ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll

Transkript

1 ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 KARL JONSSON Nycklord och innhåll x f, x sysm av diffrnialkvaionr Linjära sysm av diffrnialkvaionr x P x + g md allmän lösning x a c x + c x + x p. Ansasn x ξ r Karakärisiska kvaionn da λi 0 Gnralisrad gnvkor η Spår-drminan schma Skissa fasporrä Sadlpunk, dgnrad nod, spiral Sabili Fundamnalmaris X [x x ] Variaion av paramrar Kriiska punkr fx 0 0, för auonoma sysm x fx. Isolrad kriiska punkr. Inofficilla mål D är bra om du M kan idnifira följand allmänna sysm: x f, x, linjära sysm: x P x + g, linjära sysm md konsana kofficinr: x Ax + g, 3 homogna linjära sysm md konsana kofficinr: x Ax. 4 där P är n marisvärd funkion, x är n vkorn md n-komponnr, och A n konsan n n -maris och g inhomogni n vkor md n-komponnr. M v a allmänna sysm har liknand xisns och nydighssas som för nvariablfall. Om f sam f/ x, f/ x,..., f/ x n är koninurliga i n rkangl i da fall så bydr rkangl n flrdimnsionll rkangl i rumm R R n md koordinar, x och vi har IVP x f, x md x 0 x 0, så är vi garanrad unik lösning på da problm i n lin omgivningn av sarpunkn 0, x 0. M3 kan skriva om högr ordningns kvaionr,.x. y + 4 y + y ill sysm av diffrnialkvaionr md gnom ansasn x y, x y, c och ur da härlda sysm. M4 v a för linjära kvaionr kan vi skapa n fundamnalmaris md n linjär obrond lösningar ill sysm nlig Ψ [x... x n ] da är grkiskans psi Ψ. M5 v a dn allmänna lösningn ill d linjära sysm x P X + g kan skrivas x a c x + c x + x p. 5 där x p är någon lösning ill kvaionn, dvs n parikulärlösning, och x och x ugör n fundamnal lösningsmängd ill mosvarand homogna sysm x P x. Kan ävn skriva x a Ψc + x p där Ψ är n fundamnalmaris och c n godycklig vkor. M6 v a om Ψ är n fundamnalmaris så är ävn ΨB n fundamnalmaris, där B är n godycklig invrrbar maris. Om fundamnalmarisn är nhsmarisn för 0 så döpr vi dn ill Φ da är grkiskans sora phi Φ, dvs Φ 0 I. Insiuionn för mamaik, KTH, SE-00 44, Sockholm, Swdn addrss: karljo@kh.s. Da: 4 spmbr 08.

2 ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 M7 v a homogna linjära sysm md konsana kofficinr x Ax ofa bhandlas md ansasn x r ξ, 6 där vi sökr r och dn konsana vkorn ξ 0. r blir då blir gnvärd och ξ mosvarand gnvkor ill marisn A. a b M8 v a n maris har gnvärdn nlig formln c d λ, a + d ± a + d ad bc spår ± d du jus skrv uanför i kvadra drminann 7 M9 v a i fall av vå olika rlla lösningar r och r så får vi vå obrond lösningar och därför fundamnalmarisn dirk. M0 om komplxa gnvärdn uppsår så räknar vi och ar sdan ral- och komplxdl för a få vå obrond lösningar. M v a om vi får fram n dubblro för gnvärd,.x. r 7, md mosvarand gnvkor ξ så sökr vi lösningar på formn yrligar n ansas x 7 ξ + η 7 8 där vi sökr dn gnralisrad gnvkorn η. Kommr a få kvaionn A 7Iη ξ. M uifrån gnvärdna ill A kan avgöra karakär och sabili av dn kriiska punkn 0. M3 snabb kan avgöra karakär och sabili av kriiska punkr ill A från rac-drminan schma. M4 v a för a ha isolrad kriiska punkr så anar vi a da 0. M5 kan använda variaion av paramrar för sysmfall för a få fram n parikulärlösning för inhomogna linjära kvaionr x Ax + g. Ansär x p Xv 9 där X är n fundamnalmaris associrad ill homogna kvaionn x Ax allså X AX som marisr. Drivrar och sär in i kvaionn och får gr så allså X v + Xv AXv + g 0 X v + Xv AXv + g v X g x p X ˆ 0 X sgs ds. 3 Obs! Da är försök a brya nd kursmåln i mindr och mr konkra biar. Måln ovan är in officilla för kursn, uan förslag ill hur man kan änka.

3 ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Exmpl och uppgifr U Skriv om följand kvaionr ill sysm av diffrnialkvaionr Inför variablrna x u och x u. Då blir x x 0 cos 3x x 3 x I andra fall så blir d fyra variablr. x x x x u + 3u + u cos, 4 u 4 3u 0, 5 u + u + sin u 0. 6 x 0 + x cos x x x 3 x U Finn n fundamnalmaris Φ för följand sysm x Ax. Finn dn fundamnalmaris som uppfyllr Φ0 I. Skriv upp dn allmänna lösningn ill sysm. 3 a A n av varj 3 b A n av varj c A ± i 4 5 d A rn komplx ±3i 8 A vå posiiva rör f A dubblro g A dubblro h A 4± komplx 4 7 i A vå ngaiva 3 4 Undrförså här är a vi ska lösa sysm x Ax, få fram vå obrond lösningar och skapa n maris av dssa. Vi gör ansasn x r ξ. Insa i kvaionn får vi a vilk är kvivaln md a r r ξ A r ξ 9 rξ Aξ 0 och om vi in vill a ξ 0 vilk ndas had g noll-lösningn ill kvaionn x Ax så mås r vara gnvärd och ξ n gnvkor ill A. E sä a karakärisra da är a skriva om kvaionn som A riξ 0, dvs vi vil a ξ ska ligga i nollrumm ill marisn A ri. Om ξ ska vara nollskiljd så mås marisn A ri vara singulär, vilk är kvivaln md a da ri 0, dn karakärisiska kvaionn för r. Egnvärdn ill A för x-marisr allså fås fram ignom samband spår av A r ± spår av A /4 drminann av A, där spår av A är summan av diagonallmnn. Allså i vår fall, säg a vi ar fall c ovan r ± 5 ± i. 3

4 4 ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 A d blir komplxa rör är ing a oroa sig övr. Nu ar vi rda på mosvarand gnvkorr, i fall md komplxa rör så bhövr vi ndas göra da för n av rörna, a.x. + i. För mosvarand gnvkorr så drar vi av gnvärd på diagonaln i marisn A och kollar på vilka vkorr som liggr i nollrumm av dnna maris. Allså braka + i i 0 samma sak som i 0 4 i 0. 5 Har vi räkna rä så mås rad vara n mulipl av rad. Md vilkn konsan? Jo konsann i. Dvs om vi ar i gångr försa radn och addrar ill andra radn så får vi i Ifrån da sr vi a n gnvkor bli c i kom ihåg rick by plas och sä minusckn på av lmnn. Allså har vi nu få fram a n lösning ill kvaionn x Ax är x r c +i i cos + i sin i cos + i sin sin + i cos Dnna lösning är komplx-värd. Vi sökr hls rll-värda funkionr. Vi kan få vå obrond lösningar gnom a a raldl rspkiv imaginärdl av uryck ovan: x cos sam imaginärdln gr x sin sin. 9 cos Dn allmänna lösningn ill kvaionn x Ax kan därför skrivas x b x + b x b cos + b sin sin cos för godyckliga konsanr b och b. Vi kan skriva da mha n fundamnalmaris där och Nora a x Xb 3 X cos sin sin cos b X0 b b 0 0 Vi sr ifrån mål M6 ovan så kommr ävn marisn Φ XX0 35 vara n fundamnalmaris för vår sysm, da blir allså Φ cos sin 0 sin cos sin cos 0 sin cos. 36

5 ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Så då kan vi allså skriva a dn allmänna lösningn ill vår sysm är x Φb 37 för någon godycklig vkor b. I da fall så mås b x 0. U3 Visa a dn gnrlla lösningn ill x P x + g 38 kan skrivas som n summa av någon parikulärlösning x p illsammans md dn gnrlla lösningn ill ill dn mosvarand homogna kvaionn. a b U4 Lå A. Skriv upp gnrll uryck för gnvärdna ill A jämför md mål M8 c d ovan. Hur hängr da ihop md rac-drminan-schma? Gnom a skriva upp da ri 0 och förnkla så bord följand uryck dyka upp allså. r spår av A r a + d a + d ± ad bc 39 ± spår av A /4 drminann av A, 40 U5 Till sysm x Ax, avgör karakärn av dn kriiska punkn x 0 0 om 3 a A 4 b A 4 7 c A 5 d A 3 U6 Braka sysm x α x. 4 Vad blir gnvärdna för kofficinmarisn om α 0.5? Vad för yp av kriisk punk blir origo? Vad händr då α? Karakärn av dn kriiska punkn ändras i dssa vå fall. När skr dnna kvaliaiva förändring om vi anar a α är al mllan 0.5 och? U7 Bsäm gnvärdna ill följand kofficinmarisr som n funkion av α a x α α 0 5 x b x α För vilka värdn ändras karakärn av dn kriiska punkn? Ria fasporrä för värd på α som är någo sörr al. någo mindr än d kriiska värdna som årfanns innan. x

6 6 ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 E sä a lösa da är a ckna uryck för gnvärdna. I fall a blir d r α ± α α + α ± i. Efrsom gnvärdna innhållr n imaginärdl så kommr lösningarna a inhålla cos och sin. Vilk innbär a d är spiralr. Sabilin av dssa spiralr kommr a bro på vad för ckn raldln har. Om α < 0 så får vi asympoisk sabila spiralr, dvs spiralr där lösningn i fasrumm konvrgrar mo dn saionära punkn x 0 0. Om α > 0 så får vi insabila spiralr. Och om α 0 så får vi sabila spiralr, nämlign spiralr som in nödvändigvis konvrgrar mo dn kriiska punkn x 0 0 mn in hllr växr obhindra då, dvs vi har sabili mn j asympoisk sabili. Dssa ypr av uppgifr kan man försöka visualisra i spår-drminanschma som dlads u undr övningn. T.x. för b här är spår α och drminann är 5. Marisr som uppfyllr da liggr på n linj i schma där drminann är 5. Dnna linj skär kurvan y x /4 på vå sälln, för x-värdna ± 0. Da blir allså brypunkrna för α. Om α > 0 så kommr marisn ha vå posiiva gnvärdn, vilk kommr a bidra ill lösningar som xplodrar då, insabila nodr. Om α < 0 så kommr vi få vå ngaiva gnvärdn ill marisn, alla lösningar kommr sålds a gå mo 0 då, asympoisk sabila nod. Om 0 < α < 0 så får vi komplxa rör md ngaiv raldl, asympoisk sabila spiralr. Om α 0. så får vi rn komplxa rör, sabila cnrum. Om 0 < α < 0 så får vi vå komplxa rör md posiiv raldl, insabila spiralr. Om α 0 så får vi n posiiv dubblro för gnvärdna, från da kan man dirk få fram a vi har n insabil punk. D kan uppså vå fall här, nämlign dgnrrad nodr när d in finns vå linjär obrond gnvkorr llr nodr när d finns vå obrond gnvkorr. U8 Lös IVP x 4 3 x, x0. 4 Ta rda på gnvärdn och gnvkorr ill A. Egnvärdn blir r ± i. Ta rda på n gnvkorr som ovan i xmpl ovan. Skriv upp mosvarand komplxa lösning och a ral och imaginärdl. Skriv upp n fundamnalmaris så a allmänna lösningn blir 3 Sä in villkor x0 x Xb. 43 för a bsämma b. Klar. U9 Skriv upp dn allmänna lösningn ill följand inhomogna sysm 3 a x 4 b x x + x c x 4 3 x + Vi sr a alla dssa uppgifr är inhomogna linjära sysm md konsana kofficinr. Vi börjar md a braka mosvarand linjära sysm x 3 x 44 och sökr lösningarna ill da. Egnvärdna blir λ ±. Vi ar rda på mosvarand gnvkorr vilka blir om λ, a 3 ξ, 45

7 ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF och för λ så får vi ξ. 46 Dn allmänna lösningn ill dn homogna kvaionn kan sålds skrivas b + x 3 b, 47 för godyckliga b och b rlla al, llr omskriv så är da samma sak som 3 x b Xb. 48 b där X är fundamnalmarisn 3 X. 49 Vi v också a fundamnalmarisn uppfyllr X AX. 50 Frågan vi nu sällr oss är hur vi finnr n parikulärlösning x p dvs någon lösning som fakisk lösr dn kvaionn vi är inrssrad av ill kvaionn x 3 x + Ax + g 5 D visar sig a vi kan göra n ansas som kommr a lda oss ill uryck för x p. Vi ansär x p Xv 5 där v nu är n vkor som vi vill bsämma. Da är n ansas som vanlig som vi drivrar och sär in i kvaionn för a s vad vi får för informaion om v insa i kvaionn x Ax + g så får vi x p X v + Xv 53 X v + Xv AXv + g 54 omskrivning md likhn X AX gr oss vilk rducrar ill AXv + Xv AXv + g 55 Xv g 56 och frsom fundamnalmarisn är invrrbar för alla dss drminan är 0, Wronskidrminann för sysm så får vi a v X g. 57 Allså, om vi har X och g så kan vi räkna u v som gr oss x p Xv. I vår fall X dx allså v ingrra all md avsnd på kul för nu mås vi göra parill ingraion, så mllansg blir ˆ ˆ d + d +, 60 59

8 8 ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 sam ˆ ˆ d d. 6 allså och sålds blir x p x p Xv Allså allmänna lösningn blir allså 3 x där b och b är godyckliga konsanr. v b b , 65