Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Transkript

1 Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor kallar vi summor vars termer bildar aritmetiska talföljder. För aritmetiska summor fis e summatiosformel Allmäare: (atalet termer) (första)+(sista) Varje aritmetisk summa ka ma återföra till (1). (1) Geometriska summor Geometriska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 8, 16, 3, 64, 18, 10 6, 10 5, 10 4, 10 3, 360, 10, 40, 40 3, för vilka kvote mella på varadra följade tal kostat. Geometriska summor kallar vi summor vars termer utgör geometriska talföljder. För geometriska summor fis e summatiosformel 1+x + x + + x x+1 1 x 1 () Varje geometrisk summa ka ma återföra till (), t.ex ( )

2 Icke-ekoomiska exempel 1. Atag att var och e som fått veta e viss yhet lyckas förmedla de till 3 adra ovetade persoer iom loppet av e kvart. Hur låg tid skulle det ta ia yhete på detta sätt ått alla på jorde? Lösig: Efter 1 kvart, så är det 1+3persoer som hört yhete Efter kvartarärdet Efter 3 kvartar Efter kvartar: Vi söker så att [geom.summa med kvot 3] > (6 miljarder mäiskor) > > l l 3 > 0.15 Det skulle alltså ta 1 kvartar, d.v.s. fem timmar och e kvart.. Saga om schackspelets uppfiare. När de förste schackspelare (i Idie, ågo gåg uder 500-talet) visade upp si uppfiig för kuge, blev de sistämde så förtjust att ha uppmaade schackspelare att fritt öska sig e belöig. Uppfiare ahöll då om att få sädeskor 1 för de första av brädets rutor, för de adra, 4 för de tredje, 8 för de fjärde o.s.v. till och med de 64:e och sista ruta. Kuge blev mycket förbryllad vad var det för e dåre som öjde sig med estaka kor? Me si där tog ha miste! Uppskatta hur stor mägd sädeskor schackspelare faktiskt begärde! Räka med att 0 sädeskor väger ca 30 goch jämför med 1990 års världsproduktio : 1800 miljoer to. Lösig: Totala atalet kor : Total vikt : [geom.summa med kvot ] to Atal årsproduktioer detta motsvarar :

3 3. (Np, C, vt1996) För att e viss medici ska få avsedd effekt, behöver e patiet ha 15 mg av de i kroppe. Om ma ger hela dea mägd på e gåg, fis risk för allvarliga biverkigar. Patietefårdärför10smådosermedetimmes mellarum. Först efter de tiode dose skall det fias 15 mg i kroppe och då upphör medicierige. Substase börjar dock geast brytas er i kroppe erbrytigstakt 16% i timme så det räcker ite med 15/ mg per dos. Hur stora skall dosera vara? Lösig: Av e dos på x mg fis efter 1 timme : x 0.84 mg efter timmar : x 0.84 mg efter 3 timmar : x mg De tiode dose tas 9 timmar efter de första. Då har ma i kroppe x mg frå första dose x mg frå adra dose x mg frå tredje dose x mg frå sista, tiode dose x x 15 x.9 mg Ekoomiska exempel 4. Sälla moster Tilda öppar ett bakkoto åt lille Kalle och sätter i 0kr. i slutet av varje år frå och med det år ha föds fram till och med det år ha fyller 49 år. Hur mycket pegar har Kalle på bake i slutet av det år ha fyller 50 år, om ma räkar med 3% årlig värdestegrig? Lösig: Om p procetsatse (på decimalform, 0.03 i vårt fall), så har K kroor förrätat sig efter 1 år till efter år till efter 3 år till efter år till K + pk (1+p) K (1 + p) K + p (1 + p) K (1+p) K (1 + p) K + p (1 + p) K (1+p) 3 K (1 + p) K Kalla det år Kalle föds för år 0, så att år är det år ha fyller år. Betrakta kotot som 50 olika högar (svarade mot de 50 isättigara) som växer separat. Hur stora har de blivit det år Kalle fyller 50? De 0 kr. som sattes i år 0 har växt till De 0 kr. som sattes i år 1 har växt till De 0 kr. som sattes i år har växt till O.s.v. Totalt har Kalle kr

4 5. (Cp:88, SE) Aa betalar i börja av varje år i kr. till e pesiosfod med e årlig tillväxt av %. Första ibetalige sker 000, desista år00. Pesiosfode får seda växa till år 05. Hur mycket mer skulle Aa haft i pesiosfode i börja av 05 om de årliga tillväxte i stället varit 3%? Lösig : Iför tillväxtfaktor f 1+ rätesatse i % d.v.s. f 1.0 alt i vårt fall. Värdet i fode vid börja av 05 skulle då vara f 5 + f f f 5 f 0 + f f 5 f 1 1 f 1 Skillade mella de två alterative är µ kr kr kr. 6. (Cp:76, SE) På ett lå har jag kvar 10 årliga avbetaligar på 6000 kr deförstauochdesista om9 år. Om jag skulle få amortera hela lået med e egågsbetalig u, och markadäta för de här type av lå är 6%, hurmycketskalljagbetala? Lösig: Att markadäta är 6% betyder att K kr. idag bedöms värda eller betraktat omvät: 1.06K kr. om 1 år 1.06 K kr. om år K kr. om 3 år K kr. om år K kr. u 1.06 Detta kallar vi uvärdet av K kr. om år. Så pegara jag plaeras återbetala är idag värda (mia återbetaligaras uvärde är) Ã µ kr µ! (Cp:81018, SE) E perso skall vid slutet av vart och ett av åre 00, 003, 004 och 005 betala 0 kr. till e bak. Ha bestämmer sig emellertid för att i stället erlägga ett egågsbelopp vid slutet av år 001. Hur stort blir detta om räta är 10%? Lösig: Betaligaras uvärde : Ã µ kr. Vi kude lika gärai likställt betaligaras värde år 005: µ 1 3! x x

5 8. (AllmSo:5, ja 1960) Ett föräldrapar ämar bekosta si dotters studier ärmast efter studetexame geom att vid börja av vart och ett av studieåre till hee utbetala ett visst belopp. Ho har att välja mella e treårig utbildig, som är förlagd till åre med e årlig kostad av 4800 kr., och e femårig utbildig uder åre med e årlig kostad av 0 kr. Vilket alterativ medför de mista kostade, om utgiftera täcks med medel, som är placerade till e rätesats av 3.5%? Lösig: Låt K kapitalet i börja av år 1960 r a 4800 b 0 I börja av 1965 har familje kvar, i första fallet och i det adra fallet (((K a) r a) r a) r 3 Kr 5 a r3 1 r 1 r3 ((((Kr b) r b) r b) r b) r b Kr 5 b r5 1 r 1 Vilket är störst? Kr 5 a r3 1 r 1 r3 < Kr 5 b r5 1 r 1 r 5 1 b < r 3 1 r 3 a r 5 1 b < r 3 1 r 3 a 563 < De femåriga utbildige ger mer pegar över! Alterativ: Summa av utbetaligaras värde i börja av år 1960 är a + a r + a r 1390 b resp. r + b r + b r 3 + b r 4 + b r Alltså är de adra utbildige billigare. 9. Ett företag behöver V m 3 olja per måad. Av säkerhetsskäl får högst V m 3 åt gåge lagras hos företaget. Vid förhadligar med oljeleveratöre diskuteras två täkbara leveraskotrakt: (a) Oljebolaget levererar varje måad V m 3 till dagspris. (b) Företaget köper geast olja för hela kotraktsperiode till uvarade dagspris, me oljebolaget levererar edast V m 3 /måad. Reste förvaras hos leveratöre, för vilket företaget betalar e viss hyresavgift. Vilket alterativ är förmåligast om V m 3 det aktuella dagspriset p 000 kr./m 3 hyresavgifte a 0 kr/m 3 priset förvätas stiga med r 1% per måad om kotraktsperiode är 6 måader? 1 år? 3 år? Hur stora är skilladera? Lösig: Sätt k 1+ r atal måader kotraktet löper på Alterativ 1 kostar Vp 1+k + k + + k Alterativ kostar V p + av ( ) ( 1) + 10 µ ( 1) 10 Skillade mella kostadera, alterativ alterativ 1 10 µ 5 µ 1+ 1 ( 1) för Alterativ är alltså (ågot) billigare för 6, me dyrare aars. 5

6 10. (Effektiv räta) Eva hade fr.o.m varje år i december måad betalat i $ till e egelsk kapitalförsäkrig, är det i jauari 1997 damp ett brev i hees brevlåda och meddelade att värdet på besparigara u uppgick till $3064. Vilke geomsittlig årlig tillväxt (i procet) motsvarar detta? Härled e ekvatio för tillväxte. Hur löser du ekvatioe? Ka ma täka sig e eklare ekvatio som ger e approximativ lösig till problemet? Lösig: Att värdet av ågotig ökar med, säg, 5% årlige iebär att Låt värdet u (värdet för1 år seda) 1.05 ((värdet för år seda) 1.05) 1.05 årlig tillväxt i procet x Betrakta tillgågara som ett atal högar, som skapas vid olika tidpukter och seda får växa separat. De, som betalats i i december 1996, har ite huit växa ågot. De, som betalats i i december 1995, har vuxit i 1 år till (1 + x) De, som betalats i i december 1994, har vuxit i år till (1 + x) De, som betalats i i december 1989, har vuxit i 7 år till (1 + x) 7 Västerledet är e geometrisk summa med kvot 1+x, så vi ka förekla till (1 + x) 8 1 x 3064 Utvecklar ma paretesera (det fis e sats biomialsatse med vars hjälp ma ka komma fram till resultatet sabbt) skulle detta kua skrivas 8+8x +56x +70x 3 +56x 4 +8x 5 +8x 6 + x ,me ite heller detta hjälper för att få e exakt aalytisk lösig ma får tillgripa umerisk metod. Med ebart e ekel miiräkare, så ka ma stäga i rote geom att pröva med olika värde av x i västerledet det är ju e växade fuktio av x. Med e grafritade maski, så plottar ma västerledet-högerledet och avläser var kurva skär x-axel. Ma får x Eftersom rote x ka förmodas bli ett litet (jämfört med 1) tal,och x À x À x 3 À för små x, så skulle ma kua försöka få e approximativ lösig geom att försumma högre ordiges termer : x x x +56x 3064 x Ite alls lågt ifrå det korrekta ! vilket ger ekvatioe + (1 + x)+ + (1 + x) + + (1 + x) (1 + x)

7 11. Kupogbligatioer är värdepapper, som berättigar iehavare till e årlig räta uder ett visst atal år. Räta ages i procet av obligatioes s.k. omiella värde, som ite behöver vara lika med obligatioes pris vid utgivige de s.k. emissioskurse som också ages i procet av det omiella värdet. Obligatioer ka hadlas i adra had, så att iehavara ite skall behöva behålla dem löptide ut. Uder tide hier räteläget ädras, vilket påverkar obligatioskurse obligatioes pris i procet av det omiella värdet. Vad blir kurse för e gammal obligatio med 8% räta och 10 års återståede löptid, om det vid samma tidpukt på markade tas upp ett ytt 10-årigt lå med 1% räta till emissioskurse %? Lösig: Om räteläget för 10-åriga lå är 1%, så är uvärdet av 1 kr. som utbetalas om 1 år år 3 år Att köpa e 10-årig obligatio om K kr. med 1% räta till emissiokurse % iebär att ma ger u K kr. och får tillbaka 0.1K kr. om 1 år 0.1K kr. om år 0.1K kr. om 9 år 0.1K + K kr. om 10 år Förhålladet mella uvärdet av de pegar ma får tillbaka och det ma låar ut u, är (mycket riktigt) % 10 Motsvarade förhållade för det gamla lået är De gamla obligatioera bör därför hadlas till 77.40% av omiellt värde. Rak amorterig E skuld om s kroor amorteras (avbetalas) på år med s/ kr. årlige, d.v.s. varje år betalar ma tillbaka s kr. + räta för det seaste året Om rätesatse är p% per år, hur mycket räta har sammalagt betalats, är skulde återbetalats helt? Lösig: Med r p/ så får ma 1 s r 3 Räta vid avbetalig r. ³ s s ³ s s r 1 r ³ s ( 1) s r 1 (Efter första avbetalige har skulde miskat frå s till s s ³ Därför betalas uder adra året räta för s s kr.) Sammalagt har vi i räta erlagt (summa av alla tale i högra kolume) : ( ) [aritmetisk summa] ( +1)/ 7

8 Auitetslå Låtsas att vi gör e avbetalig per år! Nuförtide gör ma ju avbetaligar måadsvis, me ma ka räkapå precis samma sätt, om ma först gör om rätesatse till e ekvivalet måadätesats : t.ex. 1% per år motsvarar ³ % per måad eftersom det är de procetuella ökig per måad som ger 1% ökig per år: Ett s.k. auitetslå har följade kostruktio: Ett visst belopp s låas på ett visst atal år N. Varje år avbetalas e del av lået (amorterig). Samtidigt skall räta betalas för det gåga året. Amorterige avpassas dock så att auitete de summa ma betalar varje år totalt (amorterig + räta) är desamma uder alla år. Säg att rätesatse är p% och sätt f 1+ p (f som i tillväxtf aktor ). Låt oss räka ut vad auitete måste vara. Betrakta skulde. Skulde strax efter låets upptagade? s, aturligtvis Skulde strax före 1:a avbetalige? p s + s sf (Ett års räta har lagts till.) Skulde strax efter 1:a avbetalige? Skulde efter 3:e avbetalige? sf af a f a sf 3 af af a sf 3 a f + f +1 Fortsätt så här! Uttrycke följer ett visst möster, eller hur?. Skulde strax efter N:te avbetalige? sf N a f N 1 + f N + + f + f +1 Kä ige e geometrisk summa! sf N a f N 1 f 1 Att lået skall vara avbetalat efter N år betyder att skulde efter N:te avbetalige skall vara 0. Därifrå ka vi lösa ut a! 0 sf N a f N 1 f 1 a s f N (f 1) f N 1 med f 1+ p Med t.ex. skall vi alltså betala s 000 kr. N 0 p 10% s (f 1) 1 f N 11746kr. per gåg sf a Skulde strax före :a avbetalige? sf a +(sf a) (sf a) f sf af p Skulde strax efter :a avbetalige? sf af a 8