Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Transkript

1 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk process Radvärdesprolemet estår av ekv 1 och fra villkor som iehåller värde av fuktioe eller dess derivator lägs de fra sidora av rektagel a, För att lösa ett sådat radvärdesprolem aväder vi följade tre steg: Steg 1 Med hjälp av variaelseparatio estämmer vi alla produktlösigar u, X Y Steg Blad lösigar som vi får i steg 1, väljer vi de som uppfller giva homogea villkor, sådaa eteckar vi med u, Steg 3 Slutlige ildar vi e oädlig summa u, u, av lösigar i steg och estämmer koefficieter så att u, uppfller det icke-homogea villkoret eller de ickehomogea villkore =============================================================== Amärkig 1 Fuktioe u, är e lösig de triviala lösige till ekvatioe och homogea villkor me ite till icke-homogea villkor I fortsättig atar vi att mist ett villkor är icke-homoge, Därmed förkastas lösige u, ===================================================== 1 av 11

2 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Amärkig I ågra uppgifter med aplaces ekvatio är det lämpligt att aväda hperoliska fuktioer cosh och sih som defiieras eligt följade def cosh e e och sih def e e Med adra ord är cosh är medelvärdet t av e och e, meda är sih fuktioera: medelvärdet av e ochh e Detta ger att vii ekelt ritarr grafe till Följade viktiga egeskaper kommer direkt frå defiitioe: cosh 1, sih d d cosh sih, d d sih cosh, cosh sih 1 Notera mella hperoliska och trigoometriska fuktioer, l aat: cosh sakar ollställe, sih har edast ett ollställe = Eempel 1 Bestäm de allmäa lösige till epoetialfuktioer och trigoometriska fuktioer r ösig: Asatse e ger de karakteristiska ekvatioe r 16 r 4 Därför är e 4 och e 4 lijärt oeroede aslösigar r och därmed är Ae Be 4 de allmäa lösige e e e e 4 Eftersom cosh 4 och sih4 lösigar ka vi age de allmäa lösige på forme C cosh 4 D sih 4 16 Age A svaret med åde är också lijärt oeroede av 11

3 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Amärkig 3 På likade sätt ka vi i allmät age de allmäa lösige till, där på två olika sätt: Ae Be, C cosh Dsih Vi aväder det sätt som är mest praktiskt i e uppgift Uppgift 1 ös PDE med tillhörade radvillkor: u, u,,, ekv1 Villkor 1: u,, för Villkor : u, för alla, Villkor 3: u, för, Villkor 4: u, f 5 för, ösig: Steg 1: Vi örjar med produktasatse och variaelseparatio åt u, X Y P1 Vi sustituerar P1 i ekv1 och får X Y Y X eller X Y X Y * Eftersom västerledet eror av och högerledet eart av, måste de vara kostata och ha samma värde som vi eteckar med Vi eteckar kostate med för att efterlika eteckig i kursoke, aars ka vi aväda Alltså X Y X Y ** där är ett reellt tal just u vilket som helst Frå ** får vi två ekla ODE med kostata koefficieter: 3 av 11

4 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Frå X X och Y Y får vi X X ekv a och Y Y ekv Vi etraktar tre fall, och I Om lir ovaståede ekvatioer X och Y som ger X A B och Y C D Därmed lir u, X Y = A B C D II Om ka vi av praktiska skäll etecka där är ett positivt tal Frå ekv a får vi X X som gör X Ae Be Vi ka äve aväda X Acosh Bsih som är ilad eklare att hatera Frå ekv har vi Y Y som ger Y C cos Dsi Därmed u, X Y = Ae Allterativt ka vi skriva u, Acosh B sih Be C cos Dsi, där C cos Dsi, III Om ka vi etecka där är ett positivt tal Frå ekv a får vi X X som gör X Acos Bsi Frå ekv får vi Y Y som ger Y C cosh Dsih Därmed u, X Y = Acos Bsi C cosh Dsih, där Sammafattigsvis har vi fått följade produktlösigar till ekv1: I u, A B C D om 4 av 11

5 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe II u, = Acosh B sih C cos Dsi, där III u, Acos Bsi C cosh Dsih, där just u är vilket som helst positivt tal Amärkig: Vi ka etecka kostater med olika okstäver i I, II och III t e A 1,A,A 3 B 1,B,B 3, me då lir eteckige kråglig Steg : Fråga är vilka av ovaståede lösigar uppfller också villkore V1,V,V3 och V4 Vi ska sart visa att edast fall III är itressat för oss i detta prolem eftersom I och II leder till de triviala lösige u, som ite uppfller V 4 Vi örjar med s k homogea villkor som har i högerled i vårt fall V1 och V Notera att u, ite är e lösig till prolemet eftersom de triviala lösige ite uppfller icke-homoget villkor 4 Först apassar vi V1 och V till vår produktlösig Eftersom u, X Y ka vi skriva V1: u,, för som X Y för Detta ger X eller Y Me, eftersom Y ger u, kvarstår att X På samma sätt drar vi slutsats att V: u, medför X Y och därmed X Nu udersöker vi vilka produktlösigar som uppfller V1 : X och V : X I Om X A B då får vi frå V1 och V att B= och A= Därför lir X som ger de triviala lösige u, som i si tur ite uppfller V4 Därmed utesluter vi tp I lösigar II På likade sätt ka vi visa att tp II lösigar också leder till u, eftersom Frå villkor V1 har vi: A cosh B sih som ger A, därefter B sih som ger B, eftersom sih edast om = otera skillade mella de hperoliska och de trigoometriska siusfuktioe 5 av 11

6 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Därför utesluter vi fall II III Kvarstår lösigar av tp III dvs X Acos Bsi och därmed Y C cosh Dsih Vi ska estämma alla värde på så att X uppfller åde V1 och V V1 : Frå X har vi A cos Bsi A Alltså X Bsi V : Frå X har vi Bsi Härav si eftersom B= leder till triviala lösige, och därför där 1,,3,4, otera att eligt atagade Därför är X B si, där 1,,3,4, och B e kostat Villkor V3: u, för, som är också homoge, ger X Y dvs Y Om X då u, Vi tillämpar Y på Y C cosh Dsih där och får C cosh Dsih C Därför Y Dsih Dsih och därmed är u, c si sih, =1,,3, tillhörade produktlösigar De uppfller ekv1, V1, V och V3 Steg 3: Vi ska udersöka om vi ka ilda e oädlig serie med oestämda koefficieter c u, t 1 c si sih ekv så att serie uppfller villkor 4 Sustitutioe av serie i villkoret 6 av 11

7 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe u, f 5 för, ger 1 c si sih f eller 1 c sih si f =5 ekv3 Frå ekv3 ser vi att c sih är Fourierkoefficieter vid utvecklig av f i vårt fall f 5 siusserie på itervallet [,] Notera att och T Ma ka ise detta geom att jämföra väster ledet i ekv : V 1 c sih si med höger ledet i ekv utvecklad i Fourierserie: H si 1 Då ser ma att Med adra ord c sih för =1,,3, T 4 c sih f si d i vårt fall f 5 = T 4 5 si d 5 si d cos Alltså: c 11 1 sih 7 av 11

8 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Härav c 11 1 sih Slutlige sustituerar vi c 11 1 i ekv och får sih lösige till prolemet u, si sih sih ================================================ I edaståede uppgift är V3 och V4 homogea villkor som leder till Y= och Y= Tp II lösigar lir itressata i det här fallet Uppgift Jämför upp 15 7 i Zill-Wrigt för villkor och och e midre ädrig i ös PDE med tillhörade radvillkor: u, u,,, ekv1 Villkor 1: u, u,, för Villkor : u, f 4 för alla, Villkor 3: u, för, Villkor 4: u, för, ösig: Steg 1 På samma sätt som i Uppgift 1 får vi produktlösigar u, X Y till ekv1: I u, A B C D om II u, = Acosh B sih C cos Dsi, där III u, Acos Bsi C cosh Dsih, där just u är vilket som helst positivt tal 8 av 11

9 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Steg Vi ska vissa att edast tp II lösigar uppfller V3 och V4 Vi apassar homogea villkor V3: och V4: till produkt lösigar u, X Y : u, för dvs X Y för ger Y På likade sätt u, för ger Y Detta tillämpas på produktläsigar i ovaståede tre fall I, II och III: I u, A B C D Om vi aväder Y och Y på lösigar i I där Y C D får vi C= och D= dvs Y= och därmed lir u, X Y som vi förkastar II u, = Acosh B sih Här är Y C cos Dsi C cos Dsi, där Y ger C cos Dsi C och därför Y Dsi Frå Y har vi D si Alltså Y Dsi Motsvarade produktlösigar i fall II har forme Acosh B sih si u Me, villkor V1 som ka skrivas som, u, avseede på u, och dess derivator är också homoge med Vi tillämpar V1 för att äu mer förekla produktlösigar u Frå, u,, för har vi X Y X Y eller X Y X som ger X X eftersom Y ger de triviala lösige Alltså V1 ger X X Frå X Acosh Bsih har vi 9 av 11

10 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe X A sih B cosh Därför X X A B Alltså X B cosh B sih Produkt lösigar u XY B cosh sih si eller u, = c cosh sih si uppfller ekv1 och homogea villkor V1, V3 och V4 III Det är ekelt att tp III lösigar, tillsammas med villkor 3 och 4, ger edast triviala lösige de här gåge Kotrollera själv Steg 3: Vi ska udersöka om vi ka ilda e oädlig serie med oestämda koefficieter c u, = c 1 cosh sih si ekv så att serie uppfller villkor Sustitutioe av serie i villkoret u, f 4 ger 1 c cosh sih si f Frå ekv ser vi att c cosh sih är Fourierkoefficieter vid utvecklig av f i vårt fall f 4 siusserie på itervallet [,] Notera att och T 1 av 11

11 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe 11 av 11 Alltså sih cosh c = 4 vårt fall i si 4 f d f T T = d d 4 si 4si cos 8 Alltså: sih cosh c = Härav sih cosh 1 11 c sustitutioe i ekv ger svaret:, u = 1 si sih cosh sih cosh 1 11