HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
|
|
|
- Maj Jansson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omoga lijära diffrtialkvatior OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Lijär diffrtialkvatio (DE) md kostata koffiitr är kvatio av följad tp ( ) ( ) a a a a0 f ( ) () där koffiitr a,, a, a, a0 är kostatr Om f ( ) 0 kallas kvatio homog, aars ik-homog (llr ihomog) D allmäa lösig till kvatio () är () () p () ( d allmäa lösig till d homoga kv () partikulärlösig till () ) E homog lijär diffrtialkvatio md kostata koffiitr är kvatio av följad tp ( ) ( ) a a a a0 0 () där koffiitr a,, a, a, a0 är kostatr D allmäa lösig till homog DE är lijär kombiatio av obrod partikulärlösigar (som vi kallar baslösigar) Vi sökr lijärt obrod partikulärlösigar på form r r Substitutio i ( ) oh förkortig md gr r a r ar ar a0 0 () Ekvatio ( ) kallas d karaktristiska kvatio
2 Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omoga lijära diffrtialkvatior OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV ANDRA ORDNINGEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER lijära DE md kostata koffiitr av adra ordig Diffrtialkvatio a a0 0 (4) har d karaktristiska kvatio r ar a0 0 () (Vi atar da, för klhts skull, att koffiitr a, a 0 är rlla tal) a) Om r oh r är kla rlla röttr (dvs r r ) då är r r oh två baslösigar till kvatio (4) D allmäa lösig är r r b) Om r är dubbl rot (dvs r r ) då är r r oh två baslösigar till kvatio (4) r r ) Om r oh r är två kompla röttr, a osb oh a si b r a bi, r a bi då är två baslösigar till kvatio (4) D allmäa lösig är a a osb sib Empl Lös följad DE md avsd på () 6 0 D karaktristiska kvatio r r 6 0 har två rlla olika röttr r oh r Därför är oh två baslösigar oh d allmäa lösig till kvatio
3 Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omoga lijära diffrtialkvatior Uppgift Lös följad DE md avsd på () a) b) 0 ) 6 0 d) 6 0 ) 0 f) 6 0 g) 0 h) 6 0 i) 4 0 j) 0 a) 8 b) ) d) ) f) g) h) i) j) 4 6 Empl Bstäm d lösig till diffrtial kvatio 7 0 som uppfllr bglsvillkor ( 0) 0 oh ( 0) D karaktristiska kvatio blir r 7r 0 D har två rlla, olika röttr r oh r 4 4 Därför är oh två baslösigar oh 4 d allmäa lösig till kvatio Om vi utttjar villkort ( 0) 0 får vi C C 0 (*) För att aväda villkort ( 0) måst vi först drivra lösig 4 Vi får 4 4
4 Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 4 omoga lijära diffrtialkvatior Villkort ( 0) gr u 4 (**) Frå (*) får vi C C som vi substiturar i (**) oh får 4 Eftrsom C C får vi C D sökta lösig blir därmd 4 4 Uppgift a Lös följad bglsvärdsproblm a) 8 0, ( 0) oh ( 0) 4 b) 4 0, ( 0) 4 oh ( 0) 0 a) 6 b) Uppgift b Lös följad radvärdsproblm a) 6 0, ( 0) oh b) 0, ( 0) oh ( ) ( ) 6 a) b) Empl Lös DE md avsd på () D karaktristiska kvatio r 4r 4 0 har två rlla lika röttr r oh r ( r är dubbl rot) 4
5 Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omoga lijära diffrtialkvatior ärav får vi två baslösigar oh d allmäa lösig till kvatio oh därför är Uppgift a Lös följad DE md avsd på () a) 0 b) 0 ) d) 0 0 ) f) a) b) ) d) ) f) Uppgift b Lös följad bglsvärdsproblm 6 9 0, ( 0) oh ( 0) 7 Empl 4 Lös DE md avsd på () 0 D karaktristiska kvatio r r 0 har två kompla röttr r ± i ärav får vi två baslösigar os( ) oh si( ) oh därför är
6 Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 6 omoga lijära diffrtialkvatior os( ) si( ) d allmäa lösig till kvatio os( ) si( ) Uppgift 4a) Lös följad DE md avsd på () a) 0 0 b) 0 ) 4 0 d) 4 0 ) 4 0 f) 0 0 g) 0 h) 4 0 a) ) si( ) os( os( ) os() si( si( os( ) si( os( ) si( os( ) si( b) ) ) ) d) ) ) ) f) ) os( ) si( g) os( ) si( ) h) ) Uppgift 4b) Lös följad bglsvärdsproblm 9 0, ( 0) oh ( 0) 6 si os Uppgift ) Lös följad radvärdsproblm π 4 0, ( 0) oh ( ) 4 si os 6
7 Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 7 omoga lijära diffrtialkvatior OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Empl Lös DE md avsd på () 6 0 D karaktristiska kvatio r 6 0 har rot r 6 6 Dtta gr baslösig ärav 6 är d allmäa lösig till kvatio 6 Uppgift Lös följad DE md avsd på () a) 8 0 b) 0 ) 0 d) 0 ) f) 4 a) ) ) 8 b) d) f) 4 7
8 Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 8 omoga lijära diffrtialkvatior OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV ÖGRE ORDNINGEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER ( ) ( ) a a a a0 0 () D allmäa lösig till homog DE är lijär kombiatio av obrod partikulärlösigar (som vi ka kalla baslösigar) Vi sökr lijärt obrod partikulärlösigar på form r r Substitutio i ( ) oh förkortig md gr r a r ar ar a0 0 () Ekvatio ( ) kallas d karaktristiska kvatio För klhts skull btraktar vi kvatior md rlla koffiitr a k Om r k är rll rot till kvatio () md multipliitt v k då är r k r k,,, tillhörad baslösigar v k v k r k Om kvatio () har två kompla röttr a ± bi, md multipliitt v, då är a osb, a v a osb,, v osb oh a a v si b, v si b tillhörad baslösigar v a,, v b si Empl 6 Lös DE md avsd på () () (4) 0 D karaktristiska kvatio r r 4 0 ka faktorisras: r 4 ( r ) 0 r r r r ( r ) 0 r 0, r,,,4 Rot r 0 har multipliitt 4 Tillhörad baslösigar är 0, 0, 0, 0 4 8
9 Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR Eftrsom 0, dtta gr,,, Frå r får vi till baslösig D allmäa lösig är omoga lijära diffrtialkvatior Uppgift 6 Lös följad DE md avsd på () (4) a) 0 b) 0 (4) ) 6 0 (4) d) 4 0 a) ) 4 b) 4 d) WRONSKIS DETERMINANT si 4 os Som sagt ova, d allmäa lösig till homog DE ( ) ( ) a a a a0 0 () är lijär kombiatio av obrod partikulärlösigar (som vi kallar baslösigar) Ett sätt att kotrollra om lösigar till () dtrmiat:,,, är obrod är att bräka Wroskis W ( ) ( ) ( ) Lösigar till () skild frå 0:,,, är obrod om oh dast om Wroskis dtrmiat är 9
10 Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 0 omoga lijära diffrtialkvatior Uppgift 7 Visa att lösigara Wroskis dtrmiat oh till 6 0 är obrod 0 W, är obrod Uppgift 8 Visa att lösigara si oh os till 0 är obrod Wroskis dtrmiat si os W os si 0, är obrod Uppgift 9 Bstäm om lösigara oh till 6 0 är brod llr obrod Wroskis dtrmiat W 0, är brod 0 6 Uppgift 0 Bstäm om lösigara oh oh till 6 0 är brod llr obrod Obrod ftrsom W 0 0
HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omogna linjära diffrntialkvationr OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Linjär diffrntialkvation (DE) md konstanta koffiintr är n kvation av följand
LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator
ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr ICKE-OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA ÖGERLED Linjär diffrntialkation (DE) md konstanta kofficintr
ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr ICKE-OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA ÖGERLED Linjär diffrntialkation (DE) md konstanta kofficintr
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 05-06- Hjälpmdl: Formlblad och räkndosa. Fullständiga lösningar rfordras till samtliga uppgiftr. Lösningarna skall vara väl motivrad och så utförliga
LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN
LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Linjär diffrntialkvation (DE) av första ordningn är n DE som kan skrivas på följand form Q( () Formn kallas standard form llr normalisrad form Om Q (
Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.
Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi braar öljad PDE u u v där > är osa Evaio v a bl aa bsriva värmldig i u sav där u bar mpraur i pu vid id därör am värmldigsvaio Radvärdsproblm
Om i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Rduktion av ordning REDUKTION AV ORDNING I) Diffrntialkvationr där saknas ( n) Om i n diffrntialkvation saknas, dvs om DE har formn F (,,,, ) 0, då kan vi sänka kvationns
Definition 1a: En talföljd är en reell (eller komplex) funktion vars definitionsmängd är mängden av naturliga tal {0,1,2,3,4, }.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR TALFÖLJDER Dfiitio a: E talföljd är rll (llr koml) fuktio vars dfiitiosmägd är mägd av aturliga tal {0,,,,4, } Eml f ( ) = +, = 0,,,, är talföljd + Ma brukar utvidga dfiitio
HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Vi brr sysm v lijär omog DE (v förs ordig) md os offiir dx x x d dx x x d dx x x d där x ), x ( ),, x ( ) är ob fuior v vribl ( Ovsåd sysm
ICKE-HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM ( MED KONSTANTA KOEFFICIENTER I HOMOGENA DELEN)
Armi Hlilovi: ETRA ÖVNINGAR, S676 Ik-omog sysm Mrismod Sid v 0 ICKE-HOMOGENA DIERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEICIENTER I HOMOGENA DELEN Vi brkr sysm v lijär ik-omog DE v örs ordig md kos koiir
vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Tentamenn. som har. del II. Handbook av Råde. Del I. Modul 1. fasporträttt. x 2 är en 0, x. Sida 1 av 25
SF676, am 5 aug 7 Isiuio för mamaik, KH SF676, Diffrialkvaior md illämpigar am isdag 5 aug 7 Skrivid: 8:-: Eamiaor: Krisia Bjrklöv För godkä (bg E krävs r godkäda modulrr frå dl I Varj moduluppgif bsår
Anmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om
L HOSPITALS REGEL L Hospitals rgl (llr L Hopitals rgl ff( aa gg( ff ( aa gg ( används vid bräkning av obstämda uttryck av typ llr Sats (L Hospitals rgl Låt f och g vara två funktionr md följand gnskapr
= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.
Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att
Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matmatik HF9 Datum: 5 aug 7 Vrsion A Kontrollskrivningn gr maimalt p För godkänd kontrollskrivning krävs p Till samtliga uppgiftr krävs fullständiga lösningar! Inga
Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
Sparabla diffrntialkvationr SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En diffrntialkvation DE av första ordningn sägs vara sparabl om dn kan skrivas på d formn P Q llr kvivalnt d P d Q d Dn allmänna lösningn till
1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1
Uppgift Visa att srin (3k 2)(3k + ) konvrgrar och bstäm summan Lösning Vi har att a k = (3k 2)(3k+) Vi kan använda partialbråksuppdlning för att skriva om a k : a k = (3k 2)(3k + ) = A 3k 2 + B 3k(A +
NÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR. Fördelningsfunk. t 2
Likformig, Eponntial-, Normalfördlning NÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR Fördlning Rktangl (uniform, likformig) Eponntial Frkvnsfunk. f (), a b b a 0 för övrigt Fördlningsfunk. F () a,
H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
om X har följande sannolikhetsfunktion λ λ . Då gäller a) väntevärdet E(X) = λ b) variansen σ = λ och därmed c) standardavvikelsen σ = λ
Arm Hallovc: ETRA ÖVNINGAR ossofördlg OISSONFÖRDELNING ossofördlg aväds oftast för att bsrva atalt hädlsr som träffar obrod av varadra udr tt gvt tdstrvall E ossofördlad stoasts varabl a ata av fölad värd,,,
Svar till tentan
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Prov i matematik ES, K, KadKemi, STS, X ENVARIABELANALYS 0-03- Svar till teta 0-03-. Del A ( x Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y = f (x =
re (potensform eller exponentialform)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform KOMPLEXA TAL I POLÄR FORM och KOMPLEXA TAL I POTENSFORM, där, R (rktangulär form r(cos sn (polär form n n r (cosn sn n D Movrs forml r
SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Sid v 6 SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP Iehåll: Mrisorm Begyelsevärdesprobleme Eises- och eydighessse ör lijär sysem
Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.
Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi berakar följade PDE u x u x k (, ) (, ), < x (ekv), där k> är e kosa Ekvaioe (ekv) ka bl aa beskriva värmeledige i e u sav
Kontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12
KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLERR Allmänt om kontinurliga sv Dfinition En stokastisk variabl kallas kontinurlig om fördlningsfunktionnn ξ är kontinurlig Egnskar av fördlningsfunktion: Fördlningsfunktionn
Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.
Sida av MINSAKVADRAMEODEN Låt a a a a a a a a a vara ett ikosistet sste ( olösart sste dvs. ett sste so sakar lösig). Vi ka skriva ssteet på fore A (ss ) där a a... a a a... a A, och............. a p a
som gör formeln (*) om vi flyttar första integralen till vänsterledet.
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio PARTELL NTEGRATON uu(vv ( dddd uu(vv( uu (vv(dddd ( ), (pppppppppppppppp iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) KKKKKKKKKKKKKK: uuuu dddd uuuu uu vv dddd Förklrig: Eligt produktrgl
1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x
BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a) Maclauris formel ( ) f () f () f () f ( ) f () + f () + + + +!!! ( ) f ( c) där R och c är tal som ligger mella och ( + )! Amärkig Eftersom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås
= BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. a) Maclaurins formel
Tillampigar av Taylor- och Maclauriuvcklig ERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN då MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a Maclauris forml f f f f f f L R!!! f c där R och c är al som liggr mlla och! Amärkig Efrsom c liggr
KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)
Kontinurliga fördlningar KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Allmänt om kontinurliga s.v. Dfinition. En stokastisk variabl ξξ. kallas kontinurlig om fördlningsfunktionn FF ξ är kontinurlig. Egnskar: Fördlningsfunktionn
Inlämningsuppgift 2 i Digital signalbehandling ESS040, HT 2010 Måndagen den 22 november 2010 i E:B.
Ilämigsuppgift i Digital sigalbhadlig ESS040, T 00 Mådag d ovmbr 00 i EB. I kurs gs två obligatoriska ilämigsuppgiftr som kombiras md frivilliga duggor. Ilämigsuppgiftra är obligatoriska och rsättr 6 timmars
Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Tetame i Lijär Algebra, SF164 14 december, 21. Kursexamiator: Sadra Di Rocco OBS! Svaret skall motiveras och lösige skrivas ordetligt och klart. Iga hjälpmedel är tillåta.
Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso 7-6796 Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp 9-6-4 Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt
============================================================ vara en given funktion som är definierad i en punkt. i punkten a och betecknas f (a) def
Armi Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Dririgsrglr DERIVERINGSREGLER ============================================================ DERIVATANS DEFINITION Diitio Låt y ( r gi uktio som är iird i pukt ( ( Om gräsärdt
TENTAMEN Datum: 28 maj 08 TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel
TENTAMEN Datum: 8 maj 08 TEN: Dffrntalkvatonr, kompla tal och Talors forml Kursr: Matmatk och matmatsk statstk, Matmatk TEN: Dffrntalkvatonr, kompla tal och Talors forml Kurskod HF000, HF00, H0, H000,
arctan x tan x cot x dx dz dx arcsin x x 1 ln x 1 log DERIVERINGSREGLER och några geometriska tillämpningar
DERIVERINGSREGLER och några gomtriska tillämpningar DERIVERINGSREGLER ( f ( ) + g( )) ) + g ( ) ( af ( )) a ) a konstant ( af ( ) + bg( )) a ) + bg ( ) a b konstantr Produktrgln: ( f ( ) g( )) ) g( ) +
Fyr-fältingen, utvidgad. Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 6. Ex) på användning av z-transform: En avancerad hörapparat
Sigal- och Bildbhadlig FÖREÄSNING 6 -trasform - varför tar vi upp d? Aväds ofta vid dsig av tidsdiskrta systm. Vi ska s hur d hägr ihop md TDFT och DFT. D tas upp i alla grudkursr/böckr i sigal-bhadlig.
Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)
KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),
Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10
KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade
Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning Grundläggande idé. Linjära transformer. Linjära transformer ( ) ( ) ( )
6 8 6 Grudläggad idé Atag att vi parar ihop lmt i bild i bloc om två Om vi väljr att aat oordiatsystm, t.x rotrar gradr 8 6 6 och plottar dssa par som xy oordiatr i graf 6 ( rad frå Labild) 8 6 8 6 8 så
Föreläsning 7. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 5. LTI system Signaler genom linjära system
Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Förläsig 7 Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Kapitl 5 LTI systm Sigalr gom lijära systm LTH 5 dlko Grbic (mtrl. frå Bgt adrsso Dpartmt of Elctrical ad Iformatio Tchology
TNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.
TN00 nals I Lösningsskissr, d.v.s. j nödvändigtvis ullständiga lösningar, till vissa uppgitr kap P. P.5a) Om gränsvärdt istrar så motsvarar dt drivatan av arctan i. Etrsom arctan är drivrbar i d så istrar
3 Signaler och system i tidsplanet Övningar 3.1 Skissa följande signalers tidsförlopp i lämpligt tidsintervall
Sigaler och sstem i tidsplaet. Skissa följade sigalers tidsförlopp i lämpligt tidsitervall a) 0 6 [ ] b) [ ] c) 07 [ ] 0 [ ] d) u [ ] e) 06u[ ] u[ ] [ ] f) r [ ] 0 r[ ] r[ ] r[ 6] 0 r[ 8] g) 08 cos π h)
1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel TAYLORS FOREL Tylors ormel krig pukte Om uktioe oh dess + örst derivtor är kotiuerlig i det slut itervllet [, ] eller [,], dvs vi tillåter < då gäller. som ligger
Digital signalbehandling Sampling och vikning på nytt
Ititutio ör data- och lktrotkik Digital igalbhadlig Samplig och vikig på ytt 00-0-6 Bgrpp amplig och vikig har viat ig lit våra att hatra å till vida att dt har kät vårt att tolka vad om hädr md igal om
Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.
VÅGEKVATIONEN Vi betratar följade PDE u( u( x t, där > är e ostat, x, t (ev) Evatioe (ev) a besriva vågutbredig, trasversella svägigar i e sträg och adra fysialisa förlopp Radvärdesproblemet består av
Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 8 juni 2009 Tid:
Tntamn i Matmatik HF9 H9 juni 9 Tid: Lärar:Armin Halilovic Hjälpmdl: Formlblad Inga andra hjälpmdl utövr utdlat formlblad Fullständiga lösningar skall prsntras på alla uppgiftr Btygsgränsr: För btyg A,
Taylors formel används bl. a. vid i) numeriska beräkningar ii) optimering och iii) härledningar inom olika tekniska och matematiska områden.
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR ylors ormelör evribeluktioer AYLORS FOREL FÖR FUNKIONER AV EN VARIABEL ylors ormel väds bl vid i umerisk beräkigr ii optimerig och iii härledigr iom olik tekisk och mtemtisk
Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då
Stat. teori gk, ht 006, JW F7 ENKEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT.5-.7) Statistisk iferes rörade β Vi vet reda att b är e vätevärdesriktig skattig av modellparameter β. Vi vet också att skattige b har
Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik
Pla rörelse Kiematik vid rotatio av stela kroppar Iledade kiematik för stela kroppar. För de två lijera, 1 och, i figure bredvid gäller att deras vikelpositioer, θ 1 och θ, kopplas ihop av ekvatioe Θ =
i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.
TENTAMEN -Dc-9, HF och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra, hp, srftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td: -7, Plats: Campus Flmngsbrg Lärar:
Svar: a) i) Typ: linjär DE med konstanta koefficienter i homogena delen dy men också separabel ( y = 10 4y
Diffrnilkvionr, lndd ml DIFFERENTIALEKVATIONER, BLANDADE EXEMPEL Ugif i Bsäm y [srl DE, linjr DE, homogn konsn llr ickkonsn kofficinr ] för ndnsånd diffrnilkvionr ii Bsäm dn llmänn lösningn ill vrj DE
TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 22 dec 2016 Skrivtid 8:00-12:00
TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, momnt TEN anals atum: dc Skrivtid 8:-: Eaminator: Armin Halilovic Rättand lärar: Erik Mlandr, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr: För btg
Föreläsning 6. Kapitel 4. Fouriertransform av analog signal, FT Fouriertransform av digital signal, DTFT fortsättning
Digital sigalbhadlig ESS4 Förläsig 6 Dfiitio: Fourirtrasform av tidsdiskrt sigal DF, sid 5 Digital sigalbhadlig ESS4 Kapitl 4 Fourirtrasform av aalog sigal, F Fourirtrasform av digital sigal, DF fortsättig
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer
DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera
16.3. Projektion och Spegling
6.3 Projektio oh Speglig 67 6.3. Projektio oh Speglig Exempel 6.4. Bestäm mtrise för projektioe P v rmmet vikelrät mot plet W : x y z = 0. Bestäm okså ilde v svektorer e, e, e 3 oh w = e + e + 3e 3. (N-s.
Formelsamling Ljud i byggnad och samhälle
ormlsamlg jd bggad oh samhäll Några räkrglr för logarmr: log log log log log log log log log log log log Några grdläggad aksska dfor oh räkrglr -dmsoll la ljdfäl: Aos Effkärd rms för ljdrk k: ~ d jdrkså
Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning
Istitutioe för data- oc elektrotekik 2-2- Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig Faltig ka uppfattas som ett kostigt begrepp me adlar i grude ite om aat ä att utgåede frå e isigal x [],
TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment: TEN2 (analys) Datum: Lördag, 9 jan 2016 Skrivtid 13:00-17:00
TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, Momnt: TEN anals atum: Lördag, 9 jan Skrivtid :-7: Eaminator: Armin Halilovi Rättand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr:
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x
Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel
Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl
1 Matematiska Istitutioe, KTH Tetame SF1633, Differetialekvatioer I, de 22 oktober 2018 kl 08.00-13.00. Examiator: Pär Kurlberg OBS: Iga hjälpmedel är tillåta på tetamesskrivige. För full poäg krävs korrekta
4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 KARL JONSSON Iehåll. Egeskaper hos Fouriertrasforme. Kapitel 3: Z-Trasform.. Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder.. Upp.
vara en given funktion som är definierad i punkten a. i punkten a och betecknas f (a)
Drivaans iniion DERIVATANS DEFINITION Dfiniion Lå y f vara n givn funkion som är inirad i punkn a f a f Om gränsvärd israr som rll al sägr vi a funkionn är drivrbar i punkn a Gränsvärd kallas drivaan av
Inledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:
TATA79/TEN3 Tetame, 08-04-06 Iledade matematisk aalys. Utred med bevis vilket eller vilka av följade påståede är saa: (a) Om x 7 är x(x 3) 5; (b) Om (x )(x 6) 0 är x 6; (c) (x + 6)(x ) > 0 om x > 6. Solutio:
Formelsamling Ljud i byggnad och samhälle
ormlsamlg jud bggad oh samhäll Några räkrglr för logarmr: log log log log log log log log log log log log Några grudläggad akusska dfor oh räkrglr -dmsoll la ljudåg som ubrdr sg os -rkg: Aos Effkärd rms
Digital signalbehandling Fönsterfunktioner
Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers
θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.
vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett
Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter DETERMINANTER A Determiter v r orige Determite v e mtris A följe är ett tl som etes eta eller Eempel: 6. oh efiiers eligt Motiverig: Determiter utveles i sm me lösigsmetoer
x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t)
Differentialekvationer II Modellsvar till räkneövning 4 16.4. 218 (kl 12-14 B222) 1. Lös det linjära homogena DE-systemet x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t) med matrismetoden. Påminnelse: egenvärden och
DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN
SUBSTITUTIONER I DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Innehåll: I) Allmänt om substitutioner i förstaordningens DE II) Ekvationer av tpen ( ) F( ) ------------------------------------------------------------------------------------
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 0-04-5 kl 8.5-.5 Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räkedosa Fullstädiga lösigar erfordras till samtliga uppgifter. Lösigara skall vara
TENTAMEN Datum: 4 feb 12
TENTAMEN Daum: b Tid: 8:5-:5 TEN: TRANSFORMMETODER Program: Daa/ lkro och Gamla udr Mdicikkik Kur: MATEMATIK Kurkod HF, 6H Skrivid:8:5-:5 Hjälpmdl: Formlblad dla u låmpl och miiräkar av vilk p om hl Lärar:
TENTAMEN Datum: 18 aug 11 TEN2: TRANSFORMMETODER
TENTAMEN Daum: aug TEN: TRANSFORMMETODER Program:. Daa/ lkro och. Gamla udr Mdicikkik Kur: MATEMATIK Kurkod HF, H Skrivid::5-:5 Hjälpmdl: Formlblad dla u låmpl och miiräkar av vilk p om hl. Lärar: Armi
Fyr-fältingen, utvidgad. Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 12. Ex) på användning av z-transform: ljud. z-transform och TDFT, formler
Sigal- och Bildbhadlig FÖREÄSNING -trasfor - varför tar vi upp d? Aväds ofta vid dsig av tidsdiskrta syst. Vi ska s hur d hägr ihop d TDFT och DFT. D tas upp i alla grudkursr/böckr i sigal-bhadlig. aplac-trasfor
Statistisk mekanik (forts) Kanonisk ensemble. E men. p 1. Inledande statistisk mekanik:
Förläsg 4 Förra gåg: Dt totala rörlsmägdsmomtt J = L+S är ocså vatsrat. J j( j där j s, s,..., s, s J z m j där m j j, j,..., j, j Foto som utsäds(absorbras vd övrgågar har sp= gör att j att ädras. Ildad
Lösningar till ( ) = = sin x = VL. VSV. 1 (2p) Lös fullständigt ekvationen. arcsin( Lösning: x x. . (2p)
Akadmin ör utbildnin, kultur oc kommunikation Avdlninn ör tillämpad matmatik Eaminator: Jan Eriksson Lösninar till TENTAMEN I MATEMATIK MAA0 oc MMA0 Basutbildnin II i matmatik Datum: auusti 00 Skrivtid:
Tunnling. Förra gången: Spridning mot potentialbarriär. B T T + R = 1. Föreläsning 9. Potentialmodell (idealiserad): U = U B U = 0
Förläsig 9. Förra gåg: Sridig ot ottialarriär. Pottialodll (idalisrad): U U ( ) 0, 0 L, för övrigt ψ( ) ik ik ifallad U = U ψ( ) F trasittrad ik rflktrad U = 0 0 L Iuti arriär 0 < < L: ( fall) ) E U ψ
Föreläsning 6. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 4
Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Förläsig 6 Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Kapitl 4 Fourirtrasorm av aalog sigal, FT Fourirtrasorm av digital sigal, DTFT ortsättig LTH 5 Ndlko Grbi (mtrl. rå Bgt Madrsso
Föreläsning 6. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 4
Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Förläsig 6 Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Kapitl 4 Fourirtrasorm av aalog sigal, FT Fourirtrasorm av digital sigal, DTFT ortsättig LTH 4 Ndlko Grbi (mtrl. rå Bgt Madrsso)
Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl
TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte
TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grudkurs Tetame 07-0- - Lösigsskiss. a) Svar: x ], [ [, [. 4x x + 4x 4x (x + ) 0 0 x x + x + x + 0 //Teckeschema// x ], [ [, [ b) I : x I : x I : x x x + = 4 = 4 Lösig sakas x + x + =
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
TSDT18/84 SigSys Kap 7 Fouriertransformanalys av tidskontinuerliga signaler 1 1 Kap 7 Fouriertransformanalys av tidskontinuerliga signaler 2
Kap 7 Fourirrasormaalys av idskoiurliga sigalr Kap 7 Fourirrasormaalys av idskoiurliga sigalr Fourirrasorm Fourirrasorm ill x(: F F { x( } X( x( j d Ivrsa ourirrasorm ill X(: { X( } x( π X( j d Jr. ourirsri:
Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2017, kl. 9:00-13:00
Tnamn i Mamaik, H9 sp 7, kl. 9:-: Eaminaor: rmin Halilovic Undrvisand lärar: Nils Dalarsson, Jonas Snholm, Elias Said ör godkän bg krävs av ma poäng. gsgränsr: ör bg,,, D, E krävs, 9, 6, rspkiv poäng.
b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.
OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras
TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA?
TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA? Stjärnorna är klot av ht gas Flrtalt lysr ftrsom d fusionrar vät till hlium i sina ntrala dlar I dtta problm kommr vi att använda bgrpp från båd klassisk
FILTER: Tvåportar. Tvåportar, impedansparametrar (z-par.) Uttryck två av storheterna V 1, V 2, I 1 och I 2 som funktion av de andra två.
V I 7 - Filterteori FILTER: Tvåortar V I Paivt RLMC-ät Kaualt LTI-ytem Uttryck två av torhetera V, V, I och I om fuktio av de adra två. T.ex V f I, I V f I, I Lijärt ytem uero. z I + z I z I + z I Coyright
Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna
UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG 004-0-8 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel: