Reglerteknik AK, FRT010

Transkript

1 Insiuionen för REGLERTEKNIK, FRT Tenamen 5 mars 27 kl 8 3 Poängberäkning och beygssäning Lösningar och svar ill alla uppgifer skall vara klar moiverade. Tenamen omfaar oal 25 poäng. Poängberäkningen finns markerad vid varje uppgif. Beyg 3: lägs 2 poäng 4: lägs 7 poäng 5: lägs 22 poäng Tillåna hjälpmedel Maemaiska abeller (TEFYMA eller mosvarande), formelsamling i reglereknik sam icke förprogrammerade räknare. Tenamensresula Resulae meddelas via LADOK.

2 R E U Y + G r G p Figur Enkel åerkoppla sysem i problem 2.. Beraka syseme Y (s) = G(s)U(s) där (4 p) G(s) = s s 2 + 2s + a. Beräkna sysemes poler och nollsällen sam saionär försärkning. Är syseme asympoisk sabil? b. Finn en differenialekvaion som relaerar u() och c. Beräkna segsvare ill G(s). (Ledråd: Segsvare ill syseme G = /(s+) 2 är y () = ( + )e ) a. Dubbelpol s =, nollsälle s =. Saionär försärkning G() =. Syseme är asympoisk sabil. b. y () + 2y () + = u() u () c. Efersom G(s) = ( s)g (s) är Y (s) = ( s)y (s), dvs = y () y () = ( + )e e = ( + 2)e 2. En process ges av (3 p) G p (s) = s + 2. Processen åerkopplas enkel enlig Figur med en PI-regulaor som ges av G r (s) = s. a. Besäm sluna sysemes poler, och avgör om sluna syseme är asympoisk sabil. b. Beräkna saionär fel lim e() då referensen är e seg, r() =, >. c. Beräkna saionär fel lim e() då referensen är en ramp, r() =, >. 2

3 a. Sluna syseme ges av G p G r + G p G r = s+2 (2 + 3 s ) + s+2 (2 + 3 s ) = 2s + 3 s 2 + 4s + 3. Sluna sysemes poler besäms av karakerisiska ekvaionen s 2 + 4s + 3 =, vilke ger s = och s = 3. Efersom polerna ligger i vänser halvplan är sluna syseme asympoisk sabil. b. Vi får med R(s) = /s s(s + 2) se(s) = s R(s) = + G p (s)g r (s) s 2 + 4s + 3 Efersom röerna ligger i VHPL kan sluvärdeseoreme användas. Dea ger Dvs segsvar ger inge saionär fel. lim e() = lim se(s) = s c. Liknande räkning ger med R(s) = /s 2 a se(s) = vilke ger saionär fel för rampsvar s + 2 s 2 + 4s + 3 lim e() = lim se(s) = 2 s Beskriv probleme med inegraor windup i en PID regulaor. Illusrera med e exempel från verkliga live. Beskriv också hur probleme kan undvikas. (2 p) Se kompendie. 4. E sysem på illsåndsform ges av ekvaionerna (3 p) ẋ ẋ 2 = x + u a x 2 b y = c x a. Vad blir sysemes överföringsfunkion G(s)? Vad är villkoren på paramerarna a, b, c för a syseme skall vara b. sabil x 2 3

4 c. asympoisk sabil d. syrbar e. observerbar a. Vi får G(s) = C(sI A) B = C s + B a s = s 2 c s + s + a a s + b bc = s 2 + s + a. b. Polerna beror bara på parameern a. För a > ligger polerna srik i vänser halvplan, för a = har man en enkelpol i s = och den andra polen i s =. Syseme är sabil för a c. a >, se oven d. Vi får syrbarhesmaris ( ) b W s = ( B AB ) = b vilken är invererbar omm b. Syseme är allså syrbar då b e. Vi får observerbarhesmaris ( ) ( ) C c W = = CA c c som är invererbar omm c. Syseme är allså observerbar då c. 5. I figur 2 visas Bode-diagramme för (6 p) G p (s) = e s s(s + 2). a. Besäm ampliud och fasmarginal om syseme åerkopplas enkel, dvs med U(s) = R(s) Y (s). b. Skissa Nyquis-diagramme för G p (s). c. Designa en fas-avancerande regulaor G r (s) = K k N s+b s+bn så a sluna syseme (enlig figur ) får skärfrekvens ω c = och fasmarginal φ m = 6 grader. d. Noggrannare undersökning av processen G p visar a idsfördröjningen är 2 sekunder i sälle för sekund såsom idigare anagis. Kommer sluna syseme bli sabil med regulaorn G r i förra deluppgifen? 4

5 Figur 2 Bode-diagram för G p(s) i uppgif 5 a. Avläsning ur Bode-diagramme ger A m 2.5 och ϕ m 5 grader. b. Se figur c. Med ω c = fås arg G p (iω c ) = ω c π/2 arcan (ω c /2) = π/ = 3.3 radianer = 74 grader. (Dea värde kan även avläsas ur diagramme direk.) Vi behöver allså förbära fasen = 54 grader. Avläsning ur diagram i formelsamlingen ger N =. Från villkore ω c = b N får vi b = / =.32. Ur sambande K k N Gp (iω c ) = och avläsning G p (iω c ).45 fås K k = /(.45 ) =.7. (Anmärkning: Även om fasmarginalen är god så visar sig ampliudmarginalen för denna design vara låg, A m =.33, man bör därför sänka skärfrekvensen för a få en bäre design.). d. Med yerligare sekunds idsfördröjning kommer fasen vid frekvensen ω = försämras med radian = 57 grader. Efersom fasmarginalen var 6 grader så kommer sluna loopen a förblir sabil (men väldig nära insabilie, fasmarginalen är nu bara 3 grader). 6. I Figur 3 och 4 visas sex sycken Bode-diagram respekive segsvar. Fem av Bodediagrammen hör ihop med varsi segsvar (i öppen loop, dvs ingen reglerloop slus kring sysemen). Avgör vilka som hör ihop. De blir allså e Bodediagram och e segsvar över. Noera a diagrammen har olika skalor på axlarna. Moivera di svar. (2.5 p) 5

6 Figur 3 Nyquisdiagram för G p(s) i uppgif 5 Bode innehåller en inegraor, och måse således illhöra Segsvar B. Både Bode 2 och Bode 3 mosvarar försa ordnigngens sysem med saisk försärkning, men Bode 3 bryer ned senare och mosvarar således e snabbare sysem. Allså illhör Bode 2 Segsvar C och Bode 3 Segsvar F. Bode 6 är e försa ordningens sysem med saisk försärkning, vilke svarar mo Segsvar A. Bode 4 mosvarar syseme G(s) = vars segsvar är e seg, någon sådan figur finns dock ine. Kvar finns nu enbar Bode 5. Segsvar E har sluvärde och kan därför ine mosvara Bode 5. Bode 5 hör därför ihop med D. Bode 5 bryer förs upp, vilke innebär a syseme har e nollsälle. Segsvar D går å fel håll, vilke är karakerisisk för sysem med nollsälle i höger halvplan. Dea söder yerligare kombinaionen 5-D. Svar: -B, 2-C, 3-F, 5-D, 6-A. (4 och E saknar mosvarighe) 6

7 2 Bode Bode 3 Bode Bode Bode Bode Figur 4 Bodediagram ill Problem En förenklad modell av höjddynamiken för en mindre leksakshelikoper ges av [ ] ẋ = x + y = [ ] x. där u är insignalen ill moorn och y höjden. Designa en illsåndsåerkoppling u = Lx som ger karakerisisk polynom s 2 + 2ζωs + ω 2 för sluna syseme. Vad finns de för fördelar och nackdelar med a öka parameern ω? (2.5 p) [ ] u Lå L = [ l l 2 ], då blir [ s si A + BL = l s + l 2 ]. Designekvaionen de(si A + BL) = s(s + l 2 ) + l = s 2 + 2ζωs + ω 2 ger L = [ ω 2 2ζω ]. 7

8 Segsvar A 3 Segsvar B Segsvar C Segsvar D Segsvar E Segsvar F Figur 5 Segsvar ill Problem 6. E sörre värde på ω ger e snabbare slue sysem, dvs ighare höjdreglering. Nackdelen är a de krävs sörre syrsignaler och a man därför kan drabbas av syrsignalmäning eller bli mer känslig för evenuella mäsörningar. 8. Överföringsfunkionen för en PD-regulaor med filer ges av G r (s) = K + st d + st f, T d >, T f >. Avgör om följande påsående är sanna eller falska. Moivera! (2 p) a. Villkore för a G r (s) ska vara en fasavancerande länk är a T d > T f. b. Om T f ökar så ger G r mer fasavancering vid alla frekvenser. 8

9 c. Om T d = och T f = ger G r ungefär 55 graders fasavancering som mes. d. Maximal fasavancering inräffar vid frekvensen ω = T d T f rad/s Om vi jämför med formelsamlingens uryck för fasavancerande länk + s/b G(s) = K k + s/(bn) ser vi a b = /T d och bn = /T f, dvs N = T d /T f. a. San, dea är villkore N > b. Falsk. Fasen ges av argg r (iω) = arcan ωt d arcan ωt f. Vi ser a fasen minskar om T f ökar. c. San. Vi har N = T d /T f =, avläsning i diagram ger 55 grader. d. Falsk. Rä svar är ω = Td T f fel dimension.) rad/s. (Urycke i uppgifen har ill och med 9