1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

Transkript

1 BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a) Maclauris formel ( ) f () f () f () f ( ) f () + f () !!! ( ) f ( c) där R och c är tal som ligger mella och ( + )! Amärkig Eftersom c ligger mella och ka vi skriva c θ där θ är ett tal som satisfierar < θ < Därmed har vi ett ekvivalet sätt att age restterme: ( ) f ( θ ) R ( + )! Amärkig : IVid beräkig av gräsvärdea eda påverkar restterme ite resultat ( ) f ( c) Därför skriver vi iblad R på kortare sätt, R ), ( + )! ( + ) f ( c) där ) ( + )! ( Om f ) ( ) är begräsad i ärhete av så är ) också begräsad där I ågra böcker beskriver ma R med big O beteckig: R O( ) Viktiga Maclauriutveckligar: e !!!! si + + ( )!!! ( + )! cos + +!! ()! l( + ) + + ( ) p p p( p ) p( p )( p ) p( p ) ( p ( )) ( + ) !!!! Alterativt skrivsätt p p p p p ( + ) Sida av 7

2 ÖVNINGAR Uppgift cos + Beräka > a) med hjälp av Maclauriutvecklige, med hjälp av L Hospitals regel Lösig a) Först utvecklar vi täljare cos + (åtmistoe till första icke-oll term) (Amärkig: Ma vet ite frå börja hur måga termer ska ma ta för att få e icke-oll term I allmähet får ma pröva sig fram) Restterme ager vi på kortare sätt R ), där ) är begräsad i ärhete av Notera att R ) påverkar ite resultat i edaståede gräsvärde ( om vi väljer tillräckligt stort, så att mist ett (som går mot ) står ia B efter förkortig) f ( ) cos, f ( ) f ( ) si, f ( ) f ( ) cos, f ( ) f ( ) si, f ( ) () f ( ) cos, () f () () f ( ) cos, () f () f ( ) si, f () Alltså () f () f () f () f () f () cos f () )!!!!! cos + + )!! Vi ser att försvier i täljare cos + (första icke-oll term är )!! Täljare blir cos ) + + )!!! och därför Sida av 7

3 f ( c) cos + ( + + ) + ( + )! > > f ( c) (Vi ka, för ekelhets skull, kortare betecka B ( ) Uttrycket! f ( c) B ( ), dvs, påverkar ite resultatet, som vi ser eda! >! + ) > + ) (Notera att uttrycket ) är begräsat i ärhete av eftersom vi har framför uttrycket som går mot ) cos + " " > si + " " > cos + " " > si " " > cos > Svar: a) Uppgift e ( + + ) Beräka > a) med hjälp av Maclauriutvecklige, med hjälp av L Hospitals regel Lösig: a) Frå f ( ) e, f ( ) f ( ) e, f ( ) Sida av 7

4 f ) ( e, ) f ) f ( ( e, f ( ) har vi e ) Täljare blir då e ( + + ) ) ) Därför e ( + + ) > är begräsad ära ) > + ) + ) > (Notera att ) e ( + + ) " " > e ( + ) " " > e " " > e > Svar Uppgift Beräka följade gräsvärde cos si( ) + i) med hjälp av l Hospitals regel ii) med hjälp av Maclauris utvecklig Lösig: cos si i) [ ] ( l' Hospital) + si( ) + cos( cos [ ] ( l' Hospital) + cos( ) si( ) ) + + Sida av 7

5 ii) Vi beräkar samma gräsvärde med hjälp av Maclauriutvecklig Vi utvecklar täljare tills vi får e icke försviade term cos ( + B ( )) B ) ( På samma sätt utvecklar vi ämare + si( ) + ( + )) + ) ( B ( ) och B ( ) är begräsade i ärhete av ) Härav ( där B ( ) och B ( ) är begräsade i ärhete av cos + si( ) B ( ) [förkortig med ] + ) B ( )) + B ( )) Uppgift Beräka följade gräsvärde e i) med hjälp av l Hospitals regel ii) med hjälp av Maclauriutvecklig Lösig i) Beräkig med hjälp av l Hospitals regel e e + e + e " " " " e + e " " e + e + e ii) Beräkig med hjälp av Maclauriutvecklig e ( + + (Uttrycket B är begräsat i ärhete av ) +! B)! + B Uppgift + Beräka > si( ) Sida av 7

6 med hjälp av Maclauriutvecklige, Lösig: Först utvecklar vi täljare: Vi börjar med + + p (vi bryter ut för att få uttrycket av typ ( + dvs e stadard Maclauriutvecklig) p Frå ( + ) p + t + t + pt + t får vi, geom t och p/, att B ( ) Härav B ( ) ) 8 8 Täljare blir + + ) 8 Nämare: t t Med hjälp av si t + t har vi si( ) + ) och därmed!!!! si( ) + )! + Därför > si( ) > 8! 8 + ) + + )! Uppgift 9 Beräka ( + ) > med hjälp av Maclauriutvecklige, 8 + ) 8 > + )! (förkorta med ) (Notera att B och B är begräsade ära ) Lösig: För att kua aväda Maclauriutvecklige (dvs Taylorutvecklige krig ) börjar vi med substitutioe, då gäller t t Vi har Sida av 7

7 7 9 + t ( + ) + > t > 9 > 9 t t t t t t + t ( + t ) ( t > > t t t t t t + + t + t > > t t t t ( ) + t B t > (Notera att är begräsad ära ) t Svar: Uppgift 7 cos( ) Beräka > ) si( a) med hjälp av Maclauriutvecklige, med hjälp av L Hospitals regel Lösig: Vi substituerar t, då gäller t Nu ka vi aväda Maclauriutveckligar för si() och cos(): t t ( + t B ( )!! t cos( ) cos t > si( ) > si( ) > + ( ) > t t t t t B t t t + t B ( ) B t t B ( )! t + t B ( > ( ) cos( ) " " > ) si( si( ) " " ) > ( ) cos( Vi föreklar uttrycket ia vi aväder L Hospitals regel e gåg till si( ) > cos( ) > ( ) si( ) " " > ( ) > Svar: Sida 7 av 7