Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic

Transkript

1 Tntamn i Matmatik, HF9, 8 oktobr, kl 5 75 Undrvisand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm Eaminator: Armin Halilovic Hjälpmdl: Endast utdlat ormlblad (miniräknar är int tillåtn För godkänt krävs poäng av möjliga poäng Btygsgränsr: För btyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, rspktiv poäng För btygt F krävs 9 poäng F är tt undrkänt btyg mn md möjlight till komplttring Komplttringn kan ndast göras upp till btyg E Fullständiga lösningar skall prsntras på alla uppgitr Börja varj ny uppgit på tt nytt blad, dtta gör att rättningn blir säkrar Skriv ndast på n sida av papprt Skriv namn och prsonnummr på varj blad Inlämnad uppgitr skall markras md kryss på omslagt Lämna in dnna tntamnslapp tillsammans md dina lösningar! Uppgit (Uppgit kan du som är godkänd på K hoppa övr a Ang värdmängd och dinitionsmängd ör dn invrsa unktionn till (, < cos( och ang ävn dn invrsa unktionn (p b Bräkna gränsvärdt (p ln( c Bräkna gränsvärdt (p Var god vänd

2 Uppgit a Givt llipsn på paramtrorm (,y (cos(t, sin(t Ang var llipsns tangnt ör t / skär linjn y Dvs, ang skärningspunktns koordinatr (p d b Md hjälp av drivatans dinition bvisa ormln ( d (p Uppgit sin( a Bstäm drivatan till ( (p b Bstäm, ör a >, värdt på a så att öljand gällr a u du u ln( Uppgit Btrakta unktionn ( Bstäm unktionns vntulla asymptotr (lodräta/vågräta/snda, samtliga trmpunktr (min/ma och rita gran till unktionn (p Uppgit 5 a Bstäm volymn av dn rotationskropp som bildas då områdt mllan kurvan y 5 (p, -aln och linjn, rotrar runt -aln (p 8 b Bräkna intgraln d (p Uppgit 6 a Bstäm koordinatrna, (,y,z, ör vntulla stationära punktr till z (, y 9 y Bstäm också dssa punktrs karaktär (min/ma/sadlpunkt (p b Använd dubblintgralr ör att bstämma tyngpunktn ör dt plana områdt D som bgränsas av kurvan y, -aln, och linjn ( Tips Formlrna ör tyngpunktns koordinatr inns på ormlbladt (p Lycka till!

3 FACIT: Uppgit a Ang värdmängd och dinitionsmängd ör dn invrsa unktionn till (, < cos( och ang ävn dn invrsa unktionn (p b Bräkna gränsvärdt (p ln( c Bräkna gränsvärdt (p / Lösning: a / / Enligt antagandt är unktionn y cos( dinirat ör nämnarn cos ( alla värdn i intrvallt (,] ( akt n gång och därör intrvallt [, ( akt n gång < För sådana antar cos( antar värdn i Md andra ord unktionns dinitions mängd är D [, och värdmängd är V [, Etrsom varj värd i V antas akt n gång är unktionn invrtrbar Om vi btcknar invrsunktionn har vi V och D [, D V [,

4 För att bstämma invrsunktionn lösr vi ut ur kvationn y y cos( arccos( cos( y y Alltså ( y arccos( y är invrsunktionn till ( cos( < Anmärkning: Vi användr otast ( llr t som obrond variabl och därör kan vi ang invrsunktionn som n unktion av ( llr t t ( arccos( Ndanstånd grar visar unktionrna (, cos( < och ( arccos(, < Svar a: D V [,, V [,, ( arccos( b Vi har tt obstämt uttryck av typn [/] md hjälp av l Hospitals rgl har vi: ln( [ L' H ] Svar b:

5 c Ett obstämt uttryck av typn [/] ; vi användr l Hospitals rgl: / / / / ( Altrnativ lösning: Faktorisring och örkortning Svar c: Svar: a D V [,, V [,, ( arccos( b / c Rättningsmall a p ör invrsa unktionn, p ör intrvalln b och c Rätt llr l Uppgit a Givt llipsn på paramtrorm (,y (cos(t, sin(t Ang var llipsns tangnt ör t / skär linjn y Dvs, ang skärningspunktns koordinatr (p d b Md hjälp av drivatans dinition bvisa ormln ( (p d Lösning: a Mtod För t / år vi lipsns punkt P(cos(/, sin(/ (, Tangntns lutningskoicint gs av dy dy dy dt dt cost k d dt d d sin t dt I punktn P har vi därör cost k sin t / / Tangntns kvation är y y k (

6 dvs y ( Skärningspunktn md linjn y år vi ur kvationn ( Etr örnkling Etrsom y har vi y Altrnativ lösning: (mtod Vi drivrar och (,y (cos(t, sin(t och år tangntns riktningsvktor i dn punkt som svarar mot paramtr t: v (-sin(t, cos(t Om t / har vi v(-sin(/, cos(/ Tangntns kvation blir då : (, y (cos(/, sin(/ s(-sin(/, cos(/ ( Vi bstämmr s ur kvationn cos(/ -s sin(/ sin(/scos(/ trsom y s (-sin(/cos(//(sin(/cos(/ Etrsom cos(/ 5 och sin(/ / har vi s / Insätts i ( så rhålls koordinatrna ( tr örnkling : och y b Låt ( Md hjälp av binomialsatsn llr gnom att multiplicra (h(h(h och örnkla år vi (h hh h och därör ( h h ( ( h h h h h h h h

7 Härav '( h ( h ( h d ( h h h vad skull bvisas Rättningsmall: a p ör rätt linj p allt rätt b Allt korrktp I grundn korrkt bvis mn md mindr räknl gr p Uppgit sin( a Bstäm drivatan till ( (p b Bstäm, ör a >, värdt på a så att öljand gällr Lösning: a Enligt kdjrgln har vi a u du u ln( 5 ( sin( sin( cos( cos( sin( sin( b a u du u ln( 5 Intgraln i VL löss via variablsubstitution, t t u u du ln dt t u t a [ ln( u ] (ln( a ln VLHL gr / (ln( a ln ln( 5 ln(5 ln5 ln( a ln ln5 ln( a ln5 ln ln ln( a ln a a 9 a ± a > Svar : a Rättningsmall: dt udu du dt u

8 a - Fl tillämpning av kdjrgln och l drivring av sin(, -p - Rätt drivring av sin( och rstn l, p b - Fl bstämning av n primitiv unktion -p - Rätt primitiv unktion p - Rätt bräkning av värdt på a p Uppgit Btrakta unktionn ( Bstäm unktionns vntulla asymptotr (lodräta/vågräta/snda, samtliga trmpunktr (min/ma och rita gran till unktionn (p Lösning: Funktionn ( är j dinirad ör och dssutom ( ± ± Dtta innbär att linjn är n lodrät asymptot Vidar gällr att ( ± Polynomdivision av ±, dvs vågräta asymptotr saknas ( gr att y är n snd asymptot Etrma punktr rhålls via: ( ( ( ( ± ''( '( ''( maimum i punktn ''( minimum i punktn Altrnativt kan man använda tckntabll: ( j d ( MAX ( j d MIN (5

9 Gran till unktionn ( Rättningsmall, uppgit - Fl asymptotbräkning -p - Saknas någon asymptot samt motivring -p - Rätt bräkning av trma punktr och dss karaktär p - Gran är hlt l gr -p Uppgit 5 a Bstäm volymn av dn rotationskropp som bildas då områdt mllan kurvan y, -aln och linjn, rotrar runt -aln (p 8 b Bräkna intgraln d (p

10 Lösning: a Md skivmtodn kan intgraln tas i -ld Övr gräns är givn som Undr gräns ås där kurvan skär -aln Dtta gör dn i (nda skärningspunkt md -aln Rotationskroppns volym blir då: ( d d d y Vi användr partill intgration två gångr ( d d d d (5 ( d Svar a: Volymn blir (5 v b Vi aktorisrar nämnarn: (, vilkt gr öljand ansats: 8 ( ( 8 B A A B A A B A B A C d d ln ln ( 8 Svar b: C d ln ln 8 Rättningsmall: 5a Korrkt bräknad primitiv unktion p 5b Korrkt partialbråksuppdlning p Ingt avdrag ör utlämnad intgrationskonstant

11 Uppgit 6 a Bstäm koordinatrna, (,y,z, ör vntulla stationära punktr till z (, y 9 y Bstäm också dssa punktrs karaktär (min/ma/sadlpunkt (p b Använd dubblintgralr ör att bstämma tyngpunktn ör dt plana områdt D som bgränsas av kurvan y, -aln, och linjn ( Tips Formlrna ör tyngpunktns koordinatr inns på ormlbladt (p a Lösning: Partilla drivator: 9 och y y Stationär punkt om : y 9 ± y y Alltså inns stationära punktr i (, och (, Andradrivator bhövs ör att bstämma karaktärn: 6,, y y y AC B 6 ( Punktn (, : AC B ( > A 6 ( 6 <, Maimum Punktn (, : AC B < Sadlpunkt Funktionsvärdn bstäms i d stationära punktrna:

12 z ( 9 ( 6 z ( 9 6 Svar a: Funktionn har tt maimum punktn P (,,, ( P 6 i Punktn Q (,, är n sadlpunkt, ( Q 6 b Vi användr ormlrna ör tyngdpunktns koordinatr Aran (D d [ ] D ddy d dy 5 d 5 5 D y 6 yddy d ydy d 6 7 d Därör och Svar b: T( /5, 8/7 Rättningsmall: 6 a Korrkta koordinatr ör d båda stationära punktrna p Alt Korrkta koordinatr och rätt karaktär ör n av punktrna p Ingt avdrag ör laktig z-koordinat 6 b Korrkt n dubblintgral gr p Allt korrkt p