7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter"

Transkript

1 7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas med poler och ollställe. Uppgift I figurera 5, 6 och 7 sys tre olika svar amplitudsvaret, impulssvaret respektive stegsvaret för fem olika LTI-system. Para ihop dem med pol-ollställebeskrivigara i figur 4. Lösig I de här falle har vi ebart poler. Det vi behöver täka på är att: Nära polera fås stor förstärkig, lågt ifrå polera stor dämpig; Poler med imagiärdel iebär ågo form av svägigsbeägehet; Poler ära ehetscirkel dämpas ut lågsammare ä poler ära z = ; Stegsvaret är itegrale av impulssvaret. Vi tar ett pol-ollställediagram i taget. PN Det här systemet har två oscillativa poler som ligger ära ehetscirkel, ågostas rut Ω = π/4. A4 Polera vid ehetscirkel tyder på att systemet tycker mycket om Ω π/4: det borde fias e resoastopp där ågostas. Detta sker lokalt. Mer övergripade borde systemet vara av låpasskaraktär eftersom polera ligger ärmare Ω = ä Ω = π. Me detta stämmer ju också med A5!? Det fis ågra små skillader: A5 har större statisk förstärkig (fler poler iom ett avståd< ); A5:s amplitudsvar dyker lite ia toppe vilket tyder på e pol ära Ω =. Alltså är det A4 som gäller. I5 Eftersom systemet är svägigt passar bara I2 och I5 i. Skilladera är ite så stora, me de fis: I5 har kortare tidsfördröjig ä I2 (midre polöverskott); I5 har midre statisk förstärkig ä I2 (färre poler ära Ω = ); I5:s svägig är ite lika sabbt dämpad som I2. Impulssvar 5 får det bli! S4 Här gäller ugefär samma som för impulssvare, me framför allt är det skillad i statisk förstärkig och tidsfördröjig som skiljer S4 frå S2. PN2 Systemet utgörs av e esam icke-oscillativ pol e bit iaför ehetscirkel. A2 Systemet är av tydlig lågpasskaraktär då pole ligger ära z =. De kommer att dämpa höga frekveser vid z =. Dessutom ka vi se att förstärkige ite borde variera speciellt mycket för låga Amplitudsvaret, eller frekvesgåge, är ige fullstädig beskrivig av ett LTI-system.

2 frekveser eftersom pole ite ligger jätteära ehetscirkel. Amplitudsvaret blir platt för låga frekveser för att seda avta för höga. Därför passar ite A eller A3. I Systemet är ite svägigt (pole är reell). Det är expoetiellt dämpat i tidsdomäe (pole iaför ehetscirkel). Alltså måste PN2 motsvara I. S5 Ett ehetssteg är e ädlig isigal. Stabila system har därför ädligt stora stegsvar. PN2 är tydligt stabilt och därför ka varke S eller S3 komma i fråga. Vi vet ju också att PN2 ite är oscillativt edast S5 ka stämma. PN3 E esam pol ligger på ehetscirkel i z =. A Vid låga frekveser kommmer förstärkige att ärma sig eftersom pole ligger i z =. Detta gäller både för A och A3, me A3 har e brytpukt där lutige ädras. Detta tyder på att A3 ite hör samma med ett första ordiges system (som PN3 är). I4 Poler iaför ehetscirkel ger expoetiellt dämpade beteede; poler utaför ger expoetiellt växade beteede; poler på ehetscirkel ger statioära beteede. Impulssvaret måste alltså vara statioärt. 2 Edast alterativ I4 duger. S3 E esam pol i z = iebär att vi har överförigsfuktioe H(z) = K z Översätter vi dea till tidsdomäe får vi () h() = Ku( ) y() = y( ) + Kx( ) (2) där u() är ehetssteget. Detta är e ackumulator som samlar på sig alla isigaler. E kostat isigal (som ett steg) ger upphov till e kostat och lijärt växade utsigal. Stegsvaret är de kumulativa summa av impulssvaret H() = h(m) = K (3) m= PN4 Två icke-oscillativa poler. E i z = och e e bit iaför. A3 Precis som PN3 har det här systemet oädlig förstärkig för låga frekveser på grud av pole på ehetscirkel. För höga frekveser kommer båda polera att dämpa förstärkige sjuker sabbare. I3 Eftersom systemet är istabilt är impulssvaret ite absolut summerbart. Därför faller I, I2 och I5 bort. Impulssvaret I3 har ett expoetiellt dämpat förlopp kombierat med ackumulators kostata impulssvar. 2 Observera att ett system ka vara svägigt och statioärt: e siusvåg har statioära egeskaper. 2

3 S Blad stegsvare fis bara två istabila system. Eftersom stegsvaret är de kumulativa summa av impulssvaret ka vi sluta oss till att stegsvaret bör växa lågsamt till e börja för att seda växa lijärt. PN5 Detta system uppför sig som PN och PN2 kombierat. Två oscillativa poler och e lågpasspol. A5 Kombierar vi A2 och A4 så får vi A5. Amplitudsvaret har e tydlig resoastopp och e midre tydlig svacka ia toppe. De seare är lågpasspoles verk. Kommetar I2 Av de två oscillativa impulssvare väljer vi I2 för att: Tidsfördröjige är lägre; Dämpige är sabbare (lågpasspole); Oscillatioe iitialt större. S2 Här gäller samma argumet som i föregåede stycke. De statiska förstärkige är större för S2 ä för S4. E viktig skillad mella kotiuerlig och diskret tid är uppföradet för höga frekveser. I kotiuerlig tid kommer ma förr eller seare så lågt frå poler och ollställe att förstärkigskurva får e kostat lutig. Detta sker ite i diskret tid (vilket sys i figur 5) eftersom det maximala avstådet till polera och ollställea är begräsat. Ökar vi frekveser går rut ehetscirkel varv efter varv amplitudsvaret upprepar sig periodiskt Filterkostruktio Uppgift a) Poler och ollställe. Filter ka vi kostruera geom att placera ut poler och ollställe i z- plaet. Hur ska ma täka är det gäller: Förstärkig/dämpig? Stabilitet? Faslijäritet? Kausalitet? b) Impulsivariat metod. Ta fram ett första ordiges LP-filter med de impulsivariata metode. Gräsfrekves ω g. c) Föstermetod. Lösig Kostruera ett femtappars filter med föstermetode. Gör ett badpassfilter för itervallet [, 2] khz då vi samplar med 6 khz. a) Pol-ollställeplacerig 3

4 Förstärkig/dämpig Vi utgår frå ett ekelt exempel. H(Ω) = K ejω z e jω z p Här sys det tydligt att ju lägre vi kommer frå ollställe, desto mer bidrar det till förstärkige. Det omväda gäller för poler: lägre bort=mer dämpig. Om vi istället kommer ära polera, d.v.s. exp(jω) z p blir litet, så blir förstärkige stor. Nära eller i ollställe dämpas sigale. Placera ollställe vid frekveser som ska dämpas och poler vid frekveser som ska förstärkas. Poler och ollställe verkar åt motsatt håll, de varadras motsatser i det mesta. Stabilitet E pol iaför ehetscirkel motsvarar ett expoetiellt avtagade tidsförlopp. Sådaa poler ger aldrig upphov till istabilitet. Det gör däremot poler på eller utaför ehetscirkel, så håll polera iaför! Nollställea har iget med stabilitete att göra. Faslijäritet För att kua göra ett filter faslijärt måste polera vara i origo, meda ollställea läggs som speglade par (eller i origo). E speglig i ehetscirkel beskrivs av z 2 = z (5) där * beteckar komplexkojugerig. För mer detaljer, se uppgift Om det ite vore för stabilitete skulle vi kua ha speglade poler också. Nu iebär speglige alltid att e hamar iaför och e utaför. Kausalitet Poler och ollställe ka översättas direkt till e differesekvatio. (4) A(z)Y (z) = B(z)X(z) (z N + a z N +...)Y (z) = (b z M + b z M +...)X(z) ( + a z +...)Y (z) = (b z M N + b z M N +...)X(z) y() = a y( ) a 2 y( 2)... +b x( M + N) + b x( M + N ) +... Här ka vi se att om M > N så är systemet ite kausalt. Ordigara M och N svarar ju direkt mot atalet ollställe och poler. Ett kausalt tidsdiskret lijärt system måste ha mist lika måga poler som ollställe. b) Dea metod är tydlige ite med i kurse. Väta med de så läge de verkar ite åt vidare bra. (6) 4

5 c) Föstermetode steg för steg:. Utgå frå ett öskat frekvessvar H(Ω) (till exempel ett idealt filter). 2. Gör e ivers tidsdiskret fouriertrasform. h() = 2π π π H(Ω)e jω dω (7) Nu har vi det impulssvar vi vill ha, me trolige är det ite realiserbart (ite praktiskt tillämpbart). 3. Föstra det, förmodlige, oädliga impulssvaret till ädlig lägd. ĥ() = w()h() (8) Föstrige sker symmetriskt krig =. Valet av föstertyp kommer att påverka filtrets egeskaper. 4. Gör filtret kausalt geom att skifta ĥ() så att det startar i =. Vi vill åstadkomma ett badpassfilter som släpper igeom khz till 2 khz. Uttryckt i de ormerade frekvese Ω: Ωu = 2π 6 = π 8 Ωö = 2π 2 6 = π 4 (9) Nu gäller det att komma ihåg e sak: ett reellt impulssvar har ett jämt amplitudsvar och e udda fasgåg. Glöm ite bort de egativa frekvesera för då kommer impulssvaret att bli komplext., π/4 Ω π/8 H(Ω) =, π/8 Ω π/4 (), aars Här har vi idirekt satt fasgåge φ(ω) =. Nu har vi klarat av steg ett: Vi vill göra ett idealt badpassfilter med lijär fasgåg. Dags för steg två. π h() = H(Ω)e jω dω 2π π = π/8 e jω dω + 2π π/4 π/4 π/8 e jω dω = π (e jπ/4 e jπ/4 + e jπ/8 e jπ/8) 2j = ( ( π ) ( π )) si si π 4 8 () 5

6 Aväder vi impulssvaret i ekvatio () kommer vi att erhålla ett idealt badpassfilter. Problemet är att det är svårt att realisera oädligt låga och ickekausala impulssvar. Dags för steg tre: Klipp av impulssvaret! Uppgifte var att göra ett fem tappar lågt filter. Vi ska alltså ha ett impulssvar med lägde fem. Ett rektagulärt föster ger { h(), = 2,,,, 2 ĥ() = (2), aars Föstrige visas i figur där det ideala impulssvaret och det rektagulära föstret visas. Reda u ka vi gissa att filtret og ite blir åt vidare med bara fem tappar. Vi klipper bort alldeles för mycket viktiga delar..2 h() Figur : Rektagulär föstrig av idealt impulssvar. För att göra filtret kausalt högerskiftar vi det två steg. { h( 2), =,, 2, 3, 4 ĥ() =, aars (3) Detta var det sista steget i föstermetode. E viktig pukt sakas dock: validerige! Vi ka ite vara öjda med att vi stegat igeom de fyra puktera om resultatet är skräp. För att kotrollera vad föstrige ieburit för amplitudsvaret går vi tillbaka till frekvesdomäe. Ĥ(Ω) = =4 = ( si π ( π ) si 4 ( π )) e jω (4) 8 Vi trasslar ite fram åt slutet uttryck för frekvessvaret uta öjer oss med att studera amplitudsvaret med hjälp av Matlab (se figur 2). Vi ka kostatera att filtret är tämlige värdelöst med bara fem tappar. I figure ser vi också amplitudsvaret för ett 4-tappars filter gjort med samma metod. Då börjar det ju lika ågot. 6

7 db ^ H(Ω) 5 tappar 4 tappar Ω rad/s Figur 2: Amplitudsvar för fem- respektive 4-tappars filter. Kommetar Föstermetode geererar edast FIR-filter. Vi klipper bort iformatio är vi föstrar impulssvaret. Ju midre vi klipper desto bättre blir det. Olika val av föster ger olika resultat (jämför med periodogrammet, uppgift 7.2.). Ĥ(Ω) = H(Ω) W (Ω) (5) 7.2 Skattig av amplitudspektrum 7.2. Periodogrammets egeskaper Uppgift a) Förklara pricipe bakom periodogrammet. b) Beskriv hur upplösige påverkas av fösterlägde. c) Vad har föstrets form för betydelse. d) Vi fösöker skatta ett frekvessvar Ĥ(Ω) frå uppmätta i- och utsigaler x(), y(). Vilka val av isigal är bra respektive midre bra? Siusvåg Impuls Fyrkatvåg Vitt brus Färgat brus 7

8 Lösig a) Periodogrammet är e skattig av amplitudspektrum frå e ädlig datasekves. Skattige bygger på de diskreta fouriertrasforme. Säg att vi har e uppmätt datasekves x() som består av N mätvärde. Frå de ka vi beräka DFT: eligt X(k) = N = x()e j2π k N k =,,..., N (6) Spektrumet X(k) är ite detsamma som e determiistisk sigals saa spektrum X(ω). Dels är sigale käd bara för ett iterval [, N ], dels fis det alltid brus och adra störigar med i mätige. Periodogrammet beräkas eligt 3 X per (k) = N X(k) (7) b) Eftersom datasekvese är ädlig kommer de diskreta fouriertrasforme att se e föstrad sigal. x() = w()ˆx() (8) där w() är ett rektagulärt föster som klipper ut vår mätsigal ur e oädligt låg täkt sigal. Fouriertrasforme evisas med att jämföra vår ädliga mätserie med oädligt låga siusvågor och därför kommer föstrige att ha e avgörade betydelse för skattige av amplitudspektrum. Som vi käer till blir multiplikatio i tidsdomäe faltig i frekvesdomäe. X(k) = ˆ X(k) W (k) (9) Föstret kommer att smeta ut det öskade spektrumet (smala spikar kommer att breddas). Fick vi välja skulle W (k) vara e impuls δ(k), för då skulle vi hitta det vi söker. Ju smalare desto bättre alltså. Frå uppgift 5.2. vet vi att ett rektagulärt föster har amplitudspektrumet si ( T 2 W (Ω) = T Ω) T 2 Ω (2) där T är föstrets lägd. Studerar ma ekvatio (2) ser ma att ett större T iebär e smalare huvudlob. Mera data iebär bättre upplösig. c) Det är ju ite bara lägde på föstret som har betydelse ädrar vi forme kommer det också spela roll. Det går att visa att det rektagulära föstret har smalast huvudlob av alla föster av e give lägd. Eftersom huvudlobes bredd är mest avgörade för upplösige ger detta föster de bästa upplösige. 4 Huvudlobe påverkar främst det ma kallar utsmetig (breddig av frekvestoppar). Sidlobera medför så kallat läckage: Eergi frå e 3 Detta gäller för determiistiska sigaler. Så fort vi behadlar slumpmässiga sigaler skattar vi effekttäthetsspektrum X per(k) = (/N) X(k) 2. 4 Bäst för de här skattigsmetode. Det fis e uppsjö adra metoder ä periodogrammet som har adra egeskaper. 8

9 frekvestopp läcker ut över hela frekvesbadet via sidlobera. Läckaget ka medföra att e stark frekveskompoets sidlober dräker e svag kompoets huvudlob (äve om upplösige är tillräcklig). Små sidlober är alltså e öskvärd egeskap hos ett föster. Det fis ett flertal föster med avsevärt midre sidlober ä det rektagulära. Ett exempel är Hammigföstret (se föreläsig 7- sida 5). Aväds ett aat föster ä det rektagulära beäms metode modifierat periodogram. d) Frekvessvaret H(Ω) beskriver hur systemet reagerar på olika siusfrekveser. Beskrivige gäller alla frekveser. För att göra e skattig av frekvessvaret måste vi ha e isigal som iehåller alla de frekveser vi vill testa systemet för. Sigale ska excitera alla itressata moder (alla moder om vi vill skatta hela H(Ω)). Siusvåg E siusvåg testar edast e frekves och ger ite mycket iformatio om systemet i stort. Ett siussvep där ett flertal frekveser testas ka ge e bra uppfattig om systemet. E gaska tidsödade metod. Impuls E impuls ihåller alla frekveser och exciterar därför hela systemet (om det är lijärt). 5 X(Ω) = (2) Problemet med impulser är att geerera dem. Det ka vara mycket svårt att skapa impulslika sigaler. Fyrkatvåg E fyrkatvåg är periodisk och ka skrivas som e fourierserie. 4A π = = ( ) + 2 cos ((2 )ω (t)) (22) där ω är fyrkatvåges grudto. Dea fourierserie har spikar i spektrumet vid ω, 3ω, 5ω, o.s.v. Alltså har spektrumet stora luckor systemet testas ite på alla frekveser. 6 Vitt brus Som amet atyder iehåller vitt brus lika mycket av alla frekveser (jämför med vitt ljus). Detta är e valig sigal i systemidetifierigssammahag. Färgat brus Brus kallas färgat är det fis e eergikocetratio i vissa frekvesområde. I dessa område blir systemet bra testat skattige av frekvessvaret blir bra meda det i adra område blir sämre testat. Färgat brus aväds med fördel då vissa frekvesområde är speciellt itressata. 5 Eftersom impulssvaret är e fullstädig beskrivig av ett lijärt system är det på ågot sätt självklart att impulse måste iehålla alla frekveser. Hur skulle aars impuls- och frekvessvar kua häga ihop geom fouriertrasforme? 6 Ite e bra sigal för amplitudspektrumskattig, me däremot för att testa faslijäritet. 9

10 7.3 Kotiuerlig reglertekik 7.3. Servomotor Uppgift Vi vill få e elmotors axelläge (vikel) att följa e referessigal. Eligt uppgift 4.2. ka e elmotor modelleras som H(s) = K /τ s(s + /τ) Studera stegsvaret och orda se ett bättre! (23) Lösig Systemets dyamik bestäms av dess två poler. s p = s p2 = τ (24) Detta system är ite stabilt eftersom e pol ligger på jω-axel. Vi ka hitta stegsvaret geom att itegrera impulssvaret. Det seare fås geom ivers laplacetrasformerig av överförigsfuktioe i ekvatio (23). h(t) = L {H(s)} Nu ka vi itegrera fram stegsvaret H(t). = {Aväd L28 i βeta} ( ) = K e t/τ (25) H(t) = t h(r)dr = Kt + [ τe ] r/τ t ( ( )) = K t + τ e t/τ (26) Vi ser att stegsvaret är e fuktio som ökar med tide. Fysikaliskt betyder det att motoraxels vikel ökar obegräsat om vi lägger på e kostat späig. För stora t ökar vikel lijärt, d.v.s. hastighete är kostat. Verkar rimligt. Varför är u stegsvaret så itressat? Jo, om vi u vill få motor att följa e referessigal måste stegsvaret gå mot ett kostat värde. Som exempel: Lägger vi på 5 V ska motoraxel staa på vikel π/2 radiaer; Isigale V ska rotera axel till vikel π radiaer. Systemet måste göras stabilt! Vi ka flytta i de istabila pole i västra halvplaet med hjälp av återkopplig. I uppgift 6.3. beräkade vi överförigsfuktioe för ett system återkopplat eligt figur 3.

11 x(t) Σ H(s) y(t) L(s) Figur 3: Återkopplig av elmotor. Y (s) = = H(s) H(s)L(s) X(s) H(s) X(s) (27) H(s)k Här har vi begräsat oss till det ekla fallet är återkopplige är kostat. Kombierar vi ekvatioera (23) och (27) får vi det återkopplade systemets överförigsfuktio. De två polera ges av Y (s) = K/τ X(s) (28) s(s + /τ) kk/τ s 2 p + τ s p kk τ = s p = 2τ ± = 2τ 4τ 2 + 4kKτ 4τ 2 ) ( ± + 4kKτ (29) Polera ka uppebarlige flyttas geom att justera återkopplige k. Positiva k flyttar ut de ea pole i höger halvpla ige bra idé! Vi måste alltså ha egativ återkopplig. Eftersom e stor vikel då miskar späige på igåge verkar detta rimligt. Var ska vi då placera polera? Detta är ite på ågot sätt självklart. Vi ka öja oss med att flytta i de istabila pole till läget s = a. ( + ) + 4kKτ = a 2τ + 4kKτ = 2aτ k = ( 2aτ)2 4Kτ (3)

12 PN PN2 PN3 PN4 PN5 Figur 4: Poler för fem olika system. 2

13 A 6 H(Ω) A2 5 H(Ω) Ω Ω A H( Ω) A H(Ω) A H(Ω) 3 Ω Ω Ω Figur 5: Amplitudsvar för fem olika system. 3

14 I h() I2 2.5 h() I3 3 h() I4 h() 2,5 2.8,5.6.4, I5.5 h() Figur 6: Impulssvar för fem olika system. 4

15 S 6 H() S2 8 H() S3 25 H() S4 3,5 H() 3 2 2,5 5 2,5 5, S5 3,5 H() 3 2,5 2,5, Figur 7: Stegsvar för fem olika system. 5

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Fouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling

Fouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling Faltig Fouriertrasforme Faltig, filtrerig och samplig Givet två sigaler f och g och deras respektive spektra f`, g`, hur bildar ma e tredje sigal såda att dess spektrum är lika med summa f` + g`. Lätt!

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

1 Första lektionen. 1.1 Repetition

1 Första lektionen. 1.1 Repetition Första lektioe. Repetitio.. Eergi, effekt och effektivvärde Atag att vi har aslutit ett motståd R Ω till vägguttaget skulle det vara smart i praktike?. Beräka eergi och effekte över R, samt amplitude för

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN 48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på

Läs mer

FÖRELÄSNING 13: Analoga o Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga filter = tidskontinuerliga filter

FÖRELÄSNING 13: Analoga o Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga filter = tidskontinuerliga filter FÖRELÄSNING 3: Aaloga o Digitala filtr. Kausalitt. Stabilitt. Aaloga filtr Idala filtr Buttrworthfiltr (kursivt här, kommr it på tta, m gaska bra för förståls) Kausalitt t och Stabilitt t Digitala filtr

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

E F. pn-övergång. Ferminivåns temperaturberoende i n-dopade halvledare. egen ledning. störledning

E F. pn-övergång. Ferminivåns temperaturberoende i n-dopade halvledare. egen ledning. störledning ÖVRGÅNG De eklaste halvledarkomoete är diode. Diode består av e doad och e doad del. Vid kotaktyta mella och doat område ustår ett ire elektriskt fält.g.a. att elektroer i ledigsbadet å sida diffuderar

Läs mer

Systemdesign fortsättningskurs

Systemdesign fortsättningskurs Systemdesig fortsättigskurs Orgaisatio Föreläsare Potus Boström Assistet? Tider mådagar och tisdagar kl. 8-10 Börjar 3.9 och slutar 16.10 Rum B3040 Orgaisatio Iga föreläsigar 24.9, 25.9, 1.10 och 2.10

Läs mer

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Visst kan man faktorisera x 4 + 1 Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp

Läs mer

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000 Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer

Läs mer

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning... Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte

Läs mer

Grammatik för språkteknologer

Grammatik för språkteknologer Grammatik för språktekologer Språktekologi och grammatiska begrepp http://stp.ligfil.uu.se/~matsd/uv/uv11/gfst/ Mats Dahllöf Istitutioe för ligvistik och filologi November 2011 Dea serie Frasstrukturaalys

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

FÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter

FÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter FÖRELÄSNING 3: Analoga o p. Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Analoga filter Ideala filter Butterworthfilter (kursivt här, kommer inte på tentan, men ganska bra för förståelsen) Kausalitet t oh

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt Lektio 3 Kära Bidigseergi och assdefekt Några begre och beteckigar Nuklid Nukleo Isotoer Isobarer Masstal A Atouer Z E ato ed ett bestät atal rotoer och eutroer. Beteckas ofta A ed skrivsättet Z Xx där

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

RÄKNESTUGA 2. Rumsakustik

RÄKNESTUGA 2. Rumsakustik RÄKNESTUGA Rumsakustik 1. Beräka efterklagstidera vid 15, 500 och 000 Hz i ett rektagulärt rum med tegelväggar och med betog i tak och golv. Rummets dimesioer är l x 3,0 l y 4,7 l z,5 [m].. E tom sal med

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =. Sida av MINSAKVADRAMEODEN Låt a a a a a a a a a vara ett ikosistet sste ( olösart sste dvs. ett sste so sakar lösig). Vi ka skriva ssteet på fore A (ss ) där a a... a a a... a A, och............. a p a

Läs mer

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tetame i EG2050/2C1118 Systemplaerig, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tillåta hjälpmedel Vid dea tetame får följade hjälpmedel avädas: Miiräkare uta iformatio med akytig till kurse. E hadskrive, ekelsidig

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad

Läs mer

Digitalteknik F6. Några sammansatta digitala komponenter och lite designmetodik. Digitalteknik F6 bild 1

Digitalteknik F6. Några sammansatta digitala komponenter och lite designmetodik. Digitalteknik F6 bild 1 Digitaltekik F6 Några sammasatta digitala kompoeter och lite desigmetodik Digitaltekik F6 bild Sammasatta kompoeter Problem: E större kostruktio är praktiskt omöjlig att mauellt realisera med bara gridar.

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

DIGITALA FILTER. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1. Frekvensfunktioner FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM. x(n)= Asin(Ωn)

DIGITALA FILTER. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1. Frekvensfunktioner FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM. x(n)= Asin(Ωn) DIGITALA FILTER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 Frekvensfunktioner x(n)= Asin(Ωn) y(n) H(z) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 2 FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

DT1130 Spektrala transformer Tentamen

DT1130 Spektrala transformer Tentamen DT3 Spektrala transformer Tentamen 5 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Stort massflöde Liten volym och vikt Hög verkningsgrad. Utföranden Kolv (7) Skruv (4) Ving (4) Roots (1,5) Radial (2-4) Axial (1,3) Diagonal.

Stort massflöde Liten volym och vikt Hög verkningsgrad. Utföranden Kolv (7) Skruv (4) Ving (4) Roots (1,5) Radial (2-4) Axial (1,3) Diagonal. Komressorer F1 F Skillad mot fläktar: Betydade desitetsförädrig, ryk mäts ormalt som absolut totaltryk. vå huvudgruer av komressorer: Förträgigskomressorer urbokomressorer Egeskaer Lågt massflöde Höga

Läs mer

Subsystem. Klasser är ett bra sätt att organisera små system. Klasser är för små enheter för att organisera stora system

Subsystem. Klasser är ett bra sätt att organisera små system. Klasser är för små enheter för att organisera stora system Desig av subsystem Subsystem Klasser är ett bra sätt att orgaisera små system Klasser är för små eheter för att orgaisera stora system Större eheter behövs för orgaiserige Subsystem Sex priciper diskuteras

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri

Läs mer

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen Lärarhadledig Att bli kvitt virus och suva - När Lisa blev av med förkylige För ytterligare iformatio kotakta projektledare: Charlotte.Kristiasso@phs.ki.se 1 Iledig Atibiotikaresistes är ett växade problem

Läs mer

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning ydkraft Nät AB, Tekiskt Meddelade för Jordigsverktyg : Dimesioerig, kotroll och besiktig 2005-04-26 Författare NUT-050426-006 Krister Tykeso Affärsområde Dokumettyp Dokumetam Elkrafttekik Rapport 1(6)

Läs mer

Tentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30

Tentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30 Tentamen i ESS 00 Signaler och System E3 V-sektionen, 6 augusti 2005, kl 8.30 2.30 Examinator: Mats Viberg Tentamen består av 5 uppgifter som vardera ger maximalt 0 p. För godkänd tentamen fordras ca 20

Läs mer

Torsdag 16 oktober: Klassisk fysik- Modern Fysik -Teknologi (Arne)

Torsdag 16 oktober: Klassisk fysik- Modern Fysik -Teknologi (Arne) Torsdag 16 oktober: Klassisk fysik- Moder Fysik -Tekologi (Are) Iledig I slutet av 1800-talet existerade ett flertal experimetella fakta, som ej kude förklaras med de s.k. Klassiska Fysike. Flera av dessa

Läs mer

INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN

INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN DRA UT MITTSEKTIONEN MED INSTALLATIONSSCHEMAT. INNEHÅLL 8808 8805 Larmehet 03CB0364A 10SA0623A Kablage Moterigspåse KA0001STSAA Ultraljudsesorer 04PC3600B 8800USER

Läs mer

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på? SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller

Läs mer

Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem

Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem ompletterande material till föreläsning 5 TSDT8 Signaler och System I Erik G. Larsson LiU/ISY/ommunikationssystem erik.larsson@isy.liu.se November 8 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

Kollektivt bindande styre på global nivå

Kollektivt bindande styre på global nivå Iteratioell ivå Global, regioal eller mellastatlig? Allt fler viktiga politiska frågor går ite lägre att lösa på atioell ivå. Folk över hela världe berörs exempelvis av växthuseffekte. Vad fis det för

Läs mer

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Sveby står för Stadardisera och verifiera eergiprestada i byggader och är ett

Läs mer

i(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4)

i(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4) 2 Andra lektionen 2. Impulssvar 2.. En liten krets Beräkna impulssvaret för kretsen i figur genom att beräkna hur y(t) beror av x(t). R x(t) i(t) C y(t) Figur : Första ordningens lågpassfilter. Utsignalen

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

n Marknadens minsta och mest robusta FRAinstrument n Marknadens högsta prestanda och användande n Uppfyller alla internationella standarder för

n Marknadens minsta och mest robusta FRAinstrument n Marknadens högsta prestanda och användande n Uppfyller alla internationella standarder för FRAX 101 SFRA Aalysator Markades mista och mest robusta FRAistrumet Markades högsta prestada och avädade av stadardiserad sigalkabel-jordaslutig ger högsta möjliga repeterbarhet Uppfyller alla iteratioella

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

Extrem prestanda Nu utan BPA UPPLEV DEN FANTASTISKA STYRKAN HOS VÅRA BPA-FRIA PRODUKTER

Extrem prestanda Nu utan BPA UPPLEV DEN FANTASTISKA STYRKAN HOS VÅRA BPA-FRIA PRODUKTER Extrem prestada Nu uta BPA UPPLEV DEN FANTASTISKA STYRKAN HOS VÅRA BPA-FRIA PRODUKTER Formar för kall och varm mat BPA-fritt kommersiellt produktsortimet för livsmedelsservice Rubbermaid Commercial har

Läs mer

Enkät inför KlimatVardag

Enkät inför KlimatVardag 1 Ekät iför KlimatVardag Frågora hadlar om dia förvätigar på och uppfattigar om projektet, samt om hur det ser ut i ditt/ert hushåll idag. Ekäte är uderlag för att hushållet ska kua sätta rimliga och geomförbara

Läs mer

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede.

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede. VÄSTIA DUSJROM Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjorike alterativ på markedet. Tilpasigs-mulighetee er este ubegresede. HML Hjelpemiddel-leveradøre AS Braderudv. 90, 2015

Läs mer

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual SE 65.044.20-1 INNEHÅLL Tekiska data Sida 2 Motage Sida 3-5 Programmerig Sida 6-11 Admiistrerig Sida 12-13 Hadhavade Sida 14-16 TEKNISKA DATA TEKNISK SPECIFIKATION

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Vikingen FutureLook. Delphi Finansanalys AB

Vikingen FutureLook. Delphi Finansanalys AB Vikige FutureLook by Delphi Fiasaalys AB Referesmaual för Vikig FutureLook Översikt Futurelook är ett uikt och mycket kraftfult verktyg för fiasaalytiker och kapitalplacerare. Med FutureLook är det möjligt

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005 Dr 1345/01/2005 Föreskrift om publicerig av yckeltal för elätsverksamhete Utfärdad i Helsigfors de 2. december 2005 Eergimarkadsverket har med stöd av 3 kap. 12 3 mom. i elmarkadslage (386/1995) av de

Läs mer

Icke-lineära ekvationer

Icke-lineära ekvationer Icke-lieära ekvatioer Exempel: Rote till ekvatioe x = cos( x) är lika med x -koordiate för skärigspukte mella kurvora y = x och y = cos( x). Vi ka plotta kurvora på itervallet [,] med följade Matlabkommado

Läs mer

Många tror att det räcker

Många tror att det räcker Bästa skyddet Måga vet ite hur familje drabbas ekoomiskt om ågo dör eller blir allvarligt sjuk. Här berättar Privata Affärer vilket skydd du har och hur du ka förbättra det. Av Aika Rosell och Igrid Kidahl

Läs mer

Kompletteringsskrivning i EG2050 Systemplanering, 17 september 2009, 9:00-11:00, stora konferensrummet

Kompletteringsskrivning i EG2050 Systemplanering, 17 september 2009, 9:00-11:00, stora konferensrummet Kompletterigsskrivig i EG2050 Systemplaerig, 17 september 2009, 9:00-11:00, stora koferesrummet Istruktioer Edast de uppgifter som är markerade på det bifogade svarsbladet behöver lösas (på de övriga uppgiftera

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer