Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-6, 29/10-8/11, = m n

Transkript

1 Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Trasformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W --9 Sammafattig av föreläsigara - 6, 9/ - 8/,. De trigoometriska basfuktioera. Dea kurs hadlar i pricip om att uttrycka e mer eller midre godtycklig fuktio som ågo form av oädlig (iblad ädlig) lijärkombiatio av rea cosius- eller siusfuktioer f (t) = cos ωt, g(t) = si ωt, ω R. Ma säger att ω är fuktioes vikelfrekves. Vi har f (t) = f (t + T), g(t) = g(t + T), t R där T = π ω T sägs vara e period för fuktioera. Observera att varje heltalsmultipel av e period också är e period f (t) = f (t ± T) = f (t ± T) = f (t ± 3T) =... Med e fuktios period (i bestämd form) meas ormalt de mista positiva periode. Exempel. Summa av två periodiska fuktioer behöver ite vara periodisk. Fuktioe h(t) = cos ω t + si ω t är periodisk om och edast om ω ω är ett ratioellt tal. Om där m, är heltal, och vi sätter ω ω = m ω = ω m = ω, T = π ω så är h(t) = cos mωt + si ωt periodisk med periode T. Exempelvis har periode 4π. h(t) = cos t + si 3t Itegrale över e period. För ett godtyckligt R gäller att +T cos ωt dt = +T si ωt dt =, förutsatt att T = π ω. Eulers formler. Låt w = u + iv, z = x + iy, där u, v, x, y är reella. De komplexa expoetialfuktioe defiieras geom e w = e u+iv = e u e iv där e iv = cos v + i si v ( )

2 De högra formel visar det ära sambadet mella (de komplexa) expoetialfuktioe och de trigoometriska fuktioera. Expoetiallage e w e z = e w+z, för alla w, z C är lätt att komma ihåg och ger oss möjlighet att ekelt härleda behövliga trigoometriska formler. Expoetiallage och ( ) ger direkt (sätt u = x = ) cos(v + y) + i si(v + y) = e i(v+y) = e iv e iy = (cos v + i si v)(cos y + i si y) Geom idetifikatio av real- och imagiärdelar får vi = (cos v cos y si v si y) + i(cos v si y + si v cos y) cos(v + y) = cos v cos y si v si y och si(v + y) = si v cos y + cos v si y Av ( ) följer äve att e iv = cos v i si v, cos v = eiv + e iv och si v = eiv e iv i v R. Exempel. Härled formler för si a si b, si a cos b och cos a cos b, där a, b R. Lösig. Eulers formler ger ( e si a si b = ia e ia ) ( e ib e ib ) i i ( = ( 4 ) e i(a+b) + e i(a+b) e i(a b) e i(a b)) = cos(a b) cos(a + b) På samma sätt fås och si a cos b = si(a b) + cos a cos b = cos(a b) + si(a + b) cos(a + b) Ortogoalitetsitegraler. Låt m, vara icke-egativa heltal. Då itegrale av e siuseller cosiusfuktio över e period är oll följer av ovaståede exempel att och +T +T +T +T cos mωt cos Ωt dt =, si mωt si Ωt dt =, si mωt cos Ωt dt =, cos Ωt dt = Här gäller förstås att T = π/ω. +T m = m = för alla m, si Ωt dt = T då >.

3 Periodiska trigoometriska polyom. Låt Ω vara ett positivt reellt tal. Ett trigoometriskt polyom med periode T = π Ω är e ädlig summa Ortogoalitetsitegralera ger direkt att f (t) = a N + a cos Ωt + b si Ωt = a = T +T f (t) cos Ωt dt, =,,, 3,... b = T +T f (t) si Ωt dt, =,, 3,... Komplexvärda fuktioer. E komplexvärd fuktio av de reella variabel t är e fuktio av forme f (t) = u(t) + iv(t), t β, där u(t), v(t) är reellvärda fuktioer. Derivata och itegrale av e såda fuktio defiieras aturligt som respektive f (t) = u (t) + iv (t), < t < β, β f (t) dt = β β u(t) dt + i v(t) dt. E atiderivata (eller primitiv fuktio) till f (t) är e fuktio F(t) såda att F (t) = f (t), för < t < β. Det visar sig att med få udatag gäller de välbekata derivatios- och itegratiosreglera. Exempelvis ( f g) = f g + f g, ( ) f = f g f g g g, β f (t) dt = F(β) F() Exempel. Låt c = a + ib =. Eligt ova har vi f (t) = e ct = e (a+ib)t = e at e ibt = e at (cos bt + i si bt) Deriverigsreglera ger f (t) = a e at (cos bt + i si bt) + e at ( b si bt + ib cos bt) = e at (a cos bt + ia si bt) + e at ( b si bt + ib cos bt) = e at ((a + ib) cos bt + (ia b) si bt) = e at ((a + ib) cos bt + i(a + ib) si bt) = (a + ib)e at (cos bt + i si bt) = c e ct Av detta följer att e atiderivata till f (t) = e ct är F(t) = c ect 3

4 Exempel. Fuktioe f (t) = e iωt är periodisk, med periode T = π ω. Speciellt gäller att Vi har äve f ( π ω ) = eπi =, för alla heltal. +T e iωt dt = [ iω eiωt] +T = iω ( e iω(+t) e iω) =. Trigoometriska polyom på komplex form. Av Eulers formler följer att f (t) = a N + a cos Ωt + b si Ωt = = N c e iωt = N där c = a, c = (a ib ), c = (a + ib ), för =,..., N. (c ), N N är de komplexa fourierkoefficietera för f (t). Dessa ges äve av itegralera c = T +T f (t) e iωt dt, N N, där vi utyttjar sambade (ortogoalitetsitegralera) T +T e imωt e iωt dt = {, då m =, då m = } 4

5 Fourierserier. Atag u att f (t) är e mer eller midre godtycklig (reellvärd) fuktio, som är periodisk med periode T = π Ω ( f (t) = f (t + T), t R). Vi defiierar fuktioes Fourierserie, på trigoometrisk form, som a + a cos Ωt + b si Ωt = där tale a, b (fuktioes (reella) Fourierkoefficieter) ges av a = T b = T +T +T f (t) cos Ωt dt, =,,, 3,... f (t) si Ωt dt, =,, 3,... Fuktioes Fourierserie, på komplex (eller expoetiell) form, defiieras som c e iωt = där tale c (fuktioes komplexa Fourierkoefficieter) ges av c = T +T f (t) e iωt dt, < <. Mella de reella och komplexa Fourierkoefficietera råder sambade c = a, c = (a ib ), c = (a + ib ) = c, < <. De N:te delsumma, S N (t) = S N ( f, t), av f :s Fourierserie defiieras som det trigoometriska polyomet Udda och jäma fuktioer. S N (t) = a N N + a cos Ωt + b si Ωt = c e iωt = = N Om f (t) är udda, f ( t) = f (t), så är a = för alla och b = 4 T T f (t) si Ωt dt, =,, 3,... Om f (t) är jäm, f ( t) = f (t), så är b = för alla och a = 4 T T f (t) cos Ωt dt, =,,, 3,... Koverges. Fourierserie sägs kovergera för ett visst värde på t, med summa S(t), om S N (t) S(t) då N. För e fuktio i allmähet är det ite säkert att Fourierserie kovergerar för varje (eller es ågot) värde på t. Äve om serie kovergerar är det ite säkert att S(t) = f (t). Vi skriver av dessa aledigar f (t) a + a cos Ωt + b si Ωt eller f (t) c e iωt = = 5

6 är vi ager Fourierserie för fuktioe f (t). Om vi i stället skriver f (t) = a + a cos Ωt + b si Ωt eller f (t) = c e iωt = = betyder det att (i) serie kovergerar för detta t och (ii) summa är lika med f (t). För de fuktioer som dyker upp i tillämpigara brukar det ite vara ågra problem med kovergese och vi har S(t) = f (t) för ästa alla t. Se edaståede kovergeskriterium. Exempel. (se äve ex. 3.9 i boke) Fuktioe f (t) är periodisk, med periode π, och f (t) = t, för π < t < π. Bestäm f :s Fourierserie på trigoometrisk och komplex form. Skissa grafe av fuktioe och ågo lämplig delsumma. Lösig. Vi ser att f (t) är udda för π < t < π, vilket medför att fuktioe är udda för < t < (om vi bortser frå puktera t = π, heltal, där fuktioe ite är defiierad). Alltså gäller a =, för alla, och b = π Vi har alltså = π π ( t) si t dt = π [ ( π) = ( ) [ ( t) ] cos π [ ( ) π f (t) ] cos t t=π si t ( ) = För de komplexa Fourierkoefficietera har vi c =, och c = a ib = i( ) f (t) t= ] t=π t= si t π π ( ) cos t, c = c = i( ), =,, 3,... c e it i( ) = e it = = Fuktiosgrafe (blå) och grafe för S 6 (t) (röd): dt Vi ser att delsummas graf ligger ära fuktiosgrafe, förutom vid språgpuktera t = (k + )π, k heltal där delsumma är oll. 6

7 Kovergeskriterium. För att säkert kua itegrera fuktioera atar vi att alla fuktioer vi sysslar med är begräsade och styckvis kotiuerliga (på varje itervall av periodlägd, t + T, har fuktioe högst ett ädligt atal språgdiskotiuiteter). För att säkerställa att Fourierserie kovergerar i e viss pukt t måste vi dock kräva mer. Vi har följade: Om de båda gräsvärdea f (t + ) = lim f (t + ε) och f (t ) = lim f (t ε) ε + ε + existerar och dessutom de geeraliserade höger- och västerderivatora f +(t) = lim ε + f (t + ε) f (t + ) ε respektive f (t) = lim ε f (t + ε) f (t ) ε existerar så gäller att S N (t) S(t), där S(t) = f (t+ ) + f (t ) Speciellt gäller att S(t) = f (t) om f är kotiuerlig i t och dessutom de geeraliserade höger- och västerderivatora existerar. Exempel (fortsättig). I ovaståede exempel gäller att för varje t R existerar f (t + ) och f (t ). För de geeraliserade höger- och västerderivatora gäller överallt att f +(t) = f (t) =. Kovergeskriteriet medför att S(t) existerar för alla t och S(t) = f (t) förutom då t är e udda heltalsmultipel av π, i vilket fall S(t) =. För t = π får vi, till exempel, π = f ( π ) = ( ) + = si π = k= ( ) k k + Alltså gäller ( ) k k + = π 4 k= Sigaleffekt. I måga tillämpigar är e periodisk (eller icke-periodisk, me just u hadlar det om periodiska fuktioer) fuktio f (t) modell för e i tide varierade fysikalisk kvatitet (späig, strömstyrka, lufttryck etc.). Ma kallar i sådaa sammahag fuktioe för e sigal. Eergi som sigale iehåller uder tidsitervallet < t < + T defiieras som +T f (t) dt Eergi hos e periodisk sigal är därför (ormalt) oädlig. Däremot har sigale ädlig effekt, vilke defiieras som +T f (t) dt T där R är godtyckligt och T är e (godtycklig) period. Defiitioe omfattar alla komplexvärda periodiska sigaler f (t) = u(t) + iv(t). Vi påmier om att f (t) = f (t) f (t) = (u(t) + iv(t))(u(t) iv(t)) = u(t) + v(t) 7

8 Parsevals formel. Effekte i sigale som ges av g(t) = c e iωt, t R, där är ett heltal och Ω är ett positivt reellt tal (vikelfrekvese), är +T g(t) dt = +T c e iωt c e iωt dt = +T c dt = c T T T där T = π Ω. Om sigale ges av ett godtyckligt trigoometriskt polyom så är effekte f (t) = N c e iωt = a N + a cos Ωt + b si Ωt = N = +T f (t) N dt = T c = N Om fuktioe är reell så ges effekte äve av +T f (t) dt = a T 4 + N a + b = Sambadet säger att sigaleffekte är lika med summa av effektera, c + c, som bärs av de rea svägigara c e iωt + c e iωt, som sigale är uppbyggd av. Eftersom ma ka approximera de fuktioer vi håller på med godtyckligt ära, i effektmeig, med trigoometriska polyom får vi (låt N ) effektformlera och, för reella fuktioer, +T f (t) dt = T c = +T f (t) dt = a T 4 + a + b = Geom multiplikatio med två blir de sista formel +T f (t) dt = a T + a + b = Formlera ova brukar kallas för Parsevals formel. Exempel (fortsättig). I exemplet ova där f (t) = t, π < t < π, och ger Parsevals formel f (t) = ( ) = si t, då t = (k + )π = 4 = π t dt = π π [ t 3 3 ] π = π π 3 3 = π 3 Det följer att = = π 6 8

9 Exempel. Fuktioe f (t) är jäm och periodisk, med periode, och för < t < gäller att f (t) = t( t). Bestäm f :s Fourierserie. Avgör för vilka t R som serie kovergerar och bestäm series summa S(t) i dessa fall. Aväd Fourierserie för att beräka summora k= k, ( ) k k k= och k= k 4 Lösig. Vi har här Ω = π för f (t)) framgår av: = π. Grafe för f (t) (för tydlighetes skull har vi tagit grafe Fuktioe är kotiuerlig överallt och äve deriverbar överallt, förutom i heltalspuktera t = Z, där f +() = och f () = (grafe har hör i dessa pukter). Eligt kovergeskriteriet kovergerar därför Fourierserie överallt och dess summa är lika med fuktioe. Eftersom grafe har hör räkar vi med att Fourierkoefficietera har storleksordige. Då fuktioe är jäm gäller att b =, för alla, och För = får vi För > får vi Alltså gäller a = () (t t ) cos πt dt, =,,, 3,... [ ] t a = () (t t ) dt = () t3 = 3 3 = 3 a = = (t t ) cos πt dt [ (t t ) [ = ( 4t) = ] si πt t= π t= cos πt π ( ) cos π cos π ] t= t= + = si πt ( 4t) π dt cos πt + ( 4) π dt ( )( + cos π) π a k = och a k = k π, k =,, 3,... Precis som vi gissade har Fourierkoefficietera a storleksordige. Eftersom fuktioe är kotiuerlig och uppfyller kovergeskriteriet överallt ka vi skriva f (t) = 6 cos πkt π k k=, t R, ( ) 9

10 där högerledet är Fourierserie för f (t). Sätter vi i t = i ( ) får vi = f () = 6 π k= k = k= k = π 6 Sätter vi i t = i ( ) får vi 4 = f ( ) = 6 cos πk π k k= = ( ) k k k= = π Parsevals formel ger 8 + π 4 k= Av detta följer slutlige att k 4 = () f (t) dt = () (t t ) dt = () (t t 3 + t 4 ) dt = ()( ) = 5 k= k 4 = π4 9 Exempel. Fuktioe g(t) är udda och periodisk, med periode, och för < t < gäller att g(t) = t( t). Bestäm g:s Fourierserie på trigoometrisk och expoetiell form. Avgör för vilka t R som serie kovergerar och bestäm series summa S(t) i dessa fall. Aväd Fourierserie för att beräka summora k= ( ) k (k + ) 3 och k= (k + ) 6 Lösig. Grafe för g(t) (för tydlighetes skull har vi tagit grafe för g(t)) framgår av: Fuktioe är kotiuerlig överallt och äve deriverbar överallt, äve i heltalspuktera (där dock derivatas graf har hör). Eligt kovergeskriteriet kovergerar därför Fourierserie överallt och dess summa är lika med fuktioe. Vi räkar med att Fourierkoefficietera har storleksordige 3. Då fuktioe är udda gäller att a =, för alla, och b = () (t t ) si πt dt, =,, 3,...

11 Alltså har vi b = = (t t ) si πt dt [ (t t ) [ = ( 4t) [ = + ( 4) ] cos πt t= π si πt π cos πt 3 π 3 ] t= t= t= ] t= = t= + cos πt ( 4t) π 4( cos π) 3 π 3 dt si πt ( 4) π dt Alltså gäller b k+ = och b k+ = 8 (k + ) 3, k =,,, 3,.... π3 Precis som vi gissade har Fourierkoefficietera b storleksordige 3. Eftersom fuktioe är kotiuerlig och uppfyller kovergeskriteriet överallt ka vi skriva g(t) = 8 si(k + )πt π 3 (k + ) k= 3, t R, ( ) där högerledet är Fourierserie för g(t). Sätter vi i t = i ( ) får vi 4 = g( ) = 8 si(k + ) π π 3 (k + ) k= 3 = k= ( ) k (k + ) 3 = π3 3 Parsevals formel ger 5 = () g(t) dt = 64 π 6 k= (k + ) 6 Av detta följer slutlige att k= (k + ) 6 = π6 96

12 Exempel. Fuktioe f (t) är periodisk, med periode. För < t < gäller att f (t) = t( t), meda f (t) =, för < t <. Bestäm f :s Fourierserie. Avgör för vilka t R som serie kovergerar och bestäm series summa S(t) i dessa fall. Lösig. Vi har Ω = π = π. Grafe för f (t) framgår av: Fuktioe är kotiuerlig överallt och äve deriverbar överallt, förutom i heltalspuktera, där grafe har hör. Eligt kovergeskriteriet kovergerar Fourierserie överallt och dess summa är lika med fuktioe. Eftersom grafe har hör räkar vi med att Fourierkoefficietera har storleksordige. I stället för att direkt beräka Fourierkoefficietera skriver vi fuktioe som e summa av e jäm- och e udda fuktio eligt f (t) = f (t) + f ( t) + f (t) f ( t) = f j (t) + f u (t) För < t < gäller att f j (t) = f u (t) = t( t). Vi käer därför Fourierseriera för dessa båda fuktioer frå våra tidigare exempel: f j (t) = 6 π k= De sökta Fourierserie ges därför av (med koverges överallt). f (t) = 6 π k= Exempel. I ett tidigare exempel visade vi att cos πkt k, f u (t) = 8 si(k + )πt π 3 (k + ) k= 3 k= cos πkt k + 8 si(k + )πt π 3 (k + ) k= 3 (k ) 6 = π6 96 Aväd detta resultat för att beräka summa σ = Lösig. Vi har = 6. Detta ger oss σ = = 6 = k= 63σ 64 = π6 96 (k ) 6 + k= = σ = (k) 6 = π σ 64 π 6 96 = π6 945

13 Exempel. E udda π-periodisk katvåg f (t), såda att f (t) = för < t < π, har eligt läroboke, sida 65, Fourierutvecklige f (t) 4 π si(k + )t k + k= Bestäm, med hjälp av dea, Fourierserie för katvåge g(t), med periode, som uppfyller g(t) =, för < t <, och g(t) =, för < t <. Lösig. Fuktioe f (πt) är e udda katvåg med periode, som atar värdet, för < t <, och värdet, för < t <. Det betyder att + f (πt) atar värdet, för < t <, och värdet, för < t <. Alltså har vi likhete g(t ) = + f (πt). Med hjälp av sambadet si ( A + (k + ) π ) ( ) ( ) = (si A) cos(k + ) π + (cos A) si(k + ) π = ( ) k cos A får vi därför g(t) = + f (π(t + )) + π = + π = + π k= k= si(k + )π(t + ) k + k= si ( (k + )πt + (k + ) π )) k + ( ) k cos(k + )πt k + 3

14 Vi går u över frå Fourierseriera till Fouriertrasforme. Härledig av Fouriertrasforme, med utgågspukt frå Fourierseriera. De periodiska fuktioera har ädlig effekt me, i regel, oädlig eergi. Sådaa fuktioer ka skrivas som e summa av rea harmoiska svägigar c e iωt + c e iωt med effekte c + c och fuktioes effekt är summa av dessa effekter. Nu vill vi göra ågot likade för aperiodiska, i allmähet komplexvärda, fuktioer f (t), < t <. Dessa har ädlig eergi f (t) dt och därför effekte oll. Fuktioe ärmar sig oll är t ±. Exempelvis ka det se ut som f (t) Vi tar u ett (stort) positivt reellt tal T och iför de T-periodiska fuktioe f T (t), som uppfyller f T (t) = f (t), för T < t < T: f T (t) För fuktioe f T gäller att f T (t) = T + T c e iωt där c = T = T T f (t)e iωt dt Vi iför u fuktioera F(ω) = (detta är Fouriertrasforme av f (t)) och f (t)e iωt dt, < ω < F T (ω) = T T f (t)e iωt dt, < ω < Då gäller T c = F T (Ω). Eftersom f (t) = f T (t), för T < t < T, har vi f (t) = F T (Ω) e iωt = = T π F T (Ω) e iωt Ω, T = < t < T Då T gäller att F T (ω) F(ω) och Ω +. Vi gissar därför att f (t) = lim Ω + π F(Ω) e iωt Ω = 4

15 För e hygglig fuktio Φ(ω) gäller att Φ(ω) dω = lim Ω + = Φ(Ω) Ω (högerledet är e Riemasumma). Alltså bör det gälla att f (t) = F(ω) e iωt dω, π < t < Detta sambad kallas för iversiosformel (för Fouriertrasforme). För att få ågot som är avädbart vid beräkigar måste förstås ovaståede preciseras: Sats. Atag att f (t) är begräsad, styckvis kotiuerlig och att Då är Fouriertrasforme f (t) dt < ( f (t) är absolutitegrabel) F(ω) = f (t)e iωt dt defiierad och kotiuerlig för < ω <. Dessutom gäller att F(ω) då ω. Om de båda gräsvärdea f (t + ) = lim f (t + ε) och f (t ) = lim f (t ε) ε + ε + existerar och dessutom de geeraliserade höger- och västerderivatora f +(t) = lim ε + f (t + ε) f (t + ) ε respektive f (t) = lim ε f (t + ε) f (t ) ε existerar så gäller f (t + ) + f (t ) N = lim F(ω) e iωt dω N π N Placherels formler. För begräsade, styckvis kotiuerliga och absolutitegrabla fuktioer f (t), g(t) gäller att Speciellt, för g(t) = f (t), har vi f (t)g(t) dt = F(ω)G(ω) dω π f (t) dt = F(ω) dω π ( ) Eergitäthete. Båda lede i ( ) uttrycker eergi i sigale f (t), < t <. Eergi som bärs av sigale uder tidsitervallet t < t < t är t t f (t) dt 5

16 meda eergi i sigale, som bärs av frekvesera ω, för vilka < ω < β, är β Φ(ω) dω där Φ(ω) = F(ω) + F( ω), < ω <, π är fuktioes eergitäthet. Trasformerig av jäma- respektive udda fuktioer. Om f är jäm, f ( t) = f (t), gäller F(ω) = = = () f (t)e iωt dt = f (t) cos ωt dt i Om f är udda, f ( t) = f (t), gäller F(ω) = = = ( i) f (t)(cos ωt i si ωt) dt f (t) cos ωt dt = F( ω) f (t)e iωt dt = f (t) cos ωt dt i f (t) si ωt dt f (t)(cos ωt i si ωt) dt f (t) si ωt dt f (t) si ωt dt = F( ω) Trasforme av e jäm (udda) fuktio är alltså jäm (udda). Iverstrasformerig av jäma- respektive udda fuktioer. På samma sätt gäller att π π F(ω) e iωt dω = π F(ω) e iωt dω = i π F(ω) cos ωt dω F(ω) si ωt dω om F(ω) är jäm om F(ω) är udda Exempel. Beräka Fouriertrasforme av pulse f (t), som ges av att f (t) = K, då a < t < a, meda f (t) = för övrigt. Aväd trasforme för att beräka itegralera I = Lösig. Detta är e jäm fuktio: si aω ω dω och I si ω = ω dω K a a 6

17 Vi får F(ω) = () a f (t) cos ωt dt = (K) [ ] si ωt t=a = (K) ω t= si aω = (K) ω = F( ω) cos ωt dt se läroboke sida 84. Om vi sätter K = så ger iversiosformel = f () = lim 4 = lim N π N N N si aω () ω dω π N si aω ω dω = π I Alltså har vi I = π. Värdet beror alltså ite på a. Vi sätter u a = K =. Fuktioes eergi ges då av Eligt Placherel gäller äve att Alltså har vi I = π 4 = π. E = E = π = 8 π dt = (4) si ω ω dω si ω ω dω = 4 π I Exempel. Bestäm Fouriertrasforme av f (t) = Θ(t)e ct, där c = a + ib, a >, och Θ(t) är de så kallade Heavisidefuktioe, som uppfyller Θ(t) = då t < och Θ(t) = då t > (se läroboke sida 7). Lösig. Vi får På samma sätt får vi att F(ω) = e ct e iωt dt = [ ] t e = (c+iω)t (c + iω) t= = c + iω = a + i(b + ω), Θ( t)e ct c iω = a + i(b ω), Dea gåg är sigaleergi (gå igeom detta oga!) E = = ] t [ e at e ct dt = a t= e (c+iω)t dt = a < ω < < ω < e at dt 7

18 Eligt Placherel gäller äve att E = π dω a + i(b + ω) = π dω a + (b + ω) Det betyder att dω a + (b + ω) = π a Dea itegral ka äve beräkas med våra metoder frå evariabelkurse. Exempel. Fouriertrasformera f (t) = e t, t R. Aväd trasforme för att beräka itegralera I = Lösig. Vi ka skriva Frå föregåede exempel följer att cos ω dω + ω och I = f (t) = e t = Θ(t)e t + Θ( t)e t F(ω) = + iω + iω = + ω där vi utyttjar Fouriertrasformes liearitet (se eda). dω ( + ω ) Eligt iversiosformel gäller, för varje t R, att e t = π = π Sätter vi i t = så får vi e iωt dω + ω = π cos ωt + ω dω = 4 π e = π Alltså har vi I = π e. Eergi är dea gåg E = Eligt Placherel gäller äve att Alltså har vi I = π 4. E = π e t dt = () 4 dω ( + ω ) = 8 π (cos ωt + i si ωt) + ω dω cos ωt + ω dω cos ω + ω dω = π I e t dt =. dω ( + ω ) = 4 π I 8