Fouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling

Transkript

1 Faltig Fouriertrasforme Faltig, filtrerig och samplig Givet två sigaler f och g och deras respektive spektra f`, g`, hur bildar ma e tredje sigal såda att dess spektrum är lika med summa f` + g`. Lätt! Av Fouriertrasformes lieäritet följer ämlige att f + g är de öskvärda sigale. Me hur ska två sigaler kombieras för att deras spektra skall multipliceras? Få se f`hwl g`hwl - f HtL -Â w t t - ghul -Â w u u f HtL ghul -Â w t -Â w u t u - f HtL ghul -Â w Ht+uL t u K f HtL -Â w Ht+uL to ghul u - t + u = t i de iersta itegraled K f Ht - ul -Â w t to ghul u - av itegratiosordigd K f Ht - ul ghul uo -Â w t t - - F B - f Ht - ul ghul uf HwL Svaret på fråga är således att ma skall kombiera f och g geom att bilda fuktioe t # Ÿ - f Ht - ul ghul u. Nämda till syes ivecklade kombiatio av f och g går uder amet faltigsprodukte eller faltige mella f och g, och beteckas f * g.

2 Fouriertrasforme3.b 2 Hf * gl HtL = - f Ht - ul ghul u Faltigsprodukte Att bilda f * g kallas för "att falta f med g". Beämige falta tycks ha ågot att göra med ordet falla. Se visualiserige lägre er. Vårt itresse för faltige grudar sig på det som vi visade ovaför, ämlige att faltiges spektrum är lika med de igåede sigaleras spektra. Vi kallar detta resultat för faltigsformel. H f * gl HtL F f` HwL g` HwL Faltigsformel Egeskaper hos faltigsprodukte Valig multiplikatio är kommutativ, distributiv över additio, och associativ. Dessutom är :a multiplikatioes s.k. idetitet. Av faltigsformel följer att faltigsprodukte "*" har motsvarade egeskaper: f *g g* f f` ÿg` = g` ÿ f` Kommutativ H f +gl*h f *h + g*h I f` + g`m ÿh` f` ÿh` + g` ÿh` Distributiv H f *gl*h f *Hg*hL I f` ÿg`m ÿh` f` ÿig` ÿh`m Associativ f * d f f` ÿ f` Idetitete Faltig mjukar upp och smetar ut Falta - 2, 2 med sig själv upprepade gåger. - 2, 2 * - 2, 2 * - 2, 2

3 3 Fouriertrasforme3.b Visualiserig av faltigsprodukte Notera edaför hur e bakväd f liksom faller över g är f * g bildas. f g t Tillämpigar på faltigsformel EXEMPEL 3 Beräka LÖSNING Vi vet att +t 2 * +t 2 Härav (med faltigsformel), +t 2 F p - w. () +t 2 * F p 2 +t 2-2 w = p 2-2 w. Å adra sida ka vi skala om () till Det följer att p 2 +J t 2 N2 F p 2-2 w. +t 2 * +t 2 = p 2 +J t = 2 p 2 N2 t 2 +4.

4 Fouriertrasforme3.b 4 EXEMPEL 4 Fi e lösig till ekvatioe yhtl - Ÿ 0 yht - ul -2 u u = dhtl. LÖSNING Faltigsformel kommer väl till pass. Me först måste vi orda så att de udre itegratiosgräse blir -, uta att itegrales värde förädras. Det är lätt åtgärdat med e iskjute Heavisidefuktio: yhtl - - yht - ul -2 u qhul u = dhtl Efter Fouriertrasformerig (där faltigsformel aväds) får vi Härav, ỳhwl = ỳhwl - ỳhwl 2-2+Â w + Â w 2 = 2 + Â w + Â w = + Â w + Iverstrasformerig ger yhtl = dhtl + -t qhtl. Faltig och filtrerig Geom att falta e sigal f med e sigal g ka ma påverka f :s spektrum dvs. dess frekvesiehåll. Hur skall g vara utformad om vi vill att f :s spektrum blir badbegräsat till badet w B, dvs. så att frekveser iom detta bad lämas oförädrade och frekvesera utaför försvier? F SVAR: Välj g såda att ghtl -B,B HwL För att hitta ett sådat g, ka vi skala om paret sichtl F p -, HwL till B p sichb tl F -B,B HwL. Således skall vi välja ghtl = B p sichb tl.

5 5 Fouriertrasforme3.b Placherels formel Det fis e Parsevals formel äve i Fouriertrasformeras värld. De flesta kallar de för Placherels formel, me vissa kallar bägge formlera för Parsevals formel. De ya ser ut som eda. PLANCHERELS FORMEL R f HtL 2 t 2 p R f`hwl 2 w E kort härledig (uta kommetarer) av formel. f HtL f HtL t t=- t=- 2 p t=- 2 p u=- 2 p u=- 2 p u=- f HtL 2 p u=- f`hul  t u u t f HtL f`hul - t u u t u=- f HtL f`hul - t u t u t=- f`hul f HtL - t u t u t=- f`hul f`hul u ANM Västerlede mäter eergi hos sigale f och högerledet beskriver dess uppdelig på sigales olika frekveser. Grafe av f` 2 kallas därför för ett eergispektrum. AM och FM De ljudsigaler som mäiskor ka uppfatta med si hörsel ligger i ett relativt smalt och lågt frekvesområde. Närmare bestämt ka vi bara höra sigaler med frekveser frå 20 Hz upp till 20 khz. När sigaler med så låga frekveser skall sädas med ljusets hastighet i eter, har ma ett problem. Ty låga frekveser motsvaras av låga vågor och lägde hos e ate måste vara mist e fjärdedel av våglägde hos de sigal som skall sädas. (Våglägde hos e våg som skall gå

6 hos de sigal som skall sädas. (Våglägde hos e våg som skall gå med ljusets hastighet beräkas geom att dividera ljushastighete med frekvese.) För att kua säda t.ex. e sigal med frekvese 440 Hz skulle atee således behöva vara lägre ä 70 km! Därför låter ma e sigal f HtL som skall sädas i radio för att så småigom å våra trumhior i form av musik och tal "rida på" sigaler av högre frekveser uder trasporte i eter. Här kommer AM och FM i i bilde. AM-kaaler trasporterar f HtL på e s.k. bärvåg  w 0 t av hög frekves geom att de seare amplitudmoduleras med hjälp av f. Matematiskt iebär det att radioatee säder f HtL  w 0 t. FM-kaaler modulerar istället bärvåges frekves med hjälp av f. De matematiskt iebörde av det seare är väsetlige att atee säder  w 0 Ht+f HtLL =  w 0 f HtL  w 0 t. Fouriertrasforme3.b 6 t sigal bärvåg amplitudmodulerig frekvesmodulerig Samplig När akustiska sigaler skall digitaliseras t.ex. i sambad med att akustiskt producerad musik skall överföras till CD måste ma sampla. Att sampla e kotiuerligt defiierad sigal är att "plocka ut" e diskret del av de.

7 7 Fouriertrasforme3.b Svårighetera att sampla tillräckligt "tätt" för att kua återskapa musike på ett vettigt sätt illustreras av edaståede figurer. Figur Figur 2 Hur tätt måste ma sampla för att återskapa e kotiuerligt defiierad (reell) sigal på ett vettigt sätt? Få se Eftersom de frekveser i tal och musik som örat ka förimma ite överstiger Hz = 20 khz öjer vi oss med att återskapa sigales frekvesiehåll edaför dea gräs. Med adra ord bortser vi frå högre frekveser i sigale. De matematiska iebörde är att Fouriertrasforme av sigale är oll då dess argumet w uppfyller w > Hz, dvs. w > p. 2 p Betrakta därför e sigal f HtL såda att f`hwl = 0 för w > B. Märkligt og ka ma återskapa f exakt med hjälp av samplade värde i puktera, -3 p B, -2 p B, - p B, 0, p B, 2 p B, 3 p B, För att bevisa detta, låt oss börja med att spektraltrasformera f`hwl på itervallet w B. Ja, du läste rätt. Vi skall beräka Fourierkoefficietera för f`hwl, -B w B! c Hf`L = B 2 B -Â p f`hwl B w w -B (2)

8 Fouriertrasforme3.b 8 Då iversa Fouriertrasforme återskapar f med hjälp av f` följer att f HtL 2 p f`hwl  w t w - f`hwl=0 för w >B 2 p -B B f`hwl  w t w (3) Om vi jämför (2) och (3) ser vi u att c Hf`L = f K- p B O (4) Me f`:s 2 B periodiska Fourierserie c Hf`L  p B w H4L f K- p B O  p B w återskapar f` på itervallet w B. När vi i (3):s högerled pluggar i f`:s Fourierserie i stället för f` erhålls f HtL B 2 p f K- p -B B O  p B w  w t w H*L f K- p B O B 2 p  It + p B M w w -B H * L Termvis itegratio H**L H * *L Beräka itegrale f K- p B O B p sichb t + pl Härav, f HtL = f K- p O sichb t + pl B (5)

9 9 Fouriertrasforme3.b (5) säger oss att ma ka återskapa de kotiuerligt defiierade f med hjälp av samplade värde i de diskret defiierade puktmägde, -3 p B, -2 p B, - p B, 0, p B, 2 p B, 3 p B, I praktike är förstås e oädlig samplig omöjlig att realisera det hjälper föga att de är diskret. Me e partialsumma (6) N f K- p O sichb t + p L B =-N (7) aväder ebart ädligt måga sampligar, och e såda aväds i praktike för att approximera f. Figur 3 edaför visar hur bra såda approximatio fugerar på sigale i figur. Approximatioe (de röda kurva) är byggd med formel (7) och de 23 samplade puktera frå figur 2. I bakgrude är sigale frå figur ritad i blått. Figur 3 CD-kvalitet I fallet med badbegräsade sigaler där frekveser över Hz tagits bort, dvs. där B = p, behöver (eligt (6)) avstådet mella sampligspuktera vara sek. Det betyder att ma tar mätvärde varje sekud. Sammafattigsvis skall ma således sampla med sampligsfrekvese 40 khz för att återge ljudfrekveser upp till 20 khz. Alla ljudfreaks vet att sampligshastighete 44. khz motsvarar CD-kvalitet.