Inledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:

Transkript

1 TATA79/TEN3 Tetame, Iledade matematisk aalys. Utred med bevis vilket eller vilka av följade påståede är saa: (a) Om x 7 är x(x 3) 5; (b) Om (x )(x 6) 0 är x 6; (c) (x + 6)(x ) > 0 om x > 6. Solutio: (a) Om x 7 är x 3 > 4 så är x(x 3) > 8 > 5 och därför är påståedet sat; (b) Om (x )(x 6) 0 måste (x ) och (x 6) har olika tecke. Därför är x 6 och i syerhet är x 6 så påståedet är sat; (c) Om x = 4 är (x + 6)(x ) = ( 6) = 0 trots att x > 6. Därför är påståedet falskt.. Fibiacci talföljd (F ) defiieras av villkore { F+ = F + + F för F = F = (a) Räcka ut F, F, F 3, F 4, F 5 och F 6. Vilket eller vilka är jämt delbart med 8? (b) Visa att F +6 = 5F + 8F + för alla. (c) Visa att vart sjätte tal frå och med talet F 6 är jämt delbart med 8. Solutio: (a) F =, F =, F 3 =, F 4 = 3, F 5 = 5 och F 6 = 8. Bara F 6 är delbart med 8 (b) Frå villkore vet vi att F +6 = F +5 + F +4 = (F +4 + F +3 ) + F +4 = F +4 + F +3 = (F +3 + F + ) + (F + + F + ) = F F + + F + = (F + + F + ) + 3(F + + F ) + F + = F + + 6F + + 3F = (F + + F ) + 6F + + 3F = 8F + + 5F för alla.

2 (c) Vi ger e iduktiosbevis. Vi vet att F 6 = 8 är jämt delbart med 8. Nu atar vi att F l är jämt delbart med 8 och betrakta F l+6. Frå (b) vet vi att F l+6 = 8F l+ + F l och därför är F l+8 jämt delbart med 8 eftersom det är e summa av två tal som är delbara med 8: 8F l+ är jämt delbart med 8 (oavsett av värdet av F l+ ) och vi atog att F l var jämt delbart med 8. Därför har vi bevisat att om F l är jämt delbart med 8 så är F l+8 jämt delbart med 8 och eligt iduktiospricipe är F 6k delbara med 8 för varje heltal k. 3. (a) Visa att uttrycket (där a, b R) ite beror på b. si(a + b) + si(a b) cos(a + b) + cos(a b) (b) Visa att för alla x, y R ( ) x + y si x + si y ta = cos x + cos y Solutio: (a) Eligt (??) och (??) är som beror ite på b. si(a + b) + si(a b) cos(a + b) + cos(a b) (si a cos b + cos a si b) + (si a cos b cos a si b) = (cos a cos b si a si b) + (cos a cos b + si a si b) si a cos b = cos a cos b = ta a (b) Om vi tar a = (x + y)/ och b = (x y)/ i likhete ova får vi att ( ) x + y si x + si y ta = cos x + cos y för alla x, y R. 4. Betrakta e fuktio f : R\{4} M, där M R, som är defiierad eligt uttrycket f(x) = 6x 8 x 4. (a) Utred vad mägde M måste vara så att f är bijektiv. (b) Ge ett uttryck för f (y) som gäller för alla y M, där M är ditt svar till (a).

3 Solutio: (a) Vi räkar y = f(x) = 6x 8 x 4 x 4 y(x 4) = 6x 8 x(y 6) = 4y 8 x = 4y 8 y 6 där sista ekvivalese gäller om och edast om y 6. Därifrå ser vi att y = f(x) har e uik lösig x 4 om och edast om y 6. Därför välja vi M = R \ {6}. (b) Frå räkige ova ser vi att för alla y R \ {6}. f (y) = 4y 8 y 6 5. Kom ihåg att { 0 om x, exp (x) = ( + x ) om > x, för positiva heltal och x R. (a) Defiiera expoetialfuktioe exp: R R och talel e. (b) Visa att om > x. exp (x) exp(x) (c) Aväd (b) för att visa ( ) ( + + e exp ( x) ) + Solutio: för alla 3. (a) exp(x) = sup N exp (x) för alla x R och e = exp(). (b) Eftersom exp(x) = sup N exp (x) är exp(x) e över begräsig av (exp (x)), så är exp (x) exp(x) () för alla x R och N. Eftersom () gäller för alla x R ka vi sätta x i istället för x och får exp ( x) exp( x) = för > x, eftersom i så fall är exp (x) > 0. Därför ger () och () att exp (x) exp(x) = 3 exp( x) exp ( x) () exp( x) exp ( x). (3)

4 (c) Om vi sätter x = och defiitioe av exp i i första olikhet i (3) för vi att ( ) ( + = + = exp ) () exp() = e för. Om vi sätter x = och defiitioe av exp i i sista olikhet i (3) får vi att ( ) e = exp() exp ( ) = för, så ( + e ) + för 3. Allihop då är ( ) ( + + e ) + för (a) Defiiera vad det betyder att säga l R är e största udre begräsig till e icketom mägd A. (b) Bevisa att de största udre begräsige till följde (b ) = är där Solutio: för varje positivt heltal. (a) Det betyder att (i) l a för alla a A, och b = (ii) till varje ε > 0 fis det a A så att a < l + ε. (b) Först vill vi kolla att är e udre begräsig av (b ) =. Eftersom 5 0 och + 6 > 0 så är b = = och därmed är e udre begräsig till följde (b ) =. Nu betraktar vi ε > 0 och räkar så om vi välja > 5/ε då har vi hittat så att är b = + < + ε för samma < ε och därför Då har vi vissat att är de mista udre begräsige till följde (b ) =. 4

5 7. Betrakta fuktioe f : C C defiierad eligt formel för alla z C. f(z) = z (a) Visa att om x > 0, y > 0 och z = x + iy det vill säga, z ligger i de första kvadrate då är I(f(z)) > 0. (b) Betrakta w C som uppfyller olikhete I(w) > 0. Visa att ekvatioe w = f(z) har e lösig z som ligger i de första kvadrate. Solutio: (a) Om x > 0, y > 0 och z = x + iy är Därför är I(f(z)) = xy > 0. f(z) = z = (x + iy) = x y + xyi. (b) Sätt w = u + iv och z = x + iy där x, y, u, v R. Vi vill lösa ekvatioe u + iv = x y + xyi för positiva x och y. Real- och imagiärdele av ekvatioe är u = x y v = xy. respektive Eftersom w = z vet vi också att u + v = x + y. Frå första och sista likhete får vi att samt x = u + u + v y = u + u + v. Därför är kadidatora för positiva x och y u + u x = + v u + u och y = + v. Nu ka ma kolla att de är positiva lösigar till u + iv = x y + xyi eftersom v = I(w) > 0. 5