Två enkla egenvärdesproblem. Två - gissningsvis välbekanta - egenvärdesproblem

Transkript

1 Partiella differetialekvatioer Trasformmetodslösigar av lieära differetialekvatioer har vi reda stött på. Me då har det - såär som på ågot udatag - hadlat om ordiära ekvatioer. Nu har ture kommit till de partiella. Två berömda partiella differetialekvatioer - värmeledigsekvatioe och vågekvatioe - skall lösas med hjälp av trasformmetoder. Me först ett kort stycke om två ekla ordiära differetialekvatioer. Två ekla egevärdesproblem Två - gissigsvis välbekata - egevärdesproblem I II y HtL l yhtl, yh0l give y HtL l yhtl, yh0l och y H0L giva kommer att dyka upp är vi löser värmeledigsekvatioe och vågekvatioe. Lösigara (egefuktioera) - som fås ekelt med hjälp av Laplacetrasformatio - är I : yhtl = yh0l l t II : yhtl = c l t + c 2 - l t Notera att l får vara ett komplext tal vilket som helst, samt att - l som förekommer i lösige av II är röttera till z 2 - l 0. l l och l - l Två viktiga specialfall av II uppstår är l ligger på egativa reella axel, eller på positiva imagiära axel: II När l = -r 2 för ågot ollskilt reellt r, så är l =  r. Härav, yhtl = c  r t + c 2 - r t = A coshr tl + B sihr tl = yh0l coshr tl + y H0L sihr tl r

2 II 2 När l = Â r 2 för ågot ollskilt reellt r, så är l = +Â 2 +Â är yhtl = c 2 r t + c 2 - +Â 2 r t. r Värmeledigsekvatioe.b 2 r, och därmed Värmeledigsekvatioe År 807 visade Fourier i O the Propagatio of Heat i Solid Bodies hur trigoometriska serier ka avädas för att lösa värmeledigsproblem. Fysikaliska fakta: Värme strömmar frå e varmare del av ett rumsobjekt till ett kallare. Därvid kommer temperature att förädras i objektet. Om ige värme tillförs kommer temperature så småigom att utjämas och bli likada i objektets alla pukter, och då upphör värmeströmige. Ma säger att ma har fått ett statioärt tillståd. Ia det seare har iträffat ädras temperature hela tide och dea förädrig ka visas vara proportioell mot temperaturgrafes krökthet i rumsriktige, vilket formaliseras i följade PDE u t l u x x värmeledigsekvatioe Proportioalitetskostate l kommer för ekelhetes skull i exemple edaför att väljas lika med. EXEMPEL Temperature på e rig. Betrakta e trådsmal cirkulär rig som har e give temperaturfördelig (f ) vid e give tidpukt (t = 0). Bestäm temperaturfördelige på rige vid varje efterkommade tidpukt. Atag för ekelhets skull att riges radie är. LÖSNING Att lösa det giva problemet iebär att hitta u så att följade två likheter satifieras PDE u t Hx, tl = u x x Hx, tl BEG uhx, 0L = f HxL, 0 < x 2 p Om ma kude staa tide, och (meda tide står stilla) vadra rut på rige, varv efter varv, så skulle ma uppleva samma temperaturvariatio för varje varv. Nedaför är e hypotetisk temperaturfördelig ritad som e blå kurva ovaför rige.

3 3 Värmeledigsekvatioe.b Således är temperaturvariatioe periodisk i x-riktige, om x represeterar de avverkade sträcka uder "promeade". Periode är lika med riges omkrets, dvs. 2p eftersom vi har satt riges radie till. Därför är det aturligt att beskriva temperature u med hjälp av e 2p-periodisk Fourierserie i x-riktige: u = c  x Detta gäller oavsett vid vilke tidpukt vi staar tide. Me så läge ickestatioärt tillståd råder måste Fourierserie beskriva olika fuktioer vid olika tider, vilket betyder att series koefficieter (dvs. u:s spektrum) måste vara tidsberoede. uhx, tl = c HtL  x () Observera att iebörde i asatse () är att u ite bara är e fuktio vars Fourierserie är lika med högerledet i (), uta att u är själva serie. Det är därför vi skriver likhet istället för krumelure "~". Då () pluggas i i PDE och BEG förvadlas de seare till Hÿ L c HtL  x = - 2 c HtL  x BEG c H0L  x = f HxL, 0 < x 2 p (ÿ ) uttrycker att de två Fourierseriera i väster- och högerled är idetiska. Det följer att ämda seriers koefficieter är idetiska, dvs. c HtL = - 2 c HtL. Och BEG uttrycker att c H0L är f :s spektrum. Härav, ODE c HtL = - 2 c HtL

4 BEG c H0L = 2 p 2 p f HxL - x x 0 Vad har vi gjort? Frå två ekvatioer (PDE & BEG) som i sia respektive väster- och högerled iehöll e fuktio u och dess derivator samt ytterligare e fuktio f, har vi härlett två ya ekvatioer där u:s och f :s spektra har itagit area. Närmare bestämt har varje term i de ursprugliga två ekvatioera ersatts med sia respektive spektra. Alltså har vi spektraltrasformerat! Ka vi lösa problemet på trasformsida? Javisst, ty det är ett egevärdesproblem av typ I frå det iledade avsittet. Härav, c HtL = c H0L -2 t 2 p = 2 p f HxL - x x - 2 t 0 (2) BEG Nu återstår bara att iverstrasformera, dvs. sätta i (2) i (). Resultatet blir uhx, tl = = 2 p 0 2 p 0 2 p f HxL - x x - 2 t  x 2 p f HxL -2 t  Hx-xL x ANM. Itegralbeskrivige av lösige ka ges på (de bekata?) forme uhx, tl = 0 2 p f HxL ghx - x, tl x Värmeledigsekvatioe.b 4 om ma sätter ghx, tl = 2 p -2 t  x Det bekata som åsyftas är att itegrade i (3) har samma form som itegrade i faltigsitegrale Ÿ R f HuL ghx - ul u. I själva verket är (3) e faltigsitegral för 2p-periodiska fuktioer. Lösige ka därför skrivas uhx, tl = f HxL * ghx, tl ANM 2. Om vi blickar tillbaka på (2), som beskriver u:s spektrum, ka vi kostatera att u:s spektrum är lika med produkte av f :s och g:s spektra, ågot som illustrerar att spektraltrasforme också har e (3)

5 vi kostatera att u:s spektrum är lika med produkte av f :s och g:s spektra, ågot som illustrerar att spektraltrasforme också har e faltigsformel. 5 Värmeledigsekvatioe.b ANM 3. Värmeproblemets faltigslösig, ka jämföras med de faltigar som dök upp är vi löste differes- och differetialekvatioer i avsitte med Z - och Laplace-trasforme. Då var faltigara av type isigal*impulssvar. Hur är det u? Svar: f är värmeproblemets isigal, och g är dess impulssvar, dvs. det u som erhålls är f är lika med d. För att ise det seare, sätt i f = d i (3), och itegrera! Notera edaför hur impulssvaret sprider sig lägs rige frå att ha varit kocetrerad rut x = 0 vid tide 0. I ästa exempel studerar vi ett rätlijigt objekt EXEMPEL 2 Föreställ dig e smal rak tråd av lägde som iitialt ges e viss temperaturfördelig, och som därefter får sia ädpukter edstoppade i isvatte. Bestäm temperature i trådes olika pukter vid alla efterkommade tidpukter. LÖSNING Vi behöver fia uhx, tl som satisfierar följade tre rader. PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl RAND uh0, tl 0, uh, tl 0, t > 0 BEG uhx, 0L f HxL, 0 < x < Nedaför är trådes iitiala temperaturfördelig uhx, 0L = f HxL ritad som e blå kurva vid t = 0. Och vid t = t är trådes temperaturfördelige uhx, t L vid just de tidpukte ritad som e aa blå kurva. De rödmålade lijera represeterar radvärdea, dvs. temperature i trådes ädpukter.

6 Värmeledigsekvatioe.b 6 Vi ska se att u i form av e siusserie som är 2-periodisk i trådes lägdriktig x kommer att lösa problemet. uhx, tl = b HtL sih p xl >0 Skälet till att vi asätter e såda serie, är att de är lika med oll i x = 0 och x =. (Se avsittet om sius- och cosiusserier.) Därmed kommer serie ifråga att satisfiera RAND. Och det är ige dålig börja. Återstår u att bestämma de tidsberoede koefficietera. Spektraltrasformatio (som i föregåede exempel) av PDE och BEG ger ODE b HtL = -H pl 2 b HtL vars lösig är Det följer att BEG uhx, tl = >0 b H0L 2 Ÿ 0 f HxL sih p xl x b HtL = 2 0 f HxL sih p xl x -H pl 2 t 2 0 f HxL si H p xl x där B är begyelsetemperatures siuskoefficiet. B -H pl2 t sih p xl EXEMPEL 3 Samma problem, me med specificerad beg.temperatur. PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl RAND uh0, tl 0, uh, tl 0, t > 0 BEG uhx, 0L = sihp xl + 2 sih3 p xl, 0 < x <

7 7 Värmeledigsekvatioe.b LÖSNING Som i EXEMPEL 2 fås uhx, tl = = B -H pl2 t sih p xl. Nu är B siuskoefficiet för sihp xl + 2 sih3 p xl. Dvs. B =, B 3 = 2 och B = 0 för övriga. Således är. uhx, tl = -p2 t sihp xl p 2 t sih3 p xl EXEMPEL 4 Dito, me med ett aat f. PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl RAND uh0, tl 0, uh, tl 0, t > 0 BEG uhx, 0L = 00, 0 < x < LÖSNING Precis som ovaför är uhx, tl = = B -H pl2 t sih p xl, me B är u siuskoefficietera för f HxL = 00. Dvs. 0, då är jäm B = sih p xl x = 2 00 H - H-L L Så uhx, tl = 400 k=0 p -H2 k+l2 p 2 t 2 k+ p = si HH2 k + L p xl. 400, då är udda p EXEMPEL 5 Isolerade ädpukter. Detta exempel hadlar om e tråd som i begyelse ges e viss temperatur, och som i fortsättige är isolerad i båda ädar (temperaturgradiete u x är oll där).

8 PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl RAND u x H0, tl = 0, u x H, tl = 0, t > 0 BEG uhx, 0L = H + cosh3 p xll, 0 < x < 2 Värmeledigsekvatioe.b 8 LÖSNING Av RAND-villkore leds vi u att för fixt t skriva uhx, tl som e cosiusserie med periode 2 i trådes riktig. (Se avsittet om sius- och cosiusserier.) uhx, tl a 0 HtL + a HtL cosh p xl 2 >0 Efter spektraltrasformerig erhålls vars lösig är dvs. ODE BEG a 0 HtL = 0, a HtL = -H pl 2 a HtL a 0 H0L 2 2, a 3 H0L 2, a H0L = 0 f.ö. a 0 HtL = kostat = a 0 H0L =, a HtL = a H0L -H pl2 t, a 0 HtL =, a 3 HtL = Det följer att uhx, tl = p2 t cosh3 pxl. EXEMPEL 6 Ihomogeitet i radvillkoret PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl 2 -H3 pl2 t, a HtL = 0 f.ö. RAND uh0, tl = 0, uh, tl = 2, t > 0 BEG uhx, 0L = 0, 0 < x <

9 9 Värmeledigsekvatioe.b Partikulärlösig Med take på att RAND-villkoret är tidsoberoede försöker vi först fia e tidsoberoede partikulärlösig u part som satisfierar PDE och RAND, dvs. så att Det följer (eller hur!) att 0 = u part HxL u part H0L = 0, u part HL = 2 Homoge lösig Nu sätter vi u part HxL = x 2 u hom Hx, tl = uhx, tl - u part HxL (4) där uhx, tl är lösige till det giva problemet. Då måste v = u hom satisfiera PDE v t Hx, tl v x x Hx, tl RAND hom vh0, tl = 0, vh, tl = 0 BEG hom vhx, 0L = 0 - x 2 RAND hom leder oss till att asätta v = u hom som e 2-periodisk siusserie u hom Hx, tl = b HtL sih p xl >0 På sedvaligt sätt får vi efter spektraltrasformatio vars lösig är ODE BEG b HtL = -H pl 2 b HtL b H0L 2 x H-L Ÿ 0 J- N sih p xl x = 2 p b HtL = H-L p -H pl2 t.

10 Det följer att H-L u hom Hx, tl = p >0 De slutgiltiga lösige Av H4L framgår att uhx, tl = u part HxL + u hom Hx, tl = x 2 + >0 -H pl2 t sih p xl. H-L p Värmeledigsekvatioe.b 0 -H pl2 t sih p xl. EXEMPEL 7 Temperature på och uder jordyta. Betrakta e positio x eheter uder jordyta, där x är lite i förhålladet till jordradie. Bestäm temperature på ämda djup givet att temperature på jordyta ovaför positioe ifråga ges av f HtL. LÖSNING Det gäller att lösa problemet PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl, x > 0 RAND uh0, tl f HtL f t x HdjupetL Om vi bortser frå klimatförädrigar över lägre tid samt smärre variatioer över kortare dito, så är temperature i e fix positio - t.e.x. i Uppsala - e periodisk fuktio av tide där periode är ett år. Mot dea bakgrud förefaller det vara rimligt att aväda Fourierserier för att beskriva variatioe över tid hos temperature x meter uder jordyta. Låt oss söka e -periodisk Fourierserielösig i tidsaxels riktig med djupberoede koefficieter. (Periode blir är vi mäter tide i år.) uhx, tl = c HxL Â 2 p t Efter spektraltrasformatio av PDE och RAND får vi på gägse sätt

11 Värmeledigsekvatioe.b ODE RAND  2 p c HxL = c HxL c H0L Ÿ 0 f HxL - 2 p x x Lösige till ovaståede ODE är (se egevärdesproblem II med lösig II 2 ) lika med c HxL = C - + + 2 p x 2 p x 2 + D 2 Eftersom temperature kappast ökar expoetiellt är ma gräver sig er (e lite bit) uder jordyta ka blott de första av de två termera vara ollskild. Därmed blir c (5) HxL C - + 2 p x 2 C -H+ÂL p x om 0 Vi vet att c och c - är kojugerade (för reellvärda serier). Det följer att Härav, c HxL C -H-ÂL p x om < 0 uhx, tl = C - p H-ÂL x  2 p t + - C 0 + C - p H+ÂL x  2 p t (6) (7) Om vi låter det trasformerade radvillkoret c H0L Ÿ 0 f HxL - 2 p x x vara med i leke, får vi (Låt x = 0 i (6).) 0 f HxL - 2 p x x = c H0L C ÿ som beskriver spektrum för temperature på jordyta (ovaför de aktuella positioe). För att vara kokret, atag att f HtL är de - periodiska sih2 p tl =   2 p t  - 2 p t, vars spektrum ges av C 0 = 0, C = 5 2  och C - = Â. Det följer att uhx, tl =  - p x  I-2 p t + p xm  - p x  I2 p t - p xm = p x 2   I 2 p t- p xm - - I 2 p t- p xm 2 Â

12 2 Â 2 Â = p x sii2 p t - p xm Värmeledigsekvatioe.b 2 Notera hur u fluktuerar rut värdet 0, och att de fluktuerade terme är e amplituddämpad och fasförskjute siusfuktio vars period är lika med. Fasförskjutige gör att temperature på djupet p släpar efter jordytas temperaturväxligar med e halv period. Dvs. på det djupet är det "viter" mitt i sommare och "sommar" mitt i viter. Voila, u vet jag på vilket djup jordkällare skall ligga. jui