Tentamenn. som har. del II. Handbook av Råde. Del I. Modul 1. fasporträttt. x 2 är en 0, x. Sida 1 av 25

Transkript

1 SF676, am 5 aug 7 Isiuio för mamaik, KH SF676, Diffrialkvaior md illämpigar am isdag 5 aug 7 Skrivid: 8:-: Eamiaor: Krisia Bjrklöv För godkä (bg E krävs r godkäda modulrr frå dl I Varj moduluppgif bsår av r frågor För a bli godkäd på modul krävs rä svar på mis vå av dssa frågor D som har godkäd modul frå korollskriv vig bhövr i göra mosvarad moduluppgif da D som har vå godkäda modulr, frå korollskrivig llr am, har möjligh a komplra Dl III är avsdd för högr bg Varj uppgif i dl II gr maimal poäg För bg A (rspkiv B, C, D krävs godkäda modulr sam 5 (rspkiv, 7, poäg på dl II Hjälpmdl: D da hjälpmdl vid am är formlsamlif ig BEA: Mahmaics Hadbook av Råd och Wsrgr OBS: För full poäg krävs fullsädiga, dlig prsrad ochh väl moivrad lösigar som är läa a följa Markra dia svar dlig Samliga svar ska vara på rll form Modul Dl I Vi brakar diffrialkvaio a Bsäm alla kriiska pukrr och dras sabili b Ria kvaios fasporrä c (p Visa a ak lösig ill ovasåd DEE går gomm puk (, ips: Aväd iss- och dighssas Modul I da uppgif är a, b och c obrod av varadra v a Fukio ( är 5( 5 Bsäm kvaios allmäa lösig lösig illl diffrialkvaio, Sida av 5

2 SF676, am 5 aug 7 b D allmäa lösig ill kvaiosssm gs av C D, C D Bsäm d allmäa lösig ill ssm c Vi brakar ssm För vilka värd på paramr är kriiska puk (, isabil spiral? Modul I da uppgif är a, b och c obrod av varadra a Aväd Laplacrasformr för a lösa följad diffrialkvaio ( ( ( d, ( (Noll poäg om ma i avädr Laplacrasformr ua aa lösigsmod b Lå, f (, f ( f (, Bsäm Fourirsri ill f ( c Bsäm alla produklösigar u(, X ( Y ( ill kvaio u(, u(, Sida av 5

3 SF676, am 5 aug 7 Dl II Lös följad ( Broullis diffrialkvaio ( ( (, ( 5 I da uppgif är a, b och c obrod av varadra a (p Härld (bvisa md hjälp av dfiiio a Laplacrasform av fukio a f ( är F( s s a, b (p Bsäm Laplacrasform av fukio f (,, c (p Aväd Laplacrasformr för a lösa följad igralkvaio ( ( d 6, ( 6 Bsäm alla kriiska pukr och dras p för följad auooma ssm d d d d 7 Lös radvärdsproblm u(, u(, md följad villkor:,, (kv u V: u för alla, V: för alla V: u(,, Sida av 5

4 SF676, am 5 aug 7 8 Bsäm kurva K som gs av f ( och som uppfllr följad vå villkor: v Kurva går gom puk (, v För varj puk P (, f ( på kurva K gällr PO O, där är skärigspuk mlla -al och kurvas ag i puk P (och O (, (Md adra ord: Avsåd frå P ill origo är lika md avsåd frå ill origo S figur da PO O ips: Bsäm diffrial kvaio md obka f (, ( llr ( kvaio på form G( och aväd subsiuio z Ag därfr Lcka ill Sida av 5

5 SF676, am 5 aug 7 FACI Modul Vi brakar diffrialkvaio a Ria kvaios fasporrä b Bsäm alla kriiska pukr och dras sabili c (p Visa a ak lösig ill ovasåd DE går gom puk (, ips: Aväd iss- och dighssas Lösig a Kriiska pukr får vi ur, dvs ur (, som gr vå kriiska pukr och ckaals för ( ka vi göra md hjälp av följad abll (llr på aa sä: -värd Härav får vi kvaios fasporrä b Frå a-dl och fasporrä sr vi a kvaio har vå isabila kriiska pukr (rpllr och (smisabil puk c Fukiora ( R F(, F ( och och dighssas, går ak lösigskurva gom puk (, Sida 5 av 5, är koiurliga i varj, Därmd är d koiurliga i omgivig ill (, och därför, lig iss-

6 SF676, am 5 aug 7 Svar: a S ova b vå isabila kriiska pukr (rpllr och (smisabil puk Modul I da uppgif är a, b och c obrod av varadra a Fukio är lösig ill diffrialkvaio ( 5( 5, Bsäm kvaios allmäa lösig b D allmäa lösig ill kvaiosssm gs av C D, C D Bsäm d allmäa lösig ill ssm c Vi brakar ssm För vilka värd på paramr är kriiska puk (, isabil spiral? Lösig a Mod Vi dlar kvaio md ( och får 5 5 ( ( Bcka d giva lösig E aa lösig bsämmr vi md hjälp av forml ( Pd d (s bok där, och P 5 Sida 6 av 5

7 SF676, am 5 aug 7 5l( 5 Pd Pd ( d ( d ( d ( d ( ( ( ( 6 7 ( ( ( d ( [ C] 6 5 ( 5 ( Vi ka välja som lösig D är uppbar a och är lijär 6 6 obrod och därmd bildar fudamal lösigsmägd 5 ( D allmäa lösig är C( C llr äu klar 6 C 5 ( C( Mod Vi avädr subsiuio z( dvs ( z( Da gr z ( z och z ( z som vi subsiurar i kvaio och får 5 5 z ( z ( z ( z ( z llr, fr förklig, ( ( z 7z E subsiuio v z gr ( v 7v som vi lösr gom a sparra variablr: dv d dv d C 7, v C v 7 v l 7l Härav v 7 ( C C Frå v z får vi z d D 7 6 ( 6 Slulig C C ( z gr D( llr D( 5 5 6( 6( Svar a C 5 ( C( b Vi skrivr ssm på marisform X AX F( (ss där X, A och F Lösig ill homoga dl, marisform C D, C D skrivr vi också på C D C D C D Sida 7 av 5

8 SF676, am 5 aug 7 Vi sr a X och X är vå fudamala lösigar ill homoga dl Därfr bildar vi illhörad fudamala maris [ X X ] E parikulär lösig X p ka vi bsämma md hjälp av mod variaio av paramrar : asas X p V ( där V ( bsäms ur V ( F( (s bok Härav / V ( F( / / / Därför V ( d (Vi bhövr das parikulär lösig; kosar / / 9 har vi i d allmäa lösig E parikulär lösig är X p V ( = / / / 9 = / 9 / / 9 Slulig X Svar: X X h X p = / / 9 C D + / / 9 D C / / 9 + / / 9 c c Vi brakar ssm Ssms maris är A Vi bräkar,, och avädr dasåd hjälpfigur (frå kursbok av Zill-Wrigh Sida 8 av 5

9 SF676, am 5 aug 7 Puk (, är isabil spiralpuk om, dvs om (kvival md är kompla al och o, följad r olikhr är uppfllda, o:, o: och o: Nora a o och o är uppfllda för alla Frå o har vi som gr llr Svar c (, (, Modul I da uppgif är a, b och c obrod av varadra a Aväd Laplacrasformrr för a lösaa följad diffrial kvaio ( ( ( d,, ( (Noll poäg om ma i avädr Laplacrasformr ua aa lösigsmod, b Lå f (,, f ( f ( Sida 9 av 5

10 SF676, am 5 aug 7 Bsäm Fourirsri ill f ( c Bsäm alla produklösigar u(, X ( Y ( ill kvaio Lösig: u(, u(, a Laplacrasformrig av kvaio ( ( ( d, ( gr sy ( s Y ( s Y ( s s s Vi muliplicrar md s och får s Y ( s s sy ( s Y ( s Härav Y s s (dla i parilla bråk s s ( Y ( s s s Ivrsrasformrig gr ( Svar: a ( b Lå, f (, f ( f (, Fukios priod är och Graf ill f ( Sida av 5

11 SF676, am 5 aug 7 Mod Vi sr a fukio är äsa udda Om vi drar graf då för då blir graf smmrisk i origo Md adra ord, om vi dfiirar g ( f ( då är om g ( udda fukio om Graf ill g ( Allså uvcklar vi förs fukio g ( och därfr addrar [Efrsom f ( g( S ( S ( ] f g Förs orar vi a Fourirsri som hör ill g ( ( udda fukio har das siusrmr, dvs a -kofficir som hör ill g( är Vi bsämmr b f ( si( d f ( si d ( si( d cos = cos( = ( Sida av 5

12 SF676, am 5 aug 7 Sida av 5 Därmd si( cos( ( b a a S = si( (, och ( ( S S g f si( ( Svar a si( ( ( f S Mod Vi bräkar dirk alla kofficir (lägr bräkigsid ä i mod b,, ( d f a ( d f d + d = For vi har cos( ( d f a cos( ( d f cos( d + cos( d = si + si = si( ( d f b si ( d f si( d + si( d

13 SF676, am 5 aug 7 cos + cos = cos( cos( (ora a cos( cos( = = cos( cos( ( cos( ( Därmd har vi S f ( a a cos( b si( = ( si( Amärkig: I dasåd figur visas approimaio av f( ( md försa rmr i Fourirsri Svar a S f ( ( si( Lösig: Lå u(, X ( Y( (P Vi subsiurar P i Sida av 5

14 SF676, am 5 aug 7 u(, u(, och får X ( Y ( Y ( X ( (* Efrsom väsrld bror av och högrld bar av, mås d vara kosaa och ha samma värd som vi bckar md (Vi bckar kosa md för a frlika bckig i kursbok, aars ka vi aväda Allså X ( X ( Y ( Y ( (** där är rll al (jus u vilk som hls Frå (** får vi vå kla ODE md kosaa kofficir: Frå X ( X ( och Y ( Y ( får vi X X (kv a och Y Y (kv b Vi brakar r fall, och I Om blir ovasåd kvaior X och Y som gr X A B och Y C D Därmd blir u(, X ( Y( = ( A B( C D II Om ka vi av prakiska skäll bcka där är posiiv al Frå (kv a får vi X X som gör X A B Frå (kv b har vi Y Y som gr Y C D Därmd u(, X ( Y( =( A III Om ka vi bcka B ( C Sida av 5 D, där där är posiiv al Frå (kv a får vi X X som gör X Acos( Bsi(

15 SF676, am 5 aug 7 Frå (kv b får vi Y Y som gr Y C cos( Dsi( Därmd u(, X ( Y( =( Acos( Bsi( ( C cos( Dsi(, där Sammafaigsvis har vi få följad produklösigar ill (kv: I u(, ( A B( C D (om II u (, = ( A B ( C D, där III u (, ( Acos( Bsi( ( C cos( Dsi(, där Dl II Lös följad ( Broullis diffrialkvaio ( ( (, ( Lösig: Vi lösr Broullis kvaio ( P( a Q( gom subsiuio z a, som övrför Broullis ill lijär DE I vår fall har vi ( a Vi avädr subsiuio z ( ( dvs z Vi subsiurar / / z (därmd z z i kvaio ( ( ( och får z z z z Muliplikaio md / / / z z / z gr E igrrad fakor är F d l (Nora a > krig puk = Sida 5 av 5

16 SF676, am 5 aug 7 Igrrad fakor är F och därför F l Pd d l Efrsom kurva går gom (, är posiiv Nu är z F C ( C F Qd ( C d ( C Frå subsiuio / z har vi / C d allmäa lösig / C Frå ( har vi 8 C llr C=8 Därmd är / 8 d söka lösig Lösig är dfiirad om > Svar: / 8, > C Räigsmall: Korrk subsiuio och förklig=p Korrk ill z gr p Korrk ill C / gr p All korrk=p 5 I da uppgif är a, b och c obrod av varadra a (p Härld (bvisa md hjälp av dfiiio a Laplacrasform av fukio a f ( är F( s s a, b (p Bsäm Laplacrasform av fukio f (,, c (p Aväd Laplacrasformr för a lösa följad igralkvaio ( Lösig: ( d 6, ( a df F( s a s d ( sa ( sa d s a ( ( s a s a ( sa Nora a lim om s > a ( s a Sida 6 av 5

17 SF676, am 5 aug 7 b Elig dfiiio L( f ( f ( s d s d (BEA llr par igraio = ( s s s = s s ( s s (s c Laplacrasformrig av kvaio ( gr sy ( s Y ( s s 6 s ( d 6, ( Vi muliplicrar md s och få år s Y ( s Y ( s 6s 6s Härav Y ( s s Ivrs: Mod Vi avädr forml L9 i BEA, md a = : f( F(s Vi har 6s ( s Y ( s s s Elig L9 är ( Ivrs: Mod : cos( / / cos( (Nora a cosius är jäm / si( och sius si( udda fukio Sida 7 av 5

18 SF676, am 5 aug 7 6s 6s Y ( s (dla i parilla bråk s ( s ( s s Y s s s ( s s Vi skrivr om (kvadrakomplrar så a vi får urck som är lämplig för ivrsrasformrig: s / / s / / Y ( s s ( s / / s ( s / / ( s / / / / Ivrsrasformrig gr ( cos( si( / / Svar: a ( cos( si( 6s Räigsmall: c Korrk ill Y ( s gr p s 6 Bsäm alla kriiska pukr och dras p för följad auooma ssm Lösig: d d d d Kriiska pukr får vi ur ssm Frå adra (lijära kv får vi som vi subsiurar i försa kv och får ( 6 som gr och och därmd och Allså är K =(, och K =(, ssms kriiska pukr För a bsämma p av kriisk puk bsämmr vi förs Jacobis maris och Sida 8 av 5

19 SF676, am 5 aug 7 rac (A, d( A och Därfrr avädr vi dasåd hjälp figur (frå kursbok av a Zill-Wrigh Vi har (Jacobis maris För K (, har vi P (, A Q (, P (, ( Q (, A( K ( Vi bräkar rac ( A, Efrsom d( A 6 och 6 är K sadlpuk (och därmd isabil puk Sida 9 av 5

20 SF676, am 5 aug 7 För K (, har vi frå ( * ( A ( K ( ( Vi bräkar rac( A 6, d( A 6 och Därmd är K sabil od Svar: (, är sadlpuk (och därmd isabil puk; (, är sabil od Räigsmall: p för korrk kriisk puk + p för korrk Jacobis maris + p för korrk p av kriisk puk All korrk=p 7 Lös radvärdsproblm u(, u(, md följad villkor:,, (kv u V: u för alla, V: för alla V: u(,, Lösig: (Amärkig: Vi ka härlda allmäa formlr md L och u(, f (, L och därfr subsiura L och f ( m vi, i dasåd lösig, avädr frå börja giva värd i uppgif Vi avädr u(, X ( Y (, som vi subsiurar i (kv och får X ( Y ( Y ( X ( llr X ( Y ( X ( Y ( (* Efrsom väsrld bror av och högrld bar av, mås d vara kosaa och ha samma värd som vi bckar md (Vi bckar kosa md för a frlika bckig i kursbok, aars ka vi aväda Sida av 5

21 SF676, am 5 aug 7 Allså X ( Y ( X ( Y ( (** där är rll al (jus u vilk som hls Frå (** får vi vå kla ODE md kosaa kofficir: Frå X ( X ( och Y ( Y ( får vi X X, X (, X(L= och Y Y Vi har r möjliga lösigar ill X och Y: I X A B, Y=C (om II X = A B, Y C där, III X = Acos( Bsi(, Y C där Sammafaigsvis har vi få följad produklösigar ill (kv: I u(, A B (om II u (, =( A B, där III u (, ( Acos( Bsi(, där (jus u vilk som hls posiiv al Fråga är vilka av ovasåd lösigar uppfllr också villkor V,V och V u Villkor gr u för alla, V: för alla V : X (, och V : X ( (* (Villkora V och V limirar das fall II som vi sr da Fall I Frå X A B har vi X A så a X ( gr A= samidig X ( gr ig A= Därför X B är (ick rivial kosa lösig som saisfirar kv, V och V Fall II ldr das ill riviala lösig X= och därmd förkasas Sida av 5

22 SF676, am 5 aug 7 Kvarsår III X = Acos( Bsi(, Härav X Asi( B cos( Frå V dvs frå X ( har vi Asi( B cos( som gr B= Därmd X Acos( (och X Asi( Frå V dvs frå X ( får vi u A si( Härav dvs, där,,,, ( Därmd X Acos( Produklösigar u(, Acos( uppfllr kv,v och V Vi bildar sri u(, c cos( och bsämmr c så a Villkor dvs u(, f ( är också uppflld Nora a = är också ikludrad i summa frsom vi uvcklar i cosiussri och dssuom kosa fukio är lösig lig ova Alså c cos( f ( Md adra ord är c Fourirkofficir vid uvcklig av cosiussri på irvall [,] (Nora a =L=8, a f ( a cos( i Därför a c f ( d och c a f ( cos( d, =,,, Sida av 5

23 SF676, am 5 aug 7 När vi bsämmr c då är u(, c cos( = c + c cos( Vi bräkar a c f ( d 8 d c 8 6(( cos( d = ( BEA llr parill igraio= Därför Svar: u(, + u(, + 6(( 6(( cos( cos( Räigsmall: p för korrk variablsparaio + p för korrk illämpig av villkor V och V + p för korrk illämpig av villkor V All korrk=p 8 Bsäm kurva K som gs av f ( och som uppfllr följad vå villkor: v Kurva går gom puk (, v För varj puk P (, f ( på kurva K gällr PO O, där är skärigspuk mlla -al och kurvas ag i puk P (och O (, (Md adra ord: Avsåd frå P ill origo är lika md avsåd frå ill origo S figur da Sida av 5

24 SF676, am 5 aug 7 PO O ips: Bsäm diffrial kvaio md obka f (, ( llr ( kvaio på form G( och aväd subsiuio Lösig: E kvaio för kurvas ag gom puk P (, är z Ag därfr Y ( X ( där (X,Y bckar pukr på ag Skärig md -al får vi om vi subsiurar X= Da gr Y Y ( dvs ( Därmd är avsåd O Villkor O PO gr kvaio som vi ka skriva (ua absolublopp som vå kvaior : kv a och kv b Frå kv a har vi Subsiuio z (där z=z( är obka fukio dvs z och därmd z z gr z z z z llr z z Vi sparrar variablr dz z d och igrrar: Sida av 5

25 SF676, am 5 aug 7 dz z d llr l( z z l C som ka förklas ill z C z och därmd C Villkor ( gr C dvs C= Därmd är lösig ill kv A Vi ka förkla lösig ill llr På samma sä får vi lösig ill kv B: Svar: vå lösigar: och Räigsmall: Korrk ill kvaio gr p Korrk ill kvaio C z z +p (oal p p om lösig är korrk Sida 5 av 5