Av Henrik 01denburg\ Radikaler. För att lösa ekv.: x n = a (n helt, pos. tal) konstruerar man kurvan

Transkript

1 Av Herik 01deburg\ Eligt gymasiets kurspla skall av lära om poteser medtagas huvudsaklige vad som är behövligt för viade av e säker isikt i lära om logaritmer. Alla torde vara ese därom, att det är syerlige öskvärt att så sabbt som möjligt komma fram till lära om logaritmer för att kua aväda dessa vid umeriska räkigar. Me dessa utföras i regel med approximativa värde, och för detta ädamål behöver ma därför ej de exakta logaritmfuktioe; det ka vara og att aväda e fuktio, som sluter sig tillräckligt ära de exakta. Efterföljade framställig är ett försök att iföra logaritmer uta att käa mera om poteser ä defiitio och räkelagar för poteser med hela, positiva expoeter samt defiitio på potes med positiv, brute expoet. För att lösa ekv.: kostruerar ma kurva Radikaler. x = a ( helt, pos. tal) y=x. Giv y värdet a och kostruera motsvarade värde på x; detta är de sökta rote till ekvatioe. Studiet av fuktioskurva ger följade Teorem. Ekvatioe % u a, där a är positiv, har e och blott e positiv rot; är jämt, har de dessutom e egativ rot, symmetrisk med de positiva. Är a oll, har ekvatioe e och blott e rot, ämlige oll. Är a egativ, så har ekvatioe, om år udda, ige positiv rot samt e och blott e egativ; om är jämt ige rot. Defiitio. Varje rot till ekvatioe x = a kallas e.ierot ur a.

2 Är a positiv, så fies eligt det föregåede e eda positiv filte rot ur a ; dea teckas med symbole och 1 1 ma har således Räkelagar'. V Ä, (Vä),l =«. 11 ^' V l = a, om a är positiv fäb = Vä. Vä v» m ii, m 1 / m K vä=vä = y vä V. V«P = Vä». Am. I det följade avädes edast I, II och III. Betrakta talföljde Logaritmer. 1, a, a 2...., a Vill ma multiplicera två av talföljdes tal, så har ma blott att addera expoetera för att erhålla produktes expoet och således produkte själv. Multiplikatio av tal, skriva i form av poteser, reducerar sig således till e additio av expoetera. För att detta skall kua tillämpas äve på det första talet i följde, så iför jag symbole a och defiierar de geom ekvatioe a =l.

3 Betrakta talföljde 1, Vä, Va 1,...,V»«, där a är ett positivt tal större ä 1. Ma ser geast, att, om ma vill multiplicera två tal i följde, så kommer det a på att addera motsvarade expoeter på likade sätt som yss. Med aledig härav skall jag i det följade studera egeskapera hos talföljde i fråga. Om m=k, där k är ett helt, positivt tal, så är V«==y^y»"^ u k. Vissa av talföljdes tal äro således lika med poteser av a. Det är bekvämt att skriva alla tale i form av potem ser, och jag iför därför symbole a och defierar desamma geom ekvatioe m il Härvid är att märka, att, om är lika med ett helt tal k, så är ty då är a =a, såsom yss är visat. Med avädade af dea beteckig ka jag skriva talföljdes tal såluda m a*, a. a 11,..., a,... Eligt förutsättig är o>l; alltså växa tale i följde, vilket syes, om ma skriver 11 i,}>7<,(yä) 2,...,(y~ a ) m

4 Jag skall u visa, alt, om e är ett positivt tal och ett helt pos. tal >_2, så är l+u <(] + )"'. Jag förutsätter, att olikhete gäller för =p, alltså, att Härav följer således och följaktlige (\+pt) (l+e)<(l+e) p + 1 l+(p+l)e+pe 2 <(l+t) p +i l + {p+l) e<(l+ >+ ] Om olikhete gäller för =p, gäller de således för =^p + 1. Ma har alltså =(l+c) 2, <(1 + e) 3. Olikhete gäller således för = 2; alltså för «= 3; o. s. v. Låt a vara ett positivt tal, större ä 1. Låt s vara ett godtyckligt, positivt tal, hur litet som helst. Då ka ia alltid bestämma ett helt pos. tal så, att och således a l<fl«a < 1 -f e, blott ma ger ett tillräckligt stort värde. ma alltid välja så, att ty och således så, att fl<(l + )>', 1 + «<(1+ )", fa < 1 + s. Alltså ka

5 Me a>l, således Va > 1. Alltså ka ma, hur litet ä är, välja ett så stort värde på, att. V~ä 1< 8, d. v. s. ma ka geom att ge ett tillräckligt stort värde 11 åstadkomma, att }' a skiljer sig frå 1 hur litet ma behagar. Jag återgår till de yss betraktade talföljde. Av det sagda följer, att desammas tal kua fås att ataga huru stora vårde som helst, blott ma ger m tillräckligt stora värde, samt att det adra talet i ordige ka fås att skilja sig frå 1 huru litet ma behagar geom att ge ett tillräckligt stort värde. Jag udersöker skillade mella två adra på varadra följade tal i följde. Ma har 11 ii 11 y a m+i _yä = V^ 7 (Vä i). Då u Va'" har ett bestämt värde, och Va 1 skiljer sig godtyckligt litet frå oll, blott har ett tillräckligt stort värde, så skiljer sig m+l m a^ a godtyckligt litet frå oll, d. v. s. tale i följde ligga huru tätt ma behagar, blott har ett tillräckligt stort värde. Jag förutsätter i det följade, att har ett sådat värde. Låt x vara ett godtyckligt positivt tal, större ä 1. Då ka ma alltid välja ett sådat värde på m, att i m+1 a 11 <x<a. Eligt det föregåede är det då klart, att, om * ej tillhör talföljde, ka x dock med tillhjälp av desammas tal bestämmas approximativt med vilke oggrahet som helst. Defiitio I. Om x>l och m m-fl *" <%<a~, så kallar jag bråket för logaritme för xi det system, vars

6 bas år a, eller a-logaritme för x, och teckar de med symbole x. Om xi och Xs äro två tal större ä 1, så har ma (bevis, se beviset till räkelag I första fallet) loga Xl + l0g a X2=log a (xi. Xi), och härav erhålles för att beräka logaritme för ett bråk Xl >1 (bevis, se räkelag II) Xt loga = loga Xl hga *S X2 Xl Ar < 1, så sakar västra ledet i dea ekvatio X2 betydelse. Ma har i detta fall %2 = Xi Xl = ( Xi Xs). Xl Om ma vill defiiera x, då x < 1, och vill, att los a skall beräkas på samma sätt, då < 1, som, då X2 Xl,., >1, sa måste således Xl Xi loga = loga, X2 Xl Xl då < 1. X2 Med aledig härav uppställer jag följade Defiitio II. Om x år ett positivt tal midre ä 1, så defiierar jag detsammas a-logaritm geom ekvatioe loga **= loga - X Jag fäster uppmärksamhete på att härigeom år x- defiierad edast för positiva värde på x. Av defiitioera följer, att loga x > 0, om x > 1 ; * x 0, om x = 1 ; loga x<0, om x< 1. X2

7 Är «>l,så är det klart, att x växer, då x växer; detta, äger äve rum för x<l, ty då är X= ~l0ga -. X och då x växer, så avtager, alltså också ~, och så- X X ledes växer. x Sätt y = x. Mot varje positivt värde på x svarar ett eda bestämt värde på y; y år således e fuktio av x, om x>0. Som yss är visat, växer y, då x växer. Om x = 1 x = a, är y = Q, är y l x = a~, är y=% x = a r, är y=r (r helt, pos. tal) Om x=, är y <* ~ 1 a x=-^, är y= a* = 2 X -, är y--= loga a '' = r helt, pos.) Följade figur visar utseedet av fuktioskurva. Am. Egetlige utgöres kurva av e följd av mycket korta, med ^-axels parallella sträckor. Av figure syes, att, om

8 1 <x<za, så är 0<y<l ; a <x<a 2, så är l<[y-<2 ; a k <x<a k + i, så är k<y<k+l ; (k helt pos.) och om < 1, sa ar l<y<0 ; a <, sa ar 2<Cy<T 1 ; -j < x <~-J i. s å är : &<y< k+ 1, (fe h. p.) Om X=+k + f.i, där & är ett helt, positivt tal eller oll och 0<,«< 1, så kallas +k logaritmes karakteristika, fi dess matissa. Det är då klart av det föregåede, att, om

9 lo'<«, så är karakteristikart =0 ; a-<x<tf ä, så är karakteristika. = 1 ; a k <Zx<Za k + 1, så är karakteristika =k ; och om 0 < 1, så är karakteristika= 1 ; a 1 1, <i%<, sa ar karakteristika = 2 ; a a r <iy<c, z, så är karakteristika = k ; ar a'-- 1 Råkelagar. I. log {xi. Xi) = xi+ xs Tre fall äro att betrakta. 1.vi>l.. A'2>1. Då ka ma alltid bestämma två hela positiva tal Mi och ms sådaa, att ma med vilke oggrahet som helst ka sätta Alltså är Me Ma har således mi iri2 xi = a, xs ==a. mi m-2 xi. X2 = a. a ". mi i-2 ii 11 mi+m-2 a 11. a 1 ' =\'a mi. \'a m2 =Va "»+'"-= a~". l. mi ms oga *i =, log,, Xi

10 och 2 xi> 1, x 2 <l. Sätt,., «i + «a (Xl #a)=. mi *i = rt". %s<l, alltså är >1 ; ma ka alltså sätta Xi och således Härav =a" A'2 1 X2 =. ma a* xi.x s =-^ så är Om a >, 11 mi %»ii - w X2= =, =1/ = Om»1 7«2 s a a r l 7» o ali m2~ mx TI?ca a a

11 Ma har alltså, mi loga Xl = och så är och om så är Sätt Härav Vidare, om,, 1 W2 X2 = = X2 11 ti m-2,.. mi ms loga {Xl Xi)= ; fl mi 1112 ii 1 fffs mi mi ms (Xl Xi) = = =. xi X2 3 xi<l, X2<_\. Alltså är >1 och >1. xi xt 1 i =«" och = a" Xl Xi och Ma har alltså X2»ii ma l'«l+!»2 =«". O = a "... 1»i Wgo *1 = ga = ätt,, 1 mi loga «i = loga =, 3C2

12 samt,., 1 mi + [Xi x V = lo Sa = Ma ka u lätt övertyga sig om att gäller för flere faktorer. Då är Alltså varav x\ II. loga = loga XI Xi. Xi Sätt XI =1 Xi Xi=q Xi Xi=loga q + loga Xi, l ga q = XI X-l III. x 1 ' = p x (p ett helt, pos. tal). Ty Således x p = x. x....x (p st. faktorer). loga X p = X + X X=p. X. räkelage Då är alltså IV. log\ x = logx. r Ty sätt r Yx=t.-. X=t r. X = r loga t, 1, toga l=-loga Av det föregåede framgår, att det är bekvämt att aväda logaritmer vid umeriska räkigar. Därvid a- X

13 vädes uteslutade det system, vars bas är 10. Detta kallas det valiga eller briggska och logio x teckas kortare log x. Eligt det föregåede är då, om 1 <.x<; 10, karakteristika = 0 : 10 <C' -<10 2, karakteristika= 1 ; 10'-' <x<lo l '+ 1, karakteristika=& ; och om <0#<C1, karakteristika = 1 ; , 7<Cx<Z, karakteristika = 2 ; 10» r-<cx<z ; T. karakteristika = k ; 10* IO 1-1 Om x är ett decimaltal, framgår härav följade regler för att bestämma karakteristika: T. Om talet har p st. heltalssiffror, sä är karakteristika = p 1. II. Om p st. ollor, heltalsolla iräkad, föregår de gällade siffrora, så är karakteristika = p. Om ma flyttar kommat i ett decimaltal p steg åt höger eller väster, så multipliceras eller divideras talet med 10 p. Detta iverkar ej på logaritmes matissa, ty och log (x. 10P )=logx + log 1QP =logx+p=+k + fi+p x log Yö^=logX log 10* = log x p=+_k +[i p. Om ma u har e tabell, som upptager matissora till de valiga logaritmera för alla t. ex. 3-siffriga hela

14 tal, så ises av det sagda, att ma ka beräka de valiga logaritmera för så väl dessa tal som äve för alla tal, som erhållas geom att flytta decimalkommat i det tresiffriga talet åt höger eller väster ett godtyckligt atal steg.