TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal"

Ove Jonsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 TATM79: Föreläsig 3 Biomialsatse och omplexa tal Joha Thim augusti Biomialsatse Ett miestric för att omma ihåg biomialoefficieter (åtmistoe för rimligt små är Pascals triagel: Pascals triagel ( ( ( 1 1 Dea ostrutio bygger på de reursiva formel + som 1 gäller för vettiga val på och. Detta motsvarar alltså i triagel ova att varje siffra a fås geom att summera de siffror som står ärmast ( på rade ovaför. De( möjliga - värdea startar på 0 lägst till väster på varje rad med. Seda ommer, följt ( ( 0 1 av, och så vidare, till slutlige. Rad har alltså + 1 siffror (otrollera!; e ( ( ( siffra för varje möjligt värde på. Till exempel så är ; 3 3 olla på radera för 4 och 3. På så sätt a vi iterativt ostruera ästa rad om vi äer uvarade rad. joha.thim@liu.se 1

2 Iblad sriver ma Pascals triagel (som i boe lite mer som e rätvilig triagel i stället. Då blir det lite lättare att se hur häger ihop med allt: Pascals (rätviliga triagel E av de valigaste tillämpigara för biomialoefficieter är biomialsatse. Sats. Om är ett iceegativt heltal så gäller för alla x att ( (x + 1 ( + 0 x ( 1 Biomialsatse ( x + ( x ( x 1 + x. Bevis. Vi sriver ut paretese: (x + 1 (x + 1(x + 1 (x + 1 a }{{} 0 + a 1 x + a x + + a x. st Så hur bestämmer vi oefficietera a? Om vi iar ärmare på produte i mellaledet så ser vi att vi ur varje paretes ommer att välja ett x eller e etta är vi multiplicerar ihop allt. Om vi till exempel tittar på x 5 så sa vi alltså välja 5 styce x och reste, dvs 5 styce ettor. Hur måga sätt a vi välja 5 objet av styce uta ordig (ige sillad på olia x eller ettor? Svaret är så lart biomialoefficiete i satse ova eftersom argumetet a upprepas för varje. ( 5, vilet då visar formel

3 5 ( 5 (x ( x ( 5 1 ( 5 x + ( 5 x x + 10x + 10x 3 + 5x 4 + x 5 ( 5 x ( 5 x x 5 Ofta ser ma biomialsatse på följade form: (a + b ( a b. Detta a visas med följade maipulatio (såvida b 0: (a + b b ( a b + 1 b ( (a b ( a b E typis avädig av biomialsatse är att idetifiera vad oefficiete före e viss term är i e summa av type i föregåede exempel. Bestäm oefficietera före x 8 och x 9 i uttrycet ( x + x 10. Vi aväder biomialsatse och sriver ( x + x ( 10 ( 10 x ( x x ( x (10 Vi ser( att x får expoete 8 om och edast om Koefficiete blir 10 alltså När dyer då x 9 9 upp? Vi sulle behöva 10 9, eller 19/. Detta är iget heltal mella 0 och 10 (de heltal vi summerar över. Således saas terme x 9, oefficiete är alltså oll. Svar. 0 respetive 0. 3

4 Komplexa tal Defiitio. Det imagiära talet i uppfyller att i 1. Detta är alltså ett tal vars vadrat är egativ. Det a således aldrig vara ett reellt tal uta är ett helt ytt slags objet. Vi iför de omplexa tale z a + bi där a och b är reella tal (a, b R. Ett omplext tal har alltså två dimesioer, e reell oordiat a (allas realdele och e imagiär oordiat b (allas imagiärdele. Vi a represetera det omplexa talplaet, vilet srivs C, som ett två-dimesioellt pla med e real-axel och e imagiär-axel. Vi a represetera omplexa tal i det omplexa talplaet med figurer av dea typ. Im b r a + bi a Re Avstådet r a + b har e aturlig tolig och aväds som defiitio av det omplexa absolutbeloppet; vi återommer till detta. Komplexa tal uppfyller samma regler som reella tal gör (additio, multipliatio etc med de extra förutsättige att i 1. När vi sa räa med omplexa tal gör vi alltså som valigt, me vi a hela tide förela uttryc som iehåller i. ( i(1 + 4i + 8i i 4i + 7i i. Komplexa tal är e avädbar ostrutio. I dea urs och efterföljade aalysurs ommer vi att: (i Fatorisera polyom fullstädigt i (omplexa fatorer av grad 1. (ii Göra trigoometrisa omsrivigar och föreligar. (iii Beräa itegraler. (iv Lösa differetialevatioer. 4

5 Tillämpigar fis iom vitt silda område som exempelvis elretsteori, reglertei, trasformer, eletromagetism etc. Defiitio. Låt z a + bi, där a, b R. Då defiierar vi följade begrepp. (i Realdele Re z a (ii Imagiärdele Im z b (observera att det ite är ågot i i imagiärdele uta edast oefficiete före i i z (iii Absolutbeloppet z a + b (iv Kojugatet z a bi (vi har bytt tece på imagiärdele Direta följder av defiitioera ova iluderar (i z zz; (ii zw z w ; (iii zw z w; (iv Re z z + z ; Im z z z. Vad mear vi då med att två omplexa tal är lia? Defiitioe är gasa aturlig. Defiitio. Tale z a + bi och w c + di är lia om och edast om de har samma realoch imagiärdelar, dvs att a c och b d. Vi sriver då att z w. Lihet Hitta alla z C så att 3z iz i 0. Lösig. E variat för att lösa evatioer som iehåller omplexa variabler är att asätta att z a+bi och utyttja defiitioe ova geom att udersöa realdele och imagiärdele för evatioe som ett system av evatioer med två obeata. Dea metod är ite alltid de bästa. Det a bli brutalt hemsa alyler (om vi till exempel sulle ha z 7 + eller dylit, så fis det e aa metod bruar det vara de det är meige att aväda. Me i fall som dea evatio blir det fatist elast. Såluda, låt z a + bi där a, b R. Då måste 3(a + bi i(a + bi i 0 3a + 3bi ai i( bi i 0 3a b + i(3b a 5 10i. 5

6 Vi udersöer u realdel och imagiärdel separat: { 3a b 5 a + 3b 10 { a + b 5 3a b 5 { a 1 b 4 Alltså ges de eda lösige av z 1 4i. Kotrollera detta! Svar. z 1 4i. Absolutbelopp Observera att absolutbeloppet vi defiierat ova täcer e större lass tal ä det vi såg på förra föreläsige. Om z a + bi är reell så är b 0, och då a vi beräa att z a + 0. Vi vet eligt tidigare att a a, där detta belopp är det vi itroducerade på föreläsig två. De ya defiitioe reduceras alltså till de gamla om vi edast betratar reella tal. E uggfråga som blir fel iblad. Bestäm 3 4. Komplext eller reellt belopp? Felet som a iträffa är att ma slarvigt täer sig att 3 4 är ett omplext tal och bildar Detta är så lart helt galet; vi ser diret att 3 4 1, så Defiitio. Om z, w C och w 0 så defiierar vi z w zw ww. 3 i + 3i (3 i( 3i ( + 3i( 3i 9 11i i..1 Geometrisa toligar Eftersom omplexa tal a represeteras som puter i ett pla så a vi iblad tola operatioer, oliheter och evatioer geometrist. Till att börja med a additio av omplexa tal göras som vetoradditio. 6

7 Im 4 z 1 + z 6 + 4i z 1 + 3i z 4 + i 4 6 Re Om z, z 0 C så ommer till exempel sambad av type z z 0 d och z z 0 d att represetera e cirel respetive e ifylld dis. Im d z a + bi i 4 Re Hur a vi se detta? Vi a asätta att z a + bi och z 0 a 0 + b 0 i där a, b, a 0, b 0 R och se vile form uttryce tar. Till exempel: d z z 0 a + bi a 0 b 0 i (a a 0 + (b b 0 i (a a 0 + (b b 0, ågot vi äer ige som cirels evatio!. Triagelolihete E mycet avädbar olihet (så avädbar att ma ofta räver att mer abstrata rum sa ha dea egesap är triagelolihete. Triagelolihete Om z, w C så gäller att z + w z + w. 7

8 Geometrist är detta gasa lart. Uttryce z och w a tolas som atetlägdera i e triagel där lägde på hypoteusa ges av z + w. Försö rita e triagel där hypoteusa är lägre ä summa av ateteras lägder! Det går äve att visa ret algebraist. Tae bygger på att visa z + w ( z + w. Utvecla västerledet som (z + w(z + w och utyttja att Re (zw zw (varför är detta sat?. Atag att z ligger i e dis med cetrum i pute 3i och radie 7. Visa att z ligger i e dis med cetrum i pute 4 och radie 1. Vi börjar med att formulera det hela med belopp. Vi vet att z 3i 7 då detta är precis de olihet som besriver att z ligger i e dis med cetrum i pute 3i och radie 7. Se vill vi udersöa z ( 4 : z + 4 (z 3i + (3i + 4 z 3i + 3i i Här har vi reativt lagt till oll i form av 3i + 3i för att på så sätt sapa z 3i, som vi seda a uppsatta..3 Adragradsevatioer med omplexa oefficieter Fi alla (reella och omplexa lösigar till evatioe z + (1 + iz 3 i 0. Lösig. Vi vadratompletterar för att få e elare evatio: z + (1 + iz 3 i (z i (1 + i 3 i (z i 3 4i 0. Låt w z i och sriv w a + bi där a, b R. Vi löser { a b 3 w 3 4i 0 a + abi b 3 4i 0 ab 4 Alterativ 1. Vi söer w så att w 3+4i. Detta iebär då att w 3+4i 5 5. Nu vet vi att w a + bi är ett omplext tal, så w w a + b. Dessa två sambad visar alltså att a + b 5. Det följer då att a 8, eller att a ±. Alterativ. Vi ser att a, b 0 och att b /a. Då måste a (/a 3 a 4 4 3a gälla (evivales ty a 0. Vi låter t a och ser att t 3t 4 0 (t 4(t Edast t 4 a ± ger itressata lösigar då t a 0. Om a så blir b 1 och om a blir b 1. Vi får alltså lösigara w 1 + i och w i, vilet i si tur ger z 1 1 och z 3 i. Svar: z 1 och z 3 i. Geomför äve e otroll! 8

Relevanta dokument

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, olikheter och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, olikheter och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsig Absolutbelopp, oliheter och biomialoefficieter Joha Thim augusti 018 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Defiitio. För varje reellt x defiieras absolutbeloppet x eligt { x, x 0 x x, x < 0.