24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.

Transkript

1 Kurs: HF93 Matmatik, Momnt TEN (Analys) Datum: 9 januari 5 Skrivtid 3:5 7:5 Eaminator: Armin Halilovic Undrvisand lärar: Elias Said, Jonas Stnholm, Håkan Strömbrg För godkänt btyg krävs av ma poäng. Btygsgränsr: För btyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, 3 rspktiv poäng. Komplttring: 9 poäng på tntamn gr rätt till komplttring (btyg F). Vm som har rätt till komplttring framgår av btygt F på MINA SIDOR. Komplttring skr c:a två vckor ftr att tntamn är rättad. Om komplttring är godkänd rapportras btyg E, annars rapportras F. Hjälpmdl: Endast bifogat formlblad (miniräknar är int tillåtn). Till samtliga inlämnad uppgiftr fordras fullständiga lösningar. Skriv ndast på n sida av papprt. Skriv namnn och prsonnummr på varj blad. Inlämnad uppgiftr skall markras md kryss på omslagt Skriv klass på omslagt, A, B llr C. Dnna tntamnslapp får j bhållas ftr tntamnstillfällt utan ska lämnas in tillsammans md lösningar ==== ===== ====== ====== ====== ===== ====== ====== ===. (p) Givt funktionrna f ( ) 3 och g( ). Lös kvationn f ( g ( )) g( f ( )).. (3p) Bräkna gränsvärdna: sin(3) a) lim b) lim ln (p) (p) 3. (3p) Bräkna aran av dt områd som stängs in av kurvan f () och tangntrna a till kurvan i dnnas skärningspunktr md -aln. Var God Vänd!

2 . (p) 3 Givt funktionn y 3y. Bstäm tangntns lutning i punktn (-, ). 5. (p) Rita kurvan y arctan ln( ) så att dss viktigast drag framträdr. Bl. a. skall dfinitionsmängdn, vntulla lokala maima och minima punktr samt vntulla asymptotr (vågräta/lodräta/snda) bstämmas. 6. (p) Bräkna intgraln: sin d. 7. (p) Bstäm n primitiv funktion till funktionn f ( ). 8. (p) Avgör om dt istrar vntulla stationära punktr för funktionn f (, y) y. 9. (p) Bräkna volymn av dn kropp som dfiniras av: z, y Lycka till!

3 Lösningsförslag. (p) Invrsfunktionrna f ( ) 3 och g ( ) som i sin tur gr 3 f ( g ( )) 3 och g( f ( )) och kvationn som ska lösas Rätt invrsfunktionr +p - Rätt sammansatta funktionr +p. - Fl sammansatta funktionr mn rätt invrsfunktionr -3p - Rätt kvationslösning +p. (3p) sin(3) 3cos(3) sin(3) a) lim lim 3 LH ln b) lim ln lim LH lim a) Rätt llr fl. b) Rätt tillämpning av L Hospital rgl +p, och yttrligar +p för rätt fortsättning. Fl tillämpning av L Hospital rgl gr p. 3. (3p) Gnom f ( ) rhålls skärningar md -aln, d v s. och. Då f ( ) får vi tangntrnas lutningar, f ( ) och f ( ). Tangntrna har då kvationrna y och y 6. Tangntrna skär varandra då 6. Aran bstäms så md två intgralr: 6 ( y f ( )) d ( y f ( )) d ( ( )) d ( 6 ( )) d a Rätt tangntkvationrna +p. - Rätt intgraltckning +p. Fl intgraltckning -p. - Rätt intgralbräkning +p. 3

4 . (p) Implicitdrivring gr: 3 yy 3y 3y - Rätt implicit drivring +p. Fl implicit drivring gr p. - Rätt bräkning av tangntns lutning +p. 5. (p) Funktionn y f ( ) arctan ln( ) är dfinirad för dvs. (, ). Vi har att lim f () lim(a arctan ln( )) Vågrät asymptot saknas. Från lim f ( ) lim (arctan ln( )) sr vi att linjn lodrät (=vrtikal) asymptot. Snda asymptotr saknas. Vi har också att kurvan skär y-aln i origo ty f ( ). Undrsökning av drivatan: ( ) ( ) f ( ) ( )( ) ( )( ) Tcknschmat 3y 3 y y ( ) 36 9 Tangntns lutning i punktn (-, ): y 3( ) 5 llr visar attt f ( ) är tt lokalt minimum och ( ) f ln är tt lokalt maimum. Enligt ovan har kurvan dn lodräta asymptotn. Vi får graf nligt figurn ndan.

5 - Rätta asymptotr +p. - Rätta stationära punktr och dss typ +p. - Rätt graf +p. - Rätta asymptotr mn j rätt drivatan gr ma p. 6. (p) En primitiv funktion till g ( ) sin g( ) d sin d, partill intgration gr: sin sin sin d sin d sin 7. (p) d polynomdivision cos d, ign partill intgration cos d d sin cos sin d d sin sin d (sin cos ) C - Fl partill intgrring p. - Enstaka fl i slut stgt av ntgrring ifall första dln är korrkt gr ma p. ( sin ( )d partialbråksuppdlning ( )( ) c ) d ( )d ( )( ) os ( sin ) d (gr p) sin d / 3 ( /3 ) d cos 5

6 /3 /3 ( ) d ln ln C ln Rätt partialbråksuppdlning +p. Rstn är rätt +p. - Ej korrkt bstämning av primitiv funktion p. C 8. (p) f (, y) y f y f y och y f f och saknar lösning vilkt gr att funktionn j har någon stationär punkt. y - Rätt partill drivring +p. Ej korrkt drivring p. - Rätt analys/undrsökning av vntulla stationära punktr gr yttrligar p. 9. (p) Volymn V= D ddy ( dy) d ( ) d - Rätt intgraltckning samt rätt intgrationsordning +p. Fl i dtta stg gr p. - Rätt intgral bräkning +p. 6