Föreläsning 6. Kapitel 4. Fouriertransform av analog signal, FT Fouriertransform av digital signal, DTFT fortsättning

Transkript

1 Digital sigalbhadlig ESS4 Förläsig 6 Dfiitio: Fourirtrasform av tidsdiskrt sigal DF, sid 5 Digital sigalbhadlig ESS4 Kapitl 4 Fourirtrasform av aalog sigal, F Fourirtrasform av digital sigal, DF fortsättig LH Oktobr Bgt Madrsso X ( f / f / X ( f j π j π df π Kovrgs: Om x ( stabil, dvs π ω π j ω X ( f j ω ω π f dω < Dpartmt of Eltrial ad Iformatio hology Lud Uivrsity Plott i MALAB av Fourirtrasform av rktaglpuls Aalog rktaglpuls (rktagulärt tidsföstr 4 si( π F j t XF ( xt ( för övrigt π F idssigal Spktrum π F Filtrrig Iput output rlatios X(f Filtr H(f y( * Y(fX(f H(f Vi har sambadt faltig för att bräka utsigal y( k k k idsdiskrt rktaglpuls (rktagulärt tidsföstr 4 si( π f - j π f x [ ] X ( f för övrigt si(π f idssigal Spktrum Om båd fourirtrasform av isigal oh fourirtrasform av impulssvart xistrar ka vi okså utyttja sambadt Y ( ω X ( ω oh s bräka ivrs fourirtrasform Vi klassifirar ofta filtr ftr karaktrstik av H (ω, tx i lågpassfiltr som släppr igom låga frkvsr oh spärrar höga, högpassfiltr som spärrar låga frkvsr oh släppr igom höga 79 8

2 Rlatio till z-trasform Vi utgår frå tt kausalt impulssvar h (. Kausalt ibär att h ( för < Fourirtrasform DF av impulssvar är då ligt tidigar Dfiitio: j ω j π Vi dfiirad Z-trasform av impulssvart som där H ( z z z j r ω Fourirtrasform är z-trasforms värd på htsirkl om stabil oh kausal värdt på htsirkl H ( z jω z Rita i i figur f/ ωπ z- f3/4 ω3π/ z-j f/4 ωπ/ zj z-pla Godtyklig pukt z jπf f ω z Viktigt: Ehtsirkl är vår frkvsaxl i dt diskrta fallt är tt komplxt tal som vi oftast skrivr som blopp oh fas. H(z är komplx fuktio av komplx variabl. Viktigt: Om h ( är kausal oh stabil får vi ω: ωπ/4: ω>π/4: H(ω H(ω stort H(ω miskar H( z z j ω 8 8 Utvidgig av Fourirtrasform (s matt A Sius, osius (j stabila sigalr j π f j π f x [ ] os( π f ( + X ( f ( δ ( f f + δ ( f + f π ( δ ( ω ω + δ ( ω + ω / Spktrum X(f -f f j π f j π f si(π f ( j X ( f ( δ ( f f δ ( f + f j f Filtrrig md idalt lågpassfiltr Vi vill u göra tt filtr som filtrrar bort höga frkvsr oh bara bhållr låga frkvsr. Vi har oh y( k k Y ( ω X ( ω Hur ka vi dfiira tt lågpassfiltr? Ett idalt lågpassfiltr (ik-kausalt dfiiras av H X(f idalt Idalt lågpassfiltr ( ω H(f H(ω k y( * Y(fX(f H(f ω ω, för övrigt f f B Stg x ( u( stg X ( f + δ ( f j π f Obs. I ovaståd uttryk ags X ( f för f. X ( f måst sda priodisras. ω π π ω dvs frkvskompotr midr ä ω, f oförädrad mda frkvsr stött ä ω, Hur sr dtta impulssvar ut? släpps igom f spärras hlt

3 Ivrs fourirtrasform av rktaglpuls Idalt lågpassfiltr Ett idalt lågpassfiltr (ik-kausalt dfiiras av H idalt ( ω ω ω, för övrigt f f ω π π ω Dss impulssvar blir då π ω jω jω H( ω dω d π π ω π ω ω π jω j H(ω jω ω siω π ω ω siω f ω rukrig av idalt lågpassfiltr Ett kausalt lågpass FIR-filtr ka vi få gom att välja ut värd krig origo oh s fördröja impulssvart (-/ ( udda siω ( ω, π ω ( Dtta är mykt valig mtod för att göra FIR-filtr. M hur bra blir dt? Oh ka vi förbättra dt. Vi provar i Matlab. (-/ Dtta impulssvar är båd kausalt oh oädligt lågt. Vi måst trukra dt oh göra dt kausalt rukrig av idalt lågpassfiltr Hur bra blir filtrt? Impulssvar h idalt ( tidsföstr Spktrum Övrst h idalt ( H idalt (f Mitt w rt ( W rt (f drst h idalt ( w rt ( H(f H idalt (f W rt (f rukrig av idalt lågpassfiltr md Hammigföstr. Ett hammigföstr dfiiras av M π( w hammi g[ ] ( os M M Hammigföstrt aväds väldigt ofta i praktik vid trukrig av sigalr, spillt vid frkvsaalys. I Matlab är dtta ofta dfault. h[]h idalt [] tidsföstr Impulssvar Spktrum Övrst h idalt ( H idalt (f Mitt w hammig ( W hammig (f drst h idalt ( w hammig ( H(f H d (f W hammig (f Brytfrkvs f.5, lägd M, gradtal M- OBS Amplitud vid brytfrkvs -6 db (/ av maxvärdt si ω ( ω h [] π ω ( Matlab: hfir(,*.5,boxar(; M M si ω ( π( ω h ( ( os M π M M ω ( Vi sr att dämpig för höga frkvsr är klart bättr ä för rktaglföstrt. Matlab: hfir(,*.5,hammig( 87 88

4 Varför fik vi problm vid trukrig. Kovrgsproblm för si( x / x. Impulssvart för tt idalt lågpassfiltr är alltså av typ si( x / x oh som vi måst trukra för att få tt kausalt filtr. Dtta gr vissa ffktr (bivrkigar vid trukrig som kallas Gibbs fom. Appdix Fourirsriutvklig av priodisk sigal (för kädom. Exmpl frå förläsig. Spktrum frå klaritt. Övrst: Vågform (7 ms, 6 priodr Mitt: Fourirtrasform av hla sigal drst: Fourirtrasform frå priod (röd kurva, omskalad 6 ggr Villkor för kovrgs av Fourirtrasform var: Kovrgs: Om x ( stabil, dvs < Lit svagar kovrgs Om m För si( x / x har vi: < x si( x / x m Dtta ldr oss till Fourirsriutvklig x si( x / x kost < Alltså har vi här d svagar typ av kovrgs. Effkt av d svagar typ av kovrgs yppar sig är vi trukrar sigal Frå matt har vi lärt oss att priodisk sigal ka skrivas som summa av harmoiska dltor ligt x harmoisk ( A + A os(π F + Φ + A os(π F + Φ + Hur hägr dtta ihop md Fourirtrasform? Vi har sda tidigar Fourirtrasform av puls (fyrkatspuls... Fourirsriutvklig av priodisk sigal, fortsättig sid 9 E aalog sigal som är priodisk md priodtid p, dvs t t p md F p Fyrkatspuls Fourirtrasform (spktrum Vi bildar u priodisk sigal (harmoisk sigal gom att upprpa fyrkatspuls Fourirtrasform av upprpad fyrkatspulsr (dl av fyrkatssigal ka skrivas som summa av siussigalr (harmoiska dltor ligt t p k komplx amplitud X ( + 3 p DC ivå X ( k F 443 p k j π k F X ( k F os(π k F t + arg{ X ( k F } amplitud där X ( F är Fourirtrasform av priod av sigal fas Gör vi u fyrkatsigal oäligt låg blir sigals rgi oädlig oh vi ka u it bräka fourirtrasform m väl skriva sigal som summa av harmoiska dltor ligt ova där A, A, Φ, A, Φ, A3, Φ3,... rlatras dirkt till Fourirtrasform av puls ligt figur ova. p / X ( F t p / j π F t dt 9 9

5 Fourirsriutvklig av priodisk sigal, fortsättig 3 sid 4 E tidsdiskrt sigal som är priodisk md priodtid, dvs f md ka skrivas som summa av komplxa siussigalr (harmoiska dltor ligt t k X ( k f j π k f där X ( f är Fourirtrasform av priod av sigal X ( f j π 93