732: Om du direkt trycker på EXE, så körs programmet e gåg till, och vi ka prova med talet

7 [? ] X Räkare skriver ut ett frågetecke och vätar på ett tal, som lagras i mie X. Det är det talet som ska faktoriseras. [? ] fis uder SHIFT PRGM. 2 P Talet två, som är det mista primtalet, lagras i mie P. [While] P X X P Y [If] Y = [It] Y Om X ite är ett primtal, så är mista faktor högst X. Vi behöver aldrig testa lägre ä så. Kommadot [While] fis uder SHIFT PRGM [COM] i e sidomey. Om villkoret i satse ite är uppfyllt, så sker hopp till rade efter [WhileEd]. Vi testar om Y är ett heltal, för i så fall är X delbart med P. I aat fall ska P få ästa udda tal som värde. [If] fis uder SHIFT PRGM [COM]. [The] P [ ] Satse skriver ut P och vätar tills ma trycker på EXE. De s k stoppbocke fis uder SHIFT PRGM Y X [Else] [If] P = 2 [The] 1 P [IfEd] P + 2 P [IfEd] X får ett värde där faktor P divideras bort. Sker detta, så hoppar programmet till [WhileEd], varifrå hopp sker tillbaks till [While], och samma faktor testas e gåg till. Hit hoppar programmet om villkoret i [If]- satse är falsk. När X ite lägre är delbart med 2, så ska ästa primtal vara tre. Därför ger vi P värdet 1 iför uppräkig. Hit hoppar programmet om P ite är två. I mey uder SHIFT PRGM [COM] står det [I-Ed]. P får ästa udda värde. Om det ursprugliga värdet på X vore delbart med t ex 9, så har programmet reda givit två treor som faktorer. Alla faktorer som programmet ger är primtal. [WhileEd] X Hopp sker tillbaks till [While]-satse. I mey står det [Wed]. Om iga villkor lägre är uppfyllda, så är X ett primtal, och skrivs ut som sista faktor. 6

8 Talföljder Casio-räkaras RECUR-föster iehåller de verktyg du behöver för att kua studera talföljder och rekursiosformler. Välj [TYPE], så får du upp följade föster: a ger talföljder där varje tal ges av talet, t ex a = Vi vill skapa e tabell med de tio första tale i talföljde. Välj därför [a]. Nu ka du skriva formel [] EXE. Välj u [RANG] för att age vilka tal i talföljde du vill se. Tryck slutlige på EXIT och välj [TABL]. Du ka bläddra i talföljde med uppåt- och edåtpilara. E beräkad tabell ka exporteras till e lista. Det går till så, att med ågot tal markerat i de kolum du vill exportera, trycker på OPTN [LIST] [LMEM][List1]. Om du växlar till STATeller LIST-föstret, så fis talföljde där. Talföljder som ges av rekursiosformler Öppa RECUR-föstret och välj [TYPE]. Här ager [a+1] rekursiosformler där varje tal i talföljde ka beräkas ur det föregåede talet. [a+2] ager rekursiosformler där varje tal ges av de två föregåede tale. Vi tittar på exemple på s 60. Exempel 1. f ( 1) = 4, f ( + 1) = f ( ) + 3. Talföljde ka också beskrivas lite mer räkarmässigt : a = a + ; a 1 =. Välj [TYPE] [a+1] och skriv i formel. Observera att [a] fis uder [a]. 7

9 Startvärde och omfåg ställs i uder [RANG]. Observera att startvärdet i det här fallet ska vara av type [a1]. Tryck slutlige på EXIT och [TABL]. Exempel 2.! ka defiieras rekursivt med formel a + 1 = ( + 1) a; a0 = 1. Formel och iställig uder [RANG] ser då ut så här: I det här fallet aväder vi startvärde [ao]. Fiboaccital och adra likade tal Talföljde 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., där varje tal ges av summa av de två föregåede tale, kallas Fiboaccis talföljd efter de italieska 1200-talsmatematiker Fiboacci eller Leoardo frå Pisa. Talföljde ges av rekursiosformel a + 2 = a + a+ 1; a1 = a2 = 1. Välj [TYPE] [a+2], så ka du skriva formel och rage så här: Tryck på EXIT och välj [TABL], så får du e tabell över de första 20 Fiboaccitale. Vi låter u talföljde b + 2 = a a+ 1, dvs kvote mella två ärliggade Fiboaccital. Vi ka u observera att skillade mella tale i talföljde b miskar för allt större, och ma ka visa att talföljde går mot det tal som kallas för det gyllee sittet. Udersök talföljde b för adra startvärde ä a 1 = 1 och a 2 = 1, gära olika, gära egativa och gära irratioella som π eller si(43 ). Vad upptäcker du? Ma ka visa att om m och är två godtyckliga positiva heltal sådaa att m >, så utgör a = m, b = 2m och c = m + tre heltal sådaa att a + b = c. Det är alltså e geerator för rätvikliga triaglar med heltalssidor, s k Pytagoreiska taltripplar. 8

10 Om ma väljer och m som två på varadra följade tal i talföljde a + 2 = a + 2 a + 1, så kommer motsvarade tal a och b att vara två ärliggade tal, dvs skillade mella a och b är 1. Om du vill udersöka dea egeskap ärmare, så är det praktiskt att exportera tabelle över talföljde till LIST-föstret. Då går det hyggligt ekelt att räka med tale i talföljde äve i RUN-föstret. Vi visar som exempel där det sjude och åttode tale i talföljde aväds. Först sparar vi det sjude talet i mie N och det åttode talet i mie M. Hakparetesera fis ovaför tagetera + och -. Nu beräkar vi lätt m och m Två ärliggade heltal som ka utgöra mätetale till katetera i e rätviklig triagel med heltalssidor kallas för Pytagoreiska tvilligar. Ma ka visa att alla tal geererade med rekursiosformel ova i si tur geererar Pythagoreiska tvilligar. Bevismetode är ett s k iduktiosbevis, de bevismetod som beskrivs på sidora 65 67: Visa att = 1 och m = 2 geererar triagel 3, 4, Atag att m 2m = 1 (iduktiosatagade). 2 2 Visa att ( + 2m) m 2( + 2m) m = 1. 9

11 Summor Exempel Beräka exakt k och. k = 1 = Räkare har e summerigsfuktio, som fis i e sidomey uder OPTN [CALC]. För att 5 beräka k k = 1 4, ka du skriva: [Σ( ] ALPHA K ^ 4, ALPHA K, 1, 5 ) EXE 6 2 För att få summa = i bråkform, måste du mata i formel som ett bråk. Resultatet är

12 Algoritmer och programmerig I fotote s 68 påpekas att ma ka välja ågra uppgifter och programmera dem på e dator. Me CASIO grafräkare har ett BASIC-likade programmerigsspråk, som väl lämpar sig till uppgiftera i läroboke. Vi visar med ågra exempel hur språket fugerar. Uppgift 2401 Ett tal ska multipliceras med 6, subtraheras med 12, divideras med 3 och adderas med 4. När du gått i i PRGM-föstret, så välj [NEW] för att skapa ett ytt program. I ästa föster ska du ge programmet ett am, t ex EX241. Du skriver med bokstävera ovaför kappara, me ia du skriver siffrora i amet, så tryck på ALPHA. Avsluta med EXE. Här följer e tabell, där västerkolume ger e listig av programmet, och högerkolume ger kommetarer. SKRIV ETT TAL? X X 6 X X X X 3 X X + 4 X Citatiostecke gör att texte skrivs ut på skärme. När du skriver texte, så tryck först på SHIFT ALPHA. Då fis citatiostecket som val på F2.? X iebär att räkare vätar på att ett tal följt av EXE skrivs i. Det talet lagras i mie X. Retursymbole får du geom att trycka på EXE. Här görs de första räkeoperatioe. Resultatet av operatioe sparas i mie X, me skriv ite ut på skärme. Resultatet av de sista beräkige skrivs alltid ut på skärme. Avsluta programmerige geom att trycka på EXIT kaske ett par gåger, så att du får det första PRGM-föstret på skärme. När du kör ett program, så sker det alltid i RUN-föstret. Me det är eklast att starta det geom att markera det i PRGM-föstret och trycka på EXE eller att välja [EXE] i mey. Uppgift 2404, logiska val Programmet ska ta i vikt V och lägd L på e perso och beräka Body Mass Idex, BMI 2 eligt formel BMI = V / L. Vikte ages i kg och lägde i m. Vi ska dock göra programmet förlåtade i de meige att om lägde matas i i cm, så ska programmet räka om till m. Om BMI > 25, så ska programmet svara OEVERVIKTIG, aars, om BMI < 18 ska programmet svara UNDERVIKTIG, aars OK. 11

13 Logiska val åstadkommes på räkare uder SHIFT PRGM [COM] med kommadoa [If], [The], [Else] och [I-Ed]. Det sista kommadot skrivs ut som IfEd på skärme, och avslutar de del av ett program där logiska val görs. Program BMI VIKT? V LAENGD? L If L > 10 The L L IfEd V L x 2 B If B > 2 5 The OERVIKTIG Else If B < 1 8 The UNDERVIKTIG Else OK IfEd IfEd Lägger vikte i mie V Lägger lägde i mie L Här kollas om lägde är imatad i meter eller i cm; ige mäiska är lägre ä tio meter. Olikhetstecke fis uder SHIFT PRGM [REL] (som fis i e sidomey). L räkas om till meter. Slut på hela If-satse. BMI beräkas och lagras i mie B Detta är e y IF-sats, där vi udersöker BMI. Vi ästlar e IF-sats iuti de If-sats vi skriver. Detta är slutpukte för de ästlade ifsatse. Slut på if-satse som börjar på de sjude rade, också slut på programmet. Om du har kört programmet e gåg och fått ett resultat, så ka du köra programmet e gåg till geom att trycka på EXE. Om du i stället trycker på AC eller utför ågo aa beräkig, så avslutas programmet. Hur reagerar programmet om Tia väger 50 kg och är 174 cm låg? Upprepigar Öppa RUN-föstret och skriv 2 EXE 2 EXE EXE EXE. Varje gåg du trycker på EXE, så multipliceras det sist uträkade resultatet med två. Samma beräkig, me med ya igågsvärde, upprepas gåg på gåg. I ästa all programmerig förekommer upprepigar, atige ett givet atal gåger eller, vilket är valigare, tills dess att ett givet villkor är uppfyllt. Titta på sidomeyera uder SHIFT PRGM [COM]. Det går bra att göra i RUN-föstret också. 12

14 [For] [To] [Step] [Next] är de svit av kommado som aväds är ma vill göra ågot ett givet atal gåger. Typiskt ser det ut så här. Vi väljer uppgifte 2409: Program EX X Lägg märke till att boke, liksom måga programmerigsspråk, skriver x:=10. Räkare aväder tilldeligspile i stället. [For] 1 N [To] 4 X + 2 X [Next] Här är miet N e räkare, som första gåge atar värdet 1, adra gåge värdet 2 osv. Hade jag velat aväda N i mia beräkigar, och att N bara skulle ata jäma värde, så hade jag kuat skriva: [For] 2 N [To] 8 [Step] 2 Här görs de upprepade beräkige. Här sker hopp tillbaks till adra rade så läge N < 4. Aars avslutas programmet, och det sist uträkade resultatet skrivs ut. [While] [WEd] [Do] [Lp-W] är två typer av upprepigar. De ser ut så här: Program EX2410A 5 X [While] X < 100 X + 1 X 2 X X [WEd] [While] står alltid tillsammas med ett villkor, som också testas i dea rad. Är villkoret ite uppfyllt sker hopp till rade efter [WEd], eller, som i det här fallet, programmet avslutas och resultatet av de sista uträkige skrivs ut. Olikhetstecket fis uder SHIFT PRGM [REL] (som fis i e sidomey). På skärme står det WhileEd, och markerar slutet på e While-loop. Program EX2410B 1 X [Do] Så läge villkoret i rad 5 är uppfyllt, så sker hopp tillbaks till dea rad. 13

15 3 X X X + 5 X [Lp-W] X 9 0 Stoppbocke, som fis uder SHIFT PRGM, ager att det beräkade värdet ska skrivas ut. Programmet vätar seda tills dess att du trycker på EXE. Så läge villkoret X 90 så sker hopp tillbaks till rade [Do]. Aars avslutas programmet, och resultatet av de sista uträkige skrivs ut (e gåg till). 14

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Visst kan man faktorisera x 4 + 1 Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual SE 65.044.20-1 INNEHÅLL Tekiska data Sida 2 Motage Sida 3-5 Programmerig Sida 6-11 Admiistrerig Sida 12-13 Hadhavade Sida 14-16 TEKNISKA DATA TEKNISK SPECIFIKATION

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad

Läs mer

Systemdesign fortsättningskurs

Systemdesign fortsättningskurs Systemdesig fortsättigskurs Orgaisatio Föreläsare Potus Boström Assistet? Tider mådagar och tisdagar kl. 8-10 Börjar 3.9 och slutar 16.10 Rum B3040 Orgaisatio Iga föreläsigar 24.9, 25.9, 1.10 och 2.10

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Operativsystem - Baklås

Operativsystem - Baklås Operativsystem - Baklås Mats Björkma 2017-02-01 Lärademål Vad är baklås? Villkor för baklås Strategier för att hatera baklås Operativsystem, Mats Björkma, MDH 2 Defiitio av baklås (boke 6.2) A set of processes

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett

Läs mer

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen Lärarhadledig Att bli kvitt virus och suva - När Lisa blev av med förkylige För ytterligare iformatio kotakta projektledare: Charlotte.Kristiasso@phs.ki.se 1 Iledig Atibiotikaresistes är ett växade problem

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005 Dr 1345/01/2005 Föreskrift om publicerig av yckeltal för elätsverksamhete Utfärdad i Helsigfors de 2. december 2005 Eergimarkadsverket har med stöd av 3 kap. 12 3 mom. i elmarkadslage (386/1995) av de

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Bertrands postulat. Kjell Elfström F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter.

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter. 1(10) Svar lämat av (kommu, ladstig, orgaisatio etc.): Remiss Remissvar lämas i kolume Tillstyrkes term och Tillstyrkes (iitio) och evetuella sypukter skrivs i kolume Sypukter. Begreppe redovisas i Socialstyrelses

Läs mer

Allmänna avtalsvillkor för konsument

Allmänna avtalsvillkor för konsument Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

Digitalteknik F6. Några sammansatta digitala komponenter och lite designmetodik. Digitalteknik F6 bild 1

Digitalteknik F6. Några sammansatta digitala komponenter och lite designmetodik. Digitalteknik F6 bild 1 Digitaltekik F6 Några sammasatta digitala kompoeter och lite desigmetodik Digitaltekik F6 bild Sammasatta kompoeter Problem: E större kostruktio är praktiskt omöjlig att mauellt realisera med bara gridar.

Läs mer

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på? SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Finansiell ekonomi Föreläsning 2

Finansiell ekonomi Föreläsning 2 Fiasiell ekoomi Föeläsig 2 Fö alla ivesteigsbeslut gälle: Om ytta > Kostad Geomfö ivesteige Om Kostad > ytta Geomfö ite ivesteige Gemesam ehet = pega Vädeig = makadspis om sådat existea (jf. vädet av tid

Läs mer

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska

Läs mer

Många tror att det räcker

Många tror att det räcker Bästa skyddet Måga vet ite hur familje drabbas ekoomiskt om ågo dör eller blir allvarligt sjuk. Här berättar Privata Affärer vilket skydd du har och hur du ka förbättra det. Av Aika Rosell och Igrid Kidahl

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

Universitetet: ER-diagram e-namn

Universitetet: ER-diagram e-namn Databaser Desig och programmerig Fortsättig på relatiosmodelle: Normaliserig fuktioella beroede ormalformer iformatiosbevarade relatiosschemauppdelig Varför ormalisera? Metod att skydda oss frå dum desig

Läs mer

Samtal med Karl-Erik Nilsson

Samtal med Karl-Erik Nilsson Samtal med Karl-Erik Nilsso,er Ert av Svesk Tidskrifts redaktörer, Rolf. Ertglud, itejuar här Karl-Erik Nilsso, ar kaslichej på TCO och TCO:s represetat ed i litagarfodsutredige. er e t or så å g. ). r

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter

Läs mer

Vikingen FutureLook. Delphi Finansanalys AB

Vikingen FutureLook. Delphi Finansanalys AB Vikige FutureLook by Delphi Fiasaalys AB Referesmaual för Vikig FutureLook Översikt Futurelook är ett uikt och mycket kraftfult verktyg för fiasaalytiker och kapitalplacerare. Med FutureLook är det möjligt

Läs mer

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Sveby står för Stadardisera och verifiera eergiprestada i byggader och är ett

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

TRIBECA Finansutveckling

TRIBECA Finansutveckling TRIBECA Rådgivare iom fiasiella helhetslösigar TRIBECA a s k r e i v g S f a s k r i e v g S f g g r r e e a r a r e e i i f f TRIBECA s målsättig är att bidra med råd & produkter som hela tide gör att

Läs mer

Art. 7953. Brugsanvisning

Art. 7953. Brugsanvisning Art. 7953 D GB F NL S I E DK Gebrauchsaweisug Licht- / Wasserspieldüse Operatig Istructios Light ad Waterworks Jet Mode d emploi Buse pour jet d eau avec éclairage Gebruiksaawijzig Licht- / waterspelsproeier

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Inledande kombinatorik LCB 2001

Inledande kombinatorik LCB 2001 Iledade kombiatorik LCB 2001 Ersätter Grimaldi 1.1 1.4, 3.1 (delvis) 1 Additios- och multiplikatiospricipera Kombiatorik hadlar om koste att räka atalet av saker och tig. Hur måga gåger geomlöpes e viss

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter 7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas

Läs mer

Universitetet: ER-diagram e-namn

Universitetet: ER-diagram e-namn Databaser Desig och programmerig Fortsättig på relatiosmodelle: Normaliserig fuktioella beroede ormalformer iformatiosbevarade relatiosschemauppdelig Varför ormalisera? Metod att skydda oss frå dum desig

Läs mer

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder; MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft

Läs mer

Enkät inför KlimatVardag

Enkät inför KlimatVardag 1 Ekät iför KlimatVardag Frågora hadlar om dia förvätigar på och uppfattigar om projektet, samt om hur det ser ut i ditt/ert hushåll idag. Ekäte är uderlag för att hushållet ska kua sätta rimliga och geomförbara

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta. KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso

Läs mer

AMF. I princip är det bara möjligt att flytta privat sparande och sparande där avtalet tecknats efter den 2 februari i fjol.

AMF. I princip är det bara möjligt att flytta privat sparande och sparande där avtalet tecknats efter den 2 februari i fjol. Välj att flytta dia Utyttja di flytträtt om du ka. Det är Privata Affärers råd u är regeriges tillfälliga flyttstopp hävs de 1 maj. Flyttstoppet ifördes i februari i fjol som e direkt följd av Damarksmålet.

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i

Läs mer

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede.

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede. VÄSTIA DUSJROM Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjorike alterativ på markedet. Tilpasigs-mulighetee er este ubegresede. HML Hjelpemiddel-leveradøre AS Braderudv. 90, 2015

Läs mer

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt Lektio 3 Kära Bidigseergi och assdefekt Några begre och beteckigar Nuklid Nukleo Isotoer Isobarer Masstal A Atouer Z E ato ed ett bestät atal rotoer och eutroer. Beteckas ofta A ed skrivsättet Z Xx där

Läs mer

Frasstrukturgrammatik

Frasstrukturgrammatik UALA UNIVERITET Metoder och tillämpigar i språktekologie Istitutioe för ligvistik och filologi Föreläsigsateckigar Mats Dahllöf http://stp.lig.uu.se/~matsd/uv/uv07/motist/ Oktober 2007 Frasstrukturgrammatik

Läs mer

Datastrukturer och algoritmer

Datastrukturer och algoritmer Iehåll Föreläsig 6 Asymtotisk aalys usammafattig experimetell aalys uasymtotisk aalys Lite matte Aalysera pseudokode O-otatio ostrikt o Okulärbesiktig 2 Mäta tidsåtgåge uhur ska vi mäta tidsåtgåge? Experimetell

Läs mer

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tetame i EG2050/2C1118 Systemplaerig, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tillåta hjälpmedel Vid dea tetame får följade hjälpmedel avädas: Miiräkare uta iformatio med akytig till kurse. E hadskrive, ekelsidig

Läs mer

Hur månfa indianer...? och andra gåtor Lärarmaterial. Vad handlar boken om? Mål från Lgr 11: Att arbeta med gåtor. Lek med ord och bokstäver

Hur månfa indianer...? och andra gåtor Lärarmaterial. Vad handlar boken om? Mål från Lgr 11: Att arbeta med gåtor. Lek med ord och bokstäver Lärarmaterial sida 1 Författare: Keld Peterse Vad hadlar boke om? Här får ma täka till! Ka du lösa gåtora? Mål frå Lgr 11: Lässtrategier för att förstå och tolka texter samt för att apassa läsige efter

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3 Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160928, kl. 14.00 18.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Kollektivt bindande styre på global nivå

Kollektivt bindande styre på global nivå Iteratioell ivå Global, regioal eller mellastatlig? Allt fler viktiga politiska frågor går ite lägre att lösa på atioell ivå. Folk över hela världe berörs exempelvis av växthuseffekte. Vad fis det för

Läs mer

CONSTANT FINESS SUNFLEX

CONSTANT FINESS SUNFLEX Luex terrassarkiser. Moterigs- och bruksavisig CONSTNT FINESS SUNFLEX 5 6 Markises huvudkopoeter och ått Placerig av kobikosol rklockor och justerig Parallelljusterig vädig och skötsel Huvudkopoeter och

Läs mer

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering. Aktiverig mobil app 1 Aktiverig mobil app Aktiverig mobil app aväds för att koppla e eskild avädare till Visma Agdas mobilapplikatio. Applikatioe ka edast avädas av eskilda avädare med förtroederapporterig.

Läs mer

Fråga: Erbjuder ni någon utbildning för förskrivare och apotekspersonal för att kunna använda webbapplikationerna på ett effektivt sätt?

Fråga: Erbjuder ni någon utbildning för förskrivare och apotekspersonal för att kunna använda webbapplikationerna på ett effektivt sätt? FAQ för det ya licessystemet KLAS Fråga: Hur skickar jag som förskrivare i mi licesmotiverig i KLAS? Svar: Läk fis på lv.se/lices uder Skapa licesmotiverig. Fråga: Varför ska jag som förskrivare skicka

Läs mer

Parsningsalgoritmer. Parsningsalgoritmer: inledning. OH-serie 1: introduktion. Parsningalgoritmer I. Algoritmer. Vad är parsning? Vad är en algoritm?

Parsningsalgoritmer. Parsningsalgoritmer: inledning. OH-serie 1: introduktion. Parsningalgoritmer I. Algoritmer. Vad är parsning? Vad är en algoritm? Parsigsalgoritmer OH-serie 1: itroduktio http://stp.ligfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/pa/ Mats Dahllöf Istitutioe för ligvistik och filologi April 2012 Parsigsalgoritmer: iledig Vad är parsig? Vad är e algoritm?

Läs mer

Kontrakt baserad design. Design by contract

Kontrakt baserad design. Design by contract Kotrakt baserad desig Desig by cotract Motiverig Objekt ka valige ite avädas på ett godtyckligt sätt Metoder ska aropas med vissa parametervärde I rätt ordig Svårt att veta hur ett objekt ka avädas uta

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer