Föreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Föreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)"

Hanna Danielsson
för 4 år sedan
Visningar:

1 Sigalbeadlig i multimedia - ETI65 Föreläsig 3 Sigalbeadlig i multimedia - ETI65 Kapitel 3 Z-trasforme LT 5 Nedelo Grbic mtrl. frå Begt Madersso Departmet of Electrical ad Iformatio Tecolog Lud Uiversit 33

2 Kap 3 -trasform Vi utgår frå ett ausalt impulssvar. Kausalt iebär att för Vi defiierar u Z-trasforme av impulssvaret som där j r e t ausal är ett omplet tal som vi oftast sriver som belopp oc fas. är e omple futio av e omple variabel. 34

3 35 Några eempel på -trasformer dirt frå defiitioe Tidsfutio FIR Z-trasform 3 } {3...} { Bevis fördröjig:

4 tterligare eempel Tidsfutio IIR Z-trasform a u a a a a a om a ROC u a om ROC ROC betder Regio of Covergece, dvs för vila summa overgerar. För e ausal sigal sigale = för egativa blir ROC ett pla R mi Detta är vårt ormala fall i dea urs. För e ice-ausal sigal blir det lite besvärligare. Vi visar detta med ett eempel på ästa sida. 36

5 37 Eempel på -trasform av ice-ausal sigal sid 54 Givet: alla för Sö: Lösig: är sild frå för egativa. / / oc ROC om är tvigas vi otrollera ROC för varje esilt fall.

6 38 Faltig övergår i produt Bevis

7 39 Kasadopplig serieopplig av retsar Vid asadopplig får vi ] [ ] [ ] [ ela ela Impulssvaret för ela retse är faltige mella bägge impulssvare. Oc sstemfutioe för ela retse är produte av retsara sstemfutio. Slutsats: Faltig i tidsplaet ger produt i Z-plaet. Bevis samma som tidigare ela ela ela [] [] [] [] []

8 Räteberäig med -trasform Baoto fortsättig frå ap. Eempel: Beräig beållig på baoto beräig av räta på räta Givet: Beållig på otot år = Isättig r e gåg per år 5 % årlig räta beräas e gåg per år Sö. Vad är saldot efter,, 5, år Nu a vi få e formel för vår beållig på otot. Vi ade ap. [ ].5[ ] [ ] [ ] u[ ] isättig r år Z-trasformera.5, Detta ger oss [ ] 5. u[ ] 45 [ ] [, 5, 35,..., 68,..., 4,..., 357,...,,...] år år 5 år år år 4

9 Lösig av adra ordiges differesevatio Första ordiges differesevatio löste vi i apitel. Med jälp av -trasforme a vi u eelt lösa ögre ordiges differesevatioer. Vi löser för oc atar att både oc är oll för egativa rets i vila. Givet e adra ordiges differesevatio.7.8 Vi a Z-trasformera varje term i ovaståede uttrc oc får vi atar att både oc är ausala.7.8 Lös ut.7.8 Med jälp av tabeller med -trasform a vi ocså eelt få oc. I de flesta fall vill vi ebart a fram egesaper os. 4

10 Eempel: Fiboacci sequece sid Fiboacci sequece är e seves där ästa tal är summa av de två föregåede tale, dvs {,,, 3, 5, 8, 3,...} Ka vi itta e slute lösig på dea serie? Ja Differesevatio: där, A: Lös med impulssvar Lösig: där A p A A p p p p A.5 5, 5 / 5, p A B.5 5, 5 / Svar: A p A p för B: Lös med startvärde ommer seare, boe sid med, 5 4

11 Ivers -trasform: Utttja tabeller A: Eligt defiitioe sid 8 B: Polomdivisio sid 83 C: Tabeller A: j d B: Eempel sid C: Utttja äda trasformpar frå tabeller. Det är detta vi sa utttja mest. 43

12 C: Tabell eller äda trasformer :a ordige. 9 ger.9 u :a ordige, reella poler partialbråsuppdel. 3 ger u u :a ordige, omplea poler formelsamlig diret 5. si / 4 cos / 4. 5 ger 5. si / 4 u Mer om detta ästa föreläsig oc på räeövigara Dela upp i :a oc :a gradsuttrc partialbråsuppdelig :a gradsuttrc, olla allra först om reella eller omplea poler. 44

13 Lösig av differesevatio med begelsevärde Första ordiges differesevatio löste vi i apitel. Vi sa att begelsevärde - oftast är oll. Vi a aväda Z-trasform äve om - är sild frå oll. Vi löser för oc är oll för egativa me - är sild frå oll rets ej ivila. Vi defiierar eelsidig Z-trasform eligt äve om för Med dea defiitio blir Z-trasforme av sift aorluda. Med blir Z trasforme eligt def dvs vi får lägga till startvärdet - för att få ett orret svar. Med jälp av de eelsidig -trasforme a vi lösa differesevatioer med begelsevärde. Se gära eemplet i boe på lösig av Fiboacci-sevese. 45

14 46 Eempel: Lös e första ordiges differesevatio med starvärde. Givet: givet startvärde med a Sö: för Lösig: trasformera Z a a a a ger a

15 Diretform II, sid 65 stadardritsätt Vi illustrerar ofta differesevatioer grafist. Ett eelt eempel visas eda. Mer om detta ommer i apitel 9. Givet: Krets ritat på forme A, a w, W b b, w-, - W Sö: Sambad mella [] oc [] Lösig: Iför jälpvariabel w[] oc iför betecigara, W oc. Räa med dessa. Beräa summa i pute A. W a W b W b dvs W W a b b a 47

Relevanta dokument

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder