arctan x tan x cot x dx dz dx arcsin x x 1 ln x 1 log DERIVERINGSREGLER och några geometriska tillämpningar

Transkript

1 DERIVERINGSREGLER och några gomtriska tillämpningar DERIVERINGSREGLER ( f ( ) + g( )) ) + g ( ) ( af ( )) a ) a konstant ( af ( ) + bg( )) a ) + bg ( ) a b konstantr Produktrgln: ( f ( ) g( )) ) g( ) + f ( ) g ( ) f ( ) ) g( ) f ( ) g ( ) Kvotrgln: g( ) ( g( )) Kdjrgln ( för sammansatta funktionr) Om funktionn g är drivrbar i punktn och f i punktn g() så är också f ( g( )) drivrbar i punktn och [ g( ) ] g ( ) ( f [ g( )]) f dy dy dz Vi kan också skriva y f (z) och z g() d dz d Drivator av lmntära funktionr f () ) f () ) c (c konstant) 0 arcsin n n n arccos a a ln a arctan + ln arccot + sin cos ln log a ( ) cos sin ln a ln a tan cos cot sin av 9

2 Funktionns drivata f ) i punktn P f ( ) är lika md tangntns lutning i dnna punkt ( ( TANGENTENS EKVATION till kurvan y f () i punktn ) y y )( ) ( y NORMALENS EKVATION till kurvan y f () i punktn ) y y ( ) EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN ) ( y Dfinition (Globalt maimum) Låt vara n punkt dfinitionsmängdn D till n funktion f Vi sägr att f ) är funktionns största värd (globalt maimum) om ( f ( ) f ( ) för alla D Om f ( ) f ( ) för alla i n (oavstt hur litn) omgivning till sägr vi att f ( ) är tt lokalt maimum Vi prcisrar dtta i följand dfinition Dfinition (Lokalt maimum) Låt vara n punkt dfinitionsmängdn D till n funktion f Vi sägr att f ) är funktionns lokala maimum om dt finns tt tal ε > 0 sådant att ( ( ε D + ε ) f ( ) f ( ) (*) Vi kallar n lokal mapunkt ( llr lokal maimipunkt) Funktionns lokala maimum f ) kallas ävn funktionns lokala maimivärd Om i (*) gällr f ( ) > f ( ) när sägr vi att f ) är tt strängt lokalt maimum På motsvarand sätt dfinirar vi (globalt och lokalt) minimum minpunkt och minimivärd Dfinition En trmpunkt är n punkt som antingn är n ma- llr n minpunkt Vi sägr också att funktionn har tt trmvärd (maimum llr minimum) i n sådan punkt ( ( av 9

3 Empl Funktionn y har lokalt maimum i punktn och lokalt minimum i punktn Vi sägr att är n mapunkt och att är n minpunkt Funktionn y saknar globala trmvärdn Empl Funktionn n mapunkt ( ) y har globalt maimum i punktn Vi sägr att är ( ) Funktionr saknar minimipunktr Notra att > 0 för alla dvs funktionn aldrig når värdt 0 Empl Funktionn y + har globalt minimum - i punktn av 9

4 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionn y f () är drivrbar i intrvallt (a b) och ) > 0 i dtta intrvall så är funktionn strängt väand i (a b) ii) Om ) < 0 så är funktionn strängt avtagand i (a b) iii) Om ) 0 för alla i (a b) så är f () n konstant funktion i (ab) STATIONÄRA PUNKTER Lösningar till kvationn ) 0 kallas funktionns stationära punktr En stationär punkt kan vara : A ) lokal mapunkt (llr maimipunkt) B) lokal minpunkt (llr minimipunkt) C) trraspunkt Md hjälp av förstadrivatans tcknschma i n omgivning till n stationär punkt kan vi bstämma punktns typ: A) Om tckntabll för förstadrivatan har följand form ) + 0 f () vär avtar så har funktionn ( i närhtn av ) grafn av följand typ och är n lokal mapunkt Funktionns värd y f ( ) i n lokal mapunkt kallas för lokalt maimum (maimivärd) B) Om tckntabll för förstadrivatan har följand form ) 0 + f () avtar vär så har funktionn grafn av följand typ och är n lokal minpunkt Funktionns lokala minimum (llr minimivärd) är y f ) C) En tckntabll för förstadrivatan av följand typ: ( av 9

5 ) f () vär vär gr följand graf llr ) 0 avtar avtar gr I båda fall är n lokal trrasspunkt Vi kan i några fall använda andradrivatans värd i n stationär punkt för att bstämma om punktn är maimum llr minimum Låt vara n stationär punkt dvs ) 0 A) Om f ( ) < 0 så är punktn n lokal mapunkt B) Om f ( ) > 0 så är punktn n lokal minpunkt Mn om f ( ) 0 alla tr fall kan förkomma och vi måst använda tcknschma för förstadrivatan för att bstämma om punktn är ma- min- llr trrasspunkt 6 KONVEXA och KONKAVA funktionr i) Om f ( ) > 0 i tt intrvall (a b) så är funktionn konv i dtta intrvall ii) Om f ( ) < 0 i tt intrvall (a b) så är funktionn konkav i dtta intrvall 7 INFLEXIONSPUNKTER Inflionspunkt är n punkt på n kurva där kurvan övrgår från att vara konkav till att vara konv llr vis vrsa Anmärkning: I några böckr krävs dssutom att kurvan har tangntn i punktn Inflionspunktr bstämmr vi md hjälp av andra drivatan Vi lösr kvationn f ( ) 0 och analysrar tckntabll för andra drivatan Om f ( 0 ) 0 och dssutom drivatan ändrar tckn i 0 ( dvs + tckn på n sida av 0 och tckn på andra sidan) är punktn 0 n inflionspunktför till y f () av 9

6 8 BETECKNINGAR Lagrangs notation: ) för förstadrivata (uttalas "f prim av ") f () för andradrivata (uttalas "f-bis av ") ( ) f () för trdjdrivata f n ( ) för drivatan av ordning n Motsvarand Libniz notation: df ( ) d d llr f () d d f ( ) d d f ( ) d n d f ( ) n d Eulrs notation: Df () D f ( ) D f ( ) D n f () Nwtons notation: (t) (t ) (t ) används vanlign i mkanikn ndast för första och andra drivatan md avsnd på tidn ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgift Bstäm drivatan till f () 0 a) f ( ) ln + sin + cos arcsin b) f ( ) tan + cot + arctan + arccos Svar: a) ) cos sin + + ln + b) f ( ) cos sin + + Uppgift Bstäm drivatan till f () a) f ( ) arcsin b) f ( ) ln tan Svar: a) ( Produktrgln) 6 av 9

7 ) Svar: b) arcsin + ln '( ) tan + cos f Uppgift Bstäm drivatan till f () a) f ( ) b) sin Svar: a) (Kvotrgln) f ( ) ln ln ln sin cos ) b) f ' ( ) (sin ) (ln ) Uppgift Bstäm drivatan till f () a) f ( ) ln( + + ) b) f ( ) ln(sin( + + )) c) f ( ) cos + sin + cos d) f ( ) arctan( + + 8) ) f ( ) arcsin( + ) f) f ( ) Svar: a) (Kdjrgln [ f ( u( ))]' u) u'( ) ) + ) ( + ) b) ( + ) cos( + + ) ) [cos( + + )] ( + ) sin( + + ) sin( + + ) c) (Produktrgln och kdjrgln) f ( ) + + cos sin + (cos sin ) sin + cos + d) ) + ( + + 8) ) ) ( + ) f) f '( ) av 9

8 Uppgift Bstäm df ( ) d d f ( ) d d f ( ) d d f ( ) d d f ( ) d till f () a) f ( ) + Lösning: b) f ( ) c) f ( ) sin a) df ( ) d d f ( ) d f ( ) 0 d d b) d f ( ) 0 d df ( ) d d f ( ) 0 d d f ( ) d d f ( ) d d f ( ) d df ( ) d f ( ) d f ( ) c) cos sin cos d d d d f ( ) d d f ( ) sin cos d Uppgift 6 Använd formlr (sin ) cos (cos ) sin och formlrna a) (tan ) b) (cot cos ) sin kvotrgln för att bvisa Bvis för a) Vi drivrar sin tan md hjälp av kvotrgln och får: cos cos cos sin ( sin ) cos + sin (tan ) V S B cos cos cos Uppgift 7 Bstäm dt största öppna intrvallt där funktionn f ( ) arctan( ) är strängt väand Lösning: Funktionn är strängt väand om ) > 0 ) + ( ) ) > 0 > 0 ( ftrsom nämnarn är >0) + ( ) > 0 > 8 av 9

9 Svar: Funktionn är strängt väand i dt öppna intrvallt ( ) Uppgift 8 Låt f ( ) Bstäm dt största öppna intrvallt där funktionn är a) strängt väand b) konv Lösning: Förstadrivatan: ) Andradrivatan: f ( ) 0 Funktionn är strängt väand om ) > 0 ) ( ) ( )( + ) ) > 0 ( )( + ) > 0 För att lösa olikhtn kan vi antingn använda n tckntabll llr altrnativt skissa parabln ( ) Från grafn ( llr tablln) har vi att ( ) > 0 om < llr > Funktionn är strängt väand om ( ) ( ) Funktionn är konv om f ( ) > 0 0 > 0 > 0 Svar a) ( ) ( ) b) ( 0 ) Uppgift 9 Låt f ( ) Bstäm vntulla stationära punktr och dras typ Lösning: f ( ) f ( ) En stationär punkt 0 Tckntabll för förstadrivatan ) + 0 f () vär avtar visar att 0 är n mapunkt 9 av 9