Föreläsning 7. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 5. LTI system Signaler genom linjära system

Transkript

1 Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Förläsig 7 Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Kapitl 5 LTI systm Sigalr gom lijära systm LTH 5 dlko Grbic (mtrl. frå Bgt adrsso Dpartmt of Elctrical ad Iformatio Tchology Lud Uivrsity 93

2 Kap 3 LTI systm x( Tidsdiskrt krts h( y( Diffrskvatio. y( a y( k) b x( k) k k k k Faltig. y( h( x( h( k) x( k) k Vi har typr av diffrskvatior. FIR: Alla a k, k, (ig åtrkopplig). Här blir impulssvart h ( ) { b b... b }, dvs impulssvar och diffrskvatios kofficitr är lika. IIR: ågot a k, k (Vi har åtrkopplig). Vi utyttjar z-trasform och fourirtrasform. Y ( z) H( z) X ( z) 94

3 Diffrskvatio y( a y( k) b x( k) k k k k Z-trasform: Y( z) a z Y( z)... a z Y( z) b X( z) b z X( z)... b z X( z) Y( z) b bz... b z a z... a z X ( z) H( z) X ( z) Utsigals trasform är alltså produkt Y( z) H( z) X ( z) md b b z H( z) a z... b... a z z Vi bskrivr ofta systmfuktio () H z md polr och ollställ och ritar i dm i tt pol-ollställsdiagram 95

4 Fourirtrasform: Sda tidigar; Om båda xistrar ( h ( får vi sambadt ) kausal och stabil) H( ) H( z) j z Dt gr => Y ( ) j j b b... b X ( ) H( ) X ( )... j j a a Utsigals trasform är alltså produkt Y ( ) H( ) X ( ) md H( ) b b a j j b a j j H () kallas frqucy rspos (frkvssvar). Vi skrivr ( ofta H ) i polära koordiatr och plottar blopp och fas 96

5 Siussigalr gom LTI Vad hädr om vi läggr på siussigal på filtrt. Av rfarht vt vi att om vi läggr to (sius) i på vårt filtr (förstärkar) får vi ut samma to m md ädrad amplitud och fas. Vi tittar på fall: A: Vi läggr på isigal i t=. B: Vi läggr på isigal i mius oädlight så att vtulla isvägigsförlopp dött ut. Hur sr dtta ut i våra formlr? Fall A lösr vi md z-trasform (och partialbråksuppdlig) Fall B lösr vi md faltig ty isigal är j kausal så vi ka it bräka dss z-trasform Först tt umriskt xmpl på fall A 97

6 Exmpl på siussigalr gom lijär krts, fall A 6 Givt: Isigal x( cos( u( och systmt H() z z z.7z.8z ligt tidigar x Sök: Bräka umriskt y(=x( * h( i ATLAB Lösig: isigal x( impulssvar h( utsigal y( Vi får y( = trasit + statioär lösig 98

7 Fall A: Lösig md z-trasform Vi läggr på isigal vid t=, dvs x( cos( u( 6 Da sigal är kausal och vi ka bstämma dss z-trasform (s formlsamlig llr övig). Trasformra av x( och h( är cos( ) z X ( z) 6 T( z) z z, H ( z) cos( ) z z ( z).7 z.8z 6 Vi ka u bräka utsigal md hjälp av z-trasform, dvs Y ( z) H ( z) X ( z) T ( z) ( z) trasit lösig T ( z) ( z) cos( ) z 6 cos( ) z z 6 C C z cos( ) z z 6 statioär lösig y( trasit A cos( ) B si( ) 6 6 A B cos( arcta( B / A)) 6 A Första trm är dämpad sius (ämar frå H(z)), trasit. Adra trm är d statioära lösig (ämar frå X(z)). Vill vi ha hla lösig måst vi bstämma partialbråksuppdlig T () z och T () z C C z och göra ivrstrasformrig. (umriska värd på ästa sida) 99

8 Fall A: fortsättig (av. atlab rsiduz.m ) umriska värd i ovaståd xmpl (partialbråksuppdlig) cos( ) z z z Y ( z) H ( z) X ( z) 6.7 z.8z cos( ) z z z.896 z z.8z cos( ) z z trasit lösig 6.9 cos( / 4) z si( / 4) z.35.7 z.8z cos( / 8) z (cos( / 8).896) / si( /6) si( /6) z.35 cos( ) z z 6 statioär lösig statioär lösig y(.35.9 cos( ) si( cos( ) si( ) 6 6 Statioärlösig.95 cos( 6.9) ) Övrst: Trasit. itt: Statioär dl: Udrst: Hla utsigal

9 Fall A: fortsättig Vi sr här att för isigal x( cos( u( cos( u( 6 fick vi d statioära lösig (ftr myckt räkad) y statioär (.95 cos(.9) 6 Vi ska sart visa att d statioära lösig gs av y [ ] H( z) cos( arg( H( z) ) där statioär z z 6 j j är isigals frkvs Sius i gr sius ut md amplitud ädrad md bloppt av H(z) och fas ädrad md argumtt av H(z) för z= j Amplitud är alltså H(z):s värd på htscirkl för isigals frkvs Amplitudfuktio Fasfuktio I atlab; [H,w]=frqz([ -],[ -.7.8],'whol'); plot(w//pi,abs(h));plot(w//pi,uwrap(agl(h))) Vi sr att för frkvs f får vi amplitudfuktio ugfär 6

10 j f j f x( cos( f ( ), Fall B: Siussigal pålagd i tvåtrmr u har d trasita dl av lösig dött ut. Vi börjar md komplx siussigal för dt blir klar, sid 3-36 Låt j f j x ( för alla, Isigal är j kausal så vi avädr faltig. y ( x j k h( k) k H ( H ( ) f ) ( h( f Komplx förstärki g f j j f Isigal f k kostat isigals frkvs h( k) x j f k h( k) k H ( f ) ( k) f f H ( f ) f f Förstärki g ( blopp) j ( k ) h( k) k alla trmra igårty vi startar i ( isvägigsförloppdött ut) j f j ( f ) fas OBS: Filtrt h( måst vara stabilt

11 Fall B: fortsättig Siussigal pålagd i För hla siussigal (bägg dlara i ulrs forml) j f * ( ) cos( ) ( j f x f ) ( x( x ( )) får vi tvåtrmr j f y( {( H ( f ) f f... H ( f ) f f cos( f förstärki g ) ( H ( f ) f arg{ H ( f ) f f }) f fasädrig j f ) * } Alltså: För x cos( f ( får vi y( H( f ) f f cos( f arg{ ( ) }) H f f f förstärki g fasädrig Vi ka bräka och plotta amplitud och fas för H ( f ) i tx ATLAB och s bara läsa av värdt av amplitud och fas för f f OBS: OBS: Dtta gällr ftr dt att vtulla isvägigsförlopp dött ut (vid FIR-filtr md lägd L ftr L- sampl). Kallas för statioär lösig (stady stat) Dtta gällr bara vid sius samt cosius sigalr (samt summa av dssa gom att bhadla varj kompot för sig). 3

12 Bstäm H() approximativt (sid 35-3) H( z) j z j 4 4 ( z. 9 ) ( z. 9 ) V j H( ) H( z) j z j j j 4 j 4 (.9 ) (.9 ) V H( ) H( z) j z U U U U värdt på htscirkl Rita i i figur f=/ = f=/4 =/ U z-pla V Godtycklig pukt z= jf f= = U z= jf =: V = gr H() = =/4: U =lit gr H() stort >/4: U, U ökar gr H() miskar 4

13 Lijär fas Vi vill ofta ha krtsar md lijär fas. Varför? x( H()=A() j () y( x[ ] si( y[ ] A( ) si( ( )) A ( ) ( ) si( ( )) tid Om ( ) är kostat för alla blir ( ) rät lij i dvs lijär fas Filtr md lijär fas fördröjr alla frkvsr lika myckt. Bra g d( ( )) d kallas grupplöptid (group dlay) 5

14 Lijär fas fortsättig Exmpl på tt filtr md lijär fas x( H()=A() j () y( Impulssvar: h ( { } Fourirtrasform (spktrum): H ( ) j j ( cos( )) j cos( ) j j ( om cos( ) ) A( ) j ( ) Blopp Fas A ( ) cos( ) ( ) ( om cos( ) ) Lijär fuktio (md hopp) 6