Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Transkript

1 Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) ) 0) x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) ) ) 5 4 ) x + 3 x + 3 x ) 3 3 x ) x+) 3 x+ 9 3 x 48 E svår uppgift! E möjlighet är att ersätta substituera) 3 x t. Då är förstås 3 x t 3 x x 3 x x t 0t t 30t t 5 ± 5 8 t 7 t 3 När vi u käer t 7 och t 3 ställer vi upp följade sambad 3 x 7 3 x 3 3 x 3 3 x 3 x Svaret blir alltså x 3 och x Håka Strömberg KTH Syd Haige

2 40 a) x ) 3 x x x 8 Ett litet kep hjälper oss här. ma skulle kua säga att det är speciella tillfälligheter som gör att vi ka lösa ekvatioe. 40 a b a b a b a b a ) ) b a b b a a b a b b a b a a b ) ) b 4 a 4 ) ) x a b a b 8 b a 8 a a 8 b b 8 a 3 8 b 3 8 a 3 8 Till slut år vi så fram till svaret x 3/8. 45 a) Sambad mella e abborres lägd x m) och dess massa y kg). Om e abborre har lägde 30 cm så beräkar vi massa geom y Håka Strömberg KTH Syd Haige

3 45 Ett likade sambad för gäddor y 7.95 x 3 Hur låg är e gädda som väger 6 kg? x 3 6 x 7.95 x 0.9cm Ret allmät: Då vi har e ekvatio med kostater a,b och c, a b x c får ma rote geom dea formel a c x 48 Grudekvatioe är desamma som i uppgift 45. När vi satt i kostatera får vi x ) 3 ) a) a h h a h h + a h + ) h 43 ) S B S B + a 00 a 00 B ) + a 00 S ) ) De här formel ka ma aväda för att ta reda på vilke räta ma behöver få för att höja ett belopp B kr till S kr på år. Räta ges i procet. 434 a) Återige ska vi aväda oss av fuktioe y c x a ger 434 Nu är det x som är obekat y x 0.8 x > ) x > 0463 Håka Strömberg 3 KTH Syd Haige

4 434 c) Atag att Amazoas har e area på x km och att det idag fis y olika arter. Då kommer det att fias y arter då det bara återstår % av området. Vi är itresserade av uttrycket y /y y 8.9 x 0.5 y x) 0.5 y y x) x 0.5 y y Svar 3%, vilket låter lovade trots allt. 444 a) 445 a) 5 x 3 0 lg 5x 0 lg 3 lg5 x lg 3 x lg5 3lg x 3lg lg5 lg8 lg5 lgx lg0 lg4 lgx lg 0 4 lgx lg5 0 lg x 0 lg 5 x 5 Visst kude ma se svaret reda i tredje ledet a) c) lgx lg 6 + lg5 lg + lgx lg 6 5 lgx lg 30 lg lgx lg 5 x 5 lg + lg log log lg 3 + lg 3 lg 3 3 lg 0 Håka Strömberg 4 KTH Syd Haige

5 449 d) log 6 + log 6 3 log 6 3 log och 64 6 vilket betyder att log 3 5 och log log 45 ligger ågostas mella 5 och 6. log Vi börjar med att lösa ekvatioe. 3 5 x 7 x 0 lg 3 5x 0lg 7 x 0 lg 3+lg 5x 0lg 7+lg x 0 lg 3+xlg 5 0lg 7+xlg lg3 + x lg5 lg 7 + x lg x lg5 x lg lg 7 lg3 x lg 5 x lg 7 3 lg7/3 lg 5/ Vilket överesstämmer med Cecilias beräkigar. Me hur är det då med de adra svare? Hade vi samlat x-termera på höger sida istället i sjude steget hade vi få samma svar som Beata. Adam som är lite lat har staat ett steg ia Beata. Alltså har alla tre uttrycke samma värde, vilket ma hade kua säga geom att slå dem alla tre på dosa och uta att behöva lösa ekvatioe fusk?) 455 lga x och lgb y. Vi har uttrycket AB + lg A 3 B ) och ska ersätta A och B med x och y. 0 x 0 y + lga 3 + lgb 0 x+y + 3lgA + lg B 0 x+y + 3lg 0 x + lg 0 y 0 x+y + 3x lg0 + y lg 0 0 x+y + 3x + y A 0 x B 0 y Håka Strömberg 5 KTH Syd Haige

6 458 x + x 6 x + 6 x ) x x ) x + 6 x 6 7 x 5 x lg x 0 lg 5 7 x lg lg5 lg7 lg5 lg7 x lg 467 Vi ska bestämma fx) C x a då vi käer två pukter på kurva p,0) och p 8,40). Vi har två obekata C och a och ka ställa upp två ekvatioer till ett ekvatiossystem 0 C a 40 C 8 a Ur de första ekvatioe får vi direkt C 0. Det spelar ju ige roll vilket värde a har här. Sätter vi u i C 0 i de adra ekvatioe får vi a 8 a 0 lg 0 alg 8 lg a lg 8 a a lg lg 3 lg 3lg a 3 Fuktioe vi söker ka skrivas fx) 0 x 3 Håka Strömberg 6 KTH Syd Haige

7 47 c) Med hjälp av fuktioe y x ska vi ta reda på för vilket x, y x 0.85 x lg 0.85x 00 lg 0 65 x lg 0.85 lg lg 65 x lg 0.85 x Vi har fuktioe fx) och vill u veta för vilket värde på x som fx) lg.0 00 lg lg 69 lg Svar det kommer att iträffa Iträffade alltså i juli 003. Om det verklige var så har vi ige aig om! 476 De här gåge har vi två fuktioer f x) Filippiera) och f x) Storbritaie). Vi vill u veta är dessa två kurvor skär varadra och sätter dem därför lika Hädelse bör ha iträffat lg ) 0 lg ) 0 lg 38.7+lg.05 0lg 55.6+lg.00 lg lg.05 lg lg.00 lg.05 lg.00 lg 55.6 lg38.7 lg lg lg / lg Håka Strömberg 7 KTH Syd Haige

8 479 Vi tar det frå börja, med ett helt aat exempel. Jag har e vara som för precis ett år seda var värd 0 kr. Idag är samma vara värd hälfte så mycket, 5 kr. Om ytterligare ett år är åter värdet halverat till.50 kr. Om värdemiskige fortsätter på detta sätt i all evighet ka vi skriva fuktioe f), av varas värde som ) f) 0 där är tide mätt i år. Så här ser fuktioes graf ut Figur : Vi ser att värdet gaska raskt ärmar sig 0 uta att för de skull aldrig ågosi å dit. Vi ädrar lite på förutsättigara och säger att varas värde har sjukit till 5 kr efter 4 år och att värdet har halverats ige efter 8 år. Fuktioe vi u får, ser i pricip lika da ut, me om vi vill beräka värdet efter, till exempel 6 år, är det f.5) som ska beräkas. Vi räkar u tide i fyraårsperioder, 6 år är ju.5 fyraårsperioder. Detta är kaske lite krågligt och vi öskar i stället e fuktio f), där vi sätter i i år, me där värdet halveras på fyra år. Vi får då f) 0 ) 4 Vi ger oss u på uppgifte det egetlige hadlar om och översätter takara ova till de ya förutsättigara. Nu är det varke fråga om år eller 4 år uta 4000! Me det är också äda skillade och vi teckar fuktioe f) ) 4000 Observera att startvärdet eller startmägde valts till. Det spelar ige roll om det är to, kg eller g. Vårt mål är att bestämma hur låg tid det tar ia det är /000 e promille) kvar Håka Strömberg 8 KTH Syd Haige

9 av startvärdet, f) /000. Vi ska alltså lösa dea ekvatio: lg lg lg ) 4000 ) lg ) lg lg Eligt fysike får ma ite svara så, 4000 har två värdesiffror, då ska ite svaret har fler, år. 480 a) I förra uppgifte lade vi ut riktlijera för hur ma löser problem av detta slag. Nu gäller det att skörda fruktera! Vår fuktio blir de här gåge: f) ) 8 Ehete för tid är här dyg. Vi vill fia då f) lg lg lg 0 8 lg 0 ) 8 ) 8 ) 8 lg0.5 8 lg dyg Ma ka vid första ablicke bli förvåad över att svaret här som i förra uppgifte blir positivt trots att täljare är egativ. Det hela beror på att lg Håka Strömberg 9 KTH Syd Haige

10 483 Vi sjuger samma visa ige. Nu är ehete för tid timmar. Ekvatioe lg 0.3 lg 0 ) 4 ) 4 lg0.3 4 lg0.5 4lg 0.3 lg timmar Observera att vi dividerar båda led med 5 i ett tidigt skede 485 Vi har ige aig om hur mycket ura-38 och ura-35 det fas frå börja. Bara att det fas lika mycket, säg y 0. Vi vet ite heller hur mycket ura-35 det fis idag, säg y. Då fis det 40y eheter av ura-38. Vi ka u sätta upp två ekvatioer: y y y y Om vi u tar de första ekvatioes uttryck för y och ersätter det med y i de adra får vi följade ekvatio, där vi reda sett till att y 0 förkortats bort ) 0 lg lg lg 40 9lg Normalt vill ma väta i det lägsta med att aväda räkedosa. Helst till sista steget. Me iblad kräver detta oödigt svåra beräkigar. Det hade dock ite varit fel att ersätta bråke med decimaltal i ett tidigare skede för att få eklare beräkigar. Svaret är alltså att jorde är 6 miljarder år Håka Strömberg 0 KTH Syd Haige

11 486 Nu käer vi oss gaska säkra på de här type av problem. Här är ekvatioe ) t lg t lg t 5730lg lg0.5 t 500 Ötzi har varit död i 500 år vilket betyder att ha levde f Kr. 490 Nu ska vi göra fyra beräkigar med i pricip samma ekvatio, därför är det dags att laga till e formel speciellt apassad för kol-4 metode, som vi direkt ka aväda för att få resultatet. p eda är de adel av 0 < p som återstår p lg p 0 lg lg p lg lg p Nu ka vi aväda dea formel fyra gåger: p ålder avrudat a) 3M M lge 4.4) lge 0 3M lg E E 0 3M E J Håka Strömberg KTH Syd Haige