Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t."

Ellen Åkesson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi braar öljad PDE u u v där > är osa Evaio v a bl aa bsriva värmldig i u sav där u bar mpraur i pu vid id därör am värmldigsvaio Radvärdsproblm bsår av v oh r villor mplvis: Villor : u ör alla Villor : u ör alla oh Villor 3: u ör Villor oh bydr då a mpraur= i savs ädpur ör alla > Villor 3 bgylsvillor visar värmördlig vid id = Vi braar öljad radvärdsproblm: Bsäm u som uppyllr värmldigsvaio u u v oh öljad villor: V: u ör alla V: u ör alla V3: u ör där är giv uio Om då har problm d riviala lösig u I orsäig aar vi a i är idis Därmd örasas lösig u rsom d i uppyllr V3 oh bidrar md i summa av produlösigara som vi bildar i Fourirmod av 3

2 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio Amärig: bydr idis lia ösig ill ovasåd radvärdsproblm: Vi börjar md produasas oh variablsparaio å u X Y P Vi subsiurar P i v oh år X Y Y X llr X Y X Y * Ersom väsrld bror av oh högrld bar av mås d vara osaa oh ha samma värd som vi bar md Vi bar osa md ör a rlia big i ursbo aars a vi aväda Allså X Y X Y ** där är rll al jus u vil som hls Frå ** år vi vå la ODE md osaa oiir: Frå X X oh Y Y år vi X X v a oh Y Y v b ösig ill v a bror på Vi braar r all oh I Om blir ovasåd vaior X oh Y som gr X A B oh Y C Därmd blir u X Y = C A B ora a CA är osa llr u A B II Om a vi av praisa säll ba där är posiiv al Frå v a år vi X X som gör X A B av 3

3 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio Frå v b har vi Y Y som gr Y C Därmd u X Y = A III Om a vi ba B där där är posiiv al Frå v a år vi X X som gör X Aos Bsi Frå v b år vi Y Y som gr Y C Därmd u X Y = Aos Bsi där Sammaaigsvis har vi å öljad produlösigar ill v: I u A B om II u = A B där III u Aos Bsi där jus u vil som hls posiiv al Fråga är vila av ovasåd lösigar uppyllr oså villor VV oh V3 Vi sa sar visa a das all 3 är irssa ör oss i da problm rsom I oh II ldr ill d riviala lösig u Vi börjar md s homoga villor V oh V som har i högrld Förs apassar vi V oh V ill vår produlösig Ersom u X Y a vi sriva V: u ör alla som X Y ör alla Da gr X llr Y M rsom Y gr u varsår a X På samma sä drar vi slusas a V: u ör alla mdör X Y oh därmd X Nu udrsör vi vila produlösigar som uppyllr V : X oh V : X I Om X A B då år vi rå V oh V a B= oh A= Därör blir X som gr d riviala lösig u Därmd uslur vi yp I lösigar På liad sä a vi visa a yp II lösigar oså ldr ill u rsom 3 av 3

4 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio A B A B mdör A B rsom oh som gr X oh u usluas all II Därör Kvarsår lösigar av yp III dvs X Aos Bsi Vi sa bsämma alla värd på så a X uppyllr båd V oh V V : Frå X har vi A os Bsi A Allså X Bsi V : Frå X har vi Bsi Härav si rsom B= ldr ill riviala lösig oh därör där 3 ora a lig aagad Därör är X Bsi oh därmd u XY B si där 3 oh B osa vil som hls Fuiora u B si uppyllr v oh homoga villor V oh V Samma gällr ör lijär ombiaio av sådaa uior rsom vaio oh vå villor VV är homoga Sådaa lösigar grll uppyllr i villor 3 dvs villor u ör Vi sa udrsöa om vi a bilda oädlig sri md obsämda oiir u si så a sri uppyllr villor 3 Subsiuio av sri i villor u ör år vi si v av 3

5 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio Frå v sr vi a är Fouriroiir vid uvlig av i siussri på irvall [] Nora a Md adra ord bsämmr vi oh si d si d oh därr u si ================================================ Empl a Bsäm u som uppyllr värmldigsvaio u u 5 oh öljad villor: v V: u ör alla V: u ör alla V3: u ör b Samma uppgi som ova md y 3 V3: u 8si 3si ör ösig: a I vår all är = oh därmd priod = =5 Vi upprpar ovasåd härldig gör da varj gåg du lösr värmldig v oh år u si 5 av 3

6 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio Koiira bsäms så a si dvs är Fouriroiir vid uvlig av i siussri på irvall [] Nora a oh Md adra ord bsämmr vi si d si d si d = par i llr BEA Därmd u si subs: =5 = oh 5 si Svar: a u 5 si b Amärig E spill all Om vi sa uvla i siussri på halvirvall[] oh om rda är lijär ombiaio av siusbasuiora si då a vi hl l bsämma gom a idiira oiir som sår ramör lia basuior Da gör vi i da mpl iad gällr vid uvlig i osiussri av uio som är lijär ombiaio av osiusbasuiora Vi gör på samma sä upp ill avädig av Villor 3 Allså u si 6 av 3

7 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio Koiira bsäms så a si dvs så a 3 si 8si 3si D här gåg är rda lijär ombiaio av ågra vå i vår all basuior si Vi bhövr INE aväda orml ör uvlig i siussri ua vi hl l jämör oiir på båda sidor: 3 si är lia md si ör =3 därör 3 =8 8 si si är lia md si ör =8 därör 8 =3 Alla adra oiir är dvs om 3oh 8 Därör är u si si = 3 si 8 si si Svar b u 8 si 3 si Uppgi Bsäm u som uppyllr värmldigsvaio u u oh öljad villor: v V: u ör alla V: u ör alla 7 av 3

8 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio V3: ör u ör ösig: Vi avädr u X Y sparrar variablr oh år X X X X= oh Y Y Vi har r möjliga lösigar ill X oh Y: I X A B Y=C om II X = A B Y C där III X = Aos Bsi Y C där Sammaaigsvis har vi å öljad produlösigar ill v: I u A B om II u = A B där III u Aos Bsi där jus u vil som hls posiiv al Fråga är vila av ovasåd lösigar uppyllr oså villor VV oh V3 Villor V: u ör alla V: u ör alla gr X X= limirar örsa all d gör riviala lösigar Kvarsår X = Aos Bsi Vi subsiurar X= oh år A os Bsi dvs A därmd A oh X Bsi Nu subsiurar vi X= oh år Bsi som gr där 3 där 8 av 3

9 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio Allså X Bsi där 3 oh lig aagad Fuiora oh V u XY = Bsi uppyllr v oh homoga villor V Vi bildar sri u si oh bsämmr så a Villor 3 dvs u är oså uppylld Allså si Md adra ord är Fouriroiir vid uvlig av i siussri på irvall [] Nora a oh Därör si d si d = i vår all m uio är ör << si d = os os Slulig u si = = os u os si Svar: u os si ======================================================= 9 av 3

10 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio Amärig Homoga villor V V i radvärdsproblm ör värmldigsvaio u a ags i adra ormr om sav är isolrad i pu = då är u Om sav är isolrad i pu = då är Då ädras homoga villor ill u V: u ör alla V: ör alla Sådaa villor ldr ill osiussri som vi sr i äsa uppgi Uppgi a ös öljad radvärdsproblm u u v oh öljad villor: u V: u ör alla V: ör alla V3: u b ös samma problm om =5 = ösig: Vi avädr u X Y sparrar variablr oh år X X X X= oh Y Y Vi har r möjliga lösigar ill X oh Y: I X A B Y=C Y C om av 3

11 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio II X = A B där III X = Aos Bsi Y C där Sammaaigsvis har vi å öljad produlösigar ill v: I u A B om II u = A B där III u Aos Bsi där jus u vil som hls posiiv al Fråga är vila av ovasåd lösigar uppyllr oså villor VV oh V3 u Villor gr u ör alla V: ör alla V X oh V X * Villora V oh V limirar das all II som vi sr da Fall I Frå X A B har vi X A så a X gr A= samidig X gr ig A= Därör X B är i rivial osa lösig som saisirar v V oh V Fall II ldr das ill riviala lösig X= oh därmd örasas Kvarsår III X = Aos Bsi Härav X Asi B os Frå V dvs rå X har vi Asi B os som gr B= Därmd X Aos oh X Asi Frå V dvs rå X år vi u Asi Härav dvs där 3 Därmd X Aos av 3

12 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio av 3 Produlösigar A u os uppyllr vv oh V Vi bildar sri u os oh bsämmr så a Villor 3 dvs u är oså uppylld Nora a = är oså iludrad i summa rsom vi uvlar i osiussri oh dssuom osa uio är lösig lig I Alså os Md adra ord är Fouriroiir vid uvlig av os a a i osiussri på irvall [] Nora a = Därör a d os d a =3 När vi bsämmr då är u os = + os Svar a u os där os d b Om =5 = år vi = a d d 6

13 Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio os d = bräa själv= Därör u 6+ os Svar: u 6+ os 3 av 3

Relevanta dokument

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t. Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi berakar följade PDE u x u x k (, ) (, ), < x (ekv), där k> är e kosa Ekvaioe (ekv) ka bl aa beskriva värmeledige i e u sav