TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

Transkript

1 TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN Hjälpmdl: Formlblad och räkndosa. Fullständiga lösningar rfordras till samtliga uppgiftr. Lösningarna skall vara väl motivrad och så utförliga att räkningarna och d bakomliggand tankarna är lätta att följa. Lösningarna skall rnskrivas och avslutas md tt tydligt svar som skall vara så förnklat som möjligt. Btygsgränsr: Btygt F: 8p, btygt E: 9 poäng, btygt D: poäng, btygt C: 5 poäng, btygt B: 7 poäng, btygt A: 9 poäng 6 + i. Bräkna + i 5 + 4i och svara på formn a + bi (p). Bstäm d kompla tal w och z som uppfyllr dtta kvationssystm: 4z + w = z + iw = 6 + 8i (p). Lös diffrntialkvationn y + ysin = 4sin (p) 4. Bstäm Maclaurinpolynomt av ordning för funktionn f()=cos() kring punktn =0 och bräkna approimativt cos(0,) md hjälp av dtta polynom. Bräkna därftr cos(0,) md hjälp av din miniräknar. (Svara md alla siffror som miniräknarn gr.) (p) 5. Ekvationn har n rot = + i. Lös kvationn fullständigt. (p) 6. Bstäm dn allmänna lösningn till diffrntialkvationn y 6 y + 9y = (p) 7. Bstäm dt rlla talt a 0, så att y = sin a blir n lösning till kvationn y + y + 5y. (p) 8. En vattn bhållar, vars volym är 500 litr, innhållr 00 litr rnt vattn. Vattn som innhållr 5 gram/ litr av n förorning tillförs md hastightn 5 litr /min. Förorningn blandar sig väl md vattnt. Av dt blandad vattn bortförs litr pr min. a) Anta att bhållarn innhållr y gram av förorningn ftr t minutr. Ställ upp n diffrntialkvation som bskrivr dtta samband. (p) b) Hur lång tid bskrivr din kvation förloppt på tt korrkt sätt? (p) c) Lös diffrntialkvationn. (p)

2 Lycka till! FACIT: 6 + i (6 + i)(5 4i) 0 4i + 5i 4i i (5 + 4i)(5 4i) 5 6i 4 9i i i 4 ( ) 5 6 ( ) 4 Svar: + i 4 4 Rättningsmall:. Från andra radkvationn: z = 6 + 8i iw. Insättning i dn första radn gr 4(6 + 8i iw) + w = 4 + i 4iw + w = ( 4i) w = i i w = = 5 4i z = 6 + 8i i(5 4i) = + i 4i Svar: z = + i och w = 5 4i Rättningsmall:. DE y + ysin = 4sin. Mtod. (Formln y = F ( ) ( C + F Q( ) d ) Först bstämmr vi P( ) = sin, Q( ) = 4sin. Intgrrand faktor är P( ) d cos F = = Dn intgrrand faktorn substiturar vi i formln och får y ( ) = F ( C + F Q( ) d) cos cos y( ) = ( C + 4sin d) Intgraln I (*) = 4sin cos d lösr vi md hjälp av substitutionn cos = t sin d = dt cos t cos I = 4sin d = 4 dt = 4 (konstantn C har vi i formln) cos cos Från (*) har vi y( ) = ( C + 4 ) cos llr y ( ) = C + 4 cos Svar: y ( ) = C + 4 Mtod. Multiplikation md dn intgrrand faktorn F = P( ) d cos =

3 - cos gr y - llr D(y - Härav y + y cos cos cos y = 4 + C cos Svar: y ( ) = C + 4 Rättningsmall: - cos sin = 4sin - cos - cos ) = 4sin. - cos - cos = 4 sin d = 4 + C ( s ovanstånd bräkning av intgraln) 4. f ( ) = cos f (0) = f ( ) = sin f ( ) = cos f f (0) f (0) = f f (0) + f (0) + f (0) f (0) +!! ! 0 i) Alltså är P( ) ponnt och har försvunnit.) ii) cos(0,) P (0,) = 0,5 0,, 98 Miniräknar n gr 0, = (0) ( ) = sin = dn sökta Maclaurinpolynom. (Notra att potnsr md Rättningsmall: p för korrkt polynom P( ) =, p för korrkt approimationn cos(0,) P (0,) = 0,5 0,, 98 (Ingn poäng för nbart miniräknarns värd) 5. Bilda p ( ) = Enligt faktorsatsn kan p() skrivas: p( ) = ( )( ) q( ) Där q() är tt andragradspolynom md röttrna och 4. Om = + i är n rot är också = i n rot. Vi får då p( ) = ( ( + i))( ( i)) q( ) Förnkling gr: p( ) = ( + i i 4i ) q( ) = ( + 5) q( ) Eftrsom p( ) = och p( ) = ( + 5) q( ) Tillämpar vi polynomdivision för att få rda på q() och därmd d andra röttrna.

4 Polynomdivision gr: Dvs. q ( ) = För att kunna faktorisra q () sätts q ( ) Pq-formln gr: = 4 = 4 ± = + = ± 7 Svar: Ekvationn har lösningarna = + i, = i, = 4 och 4 = Rättningsmall: p för korrkt dlrsultat ( + 5) p för korrkt n av = 4 llr 4 =. Allt korrkt =p. 6. Karaktristiska kvationn: r r + 9 r = ± 9 9 = (dubblrot) 6, yh = ( A + B) En partikulär lösning: Ansats: y, =, P = a + b yp a yp 6a + 9a + 9b = a = 8 a = 9b = 6 b = 4 Dn partikulära lösningn är = + 4 y P Dn allmänna lösningn: y = y + y = ( A + B) Svar: y = ( A + B) h P

5 Rättningsmall: p för korrkt dlrsultat, = p för korrkt homogn lösning y = ( A + B) p för korrkt partikulär lösning = + 4 h y P r, 7. Mtod. Vi lösr kvationn y + y + 5y. Dn karaktristiska kvationn: r + r + 5 r, = ± 5 = ± i Basläsningar är y = sin och y = cos och dn allmänna lösningn är y = C sin + D cos Härav sr vi att y = sin a (där a 0) är n lösning i fäljand fall två fall: i) a=, som vi får om vi tar C= och D och ii) a=, som vi får om vi tar C= och D, ftrsom sin( ) = sin() Svar: a = ± Mtod. Vi substiturar y = sin a i kvationn och därftr bstämmr a: y = y = sin a sin a + a cos a y = sin a a cos a a cos a a sin a Insättning i diffrntialkvationn gr: 4 sina a sina (4 a ) sina sina a = ± Svar: a = ± Rättningsmall: p för a =, p för a = 8. Från början finns dt 00 l vattn i bhålarn. Varj minut tillförs l och bortförs l vattn. Därmd vär vattnmängd md litr pr minut Eftr t minutr fins dt V vattn 0 + t 0 + t litr vattn i bhålarn. Bhållarn är fylld md vattn ftr 00 minutr (Då finns dt *=500 litr vattn i bhålarn.) a) Låt y = y(t) vara mängdn av förorningn i bhålarn ftr t minutr. Då gällr dy = H till H bort, dt där H till är mängdn (i gram) av förorningn som tillförs bhålarn pr minut och H bort är mängdn (i gram) av förorningn som bortförs bhålarn pr minut. (Notra att i varj litr vid tidn t finns y ( t)/(00 + t) gram av förorningn.) Därmd har vi följand samband

6 dy y = 5 dt 00 + t y(0) (rnt vattn vid t ) (*) Modlln gällr undr 00 minutr. ( Bhålarn är fylld md vattn ftr 00 minutr, vi saknar information om vad som händr ftr dtta.) y Vi lösr kvationn y = 5 llr 00 + t y + y = t Intgrrand faktor är d 00+ t ln(00+ t ) ( ) = ( 00 + t) ( ) ln(00 ) F P d + t = = = = Dn intgrrand faktorn substiturar vi i formln y( ) = F ( C + F Q( ) d) och får ln(00+ t ) ln(00+ t ) y( ) = ( C + 5d) y ( ) = (00 + t) ( C + (00 + t) 5d) (00 + t) y ( ) = (00 + t) ( C + 5 ) y ( ) = (00 + t) ( C + 5(00 + t) ) y ( ) = C(00 + t) + 5(00 + t) C y( ) = t (00 + t) Villkort y ( 0) gr C (00 + 0) y t Svar: C = (00 + t) = dy y = 5 a) dt 00 + t y(0) Rättningsmall: a) poäng för korrkt dlrsultat p om allt är korrkt. b) Rätt llr fl b) 00 minutr c) y t (00 + t) y H bort = t C c) poäng för dn allmänna lösningn y( ) = t (00 + t) p om allt är korrkt.