Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

Transkript

1 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi berakar följade PDE u x u x k (, ) (, ), < x <, > (ekv), där k> är e kosa Ekvaioe (ekv) ka bl aa beskriva värmeledige i e u sav där u( x, beekar emperaure i puke x vid ide därför am värmeledigsekvaio Radvärdesprobleme besår av (ekv ) oh re villkor exempelvis: Villkor : u (,, för alla >, Villkor : u (, för alla >, oh Villkor 3: u ( x,) f ( för < x < Villkor oh beyder då a emperaure i saves ädpuker för alla > Villkor 3 (begyelsevillkore visar värmefördelig vid ide Vi berakar följade radvärdesproblem: Besäm u ( x, som uppfyller värmeledigsekvaioe u x u x k (, ) (, ), < x <, > (ekv) oh följade villkor: V: u (,, för alla >, V: u (, för alla > V3: u ( x,) f ( för < x <, där f ( är e give fukio Om f ( då har probleme de riviala lösige u ( x, I forsäig aar vi a f ( ie är ideisk Därmed förkasas lösige u( x, efersom de ie uppfyller V3 (oh bidrar med i summa av produklösigara som vi bildar i Fouriermeode) av 3

2 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe Amärkig: eke beyder ideisk lika ösig ill ovasåede radvärdesproblem: Vi börjar med produkasase oh variabelseparaio å u ( x, X ( Y ( (P) Vi subsiuerar P i (ekv) oh får k X ( Y ( Y ( X ( eller X ( Y ( X ( k Y ( (*) Efersom väserlede beror av x oh högerlede ebar av, måse de vara kosaa oh ha samma värde som vi beekar med λ (Vi beekar kosae med λ för a eferlika beekig i kursboke, aars ka vi aväda λ ) Allså X ( X ( Y ( λ k Y ( (**) där λ är e reell al (jus u vilke som hels Frå (**) får vi vå ekla ODE med kosaa koeffiieer: Frå X ( X ( λ oh Y ( k Y ( λ får vi X + λ X (ekv a) oh Y + λ ky (ekv b) ösige ill (ekv a) beror på λ Vi berakar re fall λ, λ < oh λ > I) Om λ blir ovasåede ekvaioer X oh Y som ger X Ax + B oh Y C Därmed blir u ( x, X ( Y ( C ( Ax + B) (oera a CA är e kosa eller u ( x, Ax + B II) Om λ < ka vi av prakiska skäll beeka λ α där α är e posiiv al Frå (ekv a) får vi X α X som gör X αx αx + Ae Be av 3

3 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe Frå (ekv b) har vi Y kα Y som ger Y Ce kα Därmed u ( x, X ( Y ( ( Ae III) Om λ > ka vi beeka + Be ) α x α x kα e, där α > λ α där α är e posiiv al Frå (ekv a) får vi X + α X som gör X Aos( + Bsi( Frå (ekv b) får vi Y + kα Y som ger Y α Ce Därmed u ( x, X ( Y ( ( Aos( + Bsi( ) e α, där α > Sammafaigsvis har vi få följade produklösigar ill (ekv): I) u ( x, Ax + B (om λ ) II) u ( x, ( Ae + Be ) α x α x α, där α > k e III) u ( x, ( Aos( + Bsi( ) e α, där α > (jus u vilke som hels posiiv al) Fråga är vilka av ovasåede lösigar uppfyller okså villkore V,V oh V3 ( Vi ska sar visa a edas fall 3 är iressa för oss i dea problem efersom I oh II leder ill de riviala lösige u ( x, Vi börjar med s k homogea villkor V oh V (som har i högerled) Förs apassar vi V oh V ill vår produklösig Efersom u ( x, X ( Y ( ka vi skriva V: u (,, för alla >, som X ( ) Y ( för alla > Dea ger X ( ) eller Y ( Me, efersom Y ( ger u ( x, kvarsår a X ( ) På samma sä drar vi slusas a V: u (, för alla >, medför X ( ) Y ( oh därmed X ( ) Nu udersöker vi vilka produklösigar som uppfyller V : X ( ) oh V : X ( ) I) Om X Ax + B då får vi frå V oh V a B oh A Därför blir X som ger de riviala lösige u ( x, Därmed uesluer vi yp I lösigar På likade sä ka vi visa a yp II lösigar okså leder ill u ( x, efersom 3 av 3

4 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe A + B Ae α + Be α medför A, B (efersom e α oh e α ) som ger X oh u ( x, uesluas fall II Därför Kvarsår lösigar av yp III dvs X Aos( + Bsi( Vi ska besämma alla värde på α så a X uppfyller både V oh V V : Frå X ( ) har vi A os( ) + Bsi() A Allså X Bsi( V : Frå X ( ) har vi Bsi( α ) Härav si( α ) (efersom B leder ill riviala lösige), oh därför α α där,,3,, (oera a α > elig aagade) Därför är X Bsi( oh därmed u ( x, XY Be där,,3,, (oh B e kosa vilke som hels) Fukioera u ( x, Be uppfyller (ekv) oh homogea villkor V oh V Samma gäller för e lijär kombiaio av sådaa fukioer (efersom ekvaioe oh vå villkor V,V är homogea) Sådaa lösigar (geerell uppfyller ie villkor 3 dvs villkore u ( x,) f ( för < x < Vi ska udersöka om vi ka bilda e oädlig serie (med obesämda koeffiieer ) u( x, e så a serie uppfyller villkor 3 Subsiuioe av serie i villkore u ( x,) f ( för < x <, får vi f ( (ekv) av 3

5 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe Frå (ekv) ser vi a är Fourierkoeffiieer vid uveklig av f ( i siusserie på iervalle [,] (Noera a Med adra ord besämmer vi π π π Ω oh ) Ω π f ( si( Ω dx f ( si( π dx oh därefer u( x, e Exempel a) Besäm u ( x, som uppfyller värmeledigsekvaioe u( x, ( x, 5 ) oh följade villkor: < x, > (ekv), < V: u (,, för alla >, V: u (, för alla > V3: u ( x,) x för < x <, b) Samma uppgif som ova med y 3π V3: u( x,) 8 + 3si(πx ) för < x <, ösig: a) I vår fall är (oh därmed periode ), k5, f ( x Vi upprepar ovasåede härledig (gör dea varje gåg du löser e värmeledig ekv) oh får u( x, e 5 av 3

6 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe Koeffiieera besäms så a f ( dvs är Fourierkoeffiieer vid uveklig av f ( i siusserie på iervalle [,] π π π (Noera a Ω oh ) Ω π Med adra ord besämmer vi f ( si( Ω dx f ( si( π dx x dx (par i eller BEA) + ( ) Därmed u ( x, e (subs: k5, oh + ( ) ) ( ) + e 5 Svar: a) u( x, ( ) + e 5 b) Amärkig ( E speiell fall) Om vi ska uvekla f ( i e siusserie på halviervalle[,] oh om f ( reda är e lijär kombiaio av siusbasfukioera då ka vi hel ekel besämma geom a ideifiera koeffiieer som sår framför lika basfukioer Dea gör vi i dea exempel (ikade gäller vid uveklig i osiusserie av e fukio som är e lijär kombiaio av osiusbasfukioera) Vi gör på samma sä upp ill avädig av Villkor 3 Allså u( x, e 6 av 3

7 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe Koeffiieera besäms så a f ( dvs så a 3π 8 + 3si(πx ) De här gåge är f ( reda e lijär kombiaio av ågra (vå i vår fall) basfukioer, Vi behöver INE aväda formel för uveklig i siusserie ua vi hel ekel jämför koeffiieer på båda sidor: 3 si π x är lika med för 3 därför 3 8 8π si(π x ) si är lika med för 8 därför 8 3 Alla adra koeffiieer är dvs om 3oh 8 Därför är u( x, 8e 3π 5 e 3π + 3e 3π 8π 3 k π 8π 3e + 8e 3π 8π 5 8π 8π π 8π Svar b) u ( x, 8e + 3e Uppgif Besäm u ( x, som uppfyller värmeledigsekvaioe u( x, ( x, oh följade villkor: < x, > (ekv), < V: u (,, för alla >, V: u (, för alla > 7 av 3

8 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe V3: u ( x,) f ( för < x < för < x < ösig: Vi aväder u ( x, X ( Y (, separerar variabler oh får X + λ X, X ( ), X() oh Y + λ ky Vi har re möjliga lösigar ill X oh Y: I) X Ax + B, YC (om λ ) II) X Ae + Be, α x α x Y kα Ce där α >, λ α III) X Aos( + Bsi(, Y α Ce där α > λ α Sammafaigsvis har vi få följade produklösigar ill (ekv): I) u ( x, Ax + B (om λ ) II) u ( x, ( Ae + Be ) αx αx α, där α > k e III) u ( x, ( Aos( + Bsi( ) e α, där α > (jus u vilke som hels posiiv al) Fråga är vilka av ovasåede lösigar uppfyller okså villkore V,V oh V3 Villkore V: u (,, för alla >, V: u (, för alla > ger X ( ), X() elimierar försa fall (de gör riviala lösigar) Kvarsår X Aos( + Bsi(, Vi subsiuerar X() oh får A os( ) + Bsi() dvs A + därmed A oh X Bsi( Nu subsiuerar vi X() oh får Bsi( α) som ger α α där,,3,, (där α > λ α ) 8 av 3

9 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe Allså X Bsi( där,,3,, (oh α > elig aagade) Fukioera oh V u ( x, XY Bsi( e uppfyller (ekv) oh homogea villkor V Vi bildar serie u( x, e oh besämmer så a Villkor 3 dvs u ( x,) f ( är okså uppfylld Allså f ( Med adra ord är Fourierkoeffiieer vid uveklig av f ( i siusserie på iervalle [,] (Noera a Därför π π π Ω oh ) Ω π f ( si( Ω dx f ( dx ( i vår fall me fukioe är för <x<) dx os( os( ) π Slulige u ( x, e (k,, os( ) ) u( x, Svar: u( x, os( ) e os( ) e 9 av 3

10 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe Amärkig Homogea villkor V, V, i radvärdesproblem för e värmeledigsekvaio ka ages i adra former ex om save är isolerad i puke x då är Om save är isolerad i puke x då är Då ädras homogea villkor ill x x V: x för alla >, V: x för alla > Sådaa villkor leder ill e osiusserie som vi ser i äsa uppgif Uppgif a) ös följade radvärdesproblem u x u x k (, ) (,, < x <, > (ekv) oh följade villkor: V: x för alla >, V: x för alla > V3: u ( x,) f (, < x < b) ös samma problem om k 5,, f ( + x ösig: Vi aväder u ( x, X ( Y (, separerar variabler oh får X + λ X, X ( ), X() oh Y + λ ky Vi har re möjliga lösigar ill X oh Y: I) X Ax + B, YC (om λ ) av 3

11 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe II) X Ae + Be, α x α x Y kα Ce där α >, λ α III) X Aos( + Bsi(, Y α Ce där α > λ α Sammafaigsvis har vi få följade produklösigar ill (ekv): I) u ( x, Ax + B (om λ ) II) u ( x, ( Ae + Be ) αx αx α, där α > k e III) u ( x, ( Aos( + Bsi( ) e α, där α > (jus u vilke som hels posiiv al) Fråga är vilka av ovasåede lösigar uppfyller okså villkore V,V oh V3 Villkore ger x för alla >, V: x för alla > V X ( ), oh V X ( ) (*) (Villkora V oh Ve elimierar edas fall II som vi ser eda) Fall I) Frå X Ax + B har vi X A så a X ( ) ger A samidig X ( ) ger ige A Därför X B är e (ike rivial) kosa lösig som saisfierar ekv, V oh V Fall II) leder edas ill riviala lösige X oh därmed förkasas Kvarsår III) X Aos( + Bsi(, Härav X α Asi( + αb os( Frå V dvs frå X ( ) har vi α Asi( ) + αb os() som ger B Därmed X Aos( (oh X αasi( ) Frå V dvs frå X ( ) får vi u α Asi( α) Härav α dvs α, där,,3,, ( α > λ α ) Därmed X Aos( av 3

12 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe Produklösigar u( x, Aos( e uppfyller ekv,v oh V Vi bildar serie u( x, e os( oh besämmer så a Villkor 3 dvs u ( x,) f ( är okså uppfylld Noera a är okså ikluderad i summa efersom vi uveklar i osiusserie oh dessuom e kosa fukio är lösig elig I) Alså os( f ( a Med adra ord är Fourierkoeffiieer vid uveklig av f ( + a os( i π π osiusserie på iervalle [,] (Noera a med periode gäller Ω ) Därför a f ( dx, a f ( os( Ω dx,,,3, När vi besämmer då är u( x, e os( + e os( Svar a) u( x, e os( där f ( os( Ω dx b) Om k 5,, f ( + x får vi () π Ω π a f ( dx ( + dx 6 av 3

13 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe (( ) ( + os( dx ( beräka själv) π ) Därför u( x, 6+ (( π ) ) e os( Svar: u( x, 6+ (( π ) ) e os( 3 av 3